thể tích lăng trụ khối chóp ôn thi đại học môn toán

Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng BD' a 6 .Tính thể tích của lăng trụ.. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường ch

Trang 1

Lăng trụ-

1 Phạm Ngọc Chuyên – THPT Quỳnh Lưu 2 - 10/4/2013

Dạng 1:

Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy

1 Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh BC = a 2 và biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: a 23

2 Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a Tính thể tích khối lăng trụ

3 Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích tam giác A’BC bằng

4 Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 600 Đường chéo lớn của đáy bằng đường

chéo nhỏ của lăng trụ.Tính thể tích hình hộp ĐS:

3

a 6

2

5 Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a Tính thể tích và tổng

diện tích các mặt bên của lăng trụ ĐS: a3 3

V4

 ; S = 3a2

6 Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng BD' a 6 Tính thể tích của lăng trụ Đs: V = 2a3

là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a Tính thể tích lăng trụ Đs: V = 24a3

8

Dạng 2:

Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 600.Tính thể tích lăng trụ ĐS:

3

a 3 2

2 Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với AC = a , ACB= 60 o biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 300 Tính AC' và thể tích lăng trụ ĐS: a 63

3 Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD' của lăng trụ hợp

với đáy ABCD một góc 300 Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ ĐS: 4a2 6

16

Trang 2

Lăng trụ-

6 Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại B biết BB' = AB = a và B'C hợp với đáy (ABC) một góc

9 Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng a và AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) một góc 300 Tính thể tích lăng trụ ĐS: 32a3

V 9



10 Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết rằng A'C hợp với (ABCD) một góc 30o

và hợp với (ABB'A') một góc 45o Tính thể tích của khối hộp chữ nhật ĐS: a3 2

V8



11 Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a, góc tạo bới cạnh bên và mặt phẳng đáy là

600 Hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (A1B1C1) là trung điểm H của B1C1

a Tính khoảng cách giữa hai đáy

b Tính góc giữa hai đường thẳng BC và AC1

c Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABB1A1) và đáy

2 Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều Mặt (A’BC) tạo với đáy một góc 300 và diện

tích tam giác A’BC bằng 8 Tính thể tích khối lăng trụ ĐS: 8 3

3 Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) một góc

3

a 6 2

4 Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD một góc 30o và mặt

(A'BC) hợp với đáy ABCD một góc 600 ]Tính thể tích hộp chữ nhật Đs : 2a3 2

V3



5 Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên bằng a biết rằng mặt (ABC'D') hợp với đáy một góc 30o Tính thể tích khối lăng trụ Đs: V = 3a3

Trang 3

Lăng trụ-

6 Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o

Va 2

7 Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a và o

BAC 120 biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45o Tính thể tích lăng trụ Đs: V a3 3

1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60o

2) A'B hợp với đáy ABC một góc 45o

3) Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ

Đs: 1) V  a3 3 ; 2) V = a3 3

4 ; V = a3 3

10 Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 45o

2) BD' hợp với đáy ABCD một góc 600

3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a Đs: 1) V = 16a3 2) V = 12a3 3) V = 16a3

3

11 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có tam giác ABC vuông cân tại A, BC  2 a, Mặt phẳng (A’BC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc 0

60 a/ Chứng minh AB(ACC A' ')

b/ Tính thể tích khối lăng trụ theo a

16 Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C' có cạnh bên AA' = a Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau:

a/ Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 600

b/ A'B hợp với đáy (ABC) một góc 450

Trang 4

Lăng trụ-

a

18 Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông đường chéo bằng 2a Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

a/ Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 600

b/ Tam giác BDC' là tam giác đều

c/ AC' hợp với đáy ABCD một góc 450

d/ Khoảng cách giữa AC với BD’ bằng 3

c/ AC' hợp với đáy ABCD một góc 450

d/ Diện tích tam giác BDC’ bằng

22

a

20 (KD – 2008) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a

2 Gọi M là trung điểm của BC Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C

21 (2010B) Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C ' ' ' có AB  a, góc giữa mặt phẳng (A’BC) và mặt phẳng (ABC) bằng 600 G là trọng tâm của tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a

22

Dạng 4:

Khối lăng trụ xiên

1 Cho lăng trụ ABC A'B'C'có các cạnh đáy là 13;14;15 và biết cạnh bên bằng 2a hợp với đáy ABCD một góc

Trang 5

Lăng trụ-

2 Cho lăng trụ ABCD A'B'C'D'có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và biết cạnh bên bằng 8 hợp với đáy ABC

5 Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , đỉnh A' có hình chiếu trên (ABC) nằm

1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật

2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C' Đs:

3

3a 3 V

8



6 Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O Cạnh b CC' = a hợp với đáy ABC một góc 60o

và C' có hình chiếu trên ABC trùng với O

1) Chứng minh rằng AA'B'B là hình chữ nhật Tính diện tích AA'B'B

S2

 2)

3

3a 3 V

8



7 Cho lăng trụ ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết chân đường vuông góc hạ từ A' trên ABC

trùng với trung điểm của BC và AA' = a

1) Tìm góc hợp bởi cạnh bên với đáy lăng trụ

2) Tính thể tích lăng trụ Đs: 1) 30o

V8



8 Cho lăng trụ xiên ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều với tâm O Hình chiếu của C' trên (ABC) là

O.Tính thể tích của lăng trụ biết rằng khoảng cách từ O đến CC' là a và 2 mặt bên AA'C'Cvà BB'C'C

hợp với nhau một góc 90o Đs: V 27a3

4 2



9 Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của A' xuống (ABC) là

tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc 60

1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật

4

Trang 6

Lăng trụ-

a) Thể tích khối tứ diện B MCA'

Do ACC A' ' là hình vuông nên ACa 2, từ đó ta có:

BA BC AC hay tam giác ABC vuông cân tại B

3 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a 2.Tính thể tích khối lăng trụ và góc

giữa AC1 và đường cao AH của mp(ABC) ĐS: V

4

6 ).

Trang 7

Lăng trụ-

2

a

lần lượt là trung điểm của A’D’ và A’B’

Bài 2*: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC)

trùng với tâm O của tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với AA’ cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích là

2

3 8

a

Tính thể tích khối lăng trụ

lượt là trung điểm của AA BC1, 1 Chứng minh MN là đoạn vuông góc chung của AA1 và BC1 Tính thể tích khối chóp

Bài 4: (KB - 2009) Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng

(ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và BAC  600 Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a

I

E M

N A'

C

B A

B1

C1

A1

Trang 8

Lăng trụ-

Bài 5: (KD – 2009 ).Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C

= 3a Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC

và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC)

C

A B

Trang 9

Bài tập: Thể tích khối đa diện Giáo viên: Phạm Ngọc Chuyên

K

*) Cho hình chóp S.ABCD, H là hình chiếu của S lên mp(ABCD), E là hình chiếu của H lên cạnh AB, K là hình chiếu của H lên SE Ta có:

• SH = h là chiều cao của hình chóp

• SEH là góc giữa mặt bên (SAB) với mặt đáy

• Độ dài đoạn HK là khoảng cách từ H đến (SAB)

2 Các hình chóp đặc biệt:

2.1 Hình chóp đều: Là hình chóp có đáy là đa giác đều và có các cạnh bên bằng nhau

O E

B

S

H

• SO = h là chiều cao của hình chóp

• SEO là góc giữa mặt bên (SAB) với mặt đáy

• Độ dài đoạn OH là khoảng cách từ H đến (SBC)

E

C O

B

S

H

• SO = h là chiều cao của hình chóp

• SEO là góc giữa mặt bên (SAB) với mặt đáy

• Độ dài đoạn OH là khoảng cách từ H đến (SBC)

*) Tính chất:

- Các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau - Các mặt bên hợp với đáy các góc bằng nhau

2.2 Tứ diện đều: Có 6 cạnh đều bằng nhau

*) Tính chất: Có 4 mặt là các tam giác đều và bằng nhau

2.3 Tứ diện gần đều: Có các cạnh đối diện bằng nhau

3

4 Tỉ số thể tích hai khối tứ diện:

Cho khối tứ diện S.ABC Gọi A’, B’, C’ lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB, SC Ta có:

m a

h a

M H

A

C B

Trang 10

a/ Giữa hai đường thẳng:

Góc giữa hai đường thẳng a, b trong không gian là góc giữa

hai đường thẳng a’, b’ cùng đi qua O và lần lượt song song với

A

c/ Giữa hai mặt phẳng

- đường thẳng a( )P và vuông góc với  tại I

- đường thẳng b( )Q và vuông góc với  tại I

Khi đó: (a,b) = ((P),(Q))

Q P

I

5.5 Các cách xác định khoảng cách:

a/ Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng, từ 1 điểm đến 1 mặt phẳng

b/ Khoảng cách từ 1 đường thẳng đến 1 mặt phẳng song song

d/ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Chú ý: (cách tính khoảng cách gián tiếp)

P

A1 B1

I B

Trang 11

3

CÁ C DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP DẠNG 1: Khối chóp đều – Khối chóp có các cạnh bên bằng nhau

Chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

a Tính VS.ABC

b/ Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SBC)

30 a/ Tính V S ABC.

b/ Tính khoảng cách giữa SA và BC

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a Gọi H là chân đường cao của tứ diện hạ từ đỉnh

