Tìm điểm cực trị của hàm.. Tại điểm N đó hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất.. Biểu diễn trên hình vẽ.. Cách 2: Áp dụng công thức Green... * Vẽ hình *Tìm toạ độ D để viết phương t
Trang 1Khoa Khoa học cơ bản
Đề số: 08
Học phần: Toán cao cấp 3
Ngày thi:
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1: Cho hàm số:
z x x y xy x y
1 Tìm điểm cực trị của hàm.
2 Tại điểm ( , )1 1
2 2
N , hàm z tăng hay giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với trục Ox một góc 30 0
3 Tại điểm N đó hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất
Biểu diễn trên hình vẽ.
Câu 2: Trong không gian Oxyz, dùng tích phân mặt tìm trọng tâm của tam giác phẳng
đồng nhất ABC với A (0, -3, 0), B (-2, 0, 0) và C (0, 1, 3).
L
I x xy dx xy y y dy
L là đường cong nối 3 điểm A (-1, 1), B (0, 0), C (1, 1) trong đó đoạn AB là đường thẳng, đoạn BC là đường y x 2 và đoạn CA là đường thẳng bằng 2 cách:
Cách 1: Tính trực tiếp tích phân đường loại 2.
Cách 2: Áp dụng công thức Green.
Câu 4: Giải hệ phương trình vi phân:
'
3 2 1 2
x
y y z
z y z e
thoả mãn điều kiện: khi x=0 thì y=0 và z=0.
Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn
Giảng viên ra đề 2:
Trang 2-2
y
x
1/2 1/2 N
Bài 1:
'
5
8 2 0
2 8
x
y
y
8
y x
x
z x x x x x
9
8
5 4 9 18 4 36 4
5
1
x y
M1 (9
4, -5) , M2 (1
4, -1)
M1 (9
4, -5) M2 (1
4, -1)
xx
zxy'' 1 s -2 -1
2
yy
2
2
2
)=-2 Không cực trị Có cực trị
r = -6 cực đại
2. z'x( )N 2. 14 7. 12 85 12 238
y
z
Vậy hàm z sẽ giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với trục
Ox một góc 30 0
3 Hướng thay đổi nhanh nhất là 238 i j
Trang 3x
y
C
B O A
1 * Vẽ hình
*Tìm toạ độ D để viết phương
trình mặt phẳng
Phương trình đường AC: 3 9
4 4
z y
4
D
z
Phương trình mặt phẳng:
1 9
4
x y z
* Phương trình đường thẳng AB: 3 3
2
y x
* Phương trình đường thẳng BC: 1
2
x
y
2 Diện tích S:
1
xy
xy
D
S
3.Tính xG
'
2
2 2
2 3
C B
G
x
x
4 2
-2
y
5 x C
A B
Trang 4-1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5
1
x
y
A B
C
1
0 2 3
2
0 2
181 181
181 16 2 181
.
1 3
xy
x
G
G
x
y
1
2 2 3 0 2 2
1
3 2 0
.
181
2
1
xy
x
G
x D
x y x y
G
z
L
I x xy dx xy y y dy
Trên đoạn AB : y x, 1 x 0, nên dy = -dx Do đó :
0
1 0
1
0
1
AB
Trên cung BC : y x dy 2 , 2xdx,0 x 1Do đó:
1
0 1
0
1
0
BC
Trên đoạn AC có: y = 1, 1 x 1 Do đó :
Trang 5
1
1
CA
x
x x dx x
6 5 3 10
Áp dụng công thức Green
P x 2 2xy P 2x
y
2
Q xy y y Q
y x
Vậy
2
1
0
y
Bài 4:
'
'
1 2
x
'' ' ' '
'' '
x
x
y y z y y z e x
y y y y e x y y e x
y y y e x
Phương trình thuần nhất:
'' '
4 4 0
y y y Phương trình đặc trưng:
2
1 2 2
1 2 2
x x
y e
y xe
Phương trình không thuần nhất:
Trang 6 ' 2 ' 2
0
2 ( 2 ) 2
c e c xe
c e c e xe e x
0 1
2
x
c c x
1
2
c xc x xe x e
y c c x e
2x x2 2 ex
Thay vào tìm z ta có:
2 1 2
* * * 2 2
2 1 2
1
2 2
Khi x=0, y=0, z=0
1
2
c c c
y x e x e
z x e x x e
Trang 7Bài 1(1.5đ) :
* PT tìm x,y: 2 1
2
y x
8
x x (0.25)
* M1 (9
4, -5) , M2 (1
4, -1) (0.25)
* Tại M1 s2-rt=3 không cực trị (0.25) Tại M2 s2-rt=-2, r=-6 →Cực trị (0.25)
2 Hàm z sẽ giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với
3 Hướng thay đổi nhanh nhất là 238 i j (0.25)
Bài 2(3đ):
*Vẽ hình, (0.5) *PT mặt phẳng: 9 3 9
8 4 4
z x y (0.5) AB=3 3
2x
BC’= 1 2
x
*Tính diện tích, S=
xy
D
dxdy
*
3
2
x
C B
'
0 2
C D
AB
(1/2)
181 181
1
G
G
z
z
(1/2)
Bài 3(2đ):
Trên đoạn AB :
Trang 81
7
6
Trên cung BC :
1
0
2
5
Trên đoạn AC có
1
2
1
2 ( 2 )
3
I x x dx
Áp dụng công thức Green
2
2
1
0
D
y
y
(1/2)
Bài 4(3.5đ):
*
2
1 2 2
1 2 2
x x
y e
y xe
(1/2)
* PT hằng số:
0
2 ( 2 ) 2
c e c xe
c e c e xe e x
1
c xe e
2
x
* * 2 2
1 8
y c c x e e
* * * 2 2
1
2 2