Bài giảng Phương pháp tính

PSai số phương pháp: Do các phương pháp giải gần đúng nên trong tính toán luôn có các sai số do phương pháp đem lại.. Bài 3.1 Đa thức nội suy LagrangeFNhược điểm của đa thức nội suy Lagr

ü Giải gần đúng phương trình phi tuyến

ü Giải gần đúng hệ phương trình đại số tuyến tính

ü Giải gần đúng phương trình vi phân thường, phương trình vi phân đạo hàm riêng

p Ta nói a là số gần đúng của a*, nếu a không sai khác a*nhiều

p Giả sử một đại lượng có giá trị chính xác là a*, giá trị gần đúng

là a Khi đó:

PĐại lượng r:= |a – a*| được gọi là sai số thật sự của a

Do không biết a*=> không biết r

P Đại lượng ra thõa mãn:

được gọi là sai số tuyệt đối của a => ra càng nhỏ càng tốt

PSai số tương đối:

8

Bài 1.1: Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

a a a

D

=

p Ví dụ 1: Giả sử

p Nhận xét: Sai số tương đối rất quan trọng vì nó phản ánh độ

chính xác của phép đo, và phép đo này chính xác hơn phép đo

kia hay không

F Ví dụ 2: Đo độ dài 2 vật A=1m, B=10m với cùng sai số tuyệt

đối là 0,1m; sai số tương đối lần lượt là

=> phép đo vật B chính xác hơn phép đo vật A 10 lần, mặc dù sai

Bài 1.1: Sai số tuyệt đối và sai số tương đối

p Thu gọn một số a là bỏ đi một số các chữ số bên phải a để được

một số mới ngắn gọn hơn và gần đúng với a nhất.

p Mọi số thỏa mãn được gọi là sai số thu gọn của a.

Nhận xét: Sau khi thu gọn, sai số tuyệt đối tăng lên lượng bằng

=> Chứng minh????

12

Bài 1.2: Sai số thu gọn

1) 1,23567 1,2357 1,236 1,24 1,2 1 2) 1,2354 1,235 1,24 1,2 1

3) 1,2452 1,245 1,24 1,2 1

a b c

p Trong tính toán ta thường gặp 4 loại sai số sau:

PSai số giả thiết: Do lí tưởng hóa, mô hình hóa bài toán thực tế Sai số này không trừ được

PSai số phương pháp: Do các phương pháp giải gần đúng nên trong tính toán luôn có các sai số do phương pháp đem lại Mỗi phương pháp có các sai số đặc trưng của nó

PSai số do số liệu: xuất hiện do đo đạc và việc cung cấp giá trị đầu vào không chính xác

PSai số tính toán: xuất hiện do làm tròn các thông số trong quá trình tính toán

16

Bài 1.4: Sai số tính toán

p Bài toán thuận về sai số: là bài toán tìm sai số của kết quả khi

biết sai số của các số liệu ban đầu

các giá trị đúng và gần đúng của đối số và số Giả sử hàm f khả

vi liên tục Khi đó

Ø Sai số tuyệt đối:

Bài 1.4: Sai số tính toán

1 2( , , , )n

p Sơ đồ Horner tính giá trị đa thức

Bài toán: Cho đa thức bậc n có dạng tổng quát

Tính giá trị đa thức tại x = c, tức là cần tính P(c), với c là giá

i = 0,1,2, ,n

P = P*c + aiPrint P End

p Sơ đồ Horner tổng quát

Bài toán: Cho đa thức bậc n có dạng tổng quát

Xác định P(y+c), với y là biến mới, c là giá trị cho trước.

p Sơ đồ Horner tổng quát

29

Bài 2.1: Sơ đồ Horner và áp dụng

p Đạo hàm đến cấp n tại điểm x=c:

Theo công thức Taylor:

( )

!

i n

i i

Xét hàm y=f(x) trên [a, b] và cho trước bảng giá trị

­ Tỷ sai phân cấp 1 của hàm f:

