chuyên đề lượng giác ôn thi đh

Một số phương trình LG thường gặp... Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác: a.. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này t

LƯỢNG GIÁC

Phần 1: LÝ THUYẾT CƠ BẢN

1 Hệ thức LG cơ bản

2

2

sin

tan

1

tan 1

2 cos

k

k







2 2

tan cot 1

cos cot

sin 1 cot 1 sin

k

k









2 Công thức LG thường gặp

Công thức cộng:

sin sinacosb sinbcosa cos cos a cos b sinasinb

tan tan tan b

1 tan tan

a b

a b

a

a b

 



 





Công thức nhân:

3

3 3 2

sin 2 2 sin cos cos 2 cos sin 2 cos 1 1 2 sin cos 3 4 cos 3cos

sin 3 3sin 4 sin

3 tan tan tan 3 =

1 3 tan

a

a







Tích thành tổng: cosa.cosb =1

2[cos(ab)+cos(a+b)]

sina.sinb =1

2[cos(ab)cos(a+b)]

sina.cosb =1

2[sin(ab)+sin(a+b)]

Tổng thành tích: sin sin 2sin cos

a b a b

sin sin 2 cos sin

a b a b

cos cos 2 cos cos

a b a b

cos cos 2 sin sin

a b a b

sin( ) tan tan

cos cos

a b



Công thức hạ bậc: cos2a =1

2(1+cos2a); sin

2a =1

2(1cos2a) Biểu diễn các hàm số LG theo tan

2

a

t  :

2

3 Phương trình LG cơ bản

2

u v k



 



    



* cosu=cosvu=v+k2 

* tanu=tanv  u=v+k  * cotu=cotv  u=v+k  k Z

4 Một số phương trình LG thường gặp

1 Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

a Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta dùng

các cơng thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản

b Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình cĩ dạng

a.sin2x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos2x+b.cosx+c=0, a.tan2x+b.tanx+c=0, a.cot2x+b.cotx+c=0) để giải các

phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG

2 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: Dạng: asinx+bcosx=c

Điều kiện để phương trình cĩ nghiệm là a2 b2 c2

Cách 1: Chia hai vế phương trình cho a rồi đặt b tan

a  , ta được: sinx+tancosx= ccos

sinxcos+sin cosx= ccos

a   sin(x+ )=ccos

a   sin

đặt

Cách 2: Chia hai vế phương trình cho 2 2

a b , ta được:

2a 2 sinx 2b 2 cosx 2c 2

Đặt:

2a 2 cos ; 2b 2 sin

Khi đĩ phương trình tương đương:

2 2

cos sinx sin cosx c

a b



hay  

2 2

a b



đặt

Cách 3: Đặt tan

2

x

t 

3 Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:

Dạng: asin2x+bsinxcosx+ccos2x=0 (*)

Cách 1: + Kiểm tra nghiệm với

2

x  k



 

+ Giả sử cosx0: chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x+btanx+c=0

2

1 tan 1

2





Cách 2: Áp dụng cơng thức hạ bậc

Chú ý:+ Cách giải 1 được áp dụng đối với phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx!

+ Phương trình chỉ chứa sinx và cosx mà mỗi đơn thức trong đĩ cĩ bậc cùng chẵn hoặc

cùng lẻ được coi là phương trình đẳng cấp (nhờ hệ thức sin2xcos2x1)

4 Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:

Dạng: a(sinx cosx)+ bsinxcosx=c

Cách giải: Đặt t= sinx cosx Điều kiện  t  2

Lưu y ùcác công thức :

Chú ý: Với t sinxcosx thì

3

3

3

2

S  x x  ;

4

2

S  x x    ;

2

1

2

t

S  x xS  t S    

5 Phương trình đối xứng đối với tan xvà cot x

Phương trình được đại số hĩa nhờ phép đặt 2

sin 2

x

Khi đĩ S2 tan2xcot2xt22; S3tan3xcot3xt33t

S  x xt  t  ; S n tann xcotn xt S n1S n2

Chú ý: Nếu phương trình cần đặt ttanxcotx 2cot 2x thì khơng cần điều kiện cho t.và

khi đĩ S2tan2xcot2xt22

Phần 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC KHÔNG MẪU MỰC

Phương pháp 1: Dùng các công thức lượng giác đưa về phương trình dạng tích

Ví dụ 1 Giải phương tình: sin2x + sin23x = cos22x + cos24x (1)

