Chuyên đề ôn thi đại học môn toán - Số phức và áp dụng doc

Tuy nhiên vì nhi u lí do, nh ng ki n th c đó ko trìnhbày trong SGK... THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003... THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003b ng 1 bình ph ng môđun... THPT CHUYÊN LÀO C

Trang 1

THPT CHUYÊN LÀO CAI Giothoimai2003

s ph c c ng đ c đ a vào v i nh ng bài t p r t c b n, không mang tính đánh đ và ch c n n m

đ c ki n th c trong SGK là có th làm đ c S ph c có r t nhi u ng d ng trong đ i s , hình h c

và l ng giác, gi i quy t đ c nhi u bài toán hay và khó Vì đ i v i hs ph thông l n đ u tiên ti pxúc v i s ph c nên c n l u ý m t s đi m sau đây:

Th nh t: V vi c xây d ng t p s ph c thì SGK ko trình bày( vì nhi u lý do), chúng ta ch c n

hi u r ng nó là m t t p m r ng c a t p s th c và vì th các phép toán trong t p ph c( c ng, nhân)

c ng có nh ng tính ch t nh trong t p th c ( phân ph i, giao hoán, k t h p,…) Ch ng h n v i a và

b là 2 s th c thì ta có: (ab)2 a22ab b 2 và khi đó n u z và w là 2 s ph c thì ta c ng thu đ c

Th ba: Không nên s d ng kí hi u đ ch c n b c hai c a m t s ph c vì m i s ph c w  0 thìluôn có hai c n b c hai đ i nhau Ta bi t r ng: 42 nh ng vì (2i)2  ( 2i)2  4 nên s - 4 có hai

c n b c hai là  2i và vì th   4 2i H n n a n u s d ng kí hi u trên thì có th m c sai l m khi tính toán: N u s d ng 1 đ ch c n b c hai c a – 1 thì ta ph i có: 1 1 = -1 Tuy nhiên

c ng có th vi t: 1 1 = ( 1).( 1)   1 1 và nh v y 1 = -1 ?!!!

Th t : Vi c đ a ra đ n v o “ s i” và có: i2

= -1 là r t g ng ép b i v i ki n th c đ c trang btrong SGK thì HS ko th bi t đ c “ i là cái gì?” và t i sao i2

= - 1? HS ch c n hi u r ng: Khi m

r ng m t t p s m i, ng i ta s đ nh ngh a s m i đó theo m t cách khác và các phép toán áp d ngcho s m i đó c ng ph i đ c xây d ng l i Tuy nhiên vì nhi u lí do, nh ng ki n th c đó ko trìnhbày trong SGK

Th n m: nh lý Viet thu n và đ o v n đúng trong tr ng h p ph ng trình b c 2 v i h s ph c

Vi c nh m nghi m, phân tích thành th a s ,…v n đ c ti n hành bình th ng nh trên t p s th c.Chuyên đ trên đ c chia thành 3 chuyên đ nh nh sau:

Chuyên đ 1: D ng đ i s c a s ph c

Chuyên đ 2: D ng l ng giác c a s ph c

Chuyên đ 3: ng d ng c a s ph c.

Trang 2

Trang 3

V i các phép tính c ng, tr , nhân chia s ph c nói trên nó c ng có đ y đ tính ch t giao hoán, phân

ph i, k t h p nh các phép c ng, tr , nhân, chia s th c thông th ng

Trang 4

xy

= (2i)7 = 128.i7 = -128.i

z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128i

Trang 5

     

1

i i i

Tính liên h p c a 2+5i là 2-5i r i nhân v i 3+2i, đ c 16-11i

Khai tri n bình ph ng c a 4+3i, đ c 7+24i

Nhân t và m u v i 7-24i, đ c (-152- 461i)/25

Khai tri n (3+i)3, đ c 18+26i

1 i





 Tìm môđun c a s ph c: z iz 

5 (D – 2010): Tìm s ph c z sao cho

z  2 và z2 là s thu n o ( hay o) R t nh nhàng ( có 4 s 1 i )6.Tìm s ph c z bi t z2

+ |z| = 0 R t đ n gi n z= 0; z = i; z = -i7.Tìm s th c x, y th a mãn đ ng th c :

x(3+5i) + y(1-2i)3 = 9 + 14i R t nh nhàng

II BÀI T P V CH NG MINH

Trong d ng này ta g p các bài toán ch ng minh m t tính ch t, ho c m t đ ng th c v s ph c

gi i các bài toán d ng trên, ta áp d ng các tính ch t c a các phép toán c ng, tr , nhân, chia, s

ph c liên h p, môđun c a s ph c đã đ c ch ng minh

Trang 6

1 1

z z

Trang 7

b ng 1 (bình ph ng môđun)

| ' '' | | ' '' | | ' '' | | ' '' ' ' '' '' '' ' |

z z (z z ).z z (z z )(z z ) OK

Trang 8

8

III BÀI T P V PH NG TRÌNH - H PH NG TRÌNH NGHI M PH C.

