hệ phương trình cơ bản (2)

HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN – P3 Thầy Đặng Việt Hùng... Rõ ràng x= =y 0 không phải là nghiệm hệ phương trình... Lấy phương trình 1 lũy thừa ba, phương trình 2 lũy thừa bốn.. Từ phương trình

Trang 1

IV HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2

+ Là hệ có dạng ( ; ) 0

( ; ) 0

f x y

g x y

=





=

( ; ) ( ; ) ( ; ) ( ; )

f x y g y x

g x y f y x

=





=

 + Phương pháp giải:

Trừ vế theo vế các phương trình của hệ ta được một phương trình có nhân tử chung là (x−y)

Ví dụ 1: Giải hệ PT

3 3

2 2





= +



Ví dụ 2: Giải hệ PT 3 5

3 5

x y

y x



 + − =



BÀI TẬP:

Bài 1 Giải hệ PT

2 2





= − +



2

3 2

 + =







x y

x

y x

y

3

5 5

x x y

y y x





= +



2

2 1 2 1

y x

y x y

x



=







2

1 1 1 1

y x

y x y

x





−



=



4 3 4 3



− =







y

x y

x x

y x

y

y x

x y

 + − =









Bài 8* Giải hệ PT

2 4

1

x y y x

 + =







Bài 9* Giải hệ PT 1998 1998





− + =



V HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỒNG BẬC

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình







x xy y

2



 + = −



x xy y

x x y y

10 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN – P3

Thầy Đặng Việt Hùng

Trang 2

( )







( )





+ = +



Ví dụ 5: Giải hệ phương trình ( )

2 2

10







Ví dụ 6: Giải hệ phương trình 2( 2)







x y xy x

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình ( )

( )

x xy y







Hướng dẫn giải:

Lấy (1) nhân 5 và (2) nhân 9 ta được phương trình đồng bậc

( 2 2) ( 2 2) 2 2 ( )( ) 5

x y

=



=

5

x= y thay vào (1) ta có 18 2 9 2 1 2

y = ⇔ y = ⇔ = ±y tương ứng 5 2

2

x= ±

Với 3

2

y

x= thay vào (1) ta có 2

y = ⇔ = ±y tương ứng x= ±3 Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là 5 2 2 5 2 2 ( ) ( )

; ; ; ; 3; 2 ; 3; 2

( )

30 (1)

35 2

x y y x

x y



 + =



Phương trình này là phương trình đối xứng loại một tuy nhiên chúng ta cũng có thể giải theo phương pháp đồng bậc

Lấy (1) nhân 7 và (2) nhân 6 ta được phương trình đồng bậc

( 2 2 ) ( 3 3) 3 2 2 3 ( )( )( ) 3

2 2 3

x y



 = −



 =



Với

x= −ythay vào (2) suy ra vô nghiệm

+) Với 3

2

x= y thay vào (2) ta có y3 = ⇔ =8 y 2suy ra x=3

+) Với 2

3

x= y thay vào (2) ta có y3 =27⇔ =y 3suy ra x=2

Vậy hệ có nghiệm là ( ) ( ) ( )x y; ={ 3; 2 , 2;3}







Trang 3

Ta có



 Khi đó (2)⇔ −x3 2y3=(y−2 ).1x ⇔x3−2y3=(y−2 ).(x x2− 2y2)

Do y = 0 không thỏa mãn (*) nên chia (*) cho y ≠ 0 ta được

x t y

= ta có phương trình 5t3−2t2− − =2t 1 0

2

1 ( 1)(5 3 1) 0

t

=



 Với t=1⇒x=y Thay vào (2) ta được 3







Đối chiếu với điều kiện ban đầu ta được x = y = 1 và x = y = −1 thỏa mãn hệ phương trình

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ( ) {x y; = (1;1),( 1; 1) − − }

Ví dụ 10: Giải hệ phương trình ( )

( )

2 1

5 3 2







Điều kiện của phương trình x≥ ≥y 0

Phương trình (1) của hệ là phương trình đồng bậc

2

2 2

2

0

y x

y

y xy

y x

− ≥





≥



≥

Với y=0 thay vào (2) ta suy ra x=9 (loại)