Giải

Phương trình (1) tương đương với: 1 cos 2 1 cos 6 1 cos 4 1 cos8

 cos2x+cos4x+cos6x+cos8x = 0 2cos5xcosx+2cos5xcos3x = 0

 2cos5x(cos3x+cosx) = 0 4cos5x.cos2x.cosx = 0

Ví dụ 2 Giải phương trình: cos6x+sin6x = 2 ( cos8x+sin8x) (2)

Giải

Ta có (2)  cos6x(2cos2x1) = sin6x(12sin2x) cos2x(sin6x–cos6x) = 0

 cos2x(sin2x–cos2x)(1+sin2x.cos2x) = 0 cos2x = 0

8 2 cos x 2 2 sin xsin 3x 6 2 cos x  1 0(3)

Giải Ta có:

2

(3) 2 2 cos (4 cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0

2 cos 2 cos cos 3 2 sin 2 sin sin 3 2

(1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2

2 2(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2 cos 2 (1 cos 4 )

2

cos 2 cos 2 cos 2

π

Phương pháp 2:Đặt thừa số chung

Những phương trình loại này đòi hỏi kĩ thuật biến đổi và kinh nghiệm nhận dạng để định hướng cho phép giải Ở đây chỉ nêu lên một vài kinh nghiệm

Trước hết, ta cần nắm được những họ các biểu thức có thừa số chung thường gặp sau:

 

x x      

x x      

sinx+cosx cos 2 ;cot 2 ;1 sin 2 ;1 tan ;1 cot ;tanx x  x  x  x xcotx

cosx-sinx cos 2 ;cot 2 ;1 sin 2 ;1 tan ;1 cot ; tanx x  x  x  x xcotx

Ví dụ 4: Giải phương trình asinxbsin 2xcsin 3x0

 2 

Ví dụ 5: Giải phương trình 1 tan

1 sin 2

1 tan

x

x x



 



2

x

k Z x



















1



x







Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ đưa phương trình lượng giác về phương trình đại số:

Ví dụ 6 Giải phương trình lượng giác: 8 8 17

sin cos

32

x x (4)

Giải Ta có (4)

(cos 2 6 cos 2 1)

Đặt cos22x = t, với t[0; 1], ta có 2 2

1

13

2

t

t







        

  



Vì t[0;1], nên 1 2 1 cos 4 1 1

cos 2

x

Ví dụ 7 Giải phương trình lương giác: 2sin3x – cos2x + cosx = 0 (5)

Giải Ta có (5)  2(1 cos2x)sinx + 2 – 2 cos2x + cosx – 1 = 0

 (1 cosx )[2(1 + cosx)sinx + 2(1 + cosx)  1] = 0

 (1 – cosx)(2sinx+ 2cosx + 2sinxcosx+1) = 0

2 sin 2 cos 2sin cos 1 0 (*)







Giải (*): Đặt sinx + cosx = t, điều kiện | |t  2, khi đó phương trình (*) trở thành:





  





Vậy nghiệm của phương trình đã cho là:

4

π

x  nπ; xk π2 , ( ,n k )

Phương pháp 4: Quy phương trình lượng giác về việc giải hệ phương trình lượng giác bằng cách đánh giá, so sánh, sử dụng bất đẳng thức

Ví dụ 8 Giải phương trình: |sin |

cos

x

π  x (6)

Giải Điều kiện: x ≥ 0

Do | sin x | 0,nên |sin | 0

1

x

π π  , mà |cosx| ≤ 1

Do đó

(6)

0

k n

x k π k π n

x









(Vì k, n  Z) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0

Phương pháp 5: Sử dụng tính chất hàm số

Ví dụ 9: (ĐH Sư phạm 2) Giải phương trình:

2

2

x

x

Giải Đặt

2 ( )= cos

2

x

f x x  Dễ thấy f(x) = f(x),   x , do đó f(x) là hàm số chẵn vì vậy trước hết ta chỉ xét với x ≥ 0