­ Tỷ sai phân cấp 2 của hàm f:

­ Tỷ sai phân cấp n của hàm f:

-Bài 2.2: Sai phân của hàm số thực

­ Sai phân cấp 1 của hàm f:

­ Sai phân cấp 2 của hàm f:

­ Sai phân cấp n của hàm f:

p Các tính chất của sai phân:

p Bài 2: Cho hàm y=f(x) với bảng giá trị:

Lập bảng tỷ sai phân các cấp của f

p Bài 3: Cho hàm y=f(x) với bảng giá trị:

Ø Bài toán xây dựng hàm Pn(x) đƣợc gọi là bài toán nội suy.

Ø Hàm Pn(x) đƣợc gọi là hàm nội suy của f(x) trên [a, b]

Ø Các điểm đƣợc gọi là các mốc nội suy

p Định lý: Đa thức nội suy Pn(x) của hàm f(x) đƣợc xây dựng từ

các mốc nội suy trên (nếu có) là duy nhất

Bài 3.1 Đa thức nội suy Lagrange

p Cho trước n+1 điểm mốc: (x0,y0),(x1,y1),…, (xn,yn)

p Đa thức nội suy Lagrange là đa thức Pn(x) có bậc không quá n

và nhận các giá trị y0, y1, y2, …,yn theo công thức

p Với n=1 (có 2 mốc nội suy)

-Bài 3.1 Đa thức nội suy Lagrange

Ví dụ 3.1: Xây dựng đa thức nội suy Lagrange cho hàm y=sin(px) rồi tính gần đúng sin(p/5) với các mốc nội suy cho trong bảng:

-Thay x=1/5 vào P 2 (x) tìm được , ta có sin( /5) P 2 (1/5)=0,58

Bài 3.1 Đa thức nội suy Lagrange

§ Ví dụ 3.2: Tìm đa thức nội suy Lagrange đối với hàm y=f(x)

i i i

=

-Ta có: f(0,2) » P3(0,2)=0,15

Bài 3.1 Đa thức nội suy Lagrange

p Ví dụ 3.3: Xây dựng đa thức nội suy Lagrange từ bảng số liệu sau:

Bài 3.1 Đa thức nội suy Lagrange

FNhược điểm của đa thức nội suy Lagrange:

Khi thêm vào một mốc nội suy, ta phải tính lại từ đầu!!!

49

Bài 3.2 Đa thức nội suy Newton

Hạn chế của đa thức nội suy Lagrange:

n Mỗi khi thêm mốc nội suy, ta phải tính lại toàn bộ đa thức

n Đa thức nội suy Newton khắc phục hạn chế này

50

3.2.1 Đa thức nội suy Newton với các mốc

bất kỳ

], ,,[)) (

)(

(

],,[))(

(],[)(

)(

)

(

1 0 1 1

0

2 1 0 1 0

1 0 0 0

n n

n

x x x f x x x x x x

x x x f x x x x x x f x x x f

x

P

++

-

-+-

+

=

51

Đa thức nội suy Newton tiến xuất phát từ x0là:

Cho các mốc nội suy sắp xếp theo thứ tự tăng dần

và tỷ sai phân các cấp của hàm f(x)

a x= < <x <x =b

Tương tự, đa thức nội suy Newton lùi xuất phát từ xnlà:

] , , , [ ) ) (

)(

(

] , , [ ) )(

( ] , [ ) ( ) (

)

(

0 1 1

1

2 1 1

1

x x x f x x x

x x x

x x x f x x x x x

x f x x x

f

x

P

n n n

n

n n n n n

n n n n

n

-

- -

-

+ +

-

-+ -

)(

( ) ( )

Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ

0 1

0 0 1/ 6 1/ 2 [ , ] 3 1/ 2 1 [ , ] 3 / 2 [ , , ] 3

§ Ví dụ 3.5: Xây dựng đa thức nội suy theo phương pháp newton

cho hàm y=sin(px) với các mốc nội suy cho trong bảng:

Đa thức nội suy Newton với các mốc bất kỳ

Ví dụ 3.6: Xây dựng đa thức nội suy Newton từ bảng số liệu sau:

Đa thức nội suy Newton tiến-các mốc cách điều

Ví dụ 3.8: Cho hàm y=f(x) xác định bởi bảng:

57

Tính gần đúng f(4/3) bằng đa thức nội suy Newton

Giải: Nhận thấy các mốc nội suy cách đều nhau khoảng h=1

Khi đó, hiệu gọi là sai số của phép nội suy

Để đánh giá sai số này, giả sử hàm f(x) khả vi đến cấp n+1 trên [a,b]

Ví dụ 3.9: Cho hàm y=sin(px), dùng đa thức nội suy Lagrange

tính gần đúng sin(p/5), đánh giá sai số Biết các mốc nội suy:

Giải: Đa thức nội suy Lagrange tìm đƣợc: P x x x

2

7 3 )

2 = - +

2 2

Bài 3.3 Chọn mốc nội suy tối ưu

p Với công thức đánh giá sai số

-=

Thì đoạn [a;b] chuyển thành [-1;1]

Nên các mốc nội suy trên [a;b] đều có thể chuyển về các mốc nội suy trên [-1;1]

Chọn mốc nội suy tối ưu

1

|)(max] 1

; 1

1 2

Chọn mốc nội suy tối ưu

Trường hợp 1: Các các mốc nội trong [-1, 1], khi đó các mốc nội

suy được chọn là nghiệm của Tn+1(x) :

n i

n

i

)1(2

)12(

Chọn mốc nội suy tối ưu

Trường hợp 2: Trường hợp các mốc nội suy được chọn trong [a, b] bất kỳ Đặt:

+ +

'' 0 0

2

)())(

(')()

-2 '' 0

0

)()

(')()

f ( ) ( 0 ) ( 0)0

f x R

22

)()( 0 = '' £

01 , 9 001 , 0

2 009 , 2 001

, 0

) 1 ( ) 001 , 0 1 ( ) 1

05,24

|)1(

3.5 Tính gần đúng đạo hàm

p Áp dụng đa thức nội suy

)()!

1(

)()

ø

öçç

è

æ

+

c f x R

) (' )

( )

(' x P' x R x

f = n + Þ

) ( )

( )

Giải: Áp dụng công thức nội suy Lagrange hoặc công thức nội suy

Newton, ta thu đƣợc đa thức nội suy bảng dữ liệu trên:

P Hoặc f(x) đã biết nhƣng tính toán phức tạp

ÞThay vì tính đúng, tính gần đúng sẽ đơn giản hơn

( x dx F b F a f

=

n

x x

b a

x x

x x

dx x f dx

x f dx x f dx x f I

)()

()

»

]) , [ ) (

( )

( )

i

i

i i

i i

x

x

x x

2

1 0

2

1)

x x

x

dx I

b dx

x I a

Với phân hoạch [1,5] thành n=4 phần bằng nhau Đánh giá sai số

Giải: a) Bảng giá trị

Phân hoạch [a,b] thành n=2m đọan con bằng nhau: a=x0<x1<……<x2m=b

3.6.2 Công thức Simpson 3.6.3 Công thức Newton-Cotes

p Giả sử cần tính tích phân

p Chia [a,b] thành n phần bằng nhau với khoảng cách

( )

b a

b a

trong đó F =( )t f a b a t+ -( )

b a h n

y y

P =P = Þ f x dx» b a- æç y + y ö÷= b a- æç + ö÷

òĐây chính là công thức hình thang (địa phương)

b a

01

dx I

x

=+

ò

Ví dụ: đánh giá sai số khi dùng CT Simpson tính

3.6.4 Sai số và cách chọn bước

p Tiến hành tính 2 lần để kiểm tra độ chính xác (tính kép):

