BÀI GIẢNG HỌC PHẦN: TOÁN CHUYÊN NGÀNH (DÀNH CHO HỆ TÍN CHỈ)

Định nghĩa. Số phức là một biểu thức có dạng , trong đó và là những số thực, và kí hiệu gọi là đơn vị ảo. Ta gọi là phần thức và là phần ảo của số phức . Ta thường kí hiệu: Ta kí hiệu tập số phức là .Vậy , trong đó là tập hợp tất cả các số thực.Nếu thì , khi đó là số thực.Nếu thì , khi đó được gọi là số thuần ảo.

BỘ CÔNG THƯƠNG TRƯỜNG CAO ĐẲNG CÔNG NGHIỆP TUY HÒA

KHOA GIÁO DỤC ĐẠI CƯƠNG



-BÀI GIẢNG HỌC PHẦN: TOÁN CHUYÊN NGÀNH

(DÀNH CHO HỆ TÍN CHỈ)

Chương I

SỐ PHỨC

1.1 Định nghĩa

Định nghĩa Số phức là một biểu thức có dạng x iy , trong đó x và y là những số thực,

và kí hiệu i gọi là đơn vị ảo Ta gọi x là phần thức và ylà phần ảo của số phức x iy Tathường kí hiệu:

Vậy x iy x y,  2

1.4 Môđun và argument của số phức

1.4.1 Mô đun của số phức z

Giả sử z x iy  Ta gọi x2y2 là môđun của số phức z x iy  Kí hiệu: z

Trong số các trị của Argz với z 0 luôn luôn có một trị thuộc  ,  mà ta kí hiệu là

arg z Vậy  arg z và Argzargz k 2 , k 

Để tìm arg z, ta dựa vào công thức sau:

x y

2

y z

dạng lượng giác của số phức z

* Vậy để tìm dạng lượng giác của

1.6.1 Phép lũy thừa của số phức

Định lí Giả sử z r cosisin Khi đó, z n r ncosnisinn

Từ định lí trên ta suy ra: nếu z r e i

* Cho z r cosisin Tìm n z

Giả sử n z w, tức là w n z với wcos +isin  Khi đó

1.7.Tập con và miền trong mặt phẳng phức

1.7.1 Đường cong trong .

Định nghĩa Đường cong trong  là một ánh xạ liên tục : ,a b   cho bởi biểuthức

Đường cong không Jordan Đường cong Jordan

Định nghĩa Đường cong  được gọi là đường cong kín nếu  a  b

Ví dụ: đường tròn là đường cong kín.

Định nghĩa Đường cong Jordan  thoả mãn  a  b được gọi là chu tuyến

1.7.2 Tập liên thông và miền trong 

Định nghĩa Tập D  được gọi là mở nếu mọi z D đều có một hình tròn tâm z nằmtrọn trong D

Định nghĩa Tập D  được gọi là liên thông nếu z z1, 2D, tồn tại đường cong  D

nối z z1, 2

Định nghĩa Tập D  được gọi là miền nếu D mở và liên thông

Định nghĩa D là miền n  liên nếu biên của nó gồm n thành phần

Ví dụ: Hình tròn là miền đơn liên, hình vành khăn Dz:1z 2 là miền nhị liên

5 Giải các phương trình sau trên :

Chương II.

HÀM SỐ BIẾN SỐ PHỨC

2.1 Hàm biến phức

2.1.1 Khái niệm hàm biến phức

Định nghĩa Cho z   Giả sử z r Nếu r  thì số phức z được gọi là

số phức  Khi đó, tập      được gọi là tập số phức mở rộng

Định nghĩa Giả sử D  

Một ánh xạ

:w

f D z

 



được gọi là một hàm số phức xác định trên D

D: miền xác định của f , f D : miền giá trị của f

Vì w và zlà những số phức nên ta có thể biểu diễn như sau:

Định nghĩa f được gọi là liên tục trên D nếu f liên tục tại mọi z D

Ví dụ Hàm số f z  z2 liên tục trên tập  Thật vậy, lấy điểm z  0 tùy ý

Vậy f liên tục trên 

2.3 Hàm khả vi và điều kiện Cauchy-Riemann

2.3.1 Đạo hàm

a Định nghĩa Cho f D:  (D), z0D,z đủ nhỏ sao cho z z 0  z D Hàm f

được gọi là -khả vi (hay khả vi theo nghĩa phức) tại z0 nếu tồn tại giới hạn

2.3.3 Điều kiện Cauchy – Rieman

Giả sử f D:  ,f z  u x y , iv x y ,  và z0 x0iy0D

Định nghĩa Hàm f được gọi là 2

 -khả vi (hay khả vi theo nghĩa thực) tại z0 nếu cáchàm số u x y v x y ,  , ,  khả vi tại x y0, 0

Định lí (Điều kiện Cauchy – Rieman)

f là -khả vi tại z0 x0iy0 khi và chỉ khi f là 2

 -khả vi tại z0 và f thỏa mãn điềukiện Cauchy – Rieman

osyosy

Suy ra f thỏa mãn điều kiện Cauchy – Rieman tại mọi z  0

Vậy f z  e z khả vi tại mọi z  0 ( f khả vi trên )

Định nghĩa Cho f D:  (D), f được gọi là chỉnh hình tại z0D nếu tồn tại r 0

sao cho f là -khả vi tại mọi z B z r  0, 

f được gọi là chỉnh hình trên D nếu f chỉnh hình tại mọi z D

k k k

Nếu tồn tại lim0S n

  hữu hạn mà không phụ thuộc vào cách chia đoạn a b,  và cách chọnđiểm k thì giới hạn trên được gọi là tích phân của hàm f z  trên 

