Điểm đồ họa kỹ thuật (free)

I – Đồ thức của một điểm 1– Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu a Xây dựng đồ thức - Trong không gian lấy hai mặt phẳng vuông góc nhau П1 vàП2.. b Các định nghĩa và tính chất - Đường th

Bài 1

Điểm

Đồ họa kỹ thuật

I – Đồ thức của một điểm

1– Hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

a) Xây dựng đồ thức

- Trong không gian lấy hai mặt phẳng

vuông góc nhau П1 vàП2

- Mặt phẳng П1 có vị trí thẳng đứng

- Mặt phẳng П2 có vị trí nằm ngang

- Gọi x là giao điểm của П1 vàП2

(x = П1∩П2 )

- Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng

П1vàП2 ta nhận được các hình chiếu A1 và A2

П2 quanh đường thẳng x theo chiều quay

được chỉ ra trên Hình 1.1.a cho đến khi П2

trùng vớiП1 Ta nhận được đồ thức của điểm

A trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.1.b)

Hình 1.1a,b Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

a)

b)

A

A1

A2

Ax x

A

A1

Π1

Π1

Π2

A2

Π2

b) Các định nghĩa và tính chất

- Đường thẳng x : trục hình chiếu

- Gọi A x là giao của trục x và mặt phẳng

(AA1A2)

- Trên đồ thức, A1,Ax, A2 cùng nằm trên một

đường thẳng vuông góc với trục x gọi là

đường dóng thẳng đứng

Hình 1.1a,b Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

a)

b)

A

A1

A2

Ax x

A

A1

Π1

Π1

Π2

A2

Π2

* Độ cao của một điểm

- Ta có: gọi là độ cao của

điểm A

- Quy ước:

+ Độ cao dương : khi điểm A nằm

phía trên П2

+ Độ cao âm: khi điểm A nằm phía

dưới П2

- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:

+ Độ cao dương: A1 nằm phía trên trục x

+ Độ cao âm: A1 nằm phía dưới trục x

Hình 1.1a,b Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

a)

b)

A

A1

A2

Ax x

A

A1

Π1

Π1

Π2

A2

Π2

A A A

Ax 1= 2

* Độ xa của một điểm

- Ta có: gọi là độ xa của

điểm A

- Quy ước:

+ Độ xa dương : khi điểm A nằm

phía trước П1

+ Độ xa âm: khi điểm A nằm phía

sau П1

- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:

+ Độ xa dương: A2 nằm phía dưới trục x

+ Độ xa âm: A2 nằm phía trên trục x

*Chú ý: Với một điểm A trong không gian

xây dựng lại điểm A duy nhất trong

không gian Như vậy đồ thức của một

điểm A có tính phản chuyển

Hình 1.1a,b Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu

A2

Π2

A A A

a)

A

A1

A2

Ax x

Π1

Π2

b)

A1

2– Hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

a) Xây dựng đồ thức

- Trong không gian, lấy ba mặt phẳng

П1’ П2,П3 vuông góc với nhau từng đôi môôt

+ Gọi x là giao điểm của П1 vàП2 (y = П1∩П2)

+ Gọi y là giao điểm của П2 vàП3 (y = П2∩П3)

+ Gọi z là giao điểm của П1 vàП3 (z = П1∩П3)

- Chiếu vuông góc điểm A lên mặt phẳng

П1,П2 vàП3 ta nhận được các hình chiếu A1 ,

A2 và A3

- Cố định mặt phẳng П1, quay mặt phẳng

П2 quanh đường thẳng x, quay mặt phẳng П3

quanh trục z theo chiều quay được chỉ ra trên

Hình 1.2.a cho đến khi П2 trùng với П1,П3 trùng

với П1 Ta nhận được đồ thức của điểm A

trong hệ hai mặt phẳng hình chiếu (Hình 1.2.b)Hình 1.2a,b Xây dựng đồ thức của một điểm

trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

b)

A

A1

A2

a)

A2

Π2

x A

A1

Ax

A3

A2

Ay

Az

Π1

Π3

z

y

Π1 Π3

Π2

A3 z

y

y O

Az

Ay

Ay O

b) Các định nghĩa và tính chất

Bổ xung thêm các định nghĩa

và tính chất sau:

- Mặt phẳng П 3 : mặt phẳng hình chiếu cạnh

- Đường thẳng x, y, z : trục hình chiếu

- A 3 : hình chiếu cạnh của điểm A

- Gọi

- Trên đồ thức:

+ A1, Ax, A2 cùng nằm trên một đường thẳng vuông góc với trục x gọi là đường

dóng thẳng đứng

+ A1, Az, A3 cùng nằm trên một đường thẳng song song với trục x gọi là đường

trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

b)

A

A1

A2

a)

A2

Π2

x A

A1

Ax

A3

A2

Ay

Az

Π1

Π3

z

y

Π1 Π3

Π2

A3 z

y

y O

Az

Ay

Ay

O

) AA (A z

Az

) AA (A y

Ay

) AA (A x

Ax

3 1

3 2

2 1

∩

=

∩

=

∩

=

b) Các định nghĩa và tính chất (tiếp theo)