+Tính tích phân với bước h nào đó, cho kết quả In

+Tính lại theo công thức đó với bước h/2 (tăng n gấp đôi), kết quả I2n

wNếu I n -I2n < thì lấy

wNếu I n -I2n ³ thì tiếp tục lặp lại với bước h/4

èBước h đầu tiên thường được chọn cỡ , trong đó, m=2 với ct

hình thang, và m=4 với ct Simpson

BÀI TẬP CHƯƠNG III

89

BÀI TẬP CHƯƠNG III

p Bài 5: Sử dụng công thức nội suy Lagrange, tính gần đúng

(hàm y=sinx) với các mốc nội suy

Ước lượng sai số

chia là 1; 1,6; 2,2; 3,1; 4 bằng ct hình thang và ct Simpson

p Bài 7: Tính gần đúng tích phân bằng công thức hình

thang và công thức simpson với 10 đoạn chia; Đánh giá sai số

90

4 1

x

= +

ò

sin 12

CHƯƠNG 4

Bài 4.1 Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm

q Nghiệm của phương trình:

vNếu f( ) = 0 thì là 1 nghiệm của phương trình f(x) = 0

vÝ nghĩa hình học của nghiệm:

- Các nghiệm của phương trình f(x) = 0 là hoành độ giao điểm của đường cong (C): y = f(x) với trục hòanh

4.1 Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm

Có thể biến đổi phương trình f(x) = 0 về dạng g(x) = h(x)

Khi đó nghiệm của f(x)=0 là các hoành độ giao điểm của 2

đường cong (C1): y=g(x) và (C2): y=h(x)

4.1 Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm

q Khoảng phân ly nghiệm:

Khoảng [a,b] nào đó được gọi là khoảng phân ly nghiệmcủa phương trình f(x)=0 nếu nó chứa 1 và chỉ 1 nghiệm của phương trình đó

Ví dụ 1.1: Trên (-2, -1) phương trình x3-3x+1=0 chỉ có duy 1 nghiệm Þ (-2,-1) là một khoảng phân ly nghiệm

Định lý: Nếu f(x) khả vi liên tục trên trên [a,b], f’(x) không

đổi dấu trên (a,b), và f(a).f(b)<0 thì f(x) có duy nhất một nghiệm trên (a,b)

4.1 Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm

f’(x)>0 f(a)<0 f(b)>0

f’(x)<0 f(a)>0 f(b)<0 f’(x)<0 f(a)>0

f(b)<0

4.1 Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm

Ví dụ 1.2: Xét hàm f(x) = x3-3x+1

Ta có: f’(x) = 3x2– 3=0 Û x = -1 hoặc x = 1Bảng xét dấu f’(x)

f’(x)>0, "x Î (-2,-1) hơn nữa f(-2) f(-1)=(-1).(3)=-3<0Vậy (-2, -1) là một khoảng phân ly nghiệm

Tương tự, (-1,1) và (1,2) cũng là các khoảng phân ly nghiệm

x f’(x) + 0 - 0 +

4.1 Nghiệm và khoảng phân ly nghiệm

Ví dụ 1.3: Tìm các khỏang phân ly nghiệm của phương trình

5x3- 19x + 3 = 0Xét f(x) = 5x3- 19x + 3

pTính f’(x) = 15x2– 19; f’(x) = 0 Û

19

; 15

0 +

Bài 4.2.Phương pháp chia đôi (Bisection)

Bài toán: Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của phương trình

f(x) = 0 Tìm nghiệm thực gần đúng của phương trình trong (a,b), sai số £ e

4.2 Phương pháp chia đôi

§ Nếu f(x0) ¹ 0 và sai số Dx0 > e thì xét dấu f(a).f(x0):

Nếu f(a).f(x0) < 0 thì khoảng phân ly nghiệm mới (a,x0 )

Nếu f(a).f(x0) >0 thì khoảng phân ly nghiệm mới (x0 ,b)

