phương trình mũ p3

PHƯƠNG PHÁP LOGARITH HÓA GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ Khái niệm: Là phương trình có dạng f x g x trong đó a, b nguyên tố cùng nhau, fx và gx thường là hàm bậc nhất hoặc bậc hai.. 2 thu

Trang 1

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARITH

Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831

IV PHƯƠNG PHÁP LOGARITH HÓA GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Khái niệm:

Là phương trình có dạng ( ) ( ) ( )

f x g x

trong đó a, b nguyên tố cùng nhau, f(x) và g(x) thường là hàm bậc nhất hoặc bậc hai

Cách giải:

Lấy logarith cơ số a hoặc cơ số b cả hai vế của (1) ta được

1 ⇔loga a f x b g x =loga c⇔loga a f x +loga b g x =loga c⇔ f x( )+g x( ) loga b=loga c, 2

(2) thu được là phương trình bậc nhất của x, hoặc phương trình bậc hai có thể giải đơn giản

Chú ý:

Những dạng phương trình kiểu này chúng ta cố gắng sử dụng tính chất của hàm mũ để biến đổi sao cho c = 1 Khi đó việc logarith hóa hai vế với c = 1 sẽ cho phương trình thu được đơn giản hơn rất nhiều

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau

Hướng dẫn giải:

a)

1

9.8

x x

+

Vậy phương trình có nghiệm x = 1

5 3x x = ⇔1 log 5 3x x =log 1⇔log 5x+log 3x = ⇔0 xlog 5+x =0

3

0

log 5

x

=



= −



Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 0 và x = –log35

7 x+9.5 x=5 x+9.7 x ⇔8.7 x=8.5 x⇔7 x=5 x⇔lg 7 x =lg 5 x ⇔3 lg 7x −2 lg 5x =0

(3lg 7 2 lg 5) 0 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0

Ví dụ 2 Giải các phương trình sau:

a)

1

x

x x

+

2 1 1

x

x x

− + = c) 2x−3=5x2− +5x 6 d) x2lgx=10x

a) 5 8 1 500, ( )1

x

x x

+

3

x x

5

3

log 2

x

=







b) 5 22 11 50, ( )2

x

x x

−

1

x x

+

2

x x

=



− =





Tài liệu bài giảng:

04 PHƯƠNG TRÌNH MŨ – P3

Thầy Đặng Việt Hùng

Trang 2

Vậy phương trình có hai nghiệm 2 ; 1

lg 5

x= x= −

2x− =5x − +x ⇔log 2x− =log 5x− +x ⇔ − =x 3 x −5x+6 log 5

5

2

3

log 50 log 5 1 2 log 5

log 5

x x

=



− =

= +

Vậy phương trình có hai nghiệmx=3 ;x=log 50.5

10 , 4

=

x

( ) ( )2lg ( ) 2

2

x

=





Vậy phương trình có hai nghiệmx=10 ;x= 10

BÀI TẬP LUYỆN TÂP:

Bài 1 Giải phương trình

a)

1

−

=

x

b) 3 8x x+x1=36

c) 34x =43x

Bài 2: Giải các phương trình sau :

a) 3 log 5

5− x =25

9 x =

c) xlog 9 2 =x2.3log 2x −xlog 3 2 d) ( ) 3 2

3 log log 3

−

=

x

a) xlog 9+9logx =6 b) 3log 2x+xlog 3 2 =63log 2x

c) log 2 2 log 6 2 log 4 2 2

lg 100

lg 10 lg

4 x −6 x =2.3 x

2 log 16 log 16 1

1 log 2 log

2+ x +224= x

x

c) xlg2x−3lgx−4,5=10−2lgx

9 1

7 2x x+ =392 c) 2 3x 9 −x2 =8

d)

2 1

1

x

−

2

HƯỚNG DẪN GIẢI:

Bài 1 Giải phương trình

a)

1

5 8 500

x

x x

−

x

x x+ = c) 34x =43x a)

( )

1

2

3 3

log 5

= −



x

x x

Trang 3

b)

3 1

3 2

3

2

1 log 4 2 log 4

x x

x

3

4

3

 

 

x

a) 3 log 5

5− x =25

9 x =

c) log 9 2 2 log 2 log 3 2

.3

3 log log 3

−

=

x

GIẢI

5

3 2 2 log

0

25 5

−

>



>





=



x

x x

b) log 9 2

9.x x =x ⇔Lấy loga cơ số 9 hai vế , ta có phương trình :

9

=

x x

c) log 9 2 = 2.3log 2x − log 3 2

x x x Sử dụng công thức : logc b= logc a

a b Phương trình biến đổi thành :

2

log

log 2



x

2

Chứng tỏ hàm số f(t) là một hàm số nghịch biến

Do f(1) = 0 cho nên với t = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất log2x= → =1 x 2

d) ( ) 3 2

3 log log

3

−

=

x Lấy log hai vế , phương trình trở thành :

