tích phân ôn thi đại học môn toán 2015

4 Cách tìmnguyên hàm : Biến đổi tích hoặc thương, tổng, bạ bậc, khai triển lũy thừy, chia đa thức ….... nguyên hàm Dạng... 2Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm c

tan(ax b) C cos (ax b) = a + +

∫

4) Cách tìmnguyên hàm : Biến đổi tích hoặc thương, tổng, bạ bậc, khai triển lũy

thừy, chia đa thức …

Căn thức thành lũy thừa :

2

1 cos2usin u

2 2

1

1 tan ucos u

1

1 cot usin u

43sinu sin3usin u

sin2u 2sinu.cosucos2u cos u sin ucos2u 2cos u 1cos2u 1 2sin u

2x 5x 2f(x)

10/ f(x) 2sin x 3cos x 5e= + + x ; 11/f(x) tan x= 2 − 12/ 3 1 2

BT2 : Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau ( sử dụng ……… )

1/f(x) sin x= 2 ; 2 /f(x) sin 7x= 2 ; 3/f(x) cos 4 x= 2 ; 4/f(x) cos x= 4

5/f(x) sin 2 x= 4 ; 6/ f(x) 7 sin x cos x= 2 2 ; 7 / f(x) sin 2 x cos x=

8/ f(x) sin 4 x sin 6x= ; 9 / f(x) cos 6 x cos 2 x= ; 10 /f(x) cosx 3 cosx= ( + )

11 /f(x) cosx sin 3x sinx= ( + ) ; 12 /

3 2

x 3x 6x 5f(x)

πcos 2x

16/(HV Quan Hệ Quốc Tế - 1997) f(x) =(sin x cos x sin x cos x4 + 4 ) ( 6 + 6 )

17/(ĐH Ngoại Thương – 1998- Khối A)

4 2 2

x x 1f(x)

x x 1

+ +

=

+ + 18/(ĐH Ngoại Thương – 1998- Khối D)

4 2 2

x 2x 2 xf(x)

x x 1

=

+ + 19/(ĐH Ngoại Thương – 2000 - Khối D) f(x) = sinxcos2xcosx

+

20/ f(x) = cos x sin x4 − 4 ; 21/

2

x 1f(x)

−

= ⎜⎝ + ⎟⎠ 22/ f(x) cos 5 x cos 2 x sinx=

+ Nếu bậc tử ≥ bậc mẫu ta chia đa thức

+ Nếu bậc tử < bậc mẫu ta xem tử có phải là đạo hàm của mẫu hay ko ? nếu có đặt t = mẫu số

+ Nếu ko có 2 trường hợp này ta sẽ làm theo dạng khác sẽ trình bày ở phần khác

n dx

∫ Đặt t = n ⇒ tn = sau đó lấy đạo hàm 2 vế

dx f(lnx).

cos x

∫

2

dxf(cotx)

Ax B

dx a(x x )(x x )

+

∫

Sau đó dùng pp hệ số bất định + Nếu mẫu có nghiệm kép x0,

ta đưa về 2

0

Ax B

dx a(x x )

+

−

∫

+ Nếu mẫu vô nghiệm ,đưa về

∫ và đặt X = D.tant t∈ −⎛ π π2 2; ⎞

1/ R(x, a−x )2 thì đặt x = sint 2/ R(x, a+ x )2 thì đặt x = atant

BT5: Tính các nguyên hàm sau ( sử dụng pp ……… )

2 12

xdxB

x dxJ

sin x

cos x

C = ∫6 sin 2x.cos xdx (ĐH Thủy Lợi– 2001)

VD5 : a/ Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x) = tan x2 , biết F( ) 0π

4 = b/ Cho hàm số f x( ) sin= x+cos2x Tìm nguyên hàm F x ( ) của hàm

x 2x 1

=

+ + biết F(1) 1 / 3= (TN THPT – 2003) b/ f(x) = +x sin x biết F( )π 2 2

4 = 3

( )

1

2 0

0

x 1

π 4

−

= ∫

π 4 2 0

π 4

π

3

2 0

dxI

2 20

π 4

0

π

3 2

(Soạn)

π 2 4 11

0

I = ∫ 3x +5x 1 x dx+ −

3 2 4

2 0

tanxdxK

cos x

= ∫

π 2

0

cosx.dxL

1 sin x

=+

∫

Giải : ☺ a/ Viết lại I dưới dạng:

1

3 3 6 2 0

Đổi cận: + Với x = 0 thì u = 1 + Với x= 3 thì u = 2

2 0

tanxdxK

cos x

= ∫ Đặt u = tanx suy ra 2

dxdu

4

2 2

0

cosx.dxL

1 sin x

=+

∫ Đặt u = sinx, suy ra du = cosx.dx Đổi cận: + Với x = 0 thì u = 0 + Với x π2

= thì u = 1

Từ đó:

π

1 2

1 0

0

I = ∫(1 3x)(1 2x 3x ) dx+ + +

1

3 2 2

1

dxI

12 2π 6

cosxdxI

∫ (ĐHQG – 1998)             

2π 3 23 π 2

dxI

153x 1

x.dx 1I

Phương pháp :

Ta đặt u = đa thức ( P(x) ) ,lnx, sinx, cosx… ( những hàm dễ lấy đạo hàm)

dv = ex ,sinx, cosx…… nguyên hàm

Dạng ( ).

b

x a

cos x 0.cos 0 sin x 0 0 sin sin 0 1

11/

1

2 x 0

= ∫ + = + (Dự Bị Khối D – 2006)

BT15: Tính các tích phân sau đây ( ……… ):

Phương pháp : ………

………

………

………

1/

1 2 0 dx π I 1 x 4 = = + ∫ 2/

2 3 2 0 dx π I 4 x 6 = = + ∫

3/

1 6 2 1 dx 6 I π x 2x 7 4 + = = − + ∫ 4/

0 2 1 dx π I x 2x 2 4 − = = + + ∫

5/

1 2 0 dx π 3 I x x 1 9 = = + + ∫

6/

1 3 8 0 x dx π I x 1 16 = = + ∫

7/ (soạn) 1 2 0 dx π 3 I x x 1 6 = = − + ∫

8/ (soạn) 2 2 0 dx π I x 2x 2 2 = = − + ∫

9*/

1 4 2 0 dx 1 π π I 3 x 4x 3 2 4 6 ⎛ ⎞ = = ⎜ − ⎟ + + ⎝ ⎠ ∫

10*/ 3 ( ) 2 0 2x 3 dx π I 2 3 x 3 4 + = = + + ∫

11*/ 1 ( ) 2 0 4x 3 dx π I 2 ln 2 x 2 x 2 4 − = = − + − + ∫

12**/ 3 2 ( ) 3 2 0 2x 8x 10 3 5π I dx 5 ln 1 3 ln 2 x x 3x 3 2 4 3 − + = = + − − + + + ∫

14/ (soạn)

3 2 0

dx π 3 I

+

∫

BT16: Tính các tích phân sau đây ( ……… ):

Phương pháp : ………

………

………

………

………

1/ 1 2 0 π I 1 x dx 4 = ∫ − = 2/

1 2 0 π 3 I 4 x dx 3 2 = ∫ − = +

CÁC BÀI TẬP THAM KHẢO Tính tích phân 2 x 1 x 0 (x x)e I dx x e− + = + ∫ ☺Ta có 2 1 0 ( ) I x x x x e dx x e− + = + ∫ = 1 0 ( 1) 1 x x x xe x e dx xe + + ∫ Đặt t = x ex + 1 ⇒ dt = (x+1)e x dx

Đổi cận :x= ⇒ =0 t 1; x= ⇒ = + 1 t e 1 Suy ra 1 0 .( 1) I 1 x x x xe x e dx xe + = + ∫ 1 1 ( 1) e t dt t + − = ∫ 1 1 1 1 e dt t + ⎛ ⎞ = ⎜ − ⎟ ⎝ ⎠ ∫ . Vậy I ( ) 1 1 ln e ln( 1) t t + e e = − = − + Tính tích phân : π 2 0 sin sin 2 I cos 1 x x dx x − = + ∫

sin 1 2 cos

I

−

−

Đặt t = cos x + ⇔ 1 t2 = cos x + ⇒ 1 2 tdt = − sin xdx ⇔ sin xdx = − 2 tdt

Và t2 − = 1 cos x ; 0 2; 1

2

x = ⇒ =t x = ⇒ =π t

dx x

a)

7

3 2 0

I = ∫ x 1+ x dx; b)

π 4

1 cos 2

Tính các tích phân sau: = ∫2 +

01 3cossin

π

dx x

π

dx x

x

đặt u= 1+3cosx du xdx du sinxdx

3

1sin

40

u x

0

2 1

dx e dv

x u

x x

1 1 1 1

3

4 2 1 3

1

−

=

− +

1 (

dx e

x e x

) 1

2 1

Tính 2

1 ln

) 1

ln(

1

) 1

( 1

1

0

1

0

1

0 2

+

= +

= +

+

= +

e

e d dx

e

e

x

x x

x

Vậy I 32 2 ln e2+1

-

Chủ đề 4 : DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG – THỂ TÍCH + Diện tích hình phẳng giới hạn bởi : y f(x) y g(x) x a ; x b = ⎧ ⎪ = ⎨ ⎪ = = ⎩ b hp a S = ∫ f(x) g(x) dx −

+ Tìm phương trình hoành độ giao điểm của f(x) và g(x) + Sau đó ta vẽ đồ thị hoặc xét dấu để bỏ trị tuyệt đối Chú ý : ………

………

………

………

………

BT17: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :

a

y

f(x) g(x)

CÁC ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ II

ĐỀ THI THỬ HỌC KÌ 2 – số 01

Câu I:(3.0 điểm Cho hàm số: y = x + 3x + 1− 3 có đồ thị là (C)

