Phương trình mũ logarit

Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_LogaritKIẾN THỨC CẦN NHỚ I... Phương trình và bất phương trình mũ−logarit 1.. Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình− h

Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit

KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I Hàm số mũ

• y=a x ; TXĐ D=R

• Bảng biến thiên

x −∞ 0 +∞ x −∞ 0 +∞

1

−∞

1

−∞

• Đồ thị

f(x)=3^x

-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1

-15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3

x

y

y=3 x

f(x)=(1/3)^x

-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -6 -5 -3 -1 1 2

-15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3

x

y

x

y=  3

II Hàm số lgarit

• y=log a x, ĐK:







≠

<

>

1 0

0

a

x

; D=(0;+∞)

• Bảng biến thiên

x 0 0 +∞ x 0 0 +∞

1

−∞

1

−∞

• Đồ thị

f(x)=ln(x)/ln(3)

f(x)=3^x

f(x)=x

-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-15 -13 -11 -10 -9 -7 -5 -3 -1 1 3

x y

y=x

y=3 x

y=log3x

f(x)=ln(x)/ln(1/3) f(x)=(1/3)^x f(x)=x

-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3

-15 -13 -11 -9 -7 -5 -3 -1 1 3 4

x y

x

y 3

x y

3

log

= y=x

III Các công thức

1 Công thức lũy thừa :

Với a>0, b>0; m, n∈R ta có:

m

n a a

a

1

=a−m ; a0=1; a− 1=

a

1 );

n b

a b

a =









n

m

a

2 Công thức logarit : loga b=c⇔a c =b (0<a≠1; b>0)

Với 0<a≠1, 0<b≠1; x, x1 , x2>0; α∈R ta có:

log(x1 x2)=logx1+logx2 ; log

1

x x

= log x−logx2;

Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit

x

x

log

α

a

x b

b

log

log

;(loga b=

a b

log

1 )

b x =xlog

b

IV Phương trình và bất phương trình mũ−logarit

1 Phương trình mũ−logarit

a Phương trình mũ :

Đưa về cùng cơ số

+0<a≠1: a f(x) =a g(x) (1) ⇔ f(x)=g(x)

+ 0<a≠1: a f(x) =b ⇔ ( )=

>

b x

f

b

a

log

0

Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) ⇔(a−1)[f(x)−g(x)]=0

Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=ax (t>0), để đưa về một phương trình đại số

Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2± 3), (7±4 3),… Nếu trong một phương trình có chứa {a 2x ;b 2x ;axbx} ta

có thể chia hai vế cho b 2x (hoặc a 2x ) rồi đặt t=(a/b) x (hoặc t=(b/a) x

Phương pháp logarit hóa: af(x) =b g(x)⇔ f(x).log c a=g(x).log c b,với a,b>0; 0<c≠1

b P hương trình logarit :

Đưa về cùng cơ số:

+loga f(x)=g(x)⇔ ( ) ( )







=

≠

<

x g a x f

a 1

0

( ) ( )











=

>

>

≠

<

x g x f

x g x

f

a

0 0

1 0

Đặt ẩn phụ

2 Bất phương trình mũ−logarit

 af(x) >a g(x) ⇔( − ) ( ) ( ) [ − ]>

>

0 1

0

x g x f a

a

;  af(x)≥a g(x) ⇔( − ) ( ) ( ) [ − ]≥

>

0 1

0

x g x f a

a

Đặt biệt:

* Nếu a>1 thì: a f(x) >a g(x) ⇔ f(x)>g(x);

a f(x)≥a g(x) ⇔ f(x)≥g(x).

* Nếu 0<a<1 thì: a f(x) >a g(x) ⇔ f(x)<g(x);

a f(x)≥a g(x) ⇔ f(x)≤g(x).

loga f(x)>log a g(x)⇔ ( ) ( )

( ) ( ) ( ) [ ]











>

−

−

>

>

≠

<

0 1

0 ,

0

1 0

x g x f a

x g x f

a

; loga f(x)≥loga g(x)⇔ ( ) ( )

( ) ( ) ( ) [ ]











≥

−

−

>

>

≠

<

0 1

0 ,

0

1 0

x g x f a

x g x f

a

Đặt biệt:

+ Nếu a>1 thì: loga f(x)>log a g(x) ⇔ ( ) ( )

( )