S và H cách đều các đỉnh A, B, C Khoảng cách từ H đến (SBC) bằng

2

a

a/ Chứng minh S.ABC là khối chóp đều

b/ Tính VS.ABC

a/ C/m ABCD Xác định đường vuông góc chung của AB và CD

b/ Tình V ABCD

c/ Nhận dạng tam giác ACD và BCD Từ đó tìm tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ giác ABCD

a/ Tính VS ABCD.

b/ Tính khoảng cách từ tâm của ABCD đến mặt phẳng (SCD)

60 a/ Tính VS ABCD.

b/ Tính khoảng giữa BD và SC

60 a/ Tính VS ABCD.

b/ Tính khoảng giữa SA và CD

Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, có ABCD là hình vuông tâm O, khoảng cách từ O đến (SCD) bằng a,

góc giữa (SCD) với mặt đáy bằng 0

60 Tính VS ABCD.

Bài 5: (KB – 2004 ) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

0

60 Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) Tình VS.ABCD theo a

phẳng (P) qua AB và vuông góc với (SCD) cắt SC và SD tại C’ và D’

nhau và cùng bằng a 2

Trang 12

b/ Tính thể tích khối chóp và diện tích toàn phần của tứ diện

c/ Gọi O là trung điểm của SH Chứng minh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có các cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a

a/ Tính thể tích của khối chóp

b/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)

a/ Tính VS ABCD.

b/ Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi (P)

Bài 11: Cho hình chóp đều S.ABCD có khoảng cách từ tâm O của đáy đến mặt bên là a, góc giữa mặt bên và

đường cao bằng 0

30 a/ Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b/ Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC M là điểm trên cạn SD sao cho MS 2MD Mặt phẳng

(MEF) cắt SA tại N Tính thể tích khối chóp S.EFMN

lên trên SC Chứng minh SC(ABH) Tính thể tích khối chóp S ABH

SB, CD Chứng minh MNSP Tính thể tích của khối tư diện AMNP

Trang 13

5

DẠNG 2: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy (có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy)

- Cạnh bên vuông góc với đáy: Là chiều cao của khối chóp

- Hai mặt bên vuông góc với đáy: Đường cao là giao tuyến

a/ Tính VS.ABC

b/ Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC)

bằng 300 Tính thể tích khối chóp S.ABC

SB với mặt đáy (ABC) bằng 0

b/ Tính khoảng cách giữa BD với SC

b/ Tính tan của góc giữa SC với mặt đáy (ABCD)

cách từ A đến SC bằng a Tính VS ABCD.

phẳng (SCD) hợp với đáy một góc bằng 0

60 Tính VS ABCD.

Bµi 10 (KD – 2006 ) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = 2a và SA vuông

góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các đường thẳng SB và SC

Tính thể tích của khối chóp A.BCNM

SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và

AC Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích của khối tứ diện ANIB

lượt là hình chiếu của A trên SB và SD Chứng minh SC(AHK) Tính thể tích của khối tứ diện S.AHK

Trang 14

6

(SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M là trung điểm của AB, mặt phẳng qua SM và song

song với BC, cắt AC ở N Biết góc giữa (SBC) với (ABC) bằng 0

60 Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a

ABBCa AD a, SA(ABCD) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD Chứng minh BCNM là

hình chữ nhật và tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a

HD: Dùng tỉ số thể tích

DẠNG 3: Khối chóp có mặt vuông góc với đáy

Chú ý: Đường cao của khối chóp = đường cao của mặt đó và chân đường cao thuộc giao tuyến

Bài 1: Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC đều cạnh a, tam giác SAC cân tại S và nằm trong mặt phẳng

vuông góc với (ABC) Tính VS.ABC trong các trường hợp:

a/ SB = a 3

b/ SB tạo với mặt đáy một góc 300

góc với (BCD) Tính V ABCD biết AB tạo với mạt phẳng (BCD) góc 600

đáy, các mặt bên (SAB) và (SBC) cùng tạo với đáy 1 góc 0

45 a/ Chứng minh chân đường cao của khối chóp là trung điểm của AC

b/ Tính thể tích khối chóp S.ABC

vuông góc với (ABCD) Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt đáy một góc 0

30 Tính VS ABCD.

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 2AD = 2a Tam giác SAD cân tại S và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD) Tính VS ABCD. biết SB tạo vơi đáy một góc 300

phẳng vuông góc với (ABC), góc giữa (SAC) với mặt đáy (ABC) bằng 0

45 Tính V S ABC.

Bài 7: (KA – 2007 )Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD Chứng minh

AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP

(SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC Tính theo a thể tích

của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN

Bài 9: (KA – 2009 )Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD =

a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI)

và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a

Định dạng
Số trang	22
Dung lượng	907,86 KB