Nói chung v ph ng pháp gi i c ng gi ng nh ph ng trình và h ph ng trình thông th ng, ch

cóđi m khác bi t là thêm m t s phép bi n đ i liên quan đ n s ph c mà thôi M t khác, trên t p

th c thì pt d ng đa th c thì có th vô nghi m, tuy nhiên trên t p ph c thì đi u đó ko còn đúng n a, vì

th mà nói chung các bài toán v pt, h pt trên t p ph c th ng ‘ dài’ h n trên t p th c

Chú ý: Có r t nhi u cách đ gi i h này, sau đây là hai cách th ng dùng đ gi i

*) Cách 1: S d ng ph ng pháp th : Rút x theo y t ph ng trình (2) th vào pt (1) r i bi n đ i thành ph ng trình trùng ph ng đ gi i

3 5

(1) 4

Trang 9

6 (1) 1

VD14: Gi i các ph ng trình b c hai sau:

+8(1+i) = 2i Bây gi ta ph i tìm các c n b c hai c a 2i

Gi s z = x +yi (x, y thu c ) là m t c n b c hai c a w = 2i

 2 2

2 2

1 1

1 0

+ 2i + 1 = (i+ 1)2 t đó d dàng suy ra hai

c n b c hai c a 2i là 1 + i và -1 – i Tuy nhiên n u khó nh m quá thì ta s d ng pp tìm c n b c hai

c a s ph c nh trên M t đi u l u ý n a là: ptb c 2 v i h s th c thì tìm nghi m r t đ n gi n

Trang 10

Trang 11

11

V y ph ng trình (1) có nghi m thu n o z = 2i

b) Vì ph ng trình (1) nh n nghi m 2i  v trái c a (1) có th phân tích d i d ng:

z3 + (2 – 2i)z2 + (5 – 4i)z – 10i = (z – 2i)(z2 +az + b) (a, b   )

ng nh t hoá hai v ta gi i đ c a = 2 và b = 5

 (1)  (z – 2i)(z2 + 2z + 5) = 0  2

22

33

2

4 0

2

zz

z iz

Do z = 0 không là nghi m c a (1)  chia hai v c a ph ng trình cho z2 ta đ c:

( C s nào đ chia cho z2

Trang 12

1 32

iy

  z - 1

z = 1 32 i

2 i

  z - 1

z = 1 32 i

  

 2no nz11 / 2; za, t tìmlà OK.9 / 2và

10 c a 1(nghe h i l tai) làm cz  và 8 no n1n th n nhé.a,

Trang 13

Trang 14

14

IV BÀI T P V QU TÍCH

Trong d ng này, ta g p các bài toán bi u di n hình h c c a s ph c hay còn g i là tìm t p h p đi m

bi u di n m t s ph c z trong đó s ph c z tho mãn m t h th c nào đó (th ng là h th c liên quan đ n môđun c a s ph c) Khi đó ta gi i bài toán này nh sau:

Gi s z = x+yi (x, y   ) Khi đó s ph c z bi u di n trên m t ph ng ph c b i đi m M(x;y)

- Các s ph c z, z < R là các đi m n m trong đ ng tròn (O;R)

- Các s ph c z, z >R là các đi m n m ngoài đ ng tròn (O;R)

1 2

x y

A

B

O

Trang 15

15

Nh n xét: Ta có th gi i cách khác nh sau:

(3)  |z-(-2)| >|z-2|

G i A, B t ng ng là các đi m bi u di n s th c -2 và 2, t c là A(-2;0), B(2;0)

