CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƢƠNG TRINH-PHƢƠNG TRÌNH BÂC HAI MỘT ẨN A.HỆ PHƢƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ.. I..[r]
Trang 1CHUYÊN ĐỀ: HỆ PHƯƠNG TRINH-PHƯƠNG TRÌNH BÂC HAI MỘT ẨN
A.HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ
I MỤC TIÊU: Học sinh nắm được
- Khái niệm hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
/ / /
c y b x a
c by ax
và Cách giải
- Một số dạng toán về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
II NỘI DUNG:
Dạng 1: Giải hệ phương trình có bản và đưa về dạng cơ bản
1.Ví dụ:- Vận dụng quy tắc thế và quy tắc cộng đại số để giải các hệ phương trình sau: Giải hệ phương trình bằng phương pháp
thế
5
2
4
2
3
y
x
y
x
x y
x x
2 5
4 ) 2 5 ( 2 3
x y
x x
2 5
4 4 10
3
x y
x
2 5
14 7
2 2 5
2
y
x
1
2
y x
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm
duy nhất (x;y) = (2;1)
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
5 2
4 2 3
y x
y x
10 2 4
4 2 3
y x
y x
5 2
14 7
y x x
5 2
2
2
y
x
1
2
y x
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1)
2 Bài tập tự rèn:
Bài 1: Giải các hệ phương trình
1)
5 3 6
3 2 4
y x
y x
2)
10 6 4
5 3 2
y x
y x
3)
14 2 5
0 2 4 3
y x
y x
4)
14 2 3
3 5 2
y x
y x
5)
1 5 )
3 1
(
1 ) 3 1 ( 5
y x
y x
6)
5 3
3 , 0 1 , 0 2 , 0
y x
y x
7)
0 10 3 2
y x y x
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
1)
xy y
x
xy y
x
4 ) 5 )(
5 4
(
6 ) 3 2 )(
2 3
(
5 ) ( 2 ) (
4 ) ( 3 ) ( 2
y x y x
y x y x
3)
12 ) 1 ( 3 ) 3 3 )(
1 (
54 ) 3 ( 4 ) 4 2 )(
3 2
(
x y y
x
y x y
x
4)
7
5 6 3
1
2 4
27 5
3
5 2
x y y x
x y
x y
Bài 3: Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ
1)
1 15 8
12
1 1 1
y x
y x
2)
1 2
3 2
4
3 2
1 2
2
x y y x
x y y x
3)
9 4
5 1 2
4 4
2 1 3
y x
x
y x
x
Dạng 2: Tìm tham để hệ có nghiệm (x;y) = (x 0 ;y 0 ) là nghiệm
1) Phương pháp:
Hệ PT có nghiệm (x 0 ;y 0 ) <=> (*)
ax + by = c a’x + b’y = c’
ax0 + by0 = c a’x0 + b’y0 = c’
Trang 2 Giải hệ (*) tìm được giá trị của tham số
2) Ví dụ: Tìm m và n để hệ PT
(I) có nghiệm (x;y) = (-3; 2) Giải
Hệ (I) có nghiệm (-3; 2) <=> <=>
<=>
Vậy với (m; n) = (1; -1) thì hệ PT đã cho có nghiệm (-3; 2)
3) Bài tập tự rèn:
Bài 1: Tìm các giá trị của m, n sao cho mỗi hpt ẩn x, y sau đây
a) hpt
có nghiệm (2; 1); đáp số:
;
m n
b) hpt 3 1 93
nx my
có nghiệm (1; -5); đáp số: m1;n17
c) hpt
có nghiệm (3; -1); đáp số: m2;n 5
Dạng 3: Toán nâng cao ( Dạng chứa tham số)
1.Ví dụ:
Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
1 2 2
1 2
m my x
m y mx
HD Giải:
1 2
2
1 2
m
my
x
m
y
mx
m m y m mx
m y mx
2 2
2 2
2 2 4 2
1 2 2
) 1 2 )(
2 ( 2 3 2 )
4
m my
x
m m
m m y m
để hệ có nghiệm duy nhất thì m2
– 4 0 hay m 2 Vậy với m 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất
2
3 1 2
1
2
3 2 2
1 2 4
) 1 2 )(
2
(
2
m m
m
x
m m
m m
m m
y
Để x, y là những số nguyên thì m + 2 Ư(3) = 1 ; 1 ; 3 ; 3
Vậy: m + 2 = 1, 3 => m = -1; -3; 1; -5
Ví dụ 2: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức cho
trước
Cho hệ phương trình:
8
9 4
my x
y mx
2.(-3) + (m+1).2 = m+2n-1 n.(-3) + (1-m).2 = 3
m - 2n =3 2m + 3n = -1
m = 1
n = -1
Trang 3Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
2x + y +
4
38
2
m = 3
HD Giải:
- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m 2
- Giải hệ phương trình theo m
8
9
4
my
x
y
mx
m y m mx
y mx
8
9 4
8
9 8 ) 4 ( 2
my x
m y m
4
32 9 4
9 8
2 2
m
m x m
m y
- Thay x =
4
32 9
2
m
m
; y =
4
9 8
2
m
m
vào hệ thức đã cho ta được:
2.
