Viết ma trận và biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở tìm được... f f b f có chéo hóa được không?. Nếu f chéo hóa được, hãy tìm một cơ sở của 33mà trong cơ sở đó ma trận của f có dạng chéo
Trang 1HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
KHOA: CƠ BẢN 1
(Hình thức thi viết) Học phần: Toán cao cấp 2 - Học phần Đại số
Lớp: D10 QT 1-2-3 – KT 1-2 Hệ đào tạo: Đại học chính qui
Thời gian thi: 90 phút Đề số:1
Câu 1(2điểm): Giải phương trình ma trận AX =B với
3 2 0
2 1 2
A
= -ê - ú
,
3 1
2 0
7 6
B
= ê ú
ê- ú
Câu 2(3điểm): Trên cơ sở chính tắc ( ) e của 34, cho véc tơ x=(1,2,1,2) và hai hệ véc tơ
( ) a ={ a1(1,1,1,1 ;) a2(1,1, 1, 1 ;- - ) a3(1, 1,1, 1 ;- - ) a4(1, 1, 1,1 ,- - ) ( a5 1, 1,1,1- ) };
( ) b ={ b1(1,1,0,1 ;) b2(2,1,3,1 ;) b3(1,1,0,0 ;) b4(0,1, 1, 1- - ) }
a) Hệ nào là cơ sở của 34 ? Vì sao ?
b) Tìm tọa độ của véc tơ x trong cơ sở tìm được
Câu 3(3điểm): Cho phép biến đổi tuyến tính f : 33® 33, xác định bởi
f x y z ( , , ) ( = x z y + , - 2 ,2 z x y z - + )
a) f có chéo hóa được không? Vì sao? Nếu f chéo hóa được, hãy tìm một cơ sở của 33mà
trong cơ sở đó ma trận của f có dạng chéo
b) Tính det f3?
Câu 4(2điểm): Cho dạng toàn phương Q : 33® 3 , xác định bởi
Q( , , )= x y z x2 + 2 y2 + 8 z2 + 2 mxy - 4 , yz
a) Tìm các giá trị mÎ9 để Q là dạng toàn phương xác định dương?
b) Với m= -2, hãy tìm một cơ sở của 33 để ma trận của Q có dạng đường chéo Viết ma trận và biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở tìm được
Hà Nội, ngày 13 tháng 6 năm 2011
DUYỆT ĐỀ THI
PGS-TS Lê Bá Long
GIẢNG VIÊN RA ĐỀ
Đỗ Phi Nga
Họ tên SV:……… Lớp:………Phòng thi:………
Trang 2HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
KHOA: CƠ BẢN 1
(Hình thức thi viết) Học phần: Toán cao cấp 2 - Học phần Đại số
Lớp: D10 QT 1-2-3 – KT 1-2 Hệ đào tạo: Đại học chính qui
Thời gian thi: 90 phút Đề số: 2
Câu 1(2điểm): Cho ma trận
A
=
Tính det ; A r A ( )t
Câu 2(2điểm): Với giá trị nào của tham số m thì véc tơ u=(3,2, 1- ) biểu diễn được thành một
tổ hợp tuyến tính của các véc tơ v1=(3,1,m v), 2 =(1,2,1 ,) v3 =(0,-m,2)
Câu 3 (3điểm): Cho phép biến đổi tuyến tính f : 33® 33, xác định bởi:
f x y z ( , , ) (2 = y + 3 , , ) z y z
a) Xác định một cơ sở, số chiều của ker , Im f f
b) f có chéo hóa được không? Vì sao? Nếu f chéo hóa được, hãy tìm một cơ sở của 33mà trong
cơ sở đó ma trận của f có dạng chéo
b) Tính det f3?
Câu 4 (2điểm): Cho dạng toàn phương Q: 33® 3 , xác định bởi
Q( , , )= x y z x2 + y2 + z2 + 2 a xy + 2 a yz + 2 a xz ,
a) Với các giá trị nào của a thì Q là dạng toàn phương xác định dương?
