ứng dụng đạo hàm giải pt và bpt ôn thi đại học môn toán

Qua bài học “Tính đơn điệu của hàm số”- Giải tích lớp 12 Nâng cao, tôi thấy rằng, bài học này có thể giúp cho HS làm quen và giải các dạng toán sau đây: 1.. Chứng minh hàm số fx đã cho

Người viết: Nguyễn Quang Hoàng- THPT Vĩnh Định

A GIỚI THIỆU BÀI VIẾT

Dạy học các kiến thức mới cho học sinh, ngoài việc tổ chức các hoạt động dạy- học thật hợp lí với mục tiêu chính là giúp cho HS nắm được các kiến thức trọng tâm của bài học Thông qua đó, trang bị thêm cho học sinh các “công cụ để giải toán” Qua bài học “Tính đơn điệu của hàm số”- Giải tích lớp 12 Nâng cao, tôi thấy rằng, bài học này có thể giúp cho HS làm quen và giải các dạng toán sau đây:

1 Xét tính đơn điệu của hàm số

2 Chứng minh hàm số f(x) đã cho là đơn điệu trên một khoảng nào đó

3 Tìm điều kiện của tham số m để hàm số f(x;m) đơn điệu trên một khoảng K cho trước

4 Vận dụng tính đơn điệu của hàm số chứng minh các bất đẳng thức một biến

Ngoài ra, ứng dụng của tính đơn điệu có thể phát huy tác dụng trong các bài toán giải phương trình, bất phương trình và hệ phương trình Dạng toán này xuất hiện đầu tiên ở câu chốt KA 2010, và từ đó đến nay, các đề thi Đại học và thi thử Đại học cũng như các thầy cô và các bạn trẻ yêu toán đều sáng tạo và đưa ra nhiều bài tập rất hay và thú vị Một số bài toán nếu không dùng đến công cụ tính đơn điệu thì e rằng các cách giải khác trở nên khó khăn hơn rất nhiều Hi vọng qua bài giới thiệu này, quý thầy cố sẽ thấy được sự mạnh

mẽ của đạo hàm trong các bài toán PT, BPT và HPT

Trong bài viết này, tôi giới thiệu về ứng dụng của đạo hàm trong việc giải PT, BPT và HPT, mỗi dạng toán đều có ví dụ mẫu và PP chung để tìm đường lối giải Hi vọng rằng tài liệu sẽ phần nào giúp cho

HS bước đầu thấy được ứng dụng của đạo hàm trong đại số

B TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CÁC DẠNG TOÁN

1 Định lí cơ bản: (dùng cho trên đoạn)

* “ Nếu hàm số y f x  liên tục trên  a b; và có đạo hàm / 

0

f x  (0) trên khoảng  a b; , f’(x)=0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số y f x  đồng biến (nghịch biến) trên  a b; ”

* Hiển nhiên /   

f x   x a b thì f(x) không đổi trên  a b;

* Nếu trên nửa khoảng thì định lí vẫn đúng, nếu trên khoảng thì không cần đk liên tục (Hàm số đạo hàm trên khoảng thì liên tục trên khoảng )

2 Hệ quả:

Cho hàm số f(x) là đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng K (K là kí hiệu chung cho đoạn, khoảng, nửa khoảng), khi đó:

2.1) Phương trình f x( )a có nhiều nhất một nghiệm trên K (Dùng giải PT bằng PP đạo hàm)

2.2) Nếu f(u) = f(v) với u v; K thì u = v (Dùng cho giải HPT bằng đạo hàm)

2.3) Nếu f(x) đồng biến thì f u( ) f v( ) u v; Nếu f(x) nghịch biến thì f u( ) f v( ) u v (Dùng cho giải BPT bằng đạo hàm)

ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀO VIỆC GIẢI PT- BPT-HPT

3 Bài tập vận dụng:

3.1 Ứng dụng giải phương trình

3.1.1 Ví dụ: Giải các phương trình sau:

c) x   1 x3 4x5 d) x x2  x 1 x 1 x2  x 1 1

Hướng dẫn giải:

a) 4x 1 4x2  1 1

Điều kiện: 4 2 1 0

 



  



x x

1 2

 x

Nhận xét: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hàm số y 4x 1 4x21 và y1 Xét hàm số y 4x 1 4x21 Miền xác định: 1

; 2

 

Minh họa đồ thị

Đạo hàm /

2

0

2

x

Do hàm số liên tục trên 1

; 2



  nên hàm số đồng biến trên

1

; 2



 

Dễ thấy 1

2



x thỏa (1) Do đó hàm số có nghiệm duy nhất và đó là 1

2



b) 3 sin x  2 sin x 1 TXĐ: DR

Đặt tsinx , điều kiện t 1

x y

2 1

Khi đó phương trình có dạng : 3 t 2 t 1 3  t 1 2t (2)