>

>

0

x g

x g x f

;

+ Nếu 0<a<1 thì: log a f(x)>log a g(x) ⇔ ( ) ( )

( )







>

<

0

x f

x g x f

*

* *

Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH−BẤT PHƯƠNG TRÌNH−HỆ

PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT

I Biến đổi thành tích

Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x2 +x −4.2x2 −x −22x + = ⇔4 0 (2x2 −x −1 2) ( 2x −4) =0

Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích thành tích:

(2x2 −x −1 2) ( 2x −4) =0 Đây là phương trình tích đã biết cách giải

2 log x =log logx 2x+ −1 1

Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích: log3x−2 log3( 2x+ −1 1 log) 3x=0

Đây là phương trình tích đã biết cách giải

Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi

thành tích

II Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn

Ví dụ 1: Giải phương trình: 9x +2(x−2)3x+2x− =5 0 Đặt t = 3 x (*), khi đó ta có:

Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi ∆ là số chính phương

Ví dụ 2: Giải phương trình: 2( ) ( ) ( )

log x+ +1 x−5 log x+ −1 2x+ =6 0 Đặt t = log3(x+1), ta có:

III Phương pháp hàm số

Các tính chất:

Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (k∈R) có không quá một

nghiệm trong khoảng (a;b).

Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì ∀u, v ∈(a,b) ta có f u( )= f v( ) ⇔ =u v

Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).

Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì ∃ c ∈ ( ) a ; b :

a b

a F b

F

c

F

−

−

=

' Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì

( ); : '( ) 0 '( ) 0

Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc D

Ví dụ 1: Giải phương trình: x+2.3log 2x =3

Hướng dẫn: x+2.3log 2x = ⇔3 2.3log 2x = −3 x, vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến nên phương

trình có nghiệm duy nhất x=1.

Ví dụ 2: Giải phương trình: 6x +2x =5x +3x Phương trình tương đương 6x −5x =3x−2x, giả sử phương trình có nghiêm α Khi đó: 6α − 5α = 3α − 2α

Xét hàm số f ( ) ( ) t = t + 1α − tα, với t > 0 Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý lagrange tồn tại c∈( )2;5 sao cho: f c'( ) = ⇔0 α(c+1)α−1−cα−1= ⇔ =0 α 0,α =1, thử lại ta thấy x = 0, x = 1 là nghiệm của

phương trình

Ví dụ 3: Giải phương trình:−2x2 −x +2x− 1= −(x 1)2 Viết lại phương trình dưới dạng 2x−1+ − =x 1 2x2−x +x2 −x

, xét hàm số f ( ) t = 2t + t là hàm đồng biến trên R ( ??? ) Vậy phương trình được viết dưới dạng:

Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit

Ví dụ 4: Giải phương trình: 3x +2x =3x+2 Dễ dàng ta tìm được nghiệm: x = 0 và x = 1 Ta cần chứng minh

không còn nghiệm nào khác

Xét hàm số f x( ) =3x +2x −3x− ⇒2 f ''( )x =3 ln 3 2 ln 2 0x 2 + x 2 > ⇒ Đồ thị của hàm số này lõm, suy ra phương trình không có quá hai nghiệm

Ví dụ 5: Chứng minh hệ phương trình

2

2

2007

1 2007

1

x

y

y e

y x e

x







có đúng hai nghiệm thỏa mãn x > 0, y > 0.

HD: Dùng tính chất 2 để chỉ ra x = y khi đó xét hàm số ( ) 2 2007

1

x

Nếu x < −1 thì f ( ) x < e− 1 − 2007 < 0suy ra hệ phương trình vô nghiệm

Nếu x > 1 dùng định lý Rôn và chỉ ra với x0 = 2 thì f(2) < 0 để suy ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 6: Cho a≥b>0 Chứng minh rằng 2 1 2 1

HD: BĐT

Xét hàm số

( )

1

ln 2

2

x x

f x

x

=

với x > 0

Suy ra f’(x) < 0 với mọi x > 0, nên hàm số nghịch biến vậy với a ≥ b > 0ta có f ( a ) ≤ f ( ) b (Đpcm)

IV Một số bài toán (đặc biệt là các bài logarrit) ta th ường phải đưa về phương trình – hệ phương trình – bất phương trình mũ rồi sử dụng các phương pháp trên.