b) Với a= -2, hãy tìm một cơ sở của 33 để ma trận của Q có dạng đường chéo Viết ma trận và biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở tìm được
Câu 5 (1điểm): Với mỗi ma trận A vuông cấp n n, ³2, chứng minh rằng nếuA không suy biến và l
là một giá trị riêng của A thì 1
l là giá trị riêng của
1
A-
Hà Nội, ngày 13 tháng 6 năm 2011
DUYỆT ĐỀ THI
PGS-TS Lê Bá Long
GIẢNG VIÊN RA ĐỀ
Đỗ Phi Nga
Trang 3HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
KHOA: CƠ BẢN 1
(Hình thức thi viết) Học phần: Toán cao cấp 2 - Học phần Đại số
Lớp: D10 QT 1-2-3 – KT 1-2 Hệ đào tạo: Đại học chính qui
Thời gian thi: 90 phút Đề số:3
Câu 1(2điểm): Giải phương trình ma trận AX =B với
ma trận
2 2 0
2 1 2
0 2 0
A
= -ê - ú
,
2 0
1 4
7 8
B
é ù
ê ú
= ê ú
ê ú
ë û
Câu 2(2điểm): Trên cơ sở chính tắc ( ) e của 34, cho véc tơ x=(1,2,1,2) và hai hệ véc tơ
( ) a ={ a1(1,1,1,1 ;) a2(1,1, 1, 1 ;- - ) a3(1, 1,1, 1 ;- - ) a4(1, 1, 1,1- - ) };
( ) b ={ b1(1,1,0,1 ;) b2(2,1,3,1 ;) b3(1,1,0,0 ;) }
a) Hệ nào là cơ sở của 34 ? Vì sao ?
b)Tìm tọa độ của véc tơ x trong cơ sở tìm được
Câu 3 (3điểm): Cho ma trận
2 2 1 A= 2 2 1
1 1 3
a) Ma trận A có chéo hóa được không? Vì sao?
b)Hãy tìm ma trận không suy biến Tsao choT AT-1
là ma trận đường chéo Xác định T AT-1
c) Tính det A10
Câu 4 (2điểm): Cho dạng toàn phương Q: 33® 3 , xác định bởi
Q( , , )= 2 x y z x2 + 2 y2 + 3 z2 + 4 xy + 2 yz + 2 , xz
a) Trong cơ sở nào của 33 thì biểu thức của Q ở dạng chính tắc? Viết dạng chính tắc đó?
b) Q có phải là dạng toàn phương xác định dương hay không? Vì sao?
Câu 5 (1điểm): Tìm giá trị lớn nhất của định thức cấp 3 có các phần tử bằng 0 hoặc 1
Hà Nội, ngày 13 tháng 6 năm 2011 DUYỆT ĐỀ THI
Lê Bá Long
GIẢNG VIÊN RA ĐỀ
Đỗ Phi Nga
Trang 4HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
KHOA: CƠ BẢN 1
(Hình thức thi viết) Học phần: Toán cao cấp 2 - Học phần Đại số
Lớp: D10 QT 1-2-3 – KT 1-2 Hệ đào tạo: Đại học chính qui
Thời gian thi: 90 phút Đề số: 4
Câu 1(2điểm): Giải phương trình ma trận XA B= với
ma trận
3 1 2
A
= -ê - ú
, 6 2 1
3 5 8
= ê ú
ë û
Câu 2(2điểm): Xác định các giá trị của tham số m để véc tơ u= -( 1,3,2) biểu diễn được thành một tổ hợp tuyến tính của các véc tơ v1=(m,3,1 ,) v2 =(1,1,2 ,) v3 =(2,0,-m)
Câu 3 (3điểm): Cho ma trận
A= 1 2 1
1 1 2
-
ê- - ú
ê- - ú
a) Ma trận A có chéo hóa được không? Vì sao?
b) Hãy tìm ma trận không suy biến Tsao choT AT-1
là ma trận đường chéo Xác định T AT-1
c) Tính det A6
Câu 4 (2điểm): Cho dạng toàn phương Q: 33® 3 , có biểu thức tọa độ trong cơ sở chính tắc của 33
là Q( , , )= x y z x2 + 2 y2 + 5 z2 + 2 l xy + 4 , yz
a) Với các giá trị nào của l thì Q là dạng toàn phương xác định dương?
b) Với l = -2, hãy tìm một cơ sở của 33 để ma trận của Q có dạng đường chéo Viết ma trận và biểu thức toạ độ của Q trong cơ sở tìm được
Câu 5 (1điểm): Với mỗi ma trận A vuông cấp n n, ³2, chứng minh rằng ma trận A không suy biến
khi và chỉ khi mọi giá trị riêng của A đều khác 0
Hà Nội, ngày 08 tháng 6 năm 2010
DUYỆT ĐỀ THI
PGS- TS Lê Bá Long
GIẢNG VIÊN RA ĐỀ
Đỗ Phi Nga
Họ tên SV:……… Lớp:………Phòng thi:………