Tìm cực trị của hàm 2.. Tại điểm N đó hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất.. Biểu diễn trên hình vẽ.
Trang 1TRƯỜNG ĐHSPKT HƯNG YÊN ĐỀ THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Khoa Khoa học cơ bản
Đề số: 09
Học phần: Toán cao cấp 3
Ngày thi:
Thời gian làm bài: 90 phút
Câu 1: Cho hàm số :
x x y y
z xy y
1 Tìm cực trị của hàm
2 Tại điểm N(1;-1) hàm số sẽ tăng hay giảm nếu dịch chuyển
ra khỏi điểm N theo hướng lập với truc Ox một góc 30 0
3 Tại điểm N đó hãy tìm hướng để hàm z thay đổi nhanh nhất.
Biểu diễn trên hình vẽ
Câu 2: Trong không gian Oxyz, tìm trọng tâm của tam giác đồng nhất
ABC với A(2,0,0), B(0,1,0), C(0,0,3)
Câu 3: Trên mặt phẳng toạ độ Oxy chọn 3 điểm A(-1,1), B(0,0) và
C(2,1)
L là đường cong kín theo chiều dương, trong đó :
Đoạn nối A với B có phương trình y x 2
Đoạn nối B với C có phương trình x 2y2
Đoạn thẳng nối C với A là đường thẳng
L
I x y dy x y dx
Kiểm chứng kết quả thông qua việc sử dụng công thức Green
Câu 4: Giải hệ phương trình vi phân:
3
x x
thoả mãn điều kiện: khi x=0 thì y=0 và z=0
Giảng viên ra đề 1: Khoa / Bộ môn
Giảng viên ra đề 2:
Trang 2y 3
2 B
C 2 1
3 A 1 O
2
-2
y
x N
Bài 1:
1.Tìm cực trị:
'
' 2
1
2 2
1
x
y
x
z y y x
1 ( 1, 1), 2 5, 2
M M
M 1 ( 1, 1) M25, 2
'' 1
2
xx
2
1 2
zxy'' 1 s -2 -1
z''yy 2y 1 t -1 5
s2 - rt (-1)2+1
2>0 (-1)2-5
2<0
2.Ta có:
'
'
1 1
2 2
y
x
z N
z N
2
z
l
Vậy hàm số sẽ giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng lập với truc
Ox một góc 30 0
3 Hướng thay đổi nhanh nhất là : i-2j
Bài 2:
+) Hình vẽ :
Hình chiếu của mặt phẳng ABC lên mặt phẳng Oxy
là miền tam giác OAB
Phương trình mặt phẳng ABC: 2 1
x y
Trang 3Phương trình đường thẳng AB: 1
2
x y
1 Khối lượng của tam giác ABC:
1
2
0 0
x
2 Tìm xG:
1
1 2 0
2 0
xy
x
x y y
S D
xds x dxdy dx xdy dx xy
7 2 3
2
G
x
3 Tìm yG:
1
1 2 0
2
xy
x
x y y
S D
y yds y dxdy dx ydy dx
7 1 6
2
G
y
4 Tìm zG:
2 0 0
2 0 0
7
2 1 7 2
xy
x y y
G
xy y
dx
z
Bài 3:
2
x
y
A B
C
Trang 41.Trên đoạn AB: y x x 2, : 1 0
0
1 0
1
0
1
0
1
AB
x y dy x y dx x x x x x
x x x x dx
x dx x x
2 Trên đoạn CA: y 1, :1x 1
1
1
1
1
CA
3 Trên đoạn BC: y x x, : 0 1
3
2 2
1
0
BC
x
x x x
L
x y dy x y dx
Dùng công thứcGreen:
2
1
0 1
0
1
0
y
Bài 4:
'' 2 ' 2 ' x 2 ' 2 3 2x x
y y z e y y z e e
Trang 5' 2
x x
Phương trình thuần nhất:
'' 3 ' 4 0
2
4
Phương pháp biến thiên hằng số:
0
x x
x x x x
c e c e
2
5c e x 2e x 2e x
c e e c e e c
c e e e c e c x e c
Vậy nghiệm tổng quát:
Thay vào tìm được z
z xe c e c e
Từ điều kiện ban đầu ta có:
Thay vào ta có:
y xe e e e
z xe e e
Trang 6Thang điểm:
Bài 1:
(1.5đ)
' ' 2
1
2 2
1
x y
x
z y y x
0.5
Hàm số không đạt cực trị tạiM 1 ( 1, 1)
Hàm số đạt cực đại tại M25, 2
Hàm số sẽ giảm nếu dịch chuyển ra khỏi điểm N theo hướng hợp
với trục Ox một góc 30 0
Hướng thay đổi nhanh nhất là : i-2j
0.25 0.25
0.25 0.25
Bài 2
(2.5 đ)
Lập công thức ,tính khối lượng
2 2
3
2
.1
xy
xy
S D
D
dxdy
0.25 0.25
Lập công thức ,tính
7 2 3
2
G x
0.25 0.25 Lập công thức ,tính
7 1 6
2
G y
0.25 0.25
Trang 77 2 2 7
2 1 7 2
S
G
ds
z
0.25
Bài 3:
(3đ)
Trên AB
0
1
82 15
AB
x y dy x y dx x x x x x
0.5 0.5
Trên BC
1
0
1
2 25
6
BC
x
0.5
Trên CA
1
1
1 2
1 3 16
3
CA
0.5
Bài 4
(3đ)
'' 3 ' 4 2 x 2 2x
Phương trình thuần nhất:
x x
y C e C e
0.5
2
x x
c e e
x x
c e e c
0.25 0.5
3 *
2 2
5 5
x
0.25 0.5