cực trị của hàm số

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ §1.. Các phương pháp tìm cực trị A.. Bảng sau đây tóm tắt các khái niệm được sử dụng trong phần này: 0 Điểm cực đại củ

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

§1 Các phương pháp tìm cực trị

A Tóm tắt lý thuyết

1 Khái niệm cực trị của hàm số

Cho :f D→¡ và x0∈D

a) x được gọi là một điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng 0 ( )a b sao cho;

( )

0

;

; \



b) x được gọi là một điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng 0 ( )a b sao cho;

( )

0

;

; \



c) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị

Bảng sau đây tóm tắt các khái niệm được sử dụng trong phần này:

0

Điểm cực đại của f Giá trị cực đại (cực đại) của f Điểm cực đại của đồ thị hàm số f Điểm cực tiểu của f Giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số f Điểm cực trị của f Cực trị của f Điểm cực trị của đồ thị hàm số f

2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị

Giả sử hàm f có đạo hàm tại x Khi đó: nếu f đạt cực trị tại 0 x thì 0 f x'( )0 =0

3 Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

a) Quy tắc 1

• Nếu f x đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua '( ) x thì f đạt cực đại tại 0 x ;0

• Nếu f x đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua '( ) x thì f đạt cực tiểu tại 0 x 0

b) Quy tắc 2:

( )

0 0

" 0

f x

=



 <

 ⇒ f đạt cực đại tại x ;0

( )

0 0

" 0

f x

=



 >

 ⇒ f đạt cực tiểu tại x 0

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 [SGKNC] Sử dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số 1 3 2 3 4

y= x − − +x x

Giải Hàm số có TXĐ =¡ , y'=x2−2x−3, ' 0y = ⇔ x= −1 hoặc x=3

Hàm số đạt cực đại tại x= −1, giá trị cực đại tương ứng là y( )− =1 3; hàm số đạt cực tiểu tại x=3, giá trị cực tiểu tương ứng là

( )3 23

3

Ví dụ 2 [SGKNC] Sử dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số y= x x( +2).

Giải Hàm số có TXĐ =¡ Ta có

2 2

+

= + + = (x≠0)

Ta thấy với mọi x≠0, dấu của 'y chính là dấu của tam thức bậc hai x2+x Nên ta có bảng biến thiên của hàm số như sau:

Kết luận: hàm số đạt cực đại tại x= −1, giá trị cực đại tương ứng là y( )− =1 1; hàm số đạt cực tiểu tại x=0, giá trị cực tiểu tương ứng là y( )0 =0

Ví dụ 3 [SGKNC] Sử dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số 1 3 2 4

3

y= x − − +x x

Giải TXĐ=¡

• y'=x2−2x−3, ' 0y = ⇔ x= −1 hoặc x=3

• y" 2= x−2,

+) y" 1( )− = − <4 0 ⇒ hàm số đạt cực đại tại x= −1, giá trị cực đại tương ứng là

( )1 3

+) y" 3( ) = >4 0 ⇒ hàm số đạt cực tiểu tại x=3, giá trị cực tiểu tương ứng là

( )3 23

7

Ví dụ 4 [SGKNC] Sử dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số y x= −sin 2x+2

Giải TXĐ =¡

• y' 1 2cos 2= − x, ' 0y = ⇔ 1

2

3

x= ± +π kπ ⇔

6

x= ± +π kπ

( k∈¢ )

• y" 4sin 2= x,

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

y′′π +kπ= π + kπ= >

6

x= +π kπ

, giá trị cực tiểu tương ứng là 6 3 2

yπ +kπ= +π kπ− +

y′′ − + π kπ÷= − +π kπ÷= − <

6

x= +π kπ

y− +π kπ= − +π kπ− +

Ví dụ 5 [SGK] Tìm a , b , c sao cho hàm số y ax= 3+bx2+ +cx d đạt cực tiểu tại điểm x=0,