V y (3)  M(z)A > M(z)B Mà A, B đ i x ng nhau qua Oy

T đó suy ra t p h p các đi m M(z) là n a m t ph ng bên ph i tr c tung

Xét đi m A(-1;1) là đi m bi u di n s ph c -1 + i Khi đó 1≤ MA ≤ 2

V y t p h p các đi m M(z) là hình vành kh n có tâm t i A(-1;1) và các bán kính l n và nh l n

 T p h p đi m M tho mãn đi u ki n đã cho là đ ng tròn tâm I(2;-3) và bán kính 3/2

Môđun c a z đ t giá tr nh nh t khi và ch khi M thu c đ ng tròn và g n O nh t  M trùng v i

26 3 132

Trang 16

31

(2x + y -10)2 + + (2x – y - 5)2 = 225



 

Làm bình th ng

a; b; c: D dàngd)

x2 + y2– 3x + 2 = 0.f) Hai đt: y = 0 ;

x = -1/2

45 (B – 2010): Tìm qu tích đi m M(z) tho

x (y 1) 2

Trang 17

17

46.(D – 2009): Tìm qu tích đi m M(z) tho

(x3) (y4) 447.Tìm qu tích đi m M(z) tho

Trang 18

18

CHUYÊN 2: D NG L NG GIÁC C A S PH C

A TÓM T T LÝ THUY T

1 Cho s ph c z  0 G i M là m t đi m trong m t ph ng ph c bi u di n s ph c z S đo (radian)

c a m i góc l ng giác tia đ u là Ox, tia cu i OM đ c g i là m t acgumen c a z

Nh v y n u  là m t acgumen c a z, thì m i acgumen đ u có d ng:  + 2k, k  

2 D ng l ng giác c a s ph c.

Xét s ph c z = a + bi  0 (a, b   )

G i r là môđun c a z và  là m t acgumen c a z Ta có: a = rcos , b = rsin

z = r(cos +isin), trong đó r > 0, đ c g i là d ng l ng giác c a s ph c z  0

z = a + bi (a, b   ) g i là d ng đ i s c a z

3 Nhân và chia s ph c d i d ng l ng giác.

N u z = r(cos +isin) ; z' = r’(cos’ +isin’) (r ≥ 0, r’ ≥ 0)

Cho s ph c z = r(cos +isin) (r>0)

Khi đó z có hai c n b c hai là: os isin

*) Khi w  , ta vi0 t w d i d ng l ng giác: w R(cos  i sin ) , R > 0 Ta c n tìm

zr(cos i sin ) sao cho zn

= w

Theo công th c Moivre thì:

n n

( N u suy ngh m t cách nghiêm túc thì HS c ng có th hoàn toàn ch ng minh đ c đi u đó.)

Khi cóđ c công th c trên thì vi c tìm c n b c n c a m t s ph c s đ n gi n h n đi r t nhi u Ta xét m t VD v i 2 l i gi i sau đây:

Trang 19

t gi i quy t coi nh bài t p t rèn luy n v i m t g i ý c a tác gi là h đ ng c p b c 3)

n đây n u đ bài yêu c u tìm c n b c 10 c a 1 mà làm theo ph ng pháp trên thì th t là d ng

+) Khi bi u di n trên m t ph ng ph c thì n đi m bi u di n c a n c n b c n đó t o thành m t đa

giác đ u n c nh n i ti p trong đ ng tròn tâm là g c to đ O và bán kính b ng n w

Trang 20

20

I BÀI T P V CHUY N S PH C T D NG I S SANG D NG L NG GIÁC.

Ph ng pháp: D ng l ng giác có d ng: z = r(cos  + i sin  ) trong đó r > 0.

chuy n m t s ph c sang d ng l ng giác ta c n tìm r và ;

+ Ta có r = |z|

+  là s th c tho mãn os

sin

ac

rbr

)b) Ta có: r2 = 1,  =   z2 = cos +isin

)e) Ta có: r5 = 12

Ch n  là s th c tho mãn

1 os 2 3 sin

)

f) Ta có r6 =

2 2

2 3 sin

)

g) Ta có: r7 = 18

Ch n  là s th c tho mãn

1 os 2 3 sin

Trang 21

rbr

Trong quá trình th c h nh nhi u b n hay m c sai l m: ch tìm  th a mãn

cos = a/r mà không đ ý đ n sin  = b/r Ch ng h n v i h

1 os 2 3 sin

(1 )3

ii

Trang 22

22

7 7

 lµ

34





G i  là m tacgument c a

z , hãy tínhacgumet c a z

M t s b n HS đùa r ng: pt trên có gì mà ph i suy ngh , t t nhiên là nghi m z = 1 còn gì n a vì

