Phương pháp đổi biến số: a.
Trang 1BÀI TẬP ÔN CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN
dx x C= +
1 1
1
x dxα xα C α
+
1
u duα uα C α
+
∫
ln
dx
x C
2
dx
x C
∫
e dx e= +C
(0 1)
ln
x
a
ln
u
a
∫
cosxdx=sinx C+
sinxdx= −cosx C+
2 tan
cos
dx
x C
sin
dx
x C
x = − +
cos
du
u C
sin
du
u C
u = − +
∫
Ngoài ra còn một số công thức thường gặp là.
ln ax , 0
ax b dx=a + +b C a≠
+
;
a
∫
1 sin(ax b dx) cos(ax b) C
a
a
∫
2
1 tan( ) cos ( )
dx
ax b C
ax b = a + + +
1 cot( ) sin ( )
dx
ax b C
ax b = −a + + +
∫
2
∫ ( )2
x a
±
±
∫
1 Tích phân hàm phân thức hữu tỉ:
Bài 1: Tính các tích phân sau:
1
1
0
2x 9
x 3
+
=
+
∫ 2 3ln4
3 +
1 2 2 0
x 3x 2
x 3
=
+
2+ 3
2 2 3
1
2x 3x 1
2x 1
=
+
2 2 3
− + 3
4
2
2x 3
(x 1)(x 2)
+
=
ln 2 ln
0
2x 1
4 x
−
=
−
∫ 3ln 2 5ln3
4 −4 2
1
0
3
x 4x 5
=
∫ 1ln2
2 5
Trang 22
x 1
x 2x 3
− −
=
∫ 1ln 5
2 12
1 2
0
x 2x 3
x 4
=
−
2
1
5
x 6x 9
=
∫ 5
2 1
10 2
0
x 3
x 2x 1
+
=
∫ 1 ln 2+
2 Phương pháp đổi biến số:
a Đổi biến số dạng 1:
Bài 2: Tính các tích phân sau:
3
2
1
0
I = ∫ x +1.xdx 7
3
1 2 0
I =∫x 3x 1dx+ 116
135
1
3 0
I =∫x 1 x dx− 2
5 3
5 2
4
0
I = ∫ x x +1dx 848
105
1 5 0
2x 1
x 3
−
=
+
∫ 10 3 52
3
−
7 6 2
1
2 x 1
= + +
∫ 2 2ln4
3
−
9
3
7
1
I =∫x 1 xdx− 468
7
−
2 8 1
x
1 x 1
=
∫ 11 4ln 2
3 −
4 9 0
2x 1
1 2x 1
+
=
∫ 2 ln 2+ 2
10
0
x 1
4x 1
+
=
+
∫ 11
6
7
11 3 0
x 2
x 1
+
=
+
∫ 231
10
1 3
0
x dx I
4 x
=
−
∫ 16 3 3
3 − 4
13
0
4x 1
2x 1 2
−
=
+ +
3 − 3
2 3
5
dx I
x x 4
=
+
∫ 1ln5
4 3
4
7
dx I
x 9 x
=
+
∫ 1ln7
6 4 3
16
1
x 3
3 x 1 x 3
−
−
=
+ + +
10 17 5
dx I
x 2 x 1
=
∫ 1 2ln 2+
6 18 2
dx I
2x 1 4x 1
=
ln
12 − + 2
0
x
x 1 x
=
∫ 2 2 1
15
20 0
x
2 x 2 x
=
2 21
0
I =∫x x + 3x 1 dx+ 599
540 Bài 3: Tính các tích phân sau:
ln8
x 2x
1
ln 3
I = ∫ e +1.e dx 1076
15
ln5 2x
ln 2
e
e 1
=
−
∫ 20
3
1
0
dx I
e 4e−
=
−
e e
−
−
+ ÷
3
1
dx
I
e 1
=
−
∫ ( 2 )
ln e + + −e 1 2
ln 5
ln 3
dx I
e 2e− 3
=
∫ ln3
2
1 2 x 2 x
0
x e 2x e
1 2e
+ +
=
+
∫
Bài 4: Tính các tích phân sau:
e
1
1
1 3ln x
x
+
=∫ 116
135
3
2 1
ln x
x ln x 1
=
+
∫ 76
15
e 3 1
3 2ln x
x 1 2ln x
−
=
+
∫ 10 2 11
3
−
e
1
ln x
