Mặt phẳng đồ họa kỹ thuật (free)

Mặt phẳng có hai vết cắt nhau tại αx∈x Hình 3.3a,b hoặc mặt phẳng có vết song song với trục x Hình 3.3c - Thông thường người ta chỉ thể hiện vết đứng và vết bằng của mặt phẳng - Để c

Bài 3 Măăt phẳng

Đồ họa kỹ thuật

Chú ý:

Từ cách xác định mặt phẳng này có thể chuyển đổi thành

cách xác định khác Do đó phương pháp giải bài toán không

phụ thuộc vào cách cho mặt phẳng

- Ta có thể cho mặt phẳng bởi các vết của nó Mặt phẳng có hai vết cắt nhau tại

αx∈x (Hình 3.3a,b) hoặc mặt phẳng có vết song song với trục x (Hình 3.3c)

- Thông thường người ta chỉ thể hiện vết đứng và vết bằng của mặt phẳng

- Để chỉ vết đứng và vết bằng của mặt phẳng người ta có thể dùng ký hiệu m1, m2

vì α x , N 2 , N’ 2 thẳng hàng

∈( ) A B C m

x

nα ⊥

III- Các mặt phẳng có vị trí đặc biệt (đối với mặt phẳng hình chiếu)

x

β 2

Chú ý: nβ là hình chiếu bằng của mặt phẳng chiếu bằng (β) nên thường thay nβ bởi β2

3

) ( γ ⊥ ∏

γ

∈

⇔ γ

y

x

A3z

=

−pγ,z , 1

x//

n ,x//

=

−pγ,y , 2

γ

x //

B A )

ABC C

B A )

Hình 3.9 Mặt phẳng mặt

nβ

−

β 2

ABC C

B A )

( ABC ∈ ⇔ 3 3 3 =

x n

(γ) vừa là mặt phẳng chiếu đứng vừa là mặt phẳng chiếu bằng

) ( //

)

(

γ

γ γ

Chú ý:

IV- Đường thẳng và điểm thuộc mặt phẳng (bài toán liên thuộc)

1- Bài toán cơ bản 1

Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I, một đường thẳng l thuộc mặt phẳng (α) đó Biết hình chiếu đứng l 1 , tìm hình chiếu bằng l 2 (Hình 3.11)

Hình 3.11 Bài toán cơ bản 1

2- Bài toán cơ bản 2

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(a,b), a cắt b tại I,

(bài toán cơ bản 1)

- K2 ∈ l 2 (Điểm thuộc đường thẳng)

Hình 3.13 Bài toán cơ bản 2

V- Các đường thẳng đặc biệt của mặt phẳng

* Định nghĩa: Đường bằng của mặt phẳng là đường thẳng thuộc mặt phẳng đó và

song song với mặt phẳng hình chiếu bằng П2

Ví dụ: Cho mặt phẳng (α) và h là đường bằng của (α) Khi đó h∈(α) và h//П2.(Hình 3.15)

Hình 3.15 Đường bằng của mặt phẳng

Ví dụ:

Cho mặt phẳng α (a,b), trong đó a//b

Vẽ đường bằng h thuộc (α) sao cho

- Tìm h2 : bài toán cơ bản thứ nhất

Hình 3.16 Ví dụ đường bằng của mặt phẳng

2- Đường mặt của mặt phẳng

*Định nghĩa: Đường mặt của mặt phẳng là đường thẳng thuộc mặt phẳng đó và

song song với mặt phẳng hình chiếu đứng

Ví dụ: Cho mặt phẳng (α) và f là đường mặt của (α) Khi đó f∈(α) và f//П 1 (Hình 3.17)

Hình 3.17 Đường mặt của mặt phẳng

Π1

f 1 // m α

f 2 f

3- Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu

a) Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu bằng

*Định nghĩa: Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu bằng là

đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó và vuông góc với đường bằng của mặt phẳng

Ví dụ: Cho mặt phẳng (α) và d là đường dốc nhất của (α) đối với П2

Khi đó d∈(α) và d⊥h (h là đường bằng thuộc (α)) (Hình 3.18)

Hình 3.18 Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu bằng

b) Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu đứng

*Định nghĩa: Đường dốc nhất của mặt phẳng đối với mặt phẳng hình chiếu đứng là

đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó và vuông góc với đường mặt của mặt phẳng

Ví dụ: Cho mặt phẳng (α) và d là đường dốc nhất của (α) đối với П1

Khi đó d∈(α) và d⊥f (f là đường mặt thuộc (α)) (Hình 3.19)

c) Ví dụ:

Cho α(ABC) xác định góc nghiêng

- Tìm góc tạo bởi đường dốc nhất CD với П2:

Góc φ tìm được là góc tạo bởi mặt phẳng

VI- Vi trí tương đối của hai mặt phẳng

1- Hai mặt phẳng song song

a) Định nghĩa:

Hai mặt phẳng song song là hai

mặt phẳng không có điểm chung nào

b) Định lý:

Nếu trong mặt phẳng này có chứa

hai đường thẳng cắt nhau tương ứng

song song với hai đường thẳng cắt nhau

dể dựng hai mặt phẳng song song.