13 = 1 Tuy nhiên đi u đó ch đúng trong t p th c mà thôi, trong t p ph c thì ta hi u r ng 3 nghi m

Trang 23

23

VD30: Gi i ph ng trình: z6

= -64 (1)

H ng d n

Ta có: -64 = 64(cos  + isin  ) Gi s : z r(cos  i sin )

z6 = -64  r6 (cos6  + isin6  )= 64(cos  + isin  )  r6 = 64  r = 2

Và cos6  + isin6  = cos  + isin   6  =  +2k  (k  Z)   = 2

Trang 24

tuy nhiên ph ng pháp đó ( n u ko nh m đ c giá tr tho mãn) thì s đ n đ n vi c gi i m t h

ph ng trình s gây m t th i gian Chúng ta th y vi c chuy n v d ng l ng giác đ th c hi n th t là

đ n gi n ph i ko nào? H n n a đ a v d ng l ng giác còn th y đ c s l i h i khi đi tìm c n b c

n c a m t s ph c Tuy nhiên, n u s ph c có acgumet ko m y d ch u thì vi c đ a v d ng l nggiác có th g p đôi chút khó kh n đ y

Tóm l i: Toán h c là m t môn h c mang n ng tính t duy, ng i h c toán ph i bi t l a ch n

cách gi i quy t t t nh t cho m t v n đ dù cho đó có th là v n đ th t gi n đ n.

e)T đó suy ra giá tr c a z0 và bi u th c

a)C n có: z5

= 1b) D

 = 1 52

 

và

sin25

Trang 25

3 1 2 2

 = 2 6

4



và

sin12

 = 6 2

4



Trang 26

26

S ph c có r t nhi u ng d ng trong đ i s , gi i tích, t h p, l ng giác, hình h c, Tuy nhiên

trong khuôn kh c a chuyên đ là nh m cung c p cho các b n h c sinh nh ng v n đ c b n

nh t liên quan đ n thi đ i h c nên tôi c ng ch xin trình bày m t s ng d ng thông th ng, th t

gi n đ n.

I NG D NG TRONG L NG GIÁC.

VD32: Ch ng minh r ng: a) sin5t = 16sin5

t – 20sin3t +5sint b) cos5t = 16cos5t – 20cos3t +5cost

H ng d n

Dùng công th c Moivre và công th c khai tri n nh th c (cost + isint)5

Ta đ c:

cos5t + isin5t = (cos ti sin t)5

= cos5 t + 5icos4tsint + 10i2cos3tsin2t + 10i3 cos2t.sin3t +5i4 cost.sin4t + i5sin5t

 cos5t + isin5t = cos5

t -10cos3t(1-cos2t) + 5cost(1-sin2t)2+ +i[5(1-sin2t)2sint – 10(1-sin2t)sin3t +sin5t]

ng nh t hai v ta đ c đi u ph i ch ng minh

VD33 :Bi u di n tan5 qua tan 

H ng d n

Theo trên, ta có: cos5 cos5 10cos3sin2 5cos sin 4

sin 5 sin5 10cos2sin3 5cos4sin

(cos sin ) kcos k .( sin )k

Trang 27

58 Cho a, b, c là 3 s th c sao cho:

cosacosbcoscsinasinbsinc0

CMR: cos 2acos 2bcos 2csin 2asin 2bsin 2c0

x y x

x y

x y y

H ng d n

i v i các b n chuyên Lào Cai thì h ph ng trình trên c c k quen thu c vì là m t bài trong k thi

th đ i h c n m 2009 và bài t p đó đã qu t ngã bi t bao cao th , đ l i ko ít n i b n kho n và lo

l ng Cách gi i thì gi đây chúng ta ai c ng đã bi t Tuy nhiên tôi mu n gi i thi u thêm cho chúng ta

Trang 28

2008 2009 C 2008 x

2 2009 C 2 x

1 2009 xC

0 2009

Cho x = - i ta có:

2009 C 2009 i

2008 2009 C 2008 i

2 2009 C 2 i

1 2009 iC

0 2009

2009 C

2006 2009 C

2004 2009 C

6 2009 C

4 2009 C

2 2009 C

2005 2009 C

7 2009 C

5 2009

3 2009 C

2009 cos 2009 ) 2 (

2009 4

isin 4

cos 2009 ) 2 ( 2009

2 2009 ) 2 ( 4

isin 4 cos 2009

2006 2009 C

2004 2009 C

6 2009 C

4 2009 C

2 2009 C

2007 2009 C

2005 2009 C

7 2009 C

5 2009 C

3 2009 C

4 50 C 2 3 2 50 3C 0

50

C 50 2 1

H ng d n

Xét khai tri n:

Trang 29

49 50 C 49 ) 3 (i

2 50 C 2 ) 3 (i

1 50 )C 3 (i

0 50

C 50 2 1

50 i

4850C48)3(

4650C46)3(

450C4)3(

250C2)3(

4750C47)3(

550C5)3(

350C3)3(

150C3

13

100isin3

100cos

503

2isin3

2cos

50i2

32

50 C 25 3

48 50 C 24 3

46 50 C 23 3

4 50 C 2 3

2 50 3C

30 27C 25

30 25C

7 30 7C 5

30 5C 3

30 3C 1

30

30 30C 28

30 28C 26

30 26C

8 30 8C 6

30 6C 4

30 4C 2

29 30 C 29 x

28 30 C 28 x

3 30 C 3 x

2 30 C 2 x

1 30 xC

0 30

o hàm hai v ta có:

30 C 29 x 30

29 30 C 28 x 29

28 30 C 27 x 28

3 30 C 2 x 3

2 30 xC 2

1 30

Cho x = i ta có:

30 29C

27 30 27C

25 30 25C

7 30 7C

5 30 5C

3 30 3C

1 30

30 30C

28 30 28C

26 30 26C

8 30 8C

6 30 6C

4 30 4C

2 30

29 cos

29 2 30

29 4

isin 4 cos

29 2 30

  i 15.2 15 15.2 15 i

2

2 2

2 29

Trang 30

30

30 29C

27 30 27C

25 30 25C

7 30 7C

5 30 5C

3 30 3C

28 30 28C

26 30 26C

8 30 8C

6 30 6C

4 30 4C

1 2

2

3 2

1 3

3k 20 C

6 20 C 3 20 C 0 20

19 20 C 19 x

18 20 C 18 x

3 20 C 3 x

2 20 C 2 x

1 20 xC

0 20

Cho x = 1 ta có:

20 C

19 20 C

18 20 C

3 20 C

2 20 C

1 20 C

18 20 C

3 20 C

2 20 C 2 1

20 C

0 20

19 20 C 2 18 20 C

3 20 C

2 20 C

1 20 C 2 0

20

C ng v theo v (1), (2) và (3) ta đ c:

Trang 31

2 

20 C

1 3k 20 C

7 20 C

4 20 C

1 20

19 20 C 19 x

18 20 C 18 x

3 20 C 3 x

2 20 C 2 x

1 20 xC

0 20

19 20 C 21 x

18 20 C 20 x

3 20 C 5 x

2 20 C 4 x

1 20 C 3 x

0 20 C 2

Cho x = 1 ta có:

20 C

19 20 C

18 20 C

3 20 C

2 20 C

1 20 C

19 20 C

18 20 C 2

4 20 C

3 20 C 2 2

20 C

1 20 C

0 20

18 20 C

3 20 C

2 20 C 2 1

20 C

0 20

29329

2730C

27327

530C

535

330C

333

28 30 C 14 28.3

6 30 C 3 6.3

4 30 C 2 4.3

Trang 32

32

c a hai s ph c S: A1 = 15 3 .2 29; A

2 = - 45.22966) Tính các t ng sau:

24 25 23.24C

22 25 21.22C

8 25 7.8C

6 25 5.6C

4 25 3.4C

2 25 2C

23 25 22.23C

9 25 8.9C

7 25 6.7C

5 25 4.5C

3 25 2.3C

18 20 19C

16 20 17C

6 20 7C

4 20 5C

2 20 3C

17 20 18C

15 20 16C

7 20 8C

5 20 6C

3 20 4C

20 25 20C

8 25 8C

5 25 5C

69) Tính các t ng sau:

H ng d n: Xét khai tri n c a ( 1+ x)40 o hàm hai v Nhân hai v v i x L i đ o hàm hai v

có F ta cho x l n l t là 1, , 2(ba c n b c ba c a 1) C ng v theo v ba đ ng th c nh n đ c

Định dạng
Số trang	32
Dung lượng	555,97 KB