Dễ thấy:

+ Hàm số f t( ) 3t là hàm đồng biến trên D  1;1

+ Hàm số g t( ) 1 2t là hàm nghịch biến trên D  1;1

Từ (*) suy ra : f t( )g t( ) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Ta thấy t1 là thỏa phương trình (2), do đó: sin 1 2

2

   

c) x   1 x3 4x5 (3)

TXĐ: D 1; 

Xét hàm số f x( ) x1 có / 1



x nên hàm số đồng biến trên 1;

Và hàm số g x( )  x3 4x5 Đạo hàm : y/  3x2 4 0   x D hàm số nghịch biến trên D Phương trình (3) có dạng f x( )g x( ) Do đó phương trình nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất Ta thấyx1 thoả mãn phương trình

Vậy phương trình có nghiệm x1

d) x x2  x 1 x 1 x2  x 1 1

Điều kiện:

2 2





    



2 2

1

    



 

    



+ Với

2 2

0

1 0 1

0 1

  



   





       

   





x

x

0 0





 x  x x

+ Với

2 2

1 0

1 0

1 0

   



   





         



    





x

x

1 1

 



  x  x

Biến đổi phương trình về dạng : x x2    x 1 1 (x 1) (x1)2  (x 1) 1

2 2

 x x    x x x  x  x   x (4)

Xột hàm số f t( ) t t2 t 1 Miền xỏc định DR

2

2 /

( )

f t

Nhận xột :

2 t     t 1 2t 1 4t     4t 4 2t 1 (2t1)    3 2t 1 2t   1 2t 1 0

/

 f x   x hàm số đồng biến trờn D

Khi đú: (*) f x( ) f x(    1) x x 1 vụ nghiệm Vậy phương trỡnh đó cho vụ nghiệm

3.1.2 Sơ lược về PP giải

Dạng 1: Dạng ( )F x 0, với ( ) hoặc đồng biến, hoặc nghịch biến trên D F x

Bước 1: Đưa phương trỡnh (1) về dạng: F x( )0

Bước 2: Xột hàm số yF x( )

Chỉ rừ hàm số yF x( ) đồng biến hay nghịch biến trờn D

Bước 3: Đoỏn được F x 0 0 Lỳc đú phương trỡnh (1) cú nghiệm duy nhất xx0

Dạng 2: ( ) đồng biến trên D  

( ) nghịch biến trên D







F x

G x

Bước 1: Đưa phương trỡnh (1) về dạng : F x( )G x( ) (1)

Bước 2: Xột hai hàm số y f x( ) và yg x( )

Chỉ rừ hàm số yF x( ) là hàm đồng biến (nghịch biến) và yG x( ) là hàm nghịch biến (đồng biến)

Bước 3: Đoỏn được F x 0 G x 0 Lỳc đú phương trỡnh (1) cú nghiệm duy nhất xx0

Dạng 3: Dạng phương trình ( )F u F v( ) (*), với ( ) hoặc đồng biến,F x

 

hoặc nghịch biến trên a b; Lúc đó, (*) có nghiệm duy nhất uv

Bước 1: Đưa phương trỡnh về dạng F u( )F v( ) (1)

Bước 2: Xột hàm số: yF t( )

Chỉ rừ hàm số đồng biến hay nghịch biến trờn  a b;

Bước 3: Khi đú: F u( )F v( ) u v

3.1.3 Bài tập vận dụng

Giải các phương trình sau:

3 x  2 x 

3 3

2) x +1=2 2x1

4) x - 15x + 78x - 144 = 5 2x9

6) x +3x + 4x +2 = 3x2 3x1 7) 2x 1 4 2x 1 x 1 x22x3

3.2 Ứng dụng giải bất phương trình

3.2.1 Ví dụ:

Giải các bất phương trình sau:

a) x 9 2x 4 5 b) x22x 3 x26x11 3 x x1

Hướng dẫn giải:

a) x 9 2x 4 5 (1) Điều kiện: 9 0

2

 



  

  



x

x x

Xét hàm số y f x( ) x 9 2x4 Miền xác định : D   2; 

Để ý rằng: f(0)5, do đó:

+ Nếu x0 thì f x( ) f(0) x 9 2x 4 5, nên x0 là nghiệm bpt

+ Nếu   2 x 0 thì f x( ) f(5) x 9 2x 4 5 nên   2 x 0 không là nghiêm bpt

Đối chiếu với điều kiện, suy ra tập nghiệm của (1) là T 0;

b) x22x 3 x26x11 3 x x1 (2)