Ta có: f’(x)=sinx+x, f”(x) = cosx+1, x≥0  f’(x) là hàm đồng biến, do đó f’(x)≥f’(0), với x≥0

 f(x) đồng biến với x≥0

Mặt khác ta thấy f(0)=0, do đó x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình

Ví dụ 10: (ĐH Bách Khoa) Với n là số tự nhiên bất kì lớn hơn 2, tìm x thuộc khoảng 0;

2

π

thoả mãn phương trình:

2 2

n



Giải

Đặt f(x) = sin n x + cos n x, ta có : f’(x) = ncosx.sin n-1 x – nsinx.cos n-1 x

= nsinx.cosx(sin n-2 x – cos n-2 x)

Lập bảng biến thiên của f(x) trên khoảng 0;

2



 , ta có minf(x) = f

4



 

 

  =

2 2 2

n

Vậy x =

4



là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

BÀI TẬP

Giải các phương trình sau:

1 cos 3x+cos2x+2sinx–2 = 0 (Học Viện Ngân Hàng) ĐS: 2 ; 2

2

x k x  n

2 tanx.sin2x2sin2x=3(cos2x+sinx.cosx) (ĐH Mỏ Địa Chất)

     

3 2sin3x(1/sinx)=2cos3x+ (1/cosx) (ĐH Thương Mại)

x  k  x  n x  m

4 |sinxcosx| + |sinx+cosx|=2 (ĐH Quốc Gia Hà Nội) ĐS:

2

x k 



5 4(sin3xcos2x)=5(sinx1) (ĐH Luật Hà Nội)

2

4

  

6 sinx4sin3x+cosx =0 (ĐH Y Hà Nội) ĐS:

4

x  k



 

7 sin 3 sin 2 sin

x  k 

 

8 sin 3x.cos3x+cos3x.sin3x=sin34x

HD: sin2x.sinx.cos3x+cos2x cosx.sin3x=sin34x ĐS:

12

x k 



9 1 1 4 sin 7

3

sin

2

x x

x







ĐS:

4

8 5 8





























10 sin 3x 3 cos 3x sin cosx 2x 3 sin 2xcosx

3 k





  ,

4



  

11 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx

12 sin2x+cos2x=1+sinx–3cosx (1)

HD

(1) 2sinxcosx+2cos2x–1=1+sinx–3cosx

2cos2x+(2sinxcosx+3cosx)–sinx–2=0

2cos2x+(2sinx+3)cosx–(sinx+2)=0

Đặt t=cosx, ĐK t 1, ta được: 2t2+(2sinx+3)t–(sinx+2)=0

=(2sinx+3)2+3.2.(sinx+2)=(2sinx+5)2



 

1

1

2 sin - 2

t

x









 loại

…(biết giải)

13 2sinx+cotx=2sin2x+1

HD: Tương tự câu a ta cĩ phương trình 2(1–2cosx)sin2x–sinx+cosx=0

Đặt t=sinx, ĐK t 1

2(1–2cosx)t2–t+cosx=0 … =(4cosx–1)2

14 1+sinx+cosx+sin2x+2cos2x=0

HD: (1+ sin2x)+(sinx+cosx)+2cos2x=0

(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(cos2x–sin2x)=0

(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)+2(sinx+cosx)(sinx–cosx)=0 Đặt thừa số, giải tiếp …

15 Giải phương trình lượng giác: 1 2 cos sin 

tan cot 2 cot 1





Giải: Điều kiện: cos sin 2 sin tan cot 2  0

cot 1

x









Từ (1) ta cĩ: cos sin 2 2 sin

cos

x

2

4 2

4

DK















 



   



tan cot

x



Giải:Điều kiện: sin 2x 0

2 1

1 sin 2

1 sin cos 2

(1)

sin 2 2 cos sin

x



2

2

1

1 sin 2

x



Vậy phương trình đã cho vơ nghiệm

2 sin 2 sin tan

4

Giải:Pt 2 2

2 sin 2 sin tan

4

1 cos 2 cos 2 sin cos sin

2

(1–sin2x)(cosx–sinx) = 0 sin2x = 1 hoặc tanx = 1

sin 2x cosx 3  2 3 osc x 3 3 os2c x 8 3 cosx s inx  3 3  0

HD

2 sin cos 6sin cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0

2

2

( 3 cos sin )( 2 cos 6 cos 8) 0

3 cos sin 0

cos 1 cos 3cos 4 0 cos 4 ( ai)

x

x

, 3 2

k

x k









 