§ Lặp lại phương pháp chia đôi với khoảng phân ly nghiệm mới

§ Quá trình lặp lần lược cho ta các nghiệm gần đúng x0, x1,… Và

kết thúc khi tìm được xnvới sai số Dxn≤ e

4.2 Phương pháp chia đôi

Ví dụ 1: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x3+ 4x2 – 1=0 trên (0,1) theo phương pháp chia đôi với 5 lần lặp

Giải: Với f(x) = x3+ 4x2 -1, ta có f(0) = -1, f(1) = 4

=> (0,1) là khoảng phân ly nghiệm

Kết quả thực hiện của 5 lần lặp (với phương pháp chia đôi)

Nghiệm gần đúng tìm được là x » 0,46875

4.2 Phương pháp chia đôi

q Đánh giá sai số: Gọi a là nghiệm đúng Ta có:

11

-D

)(2

12

-D

Ưu nhược điểm của phương pháp

Ø Ưu điểm:Đơn giản, dễ lập trình.

Ø Nhược điểm: Hội tụ về nghiệm chậm.

4.2 Phương pháp chia đôi

Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x3 + 4x2 - 1 = 0 trên (0,1) với sai số £ e = 0,1 bằng phương pháp chia đôi

• x 0= (a+b)/2=(0+1)/2 =0,5;

Sai số: Dx0= ½*(b-a)=1/2=0,5 > e = 0,1 f(0).f(0,5) = -0,125 < 0 Þ Thay b = 0,5; a=0 (không đổi)

• x 1 = (a+b)/2=(0+0,5)/2 =0,25;

Sai số: Dx1= ½*(0,5-0)=0,25 > e = 0,1 f(0).f(0,25) = 0,73>0 Þ Thay a = 0,25; b=0,5 (không đổi)

• x 2 =(a+b)/2=(0,25+0,5)/2 =0,375;

Sai số:Dx2=½*(0,5-0,25)=0,125>e = 0,1 f(0,25).f(0,375) = 0,28>0 ÞThay a=0,375;b=0,5 (không đổi)

Giải thuật của phương pháp chia đôi

Bài toán: Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x)=0 Giả thiết f’(x), f’’(x) liên tục và ko đổi dấu trên (a, b) Tìm nghiệm thực gần đúng của f(x)=0 trên (a,b) với sai số£e cho trước

Nội dung của pp:

§ Thay cung AB bởi dây trương cung AB

AB cắt trục hoành tại điểm (x1,0).

§ Nếu |x1-a| £ e, x1: nghiệm gần đúng cần tìm.

§ Nếu không, lặp lại phương pháp dây cung với khoảng phân ly mới (x1,b) hoặc (a, x1) tùy theo tính chất của f(x)

-ü Nếu f(x1).f(a)<0 thì (a,x1) là khoảng phân ly nghiệm mới

ü Nếu f(x1).f(b)<0 thì (x1,b) là khoảng phân ly nghiệm mới

4.3 Phương pháp dây cung

4.3 Phương pháp dây cung

Để xây dựng công thức tính nghiệm, ta xét thêm tính tăng giảm và lồi lõm của đường cong f(x) Giả sử f’ và f’’ không đổi dấu trên (a,b)

4.3 Phương pháp dây cung

ü Từ 2 trường hợp trên, ta rút ra công thức tính nghiệm chung:

) ( ) (

) )(

(

d x x f x

x

n

n n n

-

-=+

Trong đó:

d=b, x0 = a nếu b là điểm Fourier

d=a, x0 = b nếu a là điểm Fourier

(3.3)

4.3 Phương pháp dây cung

Ví dụ: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình x 3 -3x+1=0 trên (1,5; 2) bằng phương pháp dây cung với 3 lần lặp (nghĩa là giá trị của nghiệm cần tìm lần lượt là x0, x1, x2và x3).