( )0 0

y = và đạt cực đại tại x=1, f ( )1 =1

Giải Ta có y' 3= ax2+2bx2+c Từ giả thiết suy ra

( ) ( ) ( ) ( )

' 0 0

' 1 0

y y y y

=





=







⇔

0 0

1

c d

a b c d

=



 =



 + + =



 + + + =



⇔

2 3 0 0

a b c d

= −



 =



 =



 =



Khi đó y= −2x3+3x2, y'= −6x2+6x, "y = −12x+6 Ta có y" 0( ) = >6 0 ⇒ hàm số đạt cực tiểu tại x=0, y" 1( ) = − <6 0 ⇒ hàm số đạt cực đại tại x=1 (thỏa mãn) Vậy a= −2, b=3,

0

c= , d =0

C Bài tập

Bài 1 Tìm cực trị của các hàm số

2

y x

x

= − +

− ; 5)

2

2

4

y

x

+ −

=

4

x

y

x

=

+ ;

7) y x= 3−x;

8) y x= 2−2 x +2;

9) y=sin2 x− 3 cosx;

10) y=2sinx+cos 2x

Bài 2 Tìm a , b , c để hàm số 3 2

y x= +ax + +bx c đạt cực tiểu tại x=1, y( )1 = −3 và đồ thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

Bài 3 Tìm p , q sao cho hàm số

1

q

y x p

x

= + +

+ đạt cực đại tại điểm x= −2 và y( )− = −2 2

D Đáp số

Bài 1 Error: Reference source not found Hàm số đạt cực đại tại điểm x=1, y( )1 =8 và đạt cực tiểu tại điểm x=2, y( )2 =7; Error: Reference source not found Hàm số nghịch biến trên

¡ nên không có cực trị; Error: Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu tại x= −2,

( )2 115

y − = − và x=2, y( )2 =13, đạt cực đại tại điểm x=1, y( )1 =20; Error: Reference

source not found Hàm số đạt cực đại tại điểm x= −1, y( )− = −1 7 và đạt cực tiểu tại điểm

5

x= , y( )5 =5; Error: Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=1,

( )1 5

y = và đạt cực đại tại điểm x=4, y( )4 =2; Error: Reference source not found Hàm số

đạt cực tiểu tại điểm x= −2, ( )2 1

4

y − = − và đạt cực đại tại điểm x=2, ( )4 1

4

y = ; Error:

Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x=1, y( )1 =5 và đạt cực đại tại điểm x=4, y( )4 =2 Error: Reference source not found Hàm số đạt cực tiểu tại x= −2,

( )2 1

4

y − = − , đạt cực đại tại điểm x=2, ( )2 1

4

y = ; Error: Reference source not found Hàm

số đạt cực tiểu tại các điểm x=2kπ , y k(2 π = +) 2 3 và x= +π 2kπ, y(π +2kπ) = −2 3 Hàm số đạt cực đại tại các điểm 5 2

6

x= ± π + kπ

y± π + kπ= −

source not found Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm 2

2

x= +π kπ

2

yπ + kπ=

2

2

x= − +π kπ

2

y− +π kπ= −

  Hàm số đạt cực đại tại các điểm x 6 2k

3 2

yπ + kπ=

5 2 6

y π + kπ=

  Bài 2 a=3, b= −9, c=2 Bài 3. 1

p q= =

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

§2 Cực trị của hàm bậc ba

A Tóm tắt lý thuyết

Xét hàm y ax= 3+bx2+ +cx d ( )C (a≠0)

1 Điều kiện có cực trị

• Hàm số có cực trị ⇔ hàm số có hai cực trị ⇔ ( )C có cực trị ⇔ ( )C có hai điểm

cực trị ⇔ 'y có hai nghiệm phân biệt.