19 Giải phương trình: cosx=8sin3

6

x 



HD: cosx=8sin3

6

x 



 cosx =  3 sinx cosx3

 3 3 sin 3x 9sin 2xcos x  3 3 sin cosx 2x cos 3x cos x  0 (3)

Ta thấy cosx = 0 không là nghiêm

(3)  3 3 tan 3x 8 tan 2x  3 3 tan x  0  tan x  0  x  k 

20 Giải phương trình: cos 2x 5  2(2  cos )(sinx x cos )x

Giải: Phương trình  (cosx–sinx)2 – 4(cosx–sinx) – 5 = 0

cos sin 1

cos sin 5 ( )



  



  



21 Giải phương trình: 2cos3x + 3sinx + cosx = 0

ĐS: x =

k

 (kZ)

22 Giải phương trình cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 3 2

8



HD: Ta có: cos3xcos3x – sin3xsin3x = 2 3 2

8



 cos3x(cos3x + 3cosx) – sin3x(3sinx – sin3x) = 2 3 2

8



cos 3 sin 3 3 cos 3 cos sin 3 sin

2

23 Định m để phương trình sau có nghiệm

2

x x  x   x   x  m

Giải: Ta có: * 4 sin 3 sin x x  2 cos 2 x cos 4x;

* 4 cos 3 cos 2 cos 2 cos 4 2 sin 2 cos 4 

Do đó phương trình đã cho tương đương: 2 cos 2 sin 2  1sin 4 1 0 (1)

x x  xm 

Đặt cos 2 sin 2 2 cos 2

4

  (điều kiện:  2  t 2)

Khi đó 2

sin 4 x  2 sin 2 cos 2 x x  t 1 Phương trình (1) trở thành:

t  t m  (2) với  2  t 2 (2) t2  4t  2 2m

Đây là phuơng trình hoành độ giao điểm của 2 đường ( ) :D y 2 2m (là đường song song với

Ox và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 – 2m và (P): 2

4

yt  t với  2  t 2

2 4 2  Trong đoạn  2; 2 

 , hàm số yt2  4t đạt giá trị nhỏ nhất là 2 4 2  tại t   2 và đạt giá trị lớn nhất là 2 4 2 tại t  2

Do đó yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 4 2    2 2m 2 4 2 

2 2 m 2 2

o0o

Phần 3: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC CỦA BỘ GD&ĐT

Bài 1: Tìm nghiệm thuộc(0; 2 ) của pt: 5 sin os3 sin 3 os2 3.

1 2sin 2

x





ĐS: 1 ; 2 5 .

sin 3x c os 4xsin 5x c os 6 x (B 2002)

x k  x k  k

Bài 3: Tìm x thuộc 0;14 nghiệm đúng pt: cos 3x 4 cos 2x 3cosx  4 0. (D 2002)

x  x  x  x 

c x

x

4

x  k k



Bài 5: Giải phương trình: cot tan 4 sin 2 2 (1)

sin 2

x

3

x  k k



    

x c



4

Bài 7: Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện

os2 2 2 os 2 2 osC=3.

c   c   c Tính ba góc của tam giác ABC (A 2004)

ĐS:

0

0

90

45

C

 





  



5sinx  2 3(1 sin ) tan  x x. (B 2004)

6

x  k



6



Bài 9: Giải phương trình: (2 cosx1)(2sinxcos )x sin 2xsin x (D 2004)

ĐS: 2 à ,

4 sin 3 os2 1 2 cos

x

  (Dự bị 1A 2005)

ĐS: 1 5 ; 2 17 ; 3 5 .