Giải:

Đặt f(x) = x 3 – 3x+1 f’(x)=3x 2 -3; f’(x)=0 Û x = -1 Ú x = 1 f’’(x) =6x; f’’(x)=0 Û x = 0;

Bảng xét dấu:

4.3 Phương pháp dây cung

Dựa vào bảng xét dấu, ta thấy:

))(

(

d x x f x

x

n

n n n

-

-=+

) 2 ( ) (

) 2 )(

(

0

0 0 0

-

-=

f x

f x x

f x x

? ) 2 ( ) (

) 2 )(

(

2

2 2 2

-

-=

f x

f x x

f x

x

) 2 ( ) (

) 2 )(

(

1

1 1 1

-

-=

f x f

x x f x

f x m

D £

Nếu có số m thoả: 0< m ≤ |f’(x)|, "xÎ[a,b]

Nếu có số M,m thoả 0< m ≤ |f’(x)| ≤M, "xÎ[a,b] thì sai số cũng có thể chọn là:

-4.3 Phương pháp dây cung

Ví dụ: Dùng phương pháp dây cung tìm nghiệm gần đúng của phương

trình 5x 3 -x 2 -x-1=0 với sai số không quá 0,02.

Công thức tính nghiệm:

Ta có m=min|f’(x)| =min| 15x 2 -2x-1 |=f’(0,5)=1,75 "x Î(0,5; 1,5) Vậy có thể chọn biểu thức đánh giá sai số:

ïî

ï í ì

-

-=

=

-

( ) ( ,1 5 )

) 5 , 1 )(

(

5 , 0

1

1 1 1

0

f x f

x x f x x x

n

n n n

n

( ) 1,75

n

n x

Giải thuật của phương pháp dây cung (TH x=a là điểm Fourier)

Bài toán: Giả sử (a,b) là khoảng phân ly nghiệm của phương

trình f(x)=0 Giả thiết f’(x), f’’(x) liên tục và không đổi dấu

trên (a, b) Tìm nghiệm thực gần đúng của f(x)=0 trên (a,b) với

sai số£e cho trước

4.1 Nội dung của pp:

- Thay đường cong f(x) trên

[a,b] bởi tiếp tuyến (T) với

đường cong tại điểm A hoặc

B, hoành độ giao điểm x1

của (T) với trục hoành xem

như nghiệm gần đúng của phương trình

4.4 Phương pháp tiếp tuyến (Phương pháp

Newton)

x1 b

(T) f(x)

(T0)

1

0

( )'( )

n

n n

n

n n

-4.4 Phương pháp tiếp tuyến:

p Kết luận: Từ 2 trường hợp, ta rút ra công thức tính nghiệm gần đúng xn+1theo xnlà:

) ('

)

(1

n

n

n f x

x f x

xn = +

-p Với:

n X0= a nếu a là điểm Fourier

n X0= b nếu b là điểm Fourier

4.4 Sai số của PP tiếp tuyến

§ Giả sử a là nghiệm đúng của phương trình m1, m2là các số thỏa điều

kiện 0<m1≤|f’(x)| và |f’’(x)|≤m2<+∞ Ta có:

2

) )(

(' ' ) )(

(' ) ( )

1 1

+

+

n n n n

x

f

2 1 2

2 1

1 1

1 1

1 1

) (

2 ) )(

(' ' 2

1 ) (

0 ) )(

(' ) ( ) ('

) (

-

-

-

-

-£ -

= Þ

= - +

Þ -

=

n n n

n n

n n n n

n

n n

n

x x m x

x c f x

f

x x x f x f x

f

x f x

x

n

x n

err < e F

T

x0= x1

Print x1 End

Giải thuật của PP tuyếp tuyến (2)

Bài toán: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x)=0 trên (a,b).

p Nội dung của pp: Biến đổi f(x) = 0 về dạng x = j(x) với j(x) liên tục trên (a,b) và |j’(x)| £ q < 1 "xÎ[a,b]

- Lấy x = x0 Î [a, b] làm nghiệm gần đúng ban đầu

- Tính x1= j(x0)

- Tính x2= j(x1)

- …

- Tính xn= j(xn-1) Nếu xnhội tụ về a khi n ® +∞ thì a là nghiệm đúng của phương trình Các xilà các nghiệm gần đúng