3 2

3 3

log

−







x x

7 3

7

2

log

10 7

3

10 1

7 log

9

−



=



⇔ < ≠ ⇔ = − ⇔

=



=





x

x t

a) xlog 9+9logx =6 b) 3log 2x+xlog 3 2 =63log 2x

c) log 2 2 log 6 2 log 4 2 2

4 x −6 x =2.3 x

a)

1

log

2

< ≠



=

x

Trang 4

b)

2

log log log 3 3log log log 3log log 3log

3

x

1 72

1 log 2

72

1

2

4 x− =2.3 x ⇔2 + x −6 x =2.3 + x ⇔4.2 x−6 x=18.3 x

x

2

log

2

0



+ − =

x

t

t t

2

0

1

0

2

4

9

−

>













x

t

d) lg 10( ) lg lg 100( 2) 1 lg lg 2 2 lg 2 lg lg 2 lg

4 x −6 x =2.3 x ⇔4+ x −6 x =2.3+ x ⇔4.2 x−6 x =18.3 x

Chia hai vế cho 22 lgx >0

ta được

2 lg

2 2

0

4

9

−

>





= >







x

t

2 log 16 log 16 1

b) ( ) 2

1 log 2 log

2+ x +224= x

x c) lg2x−3lgx−4,5= 10−2lgx

log 16

2

0

−

>





x

t t

t

3

2

log

2 log

2



x x

x

2

log 4

2

2 2

4

16 2

−

>



=



x

t

x

x t

c) lg2x−3lgx−4,5=10−2lgx

x

3 10 2

1

2

lg

2

−

+



=

−

+



x

x x

V PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Cơ sở của phương pháp:

Xét phương trình f(x) = g(x), (1)

Trang 5

Chứng minh tính đồng biến, nghịch biến hay hằng số của (1)

Chú ý:

Hàm f(x) đồng biến thì x 2> x 1 →f ( x ) 2 > f ( x ) ; f(x) nghịch biến thì 1 x 2 > x 1 →f ( x ) 2 < f ( x ) 1

Hàm = u( x )→ ′ = ′ u( x )

( x )

f ( x ) a f ( x ) u a ln a Khi a > 1 thì hàm số đồng biến, ngược lại hàm nghịch biến

Tổng hoặc tích của hai hàm đồng biến (hoặc nghịch biến) là một hàm đồng biến (hoặc nghịch biến), không có tính chất tương tự cho hiệu hoặc thương của hai hàm.

Với những phương trình có dạng f x;a( u( x ))=0, hay đơn giản là phương trình có chứa x ở cả hệ số và trên lũy thừa, ta coi đó là phương trình ẩn là hàm mũ và giải như bình thường Bài toán sẽ quy về việc giải phương trình bằng phương pháp hàm số để thu được nghiệm cuối cùng.

Dạng 1: Phương trình sử dụng sự biến thiên của hàm số mũ

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau

x

x= + c) (3+2 2) (x+ −3 2 2)x =6x

a) 3x= −5 2 , 1 x ( ) Đặt ( ) 3

x

f x





′

= − → = − <



Từ đó ta thấy f(x) đồng biến, còn g(x) nghịch biến

Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của (1)

( ) (1) 3

f x f

g x g

> =



→



< =

( ) (1) 3

f x f

g x g

< =



→



> =

 (1) vô nghiệm Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình (1)

x

 

′

=  +  → =  +  < →

Nhận thấy x = 2 là một nghiệm của (2)

Vậy x = 2 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

f x = +  + −  →f x′ = +  + + −  + <

Do đó f(x) là hàm nghịch biến

Nhận thấy x = 1 là một nghiệm của (3)

Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

2

x

=  ⇒ >

1

t



=



Trang 6

2

x

= ⇔  = ⇔ =

2

x

Ta có x = −2 thỏa mãn phương trình (*) nên là nghiệm của phương trình (*)

2

x

y  

= 

  luôn nghịch biến trên R, hàm số y = 3x + 10 luôn đồng biến trên R Do đó x = −2 là nghiệm duy nhất của phương trình (*) Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x=0,x= −2

BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

−  + −  −  = − +

x

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 2

x

f x

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1

x

f x

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1

−  + −  −  = − + ⇔ + + =  +  +  +

x

( ) 3 2 2 '( ) 3 ln 3 2 ln 2 0 ; (1) 7

= =  +  +  +

Chứng tỏ x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

a) 4x− =3x 1

− = ⇔ + = ⇔  +  = ⇔ =  +  − =

f x

Mặt khác f(1) = 0 nên phương trình có nghiệm duy nhất là x = 1

Trang 7

=  +  +  − ⇒ =    +    +   <

Suy ra f(x) là hàm nghịch biến, nên phương trình sẽ có nghiệm duy nhất

Mặt khác f(1) = 0, vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

=  +  +  − ⇒ =    +    +   <

Vậy f(x) là hàm số nghịch biến

Mặt khác f(2) = 0 nên phương trình có nghiệm duy nhất x = 2

d) 3x+5x =6x+ ⇔2 f x( )= + −3x 5x 6x−2

Rõ ràng phương trình có hai nghiệm là x = 0 và x = 1

Ta có '( )=3 ln 3x +2 ln 2 6;x − ''( )=3 (ln 3)x 2+2 (ln 2)x 2 >0

Suy ra f x'( ) là một hàm số liên tục , đồng biến và nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm trên R, nên phương trình

'( )=0

f x có nghiệm duy nhất x0

Ta lập bảng biến thiên sẽ suy ra hai nghiệm của phương trình, sẽ không còn nghiệm nào khác

Dạng 2: Phương trình sử dụng phép đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Ví dụ Giải các phương trình sau

c) 4x2 +(x2−7).2x2 + −12 4x2 =0 d) 4x2+x.3 x+31+ x =2.3 x x2+2x+6

a) 25x−2(3−x).5x+2x− = ⇔7 0 52x−2(3−x).5x+2x− =7 0, ( )1

Ta coi (1) là phương trình bậc hai ẩn 5x

′

x

 = − + −  = − <



(*) là phương trình quen thuộc ở ví dụ 1 đã xét đến, ta dễ dàng tìm được nghiệm x = 1 là nghiệm duy nhất của (*)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 1

3.25x− +(3x−10).5x− + − = ⇔3 x 0 3 5x− +(3x−10).5x− + − =3 x 0, 2

3x 10 12 3 x 9x 60x 100 36 12x 9x 48x 64 3x 8

Khi đó, ( )

1

2

2 2

1

6

3 2

5

6

x

x x

x

−

=









→

′

Từ đó ta được f(x) đồng biến còn g(x) nghịch biến

Nhận thấy x = 2 là một nghiệm của (**)

f x f x

g x g

> =



< =

Trang 8

f x f x

g x g

< =



> =

→x = 2 là nghiệm duy nhất của (**), vậy phương trình đã cho có hai nghiệm log525; 2

3

4x +(x −7).2x + −12 4x = ⇔0 4t + −(t 7).2t+ − =12 4t 0, t=x ≥0 3

Khi đó, ( )

( ) ( )

2

2 3

2

t

t t

t

=



=



Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm x= ±1;x= ± 2

4x +x.3 x+3+ x =2.3 x x +2x+6, 4

( )4 ⇔ x2(4−2.3 x) (+x 3 x − + −2) 6 31+ x = ⇔0 2x2(2 3− x) (−x 2 3− x) (+3 2 3− x)=0

2

x x

o

− + =



BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

3 x− +3x− 3 − + − =7 2 0

b) 255−x−2.55−x(x− + −2) 3 2x=0

c) 9x+2( −2 3) x +2 − =5 0

3 x− + 3 −10 3x− + − =3 0

b) 3.4x+(3x−10 2) x+ − =3 x 0

2

2+ 2 x+x 2− 2 x = +1 x

HƯỚNG DẪN GIẢI:

a) 32x−1+3x−1(3x− + − =7) 2 x 0 b) 255−x−2.55−x(x− + −2) 3 2x=0 c) 9x+2(x−2 3) x +2x− =5 0 a) 32x−1+3x−1(3x− + − =7) 2 x 0

2





x

0

6 3

1

>





⇔ = − ⇔





x x

t

0 '( ) 3 ln 3 3 0

=



⇔

= + >

x

f x

Suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 0, x = 1

Trang 9

2

0

−

>



x

t t

0

5 2

>



 = >

x

t t

Chứng tỏ f(x) luôn đồng biến

3 x− + 3 −10 3x− + − =3 0

b) 3.4x+(3 −10 2) x+ − =3 0

2

2+ 2 x+x 2− 2 x = +1 x

2

−



x x

2 1

2 2

2

0

1

'( ) 3 ln 3 1 0

3

−

>



= −





= −





x

x x

x

t

x

f x t

x

Chứng tỏ f(x) luôn đồng biến Mặt khác f(2) = 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 1 và x = 2

0

3

−

>





= −





x

t t

2

log 3

'( ) 2 ln 2 1 0

= −





x x

x

f x

Chứng tỏ f(x) luôn đồng biến Mặt khác f(1) = 0 nên f(x) = 0 có nghiệm duy nhất x = 1

Vậy chứng tỏ phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1 và x= −log 3.2

2

2 + 2 x+ x 2 − 2 x= + 1 x

2

log

+

x

x x

Khi đó, phương trình đã cho trở thành : ( )

( ) ( )

2

2 2





x

t

2

1

=





x

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	347,39 KB