4
32 9
2
m
m
+
4
9 8
2
m
m
+
4
38
2
=> 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12
3m2 – 26m + 23 = 0
m1 = 1 ; m2 =
3
23
(cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện)
Vậy m = 1 ; m =
3 23
2.Bài Tập Tự Rèn:
Bài 1:
a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1)
3 2 3 ) 2 (
) 1 ( 2
m ny x m
n m y m mx
HD:
Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n
b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là
x = 1 và x = -2
HD:
thay x = 1 và x = -2 vào phương trình ta được hệ phương trình với ẩn a, b
c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3
chia hết cho 4x – 1 và x + 3
HD: f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 nên Biết nếu f(x) chia hết cho ax +
b thì
f(-a
b
) = 0
0 ) 3
(
0 )
4
1
(
f
f
0 3 3 18
0 3 4 8
b a
b a
Giải hệ phương trình ta được a = 2; b = 11
d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4 Xác định các hệ số a và b biết rằng
f(2) = 6 , f(-1) = 0
HD:
0
)
1
(
6
)
2
(
f
f
4
2 2 4
b a
b a
3
1
b a
Bài 2:
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2)
HD:
Trang 4Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương trình
2
1 2
b
a
b a
3
1
b a
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm
a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2) b) P(1; 2) ; Q(2; 0)
Bài 3:
Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy
DH giải:
- Tọa độ giao điểm M (x ; y) của hai đường thẳng 3x + 2y = 4 và x + 2y = 3 là nghiệm của hệ phương trình:
3 2
4 2 3
y x
y x
25 , 1
5 , 0
y
x
Vậy M(0,2 ; 1,25)
Để ba đường thẳng trên đồng quy thì điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2- 1,25 = m m = -0,85
Vậy khi m = -0,85 thì ba đường thẳng trên đồng quy
B PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
PHẦN I: KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN NẮM VỮNG
1 Công thức nghiệm:
Phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có = b2- 4ac
+Nếu < 0 thì phương trình vô nghiệm
+Nếu = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
a
b
2
+Nếu > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =
a
b
2
; x2 =
a
b
2
2 Công thức nghiệm thu gọn:
Phương trình ax2+bx+c = 0 (a 0) có ’
=b’ 2- ac ( b =2b’ ) +Nếu ’
< 0 thì phương trình vô nghiệm
+Nếu ’
= 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
a b
+Nếu ’> 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =
a
b '
; x2 =
a
b '
PHẦN II: NỘI DUNG
I TOÁN CƠ BẢN
LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG ÁP DỤNG CÔNG THỨC VÀO TÍNH TOÁN
Bài 1: Giải phương trình
a) 3x2 + 2x + 1 = 0
b) x2 – 6x + 9 = 0
c) x2 - 49x - 50 = 0
d) (2- 3)x2 + 2 3x – 2 – 3 = 0
Giải:
a) Giải phương trình 3x2 + 2x + 1 = 0
Dùng công thức nghiệm (a = 3; b = 2; c = 1)
= 22- 4.3.1 = - 8 < 0
Do < 0 nên phương trình vô nghiệm
b) Giải phương trình x2 – 6x + 9 = 0
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
Trang 5(a = 1; b = -6; c = 9)
= (-6)2- 4.1.9 = 0
Do = 0 nên phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = 3
+ Lời giải 2: Dùng HĐT ta biên đối thành (x – 3)2 = 0 suy ra x = 3 c) Giải phương trình x2 - 49x - 50 = 0
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 1; b = - 49; c = 50)
= (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601; = 51
Do > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1
2
51 ) 49 (
1
2
51 ) 49 (
2
x
+ Lời giải 2: Ứng dụng của định lí Viet
Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0
Nên phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = 50
1
50
d) Giải phương trình (2- 3)x2 + 2 3x – 2 – 3 = 0
Giải:
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 2- 3; b = 2 3; c = – 2 – 3)
= (2 3)2- 4(2- 3)(– 2 – 3) = 16; = 4
