PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ tiếp Dạng 3: Sử dụng hàm đặc trưng giải phương trình mũ Phương pháp: + Biến đổi phương trình đã cho vè dạng f u x[ ] [ ]= f v x rồi xét hàm đặc
Trang 1V PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ (tiếp)
Dạng 3: Sử dụng hàm đặc trưng giải phương trình mũ
Phương pháp:
+ Biến đổi phương trình đã cho vè dạng f u x[ ( )] [ ]= f v x rồi xét hàm đặc trưng f(t) ( )
+ Chứng minh rằng f(t) luôn đồng biến hoặc nghịch biến, khi đó ta thu được u(x) = v(x)
Ví dụ 1: Giải phương trình sau:
2x− −2x −x = −1
4x− −2x − = −1
x
Ví dụ 2: Giải phương trình sau:
a) 2x2− +3x 1−2x−2+ 2−4 + =3 0
b) cos2x− sin2x =cos 2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Giải các phương trình sau :
a) 31 2− x−31 2+ x=4 3−x2
x b) 5x2+ +4x 2−52x2+ +8x 4= + +2 4 2
sin sin os os
2 x+3 x− 2c x+3c x =2cos2x
Bài 2: Giải các phương trình sau :
a) 2 5 1 1 1
x x
2
2 2
1 1 2
1 1
2
2
3 1 2 2
2 x− +x −2x− + x −3x− + =x 3 0
cos 36 x+ cos 72 x =3.2−x
HƯỚNG DẪN GIẢI:
Bài 1: Giải các phương trình sau :
a) 31 2− x−31 2+ x=4 3−x2
x b) 5x2+ +4x 2−52x2+ +8x 4= + +2 4 2
x x c) sin 2 sin 2 ( os 2 os 2 )
2 x+3 x− 2c x+3c x =2cos2
x
a) ⇔31 2− x−31 2+ x =4 3−x2 ⇔3x2− +2x 1−3x2+ +2x 1=4
Ta có( 2 ) ( 2 )
+ + − − + = ⇔ − =
Phương trình đã cho có dạng 3v− = − ⇔ + = +3u 3u 3v
Xét hàm số ( ) 3f t = +t t⇒f t'( ) 3 ln 3 1 0= t + >
Suy ra f(t) đồng biến, do đô ta có u= ⇔v 4x= ⇔ =0 x 0
4 2 2 8 4 2 2 2
5 + + 5 + + 4 2 2 8 4 4 2
⇔ x x − x x = + + = + + − + +
2 4 2 2 2 2 8 4 2
5 + + 4 2 5 + + 2 8 4 ( ) ( )
⇒ x x + + + = x x + + + ⇔ =
Xét hàm số ( ) 5= +t ⇒ '( ) 5 ln 5 1 0= t + >
Suy ra f(t) đồng biến, do đô ta có 2 2 2
4 2 0
2 2
= − −
= ⇔ + + = →
= − +
x
x
sin sin os os sin sin 2 os os 2
⇔ x+ x− c x+ c x = ⇔ x+ x+ = c x + c x +
Xét hàm số ( )= + +2t 3t 2 , ∈ ⇒ '( )=2 ln 2t +3 ln 3t + >2 0
Tài liệu bài giảng:
04 PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P4
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2Suy ra 2 2 π π π ( )
Bài 2: Giải các phương trình sau :
a) 2 5 1 1 1
x x
2
2 2
1 1 2
1 1
2
x c)
2
3 1 2 2
2 x− +x −2x− + x −3x− + =x 3 0
a) 2 5 1 1 1 ( ) 1; 0 '( ) 12 0
Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến Do đó 2 5 1 3
4
=
− = − ⇔
=
x
x
b)
2
2 2
Cho nên phương trình đã cho có dạng 1( ) 1 1
Xét hàm đặc trưng ( ) 2 1 '( ) 2 ln 2 1 0
= +t ⇒ = t + >
Chứng tỏ hàm f(t) luôn đồng biến Suy ra 1 1 0 2
2
c) ⇔2 x2− +3x 1−2x−2+ 2−3 − + = ⇔3 0 2 x2− +3x 1+ 2−3 + =1 2x−2+ −2
Bằng cách xét như các bài trên ta có kết quả
cos 36 x+ cos 72 x =3.2−x
Do cos 720 =sin18 ;cos 360 0=sin 540 =sin 3.180
Cho nên đặt t=t=sin180>0, và dùng công thức nhân ba ta có :
cos 36 =sin 54 ⇔ −1 2sin 18 =3sin18 −4sin 18 ⇔4t −2t − + =3t 1 0
0
1 5
0
5 1 4
4
5 1 sin18 4
−
t
t
Khi đó phương trình có dạng 5 1 5 1 3.2 5 1 5 1 3
−
x
Xét hàm số ( ) 5 1 5 1 3 0 '( ) 5 1 ln 5 1 5 1 ln 5 1 0
= + − = ⇒ = + <
Chứng tỏ hàm số f(x) luôn nghich biến Mặt khác f(2) = 0 nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 2
VI MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KHÁC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ
Dạng 1: Biến đổi về phương trình tích
Ví dụ 1: Giải phương trình
Ví dụ 2: Giải phương trình
a) 8− 2x +23−x− =0
x x b) 4 2+ 3x+31+x =2 2.3x+2 +6
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Giải các phương trình sau
a) 2x =2 2( x− +1) (3− )
1 1
4x −x+2−x =2x− +1
c) 2.2x+1+2x− +3 2 = 2.2x− +3 4 +2x−1
Trang 3HƯỚNG DẪN GIẢI:
.2x =2 2x− +1 3− ⇔ 2x−2.2x + +2 −3 = ⇔0 2x − + −2 1 − =2 0
(0) 0 ( ) 2 1 0 '( ) 2 ln 2 1 0
=
x
f
Dễ dàng tìm dược hai nghiệm của phương trình là x = 0 và x = 2
1
4x −x +2−x =2x− + ⇔1 2 x − x+2−x =2x − +x +1
Khi đó phương trình có dạng :
0
2 1
=
=
a
b
a b
( 2 )
2
0; 1 1; 1
= − =
x
c) 2 1 3 2 2 3 4 1 ( 2 1 1) ( 2 3 4 3 2) 1( 2 ) 3 2( 2 )
.2x+ +2x− + = 2x− + +2x− ⇔ 2x+ −2x− = 2x− + −2x− + ⇔2x− 4 − =1 2x− + 4 −1
3 2
3 2 1
4 1 0
x
Dạng 2: Phương pháp đánh giá hai vế
Ví dụ 1: Giải phương trình
2 x = +2 +x
2x+2−x = 16−
x
Ví dụ 2: Giải phương trình
2
2 x x− =x +
3 2
2 −x = − +8 −14
x x c) 2.6x−4x +33.12x−2.8x =2.3x
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Giải các phương trình sau
x x
c) 3sin x = cos
3 2
2
x x
3 x +3c x =2x+2−x +2