* Độ xa cạnh của một điểm

- Ta có:

gọi là độ xa cạnh của điểm A

- Quy ước:

+ Độ xa cạnh dương : khi điểm A nằm

phía bên trái П3

+ Độ xa cạnh âm: khi điểm A nằm

phía bên phải П3

- Dấu hiệu nhận biết trên đồ thức:

+ Độ xa cạnh dương: A3 nằm phía bên phải trục z

+ Độ xa cạnh âm: A3 nằm phía bên trái trục z

Hình 1.2a,b Xây dựng đồ thức của một điểm trên hệ thống ba mặt phẳng hình chiếu

b)

A

A1

A2

a)

A2

Π2

x

A

A1

Ax

A3

Ay

Az

Π1

Π3

z

y

Π1 Π3

Π2

A3 z

y

y O

Az

Ay

Ay

O

A A OA

A A A

Az 1 = y 2 = x = 3

A2

II – Cách chuyển từ tọa độ Đề các sang đồ thức

Hình 1.3a,b Chuyển từ tọa độ Decac sang đồ thức

b)

A

k x(+) Ax

A2 x

Π2

z(+)

y(+)

y(+) O

Az

Ay

i j

A1

A2

A3

O

y

a)

A1

- Trong tọa độ Đề các vuông góc điểm A(xA, yA, zA) (Hình 1.3a)

- Trên đồ thức chiều dương trục x,y,z được xác định như hình vẽ 1.3b

- Chọn trục hình chiếu x,y,z lần lượt tương ứng với trục tọa độ Ox, Oy, Oz Các mặt phẳng П1, П2, П3 lần lượt tương ứng với mặt phẳng (xOz), (xOy), (zOy)

Ví dụ: Chuyển từ tọa độ Đề các vuông góc sang đồ thức điểm A(3,4,5)

4

5

3 3

4 5

A

III – Một số định nghĩa khác

1– Góc phần tư

- Hai mặt phẳng hình chiếu П1, П2 vuông góc với nhau chia không gian thành bốn phần, mỗi phần được gọi là một góc phần tư

+ Phần không gian phía trước П1, trên П2 được gọi là góc phần tư thứ nhất (I)

+ Phần không gian phía sau П1, trên П2 được gọi là góc phần tư thứ hai (II)

+ Phần không gian phía sau П1, dưới П2 được gọi là góc phần tư thứ ba (III)

+ Phần không gian phía trước П1, dưới П2 được gọi là góc phần tư thứ tư (IV)

Ví dụ: Tự cho đồ thức của các điểm A, B, C, D lần lượt thuộc các góc phần tư I, II, III, IV

Hình 1.4 Góc phần tư I, II, III, IV

A2

Π 1

Π 2 ( I )

( IV ) ( III )

( II )

x

A2

A1

Π 2

Π 1

Hình 1.5 Các điểm A,B,C,D thuộc các góc phần tư I, II, III, IV

B2

B1

C1

C2

D2

D1

2 – Mặt phẳng phân giác

- Có hai mặt phẳng phân giác

+ Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (I) và góc phần tư (III) thành

các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác I (Pg1)

+ Mặt phẳng đi qua trục x chia góc nhị diện phần tư (II) và góc phần tư (IV) thành các phần bằng nhau gọi là mặt phẳng phân giác II.(Pg2)

Ví dụ: Vẽ đồ thức của các điểm A, B thuộc mặt phẳng phân giác I; C, D thuộc mặt phẳng

phân giác II, A thuộc góc phần tư (I), B thuộc (III), C thuộc (II), D thuộc (IV)

Hình 1.6 Mặt phẳng phân giác I và II

A2

Π 1

Π 2

( I )

( IV ) ( III )

( II )

x

A2

A1

Π 2

Π 1

Hình 1.7 Đồ thức các điểm A,B,C,D thuộc mặt phẳng phân giác (P1) và (P2)

(Pg1)

(Pg2)

B1

B2

C1

=D2

D1

=C2

x

Ax Bx Cx Dx

IV- Vẽ hình chiếu thứ ba của một điểm trên đồ thức

Bài toán: Cho hình chiếu đứng và hình chiếu bằng của một điểm, tìm hình chiếu

cạnh của điểm đó trên đồ thức

Ví dụ: Vẽ hình chiếu cạnh của các điểm A, B, C, D, E được cho trên đồ thức

x(+) Ax

A2

A3 z(+)

y(+)

O

Az

Ay

Ay

Δ’

y(+)

x(+) Bx

B2

B3

z(+)

y(+)

O

Bz

By

By

Δ’

x(+) Cx

C1

C3

z(+)

y(+)

O

Cz

Cy

Cy

C2

Δ

Δ’

x(+) Dx

D2

D3 z(+)

y(+)

O

Dz

Dy

Dy

Δ’

y(+)

x(+) Ex

=E2

E3

z(+)

y(+)

O

Ez=Ey

E1

Δ Δ’

a)

d)

c)

e)

b)

y(+)

y(+)

y(+)

By

Ey