x 2 ln x
=
+
ln
− +
e 5 1
ln x 2
x ln x x
−
=
+
∫ 1 3ln 2− ( )
7
2
e 6 e
ln x
x 2 ln x 1
=
2 ln
Bài 5: Tính các tích phân sau:
/2
1
0
sin
1 3cos
x
x
=
+
∫
π
1ln 4 3
2 0
1 2sin
1 sin 2
x
x
= +
∫ 1ln 2
2
/2 3 0
sin 2 cos 1
x
x
=
+
∫
π
2 2ln 2 −
Trang 34
0
cos3
sin 1
x
x
=
+
∫
π
3 3ln 2 −
/2 5 0
sin 2 sin
1 3cos
x
=
+
∫ 34
27
/2 6 0
sin x cos cos sinx 2
+
∫
π
3
1 ln 2
−
/2 3
7
0
4sin
1 cos
x
x
=
+
∫
π
2
/6
0
cos
x
=
∫
π
ln10
9
/2
0
cos
7 5sin cos
x dx I
=
∫
π
ln4
3
/2
10
0
sin 2 cos
1 cos
x x
x
π
=
+
/2 11 0
sin 2
3 4sin cos 2
x dx I
π
=
ln 2 2
− +
/2
0
sin 2 cos 4sin
x
π
=
+
3
/2
5
13
0
cos
I =π∫ xdx 8
14 0 cos 1 os
π
15 4
π
−
/4 15
0 (sin cos ) cos
dx I
=
+
∫
π
ln 2
/2
16
/4
sin cos
1 sin 2
x
−
=
+
∫
π
π
ln 2
/2
0
cos 2 (sin cos 3)
x
=
∫
π
1
4 18 0
sin 4
x dx I
=
−
b Đổi biến số dạng 2:
Bài 6: Tính các tích phân sau:
1
2
1
0
1
I =∫ +x dx
4
2 0 4
I =∫ −x dx π
1
3 0 1
I =∫x −x dx
16
π
0 4
x
x
=
−
0
1 1
x
= +
∫
4
0 1
x
x
= +
∫ 3 3
3
π
−
3 Phương pháp tích phân từng phần:
Bài 7: Tính các tích phân sau:
2
1
0
I (2x 1) cos xdx
π
=∫ − π − 3 2 2
0
I (x 1)sin 2xdx
π
=∫ + 1
4
3 0
I (2x 1)sin 3xdx
π
=∫ − 5
9
−
4
4
0
I x(1 sin 2x)dx
π
=∫ + 2 1
32 4
2 5 0
I x sinxdx
π
=∫ π − 2 2 2
6 0
I (x 1)cos xdx
π
3
7
0
I x sin xdx
π
=∫ 2
3
8 1
I =∫(2x 1)e dx− e2 +e 1( ) 3x
9 0
I =∫ x 1 e dx− 4 3
9
e
−
1
2x 10
0
I =∫(x 2)e dx− 5 3 2
4
e
11 0
I =∫ 2x 1 e dx+ − 3 5
e
12 0
I =∫ e− +x e dx 2 1
e
−
1
14 0
I =∫(x +1)e dx 2e− 3 1 ( )
2 3 15
0
1
x
I =∫x e + x− dx 1 2 1
4e − 14
e
16
1
I =∫x ln x dx 1 2
4
e
17 1
I =∫(x +2x) ln x dx 2 3 2 11
e +e +
2 18 1
I =∫(x 2) ln x dx− 2ln 2 5
4
3
2
19
2
I =∫ln(x −x) dx − + 2 3ln 3
3
1
3 ln x
(x 1)
+
= +
∫ 1 3 ln27
e 21 1
3
I 2x ln xdx
x
∫ 2 1
2
e
−
3
1
1 ln(x 1)
x
ln 2 ln 3
e 3 23 1
x 1
x
+
=∫
3
18
24 0
I =∫x ln(1 x )dx+ 1 ln 2
2
− +
e 3
25
1
x 1
I ( ).ln x dx
x
+
18
1
ln x
x
=∫ 1 2
e
−
2
1
ln x
x
=∫ 3 2 ln 2
16
−
Trang 41
ln(1 x)
x
+
13 2 −
e
2 2 29
1
I =∫x ln x dx
2
27
30 1 ln
e
I =∫x xdx
4
32
e −
/4
0 cos
x
x
=π∫ ln 2
32
0 1 cos 2
x
x
= +
∫
π
ln
π
+
3
0
1 sin cos
x x
x
π
+
3
π