Hình 3.22 Ví dụ 1: Qua I dựng mặt phẳng (β)//α(ABC)

K1

J1

J2

K2

2- Hai mặt phẳng cắt nhau

Vấn đề đặt ra: Vẽ giao tuyến của hai mặt phẳng

Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước

1 g )

(

) (

∏

⊥ α

Hình 3.25 Vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước Cho α(α 1 ) , β(β 1 )

Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước

Hình 3.26 Vẽ giao tuyến g của hai mặt

phẳng (α) và (β) cho trước

Cho α(α 1 ) ,β(ABC)

α 1

Hình 3.27 Vẽ giao tuyến g của hai mặt

phẳng (α) và (β) cho trước

Bái toán: Hãy vẽ giao tuyến g của hai mặt phẳng (α) và (β) cho trước

Ví dụ 5: Cho α(m α ,n α ) , β(m β ,n β ) (Hình 3.28)

Đây là trường hợp tổng quát, chưa biết hình chiếu nào

của giao tuyến Ta phải tìm hai điểm chung phân biệt

- g1 đi qua các điểm M1 và N1

- g2 đi qua các điểm M2 và N2

Ví dụ 6: Cho α(a,b) , β(c,d), a∩b=I, c//d.

Giải:

Dùng phương pháp mặt phẳng phụ (Hình 3.29)

Giả sử cho hai mặt phẳng (α), (β).

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng đó

bằng phương pháp mặt phẳng phụ như sau:

Dựng đường thẳng g đi qua J và J’ thì g≡ (α) ∩ (β).

Hình 3.29 Phương pháp mặt phẳng phụ

Chú ý:

(φ) và (φ’) là các mặt phẳng chiếu Lấy (φ’) // (φ) thì k’//k, l’//l

Ví dụ 6: Cho α(a,b) , β(c,d), a∩b=I, c//d.

Hình 3.30 Vẽ giao tuyến g của mặt phẳng α(a,b) và β(c,d) bằng phương pháp mặt phẳng phụ

g 1

g 2

k 1

k 2 k’ 1

k’ 2

l 1

l 2 l’ 1

l’ 2

VI- Vi trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

1- Đường thẳng và mặt phẳng song song

a) Định nghĩa:

Một đường thẳng được gọi là song song với một mặt phẳng khi đường thẳng

và mặt phẳng đó không có điểm chung nào.(Hình 3.31)

b) Định lý:

Điều kiện cần và đủ để một đường thẳng song song với một mặt phẳng là

đường thẳng đó song song với một đường thẳng thuộc mặt phẳng

Bài toán: Hãy tìm giao điểm của đường thẳng l và mặt phẳng (α)

Ví dụ 2: Cho l vuông góc với П1 , mặt phẳng α(a,b) (Hình 3.34)

Hình 3.34 Ví dụ tìm giao điểm của

đường thẳng và mặt phẳng

+ Lấy mặt phẳng (φ) chứa đường thẳng l

+ Tìm giao tuyến g của (φ) và (α)

Trên hình chiếu đứng P 1 l cao hơn P 1 BC ⇒

trên hình chiếu bằng P 2 l thấy, P 2 BC khuất

⇒ P 2 l K 2 thấy.

- Xét cặp điểm đồng tia chiếu (11,12) (11l,12l )

Trên hình chiếu bằng: 12xa hơn 12l ⇒

trên hình chiếu đứng : 11 thấy, 11l khuất ⇒

VII- Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc

1- Định nghĩa

Một đường thẳng được gọi là vuông góc với một

mặt phẳng khi đường thẳng đó vuông góc với tất cả

các đường thẳng nằm trong mặt phẳng (Hình 3.38.a)

2- Định lý

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường

thẳng cắt nhau của một mặt phẳng thì đường thẳng

đó vuông góc với mặt phẳng (Hình 3.38.b)

3- Chuyển sang đồ thức

- Dựa vào định lý, ta chọn hai đường thẳng cắt nhau

của mặt phẳng là đường đồng mức (đường bằng, đường

mặt, đường cạnh)

- Nếu mặt phẳng không phải mặt phẳng chiếu cạnh mà

cho bởi vết đứng, vết bằng, thì ta dùng hai đường thẳng cắt

nhau của mặt phẳng chính là vết đứng và vết bằng đó

)(a)

l

Hình 3.38 Đường thẳng và mặt phẳng vuông góc

4- Ví dụ:

Ví dụ 1: Cho mặt phẳng α(ABC), I(I 1 , I 2 )

Tìm hình chiếu vuông góc H(H 1 , H 2 ) của điểm

(Bài toán giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng)

Ta có : H là hình chiếu vuông góc của điểm I lên

≡ g

1

Ví dụ 3: Cho mặt phẳng α(m α ,n α )

Đường thẳng a(a 1 ,a 2 )

Hãy dựng mặt phẳng (β) sao cho (β) đi

qua a và vuông góc với (α) (Hình 3.41)

Định lý: Điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng

vuông góc với nhau là trong mặt phẳng này có

chứa một đường thẳng vuông góc với mặt