1.Dạng 1: Khác cơ số:

Ví dụ: Giải phương trình log7x=log (3 x+2) Đặt t = log7x⇒ =x 7tKhi đó phương trình trở thành: 3

+  ÷

2.Dạng 2: Khác cơ số và biểu thức trong dấu log phức tạp

5 6

log (x −2x−2)=2 log x −2x−3

Đặt t = x2 – 2x – 3 ta có log6(t+ =1) log5t

Ví dụ 2: Giải phương trình ( log 6 )

log x+3 x =log x Đặt t=log6x, phương trình tương đương 3

2

t

 ÷

3 Dạng 3: alogb(x c+ ) =x ( Điều kiện: b = a + c )

Ví dụ 1: Giải phương trình 4log 7(x+3) =x Đặt t=log7(x+ ⇒3) 7t = +x 3, phương trình tương

Ví dụ 2: Giải phương trình 2log3(x+ 5) = x + 4 Đặt t = x+4 phương trình tương đương 2log3( )t+ 1 = t

Ví dụ 3: Giải phương trình 4log 3(x+1) −(x−1 2) log 3(x+1) − =x 0

4 Dạng 4: ax b log ( )

s

s + =c dx+e + αx+ β , vớid =ac+α,e bc= +β

Ph

trình một ta được: s ax b+ +acx s= ay b+ +acy Xét f t( ) =s at b+ +act

Ví dụ: Giải phương trình 1

7

7x− =6log (6x− +5) 1 Đặt y− =1 log 67( x−5) Khi đó chuyển thành hệ

1

y

−

Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit

đó: 7x−1−6x+ =5 0 Xét hàm sốg ( ) x = 7x− 1− 6 x + 5 Áp dụng định lý Rôn và nhẩm nghiệm ta được 2

nghiệm của phương trình là: x = 1, x = 2.

5 Dạng 5: Đặt ẩn phụ chuyển thành hệ phương trình.

Ví dụ: Giải phương trình 81 2 1 181

x

HD: Viết phương trình dưới dạng 18 1 1 1 181

2x− 1 2+ −x 2 =2x− 2−x 2

+ + + + , đặt u =2x−1+1,v=21−x+1 ,u v>0.

Nhận xét: u.v = u + v Từ đó ta có hệ:

u v u v

 + =





Bài tập

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a.( 2+ 3) (x + 2− 3)x − =4 0

b ( 2− 3) (x + 2+ 3)x =4

c.( 7 4 3+ )x −3 2( − 3)x + =2 0

d (3+ 5)x +16 3( − 5)x =2x+ 3

e ( 2 1− ) (x + 2 1+ )x −2 2 0= (ĐH_Khối B 2007) ĐS: x=1, x=−1

i 3.16x +2.8x =5.32x

j.2.41x +61x =91x

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

a 43 2 1283

x y

+

− −





=

x y

x y

+

− −







5





+ =



3x xy y 81

− +





=

e





4

1

25

y x

y





 + =



(ĐH_Khối A 2004) ĐS: (3;4)

g

1

x

x

y

+





(ĐH_Khối D 2002) ĐS: (0;1), (2;4)

Bài 3: Giải và biện luận phương trình:

a (m−2 2) x +m.2−x + =m 0 b 3m x +m.3−x =8

Bài 4: Cho phương trình 2 2

Chuyên đề: Phương trình − Bất phương trình− hệ phương trình Mũ_Logarit

a Giải phương trình khi m=2.

9 .

b Định m để bất phương trình thỏa x R∀ ∈

Bài 6: Giải các phương trình sau:

a log5x=log5(x+6) −log5(x+2) b log5x+log25x=log0,2 3

c logx(2x2−5x+4) =2 d.lg( 2 2 3) lg 3 0

1

x

x

+

−

log x+ −1 6 log x+ + =1 2 0 (ĐH_Khối D 2008) ĐS: x=1, x=3.

1

4.2 3

x

Bài 7: Giải bất phương trình:

3

2 log (4x− +3) log 2x+ ≤3 2 (ĐH Khối A_2007) ĐS: 3/4 ≤ x ≤ 3

b

2 0,7 6

4

x

log 4x +144 −4 log 2 1 log 2< + x− +1 (ĐH_Khối B 2006) ĐS: 2 < x < 4.

d

2

1

2

x

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−