Cho  là đường cong, kí hiệu 

là đường cong  với hướng dương cho trước (thườngngười ta cho theo chiều tăng của tham số), 

là đường cong  với hướng ngược lại

3.2 Công thức Newton - Leibnitz

Định nghĩa nguyên hàm Hàm F z được gọi là nguyên hàm của f z  trên D   nếu

F z f z  z D

Nếu F z  là nguyên hàm của f z  thì F z C C,   cũng là nguyên hàm của f z 

Định lý Nếu F z  là nguyên hàm của f z  trên D và  t x t iy t t ; a b,  làđường cong trơn trongD và  a z1, b z2 thì

3.3.1 Định lý Cauchy cho miền đơn liên

Định lí Nếu f là hàm chỉnh hình trong miền đơn liênD và  là một chu tuyến bất kìnằm trong D thì f z dz  0

3.3.2 Định lý Cauchy cho miền đa liên

Định lí Cho D là miền đa liên, f là hàm chỉnh hình trên D và liên tục trên D

3.4 Công thức tích phân Cauchy

Định lí Giả sử f là hàm chỉnh hình trong miền D,  là một chu tuyến bất kì trong D,

Chương IV

PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE

4.1 Khái niệm phép biến đổi Laplace

4.1.1 Các định nghĩa

Định nghĩa Ta gọi hàm f t  của biến số thực t là hàm gốc nếu nó thoả mãn các điềukiện sau:

s được gọi là số mũ tăng của f t  Với hàm bị chặn, rõ ràng s 0 0.

c f t   0 khi t 0 Điều kiện này được đặt ra vì trong các ứng dụng thực tế biến t

thường là thời gian

Ví dụ Hàm

t t

+ khi t0, f t 1 là hàm liên tục  điều kiện (a) được thoả mãn;

+ vì  t 1 nên điều kiện (b) được thoả mãn nếu chọn M 1, s0 0;

+ Rõ ràng điều kiện (c) là thoả mãn

+ khi t0, f t sint là hàm liên tục  điều kiện (a) được thoả mãn;

+ vì  t sint 1 nên điều kiện (b) được thoả mãn nếu chọn M 1, s0 0;

+ Rõ ràng điều kiện (c) là thoả mãn

Tổng quát, nếu hàm g t  thoả mãn tính chất (a) và (b) thì hàm f t     t g t là hàmgốc

Quy ước Để đơn giản cách viết, thông thường người ta bỏ nhân tử  t và hiểu ngầm tất

cả các hàm đang xét đều triệt tiêu khi t 0 Chẳng hạn, đáng lẽ viết

 t ,  t sin ,at  t t n

   ta chỉ viết 1, sin , n

at t (ta viết g t  thay cho    t g t )

Định nghĩa Ta gọi hàm F p  của biến phức pđược xác định bởi:

Định lý (Điều kiện để tồn tại ảnh)

Nếu f t  là hàm gốc với số mũ tăng s0 thì F p  hội tụ trong miền Re p s 0 (nửa mặtphẳng phức bên phải đường thẳng s s 0)

Chú ý Không phải mọi hàm phức F p  đều có nghịch ảnh là một hàm gốc Chẳng hạn,

F p p không thể là ảnh của một hàm gốc nào vì plim F p   Điều này mâu thuẫnvới định lí trên

4.1.2 Biến đổi Laplace của một số hàm quan trọng

Ví dụ Tìm ảnh qua phép biến đổi Laplace(gọi tắt là ảnh) của hàm 1

Chú ý Sau này ta chỉ quan tâm tới sự tồn tại ảnh trong một miền nào đó, mà không để ý

tới bản thân miền đó, nên bên cạnh công thức ảnh của một hàm gốc, ta sẽ không viết miền

có nghĩa của công thức ảnh

4 2 Các tính chất của phép biến đổi Laplace

L p

1cos

 

2 2

(tức là hàm gốc hoãn lại  tương ứng với hàm ảnh nhân với ep)

Định lí hoãn được dùng để tính ảnh khi gốc cho bởi nhiều công thức trên những khoảngkhác nhau

Định nghĩa Tích chập của hàm gốc của hai hàm số f t  và g t  là một hàm số của t

được xác định và kí hiệu như sau:

0

t

f g f u g t u du Tích chập có tính giao hoán: f g  g f

Định lí Nếu F p  L f t    và G p  L g t    thì L f g   F p G p   

Từ đó suy ra L 1F p G p     f g

L p



* Phương pháp tìm gốc của một phân thức hữu tỉ

Để tìm gốc của một hàm hữu tỉ thực sự với hệ số thực ta phân tích nó thành các phân thứctối giản loại I và loại II

Các phân thức tối giản loại I có dạng p a1

Đối với các phân thức tối giản loại II, ta làm như sau:

Ta đưa tam thức ở mẫu về dạng chính tắc

4 3 Ứng dụng của phép biến đổi Laplace

Trong phần này, ta chỉ xét ứng dụng của phép biến đổi Laplace để giải các phương trình

vi phân tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng số

Giả sử cần tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số:

* So với phương pháp cổ điển giải PTVP tuyến tính hệ số hằng ta thấy phương pháp toán

tử có những ưu điểm sau:

- Dù n lớn bao nhiêu ta chỉ cần giải một phương trình đại số bậc nhất đối với Y p 

- Khối lượng tính toán nói chung ít hơn so với phương pháp biến thiên hằng số Lagrange

- Cho ngay nghiệm riêng không cần thông qua nghiệm tổng quát Trong trường hợp muốn

1.5 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức 3

4.2 Các tính chất của phép biến đổi Laplace 214.3 Ứng dụng phép biến đổi Laplace để giải phương trình vi phân 31