Do > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
) 3 2
(
2
4 3 2
) 3 2 ( 2
4 3 2
x
+ Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn
(a = 2- 3; b’ = 3; c = – 2 – 3)
’
= ( 3)2 - (2 - 3)(– 2 – 3) = 4; = 2
Do ’
> 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
1
3 2
2 3
3 2
2 3
x
+ Lời giải 3: Ứng dụng của định lí Viet
Do a + b + c = 2- 3 + 2 3+ (- 2 - 3) = 0
Nên phương trình có nghiệm: x1 = 1; x1 = ( 7 4 3 )
3 2
3
*Yêu cầu:
+ Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng công thức + Áp dụng đúng công thức (không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót) + Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng công thức và tính toán
* Bài tương tự: Giải các phương trình sau:
1 3x2 – 7x - 10 = 0
2 x2 – 3x + 2 = 0
3 x2 – 4x – 5 = 0
4 x2 – 2 3x + 3 = 0
5 x2 – (1+ 2)x + 2 = 0
6 3x2 – (1- 3)x – 1 = 0
7 x2 – 8x = 0
8 2x2 – 18 = 0
II TOÁN NÂNG CAO: LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG SUY LUẬN
(Phương trình bậc hai chứa tham số)
1.Ví dụ:
Bài 1: Cho phương trình: x2
- 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x) a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
Trang 6b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x1
2
+x2
2 10 e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x1 qua x2
Giải
a) Ta có: ’
= (m-1)2 – (– 3 – m ) =
4
15 2
1 2
Do 0
2
1 2
m với mọi m; 0
4
15 > 0 với mọi m Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu a.c < 0 – 3 – m < 0 m > -3 Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3) Khi đó phương trình có hai nghiệm âm S < 0 và P > 0
3
1 0
) 3 (
0 ) 1 (
2
m
m m
m
Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó A = x1
2
+x2
2
= (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 Theo bài A 10 4m2 – 6m 0 2m(2m-3) 0
0 2 3
2 3 0 2 3 0
0 3 2 0
0 3 2 0
m m
m m m m
m m m m
Vậy m
2
3
hoặc m 0 e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có:
6 2
2
2 2
) 3 (
) 1 ( 2
2 1
2 1 2
1
2 1
m x
x
m x x m
x x
m x
x
x1 + x2+2x1x2 = - 8
Vậy x1 + x2 + 2x1x2 + 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - 8 x1(1+2x2) = - ( 8 +x2)
2
2 1
2 1
8
x
x x
Vậy
2
2 1
2 1
8
x
x x
2
1
2
2.Bài tập tự rèn:
Bài 1: Cho phương trình: x2
+ 2x + m -1= 0 ( m là tham số) a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1 + 2x2 = 1
Trang 7c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn
2 1 1
1
x x
y ;
1 2 2
1
x x
y với x1; x2 là nghiệm của phương trình ở trên
Giải
a) Ta có ’
= 12 – (m-1) = 2 – m
Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
2
2 1
1
0 2
1
0
'
m
m m
m P
Vậy m = 2
b) Ta có ’
= 12 – (m-1) = 2 – m
Phương trình có nghiệm 0 2 – m 0 m 2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2)
Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3)
Từ (1) và (3) ta có: 1 2 1 2 1 1
Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 m = - 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm
d) Với m 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2)
2
1 1
(m≠1)
2
m
(m≠1) y1; y2 là nghiệm của phương trình: y2
-
m
m
1
2
.y +
1
2
m
m
= 0 (m≠1) Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0
Bài 2: Cho phương trình : x2
– 4x + m + 1 = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x1, x2 `thoả mãn: x1
2
+ x2 2
= 10 Giải
a) Ta có ’
= 4 – (m+1) = 3 – m
Để phương trình có nghiệm 0 3 – m 0 m 3
b) Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = 4 (1); x1x2 = m + 1
Do đó x12
+ x22 = 10 (x1+ x2)2 - 2 x1x2 = 10 16 – 2m - 2 = 10 m = 2 (nhận) Vậy m = 2
Bài 3: Tìm m để phương trình : x 22 ( m1 ) xm 23 m0 có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn
x12 + x22 = 8 Giải tương tự như bài 2