ĐỘNG học môi TRƯỜNG LIÊN tục

Trong quá trình thời gian các điểm vật chất có sự dịch chuyển làm cho hình dạng và thể tích môi trường thay đổi.. Chuyển động của điểm M là sự thay đổi của các toạ độ x1, x2, x3 theo t:

Chương 2 ĐỘNG HỌC MễI TRƯỜNG LIấN TỤC

Một MTLT có thể coi là một tập hợp vô hạn những điểm vật chất, được gọi là phần tử Tại mỗi thời điểm, mỗi phần tử của môi trư ờng chiếm một vị trí điểm của không gian hay còn gọi tắt là điểm để phân biệt với phần tử của môi trường.

Tại mỗi thời điểm , môi trường có hình dạng nhất định có thể tích V , giới hạn bởi mặt S và chiếm một miền R xác định trong không gian Trong quá trình thời gian các điểm vật chất có sự dịch chuyển làm cho hình dạng và thể tích môi trường thay đổi Sư thay đổi này đư

ợc gọi là sự biến dạng.

Trong chương này nghiên cứu sự dịch chuyển cũng như biến dạng và vận tốc của biến dạng.

Trong nghiên cứu chúng ta chỉ có thể quan tâm chủ yếu đến trạng thái

đầu và trạng thái cuối của chuyển dịch hay biến dạng, mà không quan tâm đến quá trình chuyển dịch hay biến dạng.

Để nghiên cứu chuyển động của MTLT, có thể sử dụng hai phương pháp là Euler và Lagranger.

Giả sử hạt M tại thời điểm đầu ta có vị trí ξ1, ξ2, ξ3 Chuyển động của điểm M là sự thay đổi của các toạ độ x1, x2, x3 theo t:

(3.1)

Hay viết dưới dạng véc tơ:

Đôi khi ta viết:

Những phương trình vừa viết gọi là phương trình chuyển động dưới dạng Lagrange, các biến ξ, t gọi là các biến Lagrange

( 1, 2, 3, ) (; = 1 , 2 , 3)

x i i ξ ξ ξ

( )t x

x = ξ,

( ) t x

x = ξ ,

2 Phương pháp Euler

Ngược với phương pháp Lagrange, phương pháp Euler khảo sát các

đại lượng cơ học và các đặc trưng của môi trường trong không gian

cố định chứa môi trường

Chẳng hạn: ξ = ξ(x, t) cho ta biết tại vị trí x

và thời điểm t hạt môi trường nào nằm ở đó

Ví dụ khác, v(x,t) cho ta biết vận tốc của hạt

đang ở tại vị trí x và thời điểm t …

Rõ ràng nếu ta biết một đại lượng v(x,t) thì

nếu đứng tại vị trí cố định x trong không

gian ta sẽ lần lượt quan sát thấy dòng các hạt

đi qua x với vận tốc v

Ta nói một đại lượng nào đó biểu thị qua biến Euler xác định một trường đại lượng đó Ví dụ: ξ = ξ(x, t) trường vị trí , trường vận tốc

v(x,t), trường nhiệt độ T(x,t)

3 Vận tốc và gia tốc của điểm

3.1 Trong biến Lagrange:

Theo định nghĩa:

(3.2)(3.3)

x dt

dx

v = = 

x dt

3.2 Trong biến Euler:

v t

v dt

dv

j

i i

i i

∂

∂ +

i i

x

v t

v w

∂

∂ +

∂

∂

=

4 Mối liên hệ giữa hai phương pháp nghiên cứu

Ta nhận thấy trong phương pháp Lagrange nếu cho trư

ớc giá trị ξ thì t thay đổi theo dõi được sự thay đổi của một hạt

cụ thể của môi trường Còn trong phương pháp Euler nếu cho trước x ta biết được trạng thái của các hạt khác nhau đi qua

điểm x tại những điểm khác nhau Vì vậy, giữa hai phương pháp

có quan hệ với nhau và về mặt toán học thì biểu diễn qua nhau

Ví dụ: Giả sử cho quy luật chuyển động của một môi trường liên tục theo biến Lagrange:

Vì Jacobiên của hệ bằng 1 nên ta có thể viết:

2 2 3 2

2

1 1

ξ

ξ ξ

ξ

x

t x

2 2 3 2 2

1 1

x

t x x

x

ξ ξ ξ

Hình ảnh của các biển diễn toán học này như sau:

Giả sử ta khảo sát hai hệ toạ độ O x 1 x 2 x 3 và Oξ1 ξ2 ξ3 trùng nhau và một đoạn thẳng có độ dài a Tại thời điểm đầu nó nằm

α ξ

ξ

3 2

1

) 0

( 0

Khi t thay đổi, theo phương pháp Lagrange các điểm

(theo α) của đoạn thẳng này chuyển dịch theo phương trình:

x 2 = α2 t 2

tức là đoạn thẳng này biến thành các cung Parabol.

Theo phương pháp Euler, tại vị trí A(0,0,a) ta thấy quy luật chuyển địch của các hạt là:

Đ2 Lý thuyết biến dạng

1 Chuyển vị và biến dạng của môi trường liên tục

Khi nghiên cứu các môi trường liên tục, sự dịch chuyển (thay đổi vị trí hay chuyển vị) kéo theo sự thay đổi thể tích và hình dạng của môi trường Những sự thay đổi này được gọi là biến dạng của môi trường

Sự biến dạng của môi trường là một đặc trưng động học

có tầm quan trọng đặc biệt trong việc nghiên cứu động học các môi trường đàn hồi Ngoài ra, trong cơ học môi trường liên tục trong nhiều trường hợp, thay cho việc sử dụng các toạ

độ người ta sử dụng các chuyển vị của các điểm làm đối tượng nghiên cứu

2.1. Ta khảo sát một thể tích môi trường tại thời điểm t có dạng S 0 và sang thời điểm t + ∆t có dạng S

Trong đó S 0 ta lấy hai điểm P 0 Q 0 rất gần nhau: dξ = P 0 Q 0 Sau khoảng thời gian khá bé ∆t, P 0 biến thành P và Q 0 biến thành

Q và PQ = dx

Ta xét trong các hệ toạ độ như hình vẽ

Sự biến dạng của môi trường đư

ợc thể hiện thông qua sự thay

đổi của véc tơ dξ do đó ta xét

hiệu:

i i k

k dx d d dx

d

dx2 − ξ 2 = − ξ ξ

2 Các tenxơ biến dạng

Chó ý r»ng, nÕu dïng biÕn Lagrange th×:

i j

k i

x

ξ ξ

δ ξ

k j

i

x x

ξ ξ

2 1

k j

i j

i

x x

2 1

2.2 BiÓu diÔn c¸c thµnh phÇn ten x¬ biÕn d¹ng qua chuyÓn vÞ:

i j

u

δ ξ

i j

i

x x

Thay các đạo hàm

từ các hệ thức này vào các biểu thức Ei j và Lij ta được hệ thức các thành phần ten xơ qua chuyển vị.

(4.5) và

(4.6)

j

i j

3 Tenxơ biến dạng bé và ten xơ quay

3.1 Tenxơ biến dạng bé

a Các tenxơ E: Ei j (4.5) và L: Li j (4.6) chứa các tích.

Nếu chuyển vị bé thì các đạo hàm này có thể bỏ qua,

và gọi là Tenxơ biến dạng bé Lagrang và ten xơ biến dạng bé Euler tương ứng

k j

k i

k

x

u x

u u

i j

i

u

u e

ξ ξ

2 1

i j

i

x

u x

u l

2 1

b ý nghĩa cơ học của tenxơ biến dạng bé

Ta xét ý nghĩa của các thành phần tenxơ li j Trước hết ta xét thành phần nằm trên đường chéo chính:

2 2

2 22

2

1

ξ ξ

2

2 2

2 2

2

ξ

ξξ

Nếu ta xét một phần tố P0Q0 dọc theo ξ2 thì biểu thức:

cho ta độ giãn tương đối dọc theo phương ξ2 Như vậy, e22 có ý nghĩa là biểu thị độ giãn tương đối theo phương ξ2 Bằng cách tương tự e11, e33 chỉ độ giãn tư

ơng đối theo phương ξ1, ξ3.