Bài 11: Giải phương trình: 3

2 2 os 3cos sin 0

4

c x   x x

x  k hay x  k k

sin cos 2x xcos (tanx x 1)  2sin x 0 (Dự bị 1B 2005)

x  k hay x  k k

Bài 13: Giải phương trình: tan 3 sin 2.

x x

x





x  k hay x  k k

2

os2 1

c x

c x

4



    

Bài 15: Giải phương trình:sin 2xcos2x 3sinx cosx  2 0. (Dự bị 2D 2005)

Bài 16: Giải phương trình: 2 2

2

x k  k

Bài 17: Giải phương trình: 1 sin  x cosx sin 2xcos2x 0. (B 2005)

3



c x x c x    x  

4

x  k k



Bài 19: Giải phương trình:

2( os sin ) sin cos

0.

2 2 sin

x



4



Bài 20: Giải phương trình: cot sin 1 tan tan 4.

2

x

x x  x 

x  k x  k k

Bài 21: Giải phương trình: cos3xcos2x cosx  1 0. (D 2006)

3



Bài 22: Giải phương trình: cos 3x sin 3x 2 sin 2x 1 (1). (Dự bị 1D 2006)

ĐS:

4

x  k



2



Bài 23:Giải phương trình: 1

4x 2x  2(2x 1) sin(2x y 1)   2 0 (Dự bị 1D 2006)

ĐS: 1 à 1 2 ,

2



Bài 24: Giải phương trình: cos 2x (1 2 cos )(sin - cos )  x x x  0 (Dự bị 2B 2006)

Bài 25: Giải phương trình: 3 2

4 sin x 4 sin x 3sin 2x 6 cosx 0 (Dự bị 2D 2006)

      ,k  .

(2 sin x 1) tan x 3(cos x 1)  0 (Dự bị 1B 2006)

x  k  k

Bài 27: Giải phương trình: 2 sin 2 4 sin 1 0

6

6

x k x  k

   ,k  .

os3 cos sin 3 sin

8

16 2

x  k  k

Bài 29:Giải phương trình:2 sin 2 2 x sin 7x  1 sin x (B 2007)

x  k  x  k  hay x  k  k

Bài 30: Giải phương trình:

2

x  k hay x  k k

(1 sin  x) cosx (1 cos ) sinx x  1 sin 2 x (A 2007)

Bài 32: Giải phương trình: sin 5 os 2 os3 .

2 cos x 2 3 sin cosx x  1 3 sinx 3 cosx . (Dự bị 2A 2007)

3

x  k k



Bài 34: Giải phương trình: sin 2 sin 1 1 2 cot 2

2 sin sin 2

x  k  k

Bài 35:Giải phương trình: sin 3x 3 cosx 2 sin 2 x (CĐ 2008)

15 5

k

Bài 36: Giải phương trình: 2 sin (1x cos2 ) sin 2x  x  1 cos2 x (D 2008)

Bài 37: Giải phương trình: sin 3x 3 osc 3x sin cosx 2x 3 sin 2xcos x (B 2008)

ĐS: ; ( ).

x  k  x  k k



Bài 38: Giải phương trình: 1 1 4 sin 7 .

3

sin

2

x x

x





x  k x  k hay x  k k

Bài 39: Giải phương trình:  

1 2 sin cos

3

1 2 sin 1 sin





18 3

sinx cos sin 2x x 3 cos 3x 2 cos 4x sin x (B 2009)

k



Bài 41: Giải phương trình 3 cos 5x 2 sin 3 cos 2x x sinx 0 (D 2009)

Bài 42: Giải phương trình  2

1 2 sin  x cosx  1 sinx cosx (CĐ 2009)

Bài 43: Giải phương trình

1 sin cos 2 sin

1 4

cos

x x



  

Bài 44: Giải phương trình sin 2x cos 2xcosx 2 cos 2x sinx 0 (Khối B_2010)

Bài 45: Giải phương trình sin 2x cos 2x 3sinx cosx  1 0 (Khối D_2010)

Bài 46: Giải phương trình 1 sin 2 2cos 2 2 sin sin 2

1 cot

x



ĐS: x =

2 k





 hay x = 2

4 k





 (k  Z)

Bài 47: Giải phương trình sin 2 cosx x sin cosx x cos 2x sinx cosx (Khối B_2011)

ĐS: x = 2

2 k





 hay x =  + k2 hay x = 2

3 k





  (k  Z)

Bài 48: Giải phương trình s in2x 2 cos x sin x 1

0 tan x 3



3