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2)Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại giao điểm của đồ thị với trục tung

3) Dựa vào đồ thị (C) của hàm số, xác định m để phương trình sau có 3 nghiệm

thực phân biệt : x3 −3x + m−2 = 0

4) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng y =3

Câu II:(1.5 điểm). Tính các tích phân sau:

a)

3 4

2 0

(tan 1) cos

Câu III:(1.0 điểm)

Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường y x= 3 +1,y = 0,x = 0,x = 1 khi quay xung quanh trục Ox

Câu IV:(3.0 điểm)

1)Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(-5; 0;1), B(7; 4; -5) và

a) Hãy tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng d

b) Viết phương trình mặt cầu ( )S có tâm là điểm A và tiếp xúc với đường thẳng d.

Câu V (1.5 điểm)

1) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 −8z + 25 = 0 Tính giá trị của biểu thức A = z + z 1 2

Tâm đối xứng là I(0;1)

x Giao điểm với trục tung: cho x = 0 ⇒ y = 1

0.25

[ (0.5 điểm) Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng y = 3

2 0

(tan 1) cos

0.25

0.25

0.25

Y a) Đường thẳng d đi qua điểm M (2;1; 0)0 và có vtcp

R = AA = (4 - 0) + (5 - 6) + (2 - 4) = 21 ′Vậy, phương trình mặt cầu (S) : x + (y2 −6) + (z2 −4) = 212

0.5 0.25

0.25

0.25 0.25

X (0.5điểm )Phương trình đã cho có Δ = 36 < 0−

⇒ phương trình có 2 nghiệm phức phân biệt

V

(1.5điểm)

Y (1điểm) a/z = 1 + 4i + (1 i)− 3

Câu III (2,0 điểm)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;-2;-2) và mặt phẳng có

phương trình là ( )P : x 2y 3z 7 + + − = 0.

1/ Viết phương trình đường thẳng d qua A và vuông góc với (P) Tìm tọa độ giao điểm của d và (P)

2/ Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với (P)

II PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)

A PHẦN 1 (THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN)

Câu IVa ( 2,0 điểm)

1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

y = x + 2x − 3, y = 0 và x = 0, x = 2

2/ Tìm mô đun của số phức Z ,biết rằng ( )2

1 2i Z Z 4i 20 + + = −

Trong không gian Oxyz, cho điểm A( 1; 2;3) , B 1;0; 5− ( − ) và mặt phẳng có

phương trình là (P) : 2x + y – 3z – 4 = 0

Tìm điểm M trên mặt phẳng (P) sao cho ba điểm A,B,M thẳng hàng

B PHẦN 2 (THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO)

Câu IVb (2,0 điểm)

1/Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y = 0 và

1

5 2 0

Đặt t = 1 x − 2 ⇒ x2 = − ⇒ 1 t2 t.dt = − xdx Khi : x = 0 ⇒ =t 1 và x 1= ⇒ =t 0 0;25

t = 1 Vậy : A(4;0;1) 0.25 2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A và tiếp xúc với (P)

Vì (S) tiếp xúc với (P) ⇒ bán kính R = (A;(P)) 0.25 ⇒ = R 14 0.5

1;0

đ Phương trình mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2

S : x 3 − + y 2 + + + z 2 = 14 0.25 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau

y=x4 +2x2−3, y=0 và x=0, x =2

Phương trình hoành độ giao điểm :

( ) ( )

1 2i Z Z 4i 20+ + = −

Đặt Z = a + b.i (a, b R∈ ) gt⇒ (− +3 4i a bi)( + )+ − = − +a bi 20 4i 0;25 ⎧4a 4b 4− −2a 4b 20=

điểm M nằm trên mặt phẳng (P) để ba điểm A,B,M thẳng hàng

Vì A,B,M thẳng hàng nên M thuộc đường thẳng AB 0.25

V.a

(1đ)

1;0

đ

f x

x

= + biết rằng F(3) = 1

lnx

2/ Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A lên mặt phẳng (P)

II PHẦN RIÊNG – PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)

A PHẦN 1 (THEO CHƯƠNG TRÌNH CHUẨN)

Câu IVa ( 2,0 điểm)

1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường sau: y=x3−3x, y=x

2/ Giải phương trình 3z2 – 2z + 1 = 0 trên tập số phức

Câu Va ( 1,0 điểm)

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(2 ; 1; 0), (1; 2; 2), (1;1; 0)B C mặt phẳng

đường thẳng CD song song với mặt phẳng (P)

B PHẦN 2 (THEO CHƯƠNG TRÌNH NÂNG CAO)

Câu IVb (2,0 điểm) 1/ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm

số − +

=

+

x y

x v

1

(1,0 điểm)

Ta có x3 − 3 x x =

202

x x x

3 2

3 1

1

a b

=

⎧

⇔ ⎨ = −

⎩ Vậy : z = 2 – i