các phép biến đổi đồ họa kỹ thuật (free)

Đặt vấn đề: Mục đích của các phép biến đổi là đưa các yếu tố hình học ở vị trí tổng quát về vị trí đặc biệt để thuận lợi cho việc giải các bài toán.. Tìm độ lớn thật và góc nghiêng của

Bài 4

Các phép biến đổi

Đồ họa kỹ thuật

Đặt vấn đề:

Mục đích của các phép biến đổi là đưa các yếu tố hình học ở vị trí tổng quát về vị trí đặc biệt để thuận lợi cho việc giải các bài toán

Dưới đây là một số phương pháp biến đổi.

I- Thay mặt phẳng hình chiếu

1- Thay một mặt phẳng hình chiếu

a) Thay mặt phẳng П 1 thành mặt phẳng П’ 1

Điều kiện:

* Xây dựng phép thay mặt phẳng hình chiếu:

là (A1 , A2).

( Chiều quay xác định như trên hình 4.1)

- Ta nhận được đồ thức của điểm A trong hệ thống

*Tính chất:

Gọi A’x ≡ A’1A2 ∩ x’

vuông góc với x’

2 1

' ⊥ ∏

∏

A1

A’1 A’x

Π1

Π2

Π 2

Π’1

Hình 4.1.a,b Thay mặt phẳng П 1 thành mặt phẳng П’ 1

a)

b)

x

Π1

Π2

A1

A’1

A2

Π’1

A’x

x’

Ax

Ví dụ 1: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2,B2)

Tìm độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng

AB đối với П2

Giải:

Dựa vào tính chất của đường mặt

- AB đã cho ở vị trí bất kỳ

- Thay П1 thành П’1 sao cho trong hệ thống mới

(П’1, П2) đoạn thẳng AB là đường mặt

Khi đó hình chiếu đứng mới A’1B’1 là độ lớn

thật của AB và A’1B’1,x’ = φ là góc giữa AB với П2

- Để thực hiện:

+Chọn x’//A2B2

+Tìm A’1B’1 (dựa vào tính chất)

A1

A2 x’

A’1 A’x

Π1

Π2

Π 2

Π’ 1

B1

B2

B’1 B’x

Bx

φ

ĐLT: AB

Hình 4.2 Ví dụ: Tìm độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng AB đối với П 2

b) Thay mặt phẳng П 2 thành mặt phẳng П’ 2

Điều kiện:

Cách xây dựng như thay П1 thành П’1

* Bài toán: Cho điểm A (A1,A2)

Hãy tìm hình chiếu mới của điểm A trong

phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành П’2

biết trước trục x’ là giao của П’2 với П1 (Hình 4.3)

*Tính chất:

- Trên hệ thống mặt phẳng hình chiếu mới (П1, П’2)

+ A1A’xA’2 cùng nằm trên một đường dóng

vuông góc với x’

+ A’xA’2 =AxA2

1 2

∏

A1

A2

Π1

Π2

x’

A’2 A’x

Π 1 Π’2

Hình 4.3 Thay mặt phẳng П 2 thành П’ 2

Ví dụ 2:

Tìm hình dạng độ lớn thật của tam giác ABC

được cho trên đồ thức (Hình 4.4)

Giải:

Dựa vào tính chất của mặt phẳng đồng mức

- (ABC) đã cho là mặt phẳng chiếu đứng

- Thay mặt phẳng П2 thành П’2 sao cho П’2 //(ABC)

Muốn vậy, chọn trục hình chiếu x’// A1B1C1

Tìm A’2B’2C’2?

- Kết quả ΔA’2B’2C’2 là hình dạng độ lớn thật

của ΔABC

Π1

Π2

C1

C2

x

A2

B2

B1

A1

x’

A’2

A’x

Π 1 Π’2

B’2

C’x

Hình 4.4.Tìm hình dạng thật của tam giác ABC

2- Thay hai mặt phẳng hình chiếu

a) Thay mặt phẳng П 1 thành mặt phẳng П’ 1

rồi thay П 2 thành П’ 2

Điều kiện:

Bài toán: Cho điểm A (A1,A2)

Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm

A trong phép thay mặt phẳng hình chiếu

П1thành П’1 rồi П2 thành П’2, biết trước

trục x’ là giao của П2 với П’1, trục x” là

giao của П’1 với П’2 (Hình 4.5)

Giải:

- Tìm A’ 1 : A’1A2 ⊥ x’ ; A’xA’1=AxA1

- Tìm A’ 2 : A’2A’1 ⊥ x” ; A’xA”2=AxA’2

1 2

2 1

' '

'

∏

⊥

∏

∏

⊥

∏

A1

Hình 4.5 Thay mặt phẳng П 1 thành П’ 1

rồi thay П 2 thành П’ 2

A1

A2

x’

A’1 A’x

Π1

Π2

Π 2

Π’ 1 x’’

A’2 A”x

Π’2 Π’ 1

Ví dụ 3: Cho đoạn thẳng AB (A1B1,A2B2)

Bằng phương pháp thay mặt phẳng hình

chiếu hãy đưa đoạn thẳng AB về vị trí là

đường thẳng chiếu bằng trong hệ thống

mới.(Hình 4.6)

Giải:

- Thay П1thành П’1 để trong hệ thống

(П’1,П2), AB là đường mặt

+ Muốn vậy, chọn trục x’//A2B2

+ Tìm A’1B’1?

(Độ cao điểm A âm)

- Thay П2 thành П’2 để trong hệ thống

(П’1,П’2), AB là đường thẳng chiếu bằng

+ Muốn vậy, chọn trục x”⊥A’1B’1

+ Tìm A’2B’2?

A1

A2

x

Π1

Π2

Π 2

Π’ 1

B1

B2

B’1 B’x

Bx

Π’ 1

Π’2

x’’

A”x ≡ B”x

A’2 ≡ B’2

Hình 4.6 Ví dụ 3

Độ cao âm

A’1

b) Thay mặt phẳng П 2 thành mặt phẳng П’ 2

rồi thay П 1 thành П’ 1

Điều kiện:

Thực hiện phép thay tương tự như mục a)

Bài toán: Cho điểm A (A1,A2)

Hãy tìm các hình chiếu mới của điểm A

trong phép thay mặt phẳng hình chiếu П2 thành

П’2 rồi П1 thành П’1, biết trước trục x’ là giao

của П’2 với П1, trục x’’ là giao của П’1 với П’2

(Hình 4.7)

Giải:

Tìm A’ 2 : A1A’2 ⊥ x’ ; A’xA’2=AxA2

Tìm A’ 1 : A’1A’2 ⊥ x” ; A’’xA’1=A’xA1

2 1

1 2

' '

'

∏

⊥

∏

∏

⊥

∏

A1

x

Ax

A2

Π1

Π2 x’

A’2

A’x

Π 1 Π’2

x’’

A’1 A’’x

Π’1 Π’ 2

Chú ý: Không nhầm độ cao A 1 A’ x với A 1 A x Hình 4.7 Thay mặt phẳng П 2 thành П’ 2

rồi thay П 1 thành П’ 1

Ví dụ 4:

Tìm hình dạng, độ lớn thật của tam giác

ABC được cho trên đồ thức.(Hình 4.8)

Giải:

- Thay П2 thành П’2 sao cho trong hệ

thống(П1, П’2) thì (ABC) là mặt phẳng

chiếu bằng

Muốn vậy, vẽ đường mặt Af

Chọn trục x’⊥A1f1

Tìm A’2B’2C’2?

- Thay П1 thành П’1 sao cho trong hệ

thống(П’1, П’2) thì (ABC) là mặt

phẳng mặt

Muốn vậy, chọn trục x’//A’2B’2C’2

Tìm A’1B’1C’1?

- Ta có A’1B’1C’1là hình dạng, độ lớn

thật của tam giác ABC

Π1

Π2

C1

C2

x

A2

B1

A1

A’2 A’x

Π’2Π’1

B’2 B’x

C’2 C’x

B2

C’1

A’1 B’1

x’’

x’

Ax

B”x

A”x

C”x

Π

’ 2

Π 1

Hình 4.8 Ví dụ 4: Tìm hình dạng thật của tam giác ABC

f2

f1

11

12

II- Phép quay quanh trục

1- Phép quay quanh đường thẳng chiếu

a) Phép quay quanh đường thẳng chiếu bằng

điểm A sau khi quay điểm A quanh đường thẳng t một

góc φ cho trước (Hình 4.9)

Mô tả:

Trên đồ thức: α1 qua A1, α1//x.

Khi A quay quanh t đến A’ thì AOA’= φ,

A2OA’2= φ Ta có: A’1 ∈ α1

Có 2 vị trí A’ và A”.