Ta xét các số hạng chéo, chẳng hạn e23 :

2 23

2

1

ξ ξ

u u

e

Ta xÐt c¸c sè h¹ng chÐo, ch¼ng h¹n e23 :

dÔ thÊy r»ng:

cßn

2 23

2

1

ξ ξ

u

u e

)

( 2

Q Q u

M M u

1 α + β = γ

2 Ten x¬ biÕn d¹ng quay

Nếu ta khảo sát u trong biến Lagrange thì ta có thể viết chuyển vị tương đối dưới dạng:

Biểu thức này có thể viết lại dưới dạng tổng hai thành phần: thành phần đối xứng và một thành phần phản đối xứng:

j j

i i

j j

i

ξ ξ

1

j j

i

u

u

ξ ξ

ω

2 1

Trong trường hợp sử dụng biến Euler, làm tương tự như trên

ta có:

Trong đó:

Tenxơ có các thành phần được gọi là tenxơ quay Euler.

b Tính chất của tenxơ quay:

Các tenxơ quay là các tenxơ phản đối xứng

i j

i

x

u x

2

1

ξξ

2

2

1

ξξ

2 21

3

2

1

ξ ξ

Trong trường hợp chuyển vị bé thì toạ độ đầu và cuối của một phần tử rất gần nhau, gradien chuyển vị theo các biến Lagrange hoặc Euler gần bằng nhau Khi đó ta có thể xem ten xơ biến dạng bé cũng như ten xơ quay Lagrang và Euler tương ứng bằng nhau, nên có thể coi gần đúng:

l ij = e ij

Trường hợp biến dạng bé này rất hay gặp trong khi nghiên cứu các vật rắn biến dạng.

j i j

ω~ =

c ý nghĩa cơ học của các thành phần tenxơ quay:

Ta xét chuyển vị của các điểm P 0 và Q 0 :

du = u(Q 0 ) - u(P 0 ) hay là viết theo thành phần:

Trở lại biểu thức vectơ:

Trong đó:

Từ hệ thức cuối cùng này ta thấy chuyển vị của điểm Q 0 được hợp thành từ chuyển vị tịnh tiến (chuyển vị của phần tử lân cận P 0 ), chuyển vị quay với vận tốc góc và chuyển vị gây biến dạng u(ε) Chuyển vị tịnh tiến và chuyển động quay vẫn có thể xảy ra khi phần tử và lân cận của nó rắn tuyệt đối Vì vậy, các thành phần của ω mang ý nghĩa như là vận tốc góc quay của các phần tử môi trường xung quanh Và thành phần của chuyển vị gây biến dạng là

đặc trưng cho môi trường biến dạng

• Bài tập:

1 Một môi trường chuyển dịch theo quy luật viết theo biến Lagrang :

x1 = ξ1e t ; x2 = ξ2 + ξ1 (e t - 1) ; x3 = ξ3e t

Hãy viết theo biến Euler

• 2 Trường chuyển dịch của môi trường liên tục đối với hệ trục

xi và ξi trùng nhau được biểu thị như sau:

x1 = ξ1 , x2 = ξ3 + Cξ2 , x3 = ξ2 - Cξ3

Trong đó C là hằng số khác 1 Hãy viết các thành phần chuyển vị theo biến Euler Tính ten xơ hữu hạn của trường chuyển vị theo biến Euler

• 3 Trường chuyển dịch của môi trường liên tục đối với hệ trục

xi và ξi trùng nhau được biểu thị như sau:

x1 = ξ1 , x2 = ξ2 + 2ξ3 , x3 = ξ3 + 2ξ2

Hãy viết các thành phần chuyển vị theo biến Lagrange và biến Euler Tính ten xơ hữu hạn của trường chuyển vị theo biến Lagrange và biến Euler

Đ3 Tốc độ biến dạng nhỏ, tenxơ vận tốc biến

dạng Các đặc trưng biến dạng có tầm quan trọng đặc biệt trong

lý thuyết vật rắn biến dạng, còn trong lý thuyết chuyển

động của các chất khí và chất lỏng (hoặc một vài chất rắn khác) một đặc trưng khác có ý nghĩa hơn đó là tốc dộ biến dạng Trong các trường hợp này chính biến dạng không có

ý nghĩa căn bản mà cái chính là các biến dạng này diễn ra nhanh chậm như thế nào.

Tốc độ biến dạng là một đại lượng dùng để biểu thị độ nhanh chậm của các biến dạng của môi trường