Điều kiện:

2 2

   

   



 



  



x x

x

(*)

Biến đổi bất phương trình:  x22x 3 x 1 x26x11 3x

 (x1)2 2 x 1 (3x)2 2 3x (3)

Xét hàm số f t( ) t2 2 t Ta thấy hàm số đồng biến trên  1;3

Từ (3) ta có f x(  1) f(3x)     x 1 3 x x 2

Đối chiếu với điều kiện, ta có nghiệm của bất phương trình (2) là T 2;3

3.2.2 Sơ lược về PP giải

Dùng tương tự như giải PT, chú ý tính đồng biến nghịch biến của hàm số để lấy dấu bất phương trình

3.2.3 Bài tập vận dụng

Giải các bất phương trình sau:

1) x  1 3 x4 2) 5x 1 x 3 4

5

x

3

4) 8x 2x(x2) x1

3.3 Ứng dụng giải hệ phương trình

3.3.1 Ví dụ:

Giải các hệ phương trình sau:

a)

3 4

1

    





 



b)

2 2







c)

      







Hướng dẫn giải:

a)

3 4

1

    





 



(I) Điều kiện: 1 0 1

    







4

1

     



 

 



    

x x x  x   1 x3 x22x2 (1)

Ta thấy hàm số f x( ) x1 là hàm đồng biến trên 1;

Xét hàm số g x( )  x3 x22x2 Miền xác định: D 1; 

( ) 3 2    2 0

g x x x x D Suy ra hàm số nghich biến trên D

Từ (1) ta thấy x1 là nghiệm của phương trình và đó là nghiệm duy nhất

Vậy hệ có nghiệm  1;0

b)

2

2







(II) Điều kiện: 0

0





 



x y

Ta có (II)

2

2



 



Cộng vế theo vế ta có: 3x2 3 x  3 3y2 3 y3 (2)

Xét hàm số f t( ) 3 t2 3 t 3 Miền xác định: D 1; 

Đạo hàm: /

2

3

2 3



t

t t

Suy ra hàm số đồng biến trên D

Từ (*) ta có f x( ) f y( ) x y

Lúc đó: 2

3x  x 3 (3)

+ VT (3) là hàm số hàm đồng biến trên D

+ VP (3) là hàm hằng trên D

Ta thấy x 1 là nghiệm của phương trình (3) (thỏa điều kiện)

Suy ra phương trình có nghiệm x1 là nghiệm duy nhất

Vậy hệ có nghiệm  1;1

c)

      







( )   3 3 ln  1

Lúc đó hệ có dạng:

( ) ( ) ( )









Miền xác định: D R

Đạo hàm : / 2

2



 

t

Suy ra hàm số đồng biến trên D

Ta giả sử x y z; ; là nghiệm của hệ và xmaxx y z, ,  khi đó ta suy ra:

( ) ( ) ( ) ( )

y f x f y z z f y f z x Vậy x     y z x x y z

x  x  x   x (3)

Ta thấy x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (vì VT (3) là đồng biến trên R)

Vậy hệ có nghiệm 1;1;1

3.3.2 Các bước giải như sau:

Bước 1 Đặt điều kiện cho PT và chặn miền biến của biến nếu được

Bước 2: Biến đổi một về hoặc phối hợp cả hai vế của HPT để làm xuất hiện hàm số đặc trưng

Bước 3: Xét hàm số đặc trưng f(t) (trên TXĐ; trên miền biến chặn được) và chứng minh rằng hàm số f(t) đồng

biến hoặc nghịch biến trên khoảng đang xét

Bước 4: Vận dụng kiến thức 2.2 để giải; sau khi dùng hàm số, ta thu được một PT mới PT này có thể giải tiếp

bằng PP hàm số, PP lượng liên hợp, lượng giác hóa, đặt nhân tử chung hoặc đặt ẩn phụ đưa về PT đa thức,…

3.3.3 Bài tập vận dụng

Giải các hệ phương trình sau

5 4 10 6

2

1)





   



2

2)

     





    



8 4

3)

1

   





 



2

4)







(4 y 1) 2(x 1) 6

5)







3 2

6)

         







3

3

7)

x





 



2

(x y)(x xy y 3) 3(x y ) 2 8)





    

3

9)





    



2

2 2

(4 x 1) x (y 3) 5 2 0

y







2 2

2





   



3

12)







     







13)











15)







2

16)

2

17)

        







  





   



4

3

18)







2

19)





20)

xy x

2 2

21)

       





    



22)

     







2 2

2 (x 3) y(y 3) 3 ( )

23)

y







 



24)

1

2014

25)

2014







2 2

26)

      





    

27)

     





4 4

      