Π1

x

A1

A

α

Π2

A2

A’1

A’

A’2

φ

φ

t

O

≡O2.

O1

A1 x

A2

O1

≡ O2

A’2

A’1

t1

φ

Hình 4.9 Phép quay quanh đường thẳng chiếu bằng

α

1

( C)

A”2 A”2

φ

α

1

R

t2

t2 ( C 2 )

b) Phép quay quanh đường thẳng chiếu đứng

(Tương tự như phép quay quanh đường

thẳng chiếu bằng)

Ví dụ: Tìm độ lớn thật và góc nghiêng của

đoạn thẳng AB với П2 (Hình 4.10)

Giải:

Quay AB quanh đường thẳng chiếu bằng t

đến vị trí AB là đường mặt

Chọn t qua B, ⇒ t1 qua B1, t2 ≡ B2

Khi quay quanh t thì B cố định:

⇒ B’1 ≡ B1 ; B’2 ≡ B2

Quay A quanh t đến A’ sao cho A’B’//П1

⇒ A’2B’2//x

⇒A’1∈α1

Ta có kết quả:

+ A’1B’1 là độ lớn thật của AB

+ A’1B’1, x = AB, П2 = φ

A1 x

A2

O1

B2

A’2

A’1

t1

B1

φ

ĐL T: AB

Hình 4.10 Ví dụ tìm độ lớn thật và góc nghiêng của đoạn thẳng AB với П 2

α

1

B’2 ≡

B’1 ≡

≡ t2

2- Phép quay quanh đường thẳng đồng mức

a) Phép quay quanh đường bằng

Bài toán: Cho đường bằng h(h1,h2) và điểm A (A1,A2)

Hãy tìm hình chiếu A’(A’1,A’2) của điểm A sau khi quay

điểm A quanh đường bằng h tới vị trí A’ có độ cao bằng độ

cao của đường bằng h (Hình 4.11)

Mô tả:

đường tròn ( C) có tâm O ∈ h, bán kính R=OA là khoảng cách

từ A đến h và ( C) ∈ (α) ; (α) ⊥ h ⇒ ( α) ⊥ П2.

Do đó trên hình chiếu bằng A 2∈ α2.

Khi đến vị trí A’ có độ cao bằng độ cao của đường bằng h

thì A’ ∈ (φ) là mặt phẳng bằng chứa h (φ1 ≡ h1).

Trên hình chiếu đứng A’1∈ φ1.

Mặt khác, OA’// П 2 ⇒ O2A’2=OA=R (khoảng cách thật từ A đến h)

Thực hiện :

Qua A2 vẽ α2⊥ h2, gọi O2 ≡ h2 ∩ α2 ,O1∈ h1

Tìm độ lớn thật của OA.

Lấy O2 làm tâm quay cung tròn bán kính R=OA cắt α2 tại A’2

Ta có A’1∈ h1

Bài toán có hai nghiệm: A’2 và A*2 ⇒ A’1∈ h1, A*1∈ h1

Hình 4.11 Phép quay quanh đường bằng

Π1

Π2

A’1

x

A1

A2

h 1

h 2

A*1

A’2

A*2

O2

α 2

x

A’

A

h 1

h

α

A*2

h 2

A*

A’2

A2

O2 O ( C)

α2

φ

≡ φ1

ĐLT: OA

Ví dụ: Tìm hình dạng độ lớn thật tam giác

ABC được cho trên đồ thức.(Hình 4.12)

Giải:

- Quay mặt phẳng (ABC) quanh đường bằng Bh

để mặt phẳng (ABC) trở thành mặt phẳng bằng

của tam giác đó

mặt phẳng (ABC)

- Xoay điểm C quanh đường bằng Bh:

+ Qua C2 vẽ α2 ⊥ B2h2 Gọi O2 ≡ h2 ∩ α2

R=O2C, cung tròn cắt α2 tại C’2

- Qua A2 vẽ β2 ⊥Β2h2 Kéo dài C’2D2 cắt β2 tại A’2.

- ∆ A’2B’2C’2 là độ lớn thật của ∆ ABC.

h 1

h 2

Δz

A*2

A1

B1

C1

B2

A2

C2

D1

D2

C*2 B’2≡

A’2

C

O2

Hình 4.12 Tìm độ lớn thật của tam giác ABC

C’2

α 2

β 2

ĐL T:

OC