Với 5y−4x=0 thay vào (2) ta có 1 1 4

5

x= ⇔ =x ⇒y= (thỏa mãn)

Vậy hệ phương trình có nghiệm là 1;4

5

 

Ví dụ 11: Giải hệ phương trình

3 31 7





Điều kiện của phương trình x≠ −y

( )

( ) ( ) ( )

3

3 1 31

7

⇔



Lấy (2) nhân 3 kết hợp với (1) ta được phương trình đồng bậc

( 5 5) ( 2 2)( 3 3) 5 4 3 2 4 4 ( )

21 x +y =31 x +xy+y x +y ⇔10x +31x y+31x y +31xy +10y =0 3

Rõ ràng x= =y 0 không phải là nghiệm hệ phương trình Đặt x=ty thay vào (3) ta được:

Trang 4

( )

1 0

t

+ =





Với t+ = ⇔ = −1 0 t 1 hay x= − ⇔ + =y x y 0 (loại)

10t +21t +10t +21t+ =10 0 3 Vì t=0 không phải là nghiệm của phương trình (3) chia hai vế phương trình cho t ta được: 2 10 t2 12 21 t 1 10 0

Đặt u t 1 u 2; u2 t2 12 2 t2 12 u2 2

= + ⇒ ≥ = + + ⇒ + = − Khi đó (3) trở thành

2

2 5

5 2

u



=

 + − = ⇔

 = −



+) Với 5

2

t

= −



 + = − ⇔ + + = ⇔

= −

 +) Với t= −2 ta có x= −2y thế vào (1) ta có 3y2 = ⇔3 y2 = ⇔ = ±1 y 1 tương ứng x=∓2

+) Với 1

2

t= − ta có y= −2x thế vào (1) ta có 3x2 = ⇔3 x2 = ⇔ = ±1 x 1 tương ứng y=∓2

Vậy hệ đã cho có bốn nghiệm là (1; 2 , − ) (−1; 2 , 2; 1 , ) ( − ) (−2;1 )

Ví dụ 12: Giải hệ phương trình

7

x y y

x y xy y







( ) ( )

7 1

7

y x y

x y y

⇔

Từ hệ suy ra yx ≠0; x≠ ±y, y>0

Lấy phương trình (1) lũy thừa ba, phương trình (2) lũy thừa bốn Lấy hai phương trình thu được chia cho nhau ta thu được phương trình đồng bậc: ( )

( )

3

4

7 9

y x y

−

= + Đặt x=ty ta được phương

trình:( )

( ) ( )

3

3 9 1

t

−

= + Từ phương trình này suy ra t>1

Xét ( ) ( )

( )

3 3

8

1

; t 1

1

t

f t

t

−

= ∀ >

+ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

8

f'

1

t

t t

+ Vậy f(t) đồng biến với mọi t>1 Nhận thấy t=2 là nghiệm của (3) Vậy t=2 là nghiệm duy nhất Với

(loại)

Trang 5

Vậy hệ có nghiệm là ( )2;1

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:

2







y xy

x xy y







x xy y







x xy y

y xy x Bài 4 Giải hệ PT

x xy y







x xy y





− − =

 Bài 6 Giải hệ PT







x xy y







x xy y

x xy y Bài 8 Giải hệ PT







x xy y

Bài 9 Giải hệ PT ( )

2 2

2









y

x y x

x

x y y

2 2

3



 + = +



x y xy

2

 + = −



x xy

y xy Bài 12: Giải hệ PT

2 2 3

1 2





= +



x y xy

x x y

2



 + =



x y x y

y x xy Bài 14 Giải hệ PT

2



 + + = +



x y

x y xy x y

3

2



 + =



x y xy

x y x y

Bài 16: Giải hệ PT

3

x y







1

x y xy



 + = +

3 2





− =



Bài 19*: Giải hệ :

3

5 6

1 2



 + =







Bài 21*: Giải hệ:





x y

+ =





− = −



Định dạng
Số trang	5
Dung lượng	189,34 KB