• f không có cực trị ⇔ ' 0∆ ≤

2. Quy tắc tính cực trị và phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số

Giả sử hàm số có cực trị, thực hiện phép chia đa thức y cho ' y để có:

( ) '

y= p x y ax b+ +

Từ đây suy ra:

• x là điểm cực trị của hàm số 0 ⇒ y x'( )0 =0 ⇒ y x( )0 =ax0+b

• ∆: y ax b= + là đường thẳng đi qua tất cả các điểm cực trị của ( )C

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 Tìm m để hàm số y=(m+2)x3+3x2+mx−5 có cực đại, cực tiểu

Giải Ta có y' 3= (m+2)x2+6x m+ y có cực đại, cực tiểu thì trước hết

2 0

Khi đó 'y là tam thức bậc hai có ∆ = −' 3(m2+2m−3) y có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi

' 0

∆ > ⇔ m2+2m− <3 0 ⇔ − < <3 m 1 (2) Kết hợp với ( )1 và ( )2 ta có những giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là

( 3; 2) ( 2;1)

m∈ − − ∪ −

Ví dụ 2 [ĐHD12] Tìm m để hàm số 2 3 2 ( 2 ) 2

y= x −mx − m − x+ có hai điểm cực trị x ,1 2

x sao cho x x1 2+2(x1+x2) =1

Giải Ta có

t x =x −mx− m + là tam thức bậc hai có ∆ =13m2−4 Do đó hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi

'

y có hai nghiệm phân biệt ⇔ t x có hai nghiệm phân biệt ( )

⇔ ∆ > ⇔0

2 13 13

2 13 13

m m



>







< −



1

x , x là các nghiệm của 2 t x nên theo định lý Vi-ét, ta có ( ) 1 2 2

1 2 3 1

+ =



Do đó

( )

1 2 2 1 2 1

0 2 3

m m

=





 =



Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ 2

3

m= thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 3 [ĐHB07] Tìm m để hàm số y= − +x3 3x2+3(m2−1)x−3m2−1 có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số cách đều gốc tọa độ O

Giải Ta có

( ) 2 2 m2 1

t x =x − x− + là tam thức bậc hai có ∆ =' m2 Do đó: y có cực đại cực tiểu ⇔ 'y có

hai nghiệm phân biệt ⇔ t x có hai nghiệm phân biệt( ) ⇔ ∆ >' 0 ⇔ m≠0 (1) Khi đó 'y có các nghiệm là: 1 m± ⇒ tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số là

A − − −m m và ( 3)

B + − +m m Ta có

(1 ; 2 2 3)

OAuuur − − −m m ⇒ 2 ( )2 ( 3)2

(1 ; 2 2 3)

OBuuur + − +m m ⇒ 2 ( )2 ( 3)2

A và B cách đều gốc tọa độ khi và chỉ khi

OA OB= ⇔ 2 2

1−m +4 1+m = +1 m +4 1−m

⇔ −4m+16m3=0 ⇔

0 1 2

m m

=





 = ±



Đối chiếu với điều kiện (1), ta thấy chỉ 1

2

m= ± thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 4 [ĐHB12] Tìm m để đồ thị hàm số y x= −3 3mx2+3m3 có hai điểm cực trị A và B sao

cho tam giác OAB có diện tích bằng 48

Giải Ta có

2

y = x − mx= x x− m , ' 0y = ⇔ 0

2

x

=



 =

Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi và chỉ khi

Khi đó, các điểm cực trị của đồ thị hàm số là A(0;3m , 3) B m m(2 ;− 3) Ta có:

• OAuuur(0;3m3)

• Ta thấy A Oy∈ ⇒ OA Oy≡ ⇒ d B OA( , ) =d B Oy( , ) =2m . (3)

2

OAB

S = × ×OA d B OA = m

Do đó: S OAB =48 ⇔ 4

3m =48 ⇔ m= ±2 (thỏa mãn (1))

Ví dụ 5 Xác định tọa độ các điểm cực trị và viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực

trị của đồ thị hàm số y x= −3 3x2−6x+8 ( )C

Giải Ta có

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Vì t x( ) =x2−2x−2 có ' 3 0∆ = > nên t x có hai nghiệm phân biệt, suy ra '( ) y có hai nghiệm

phân biệt Do đó ( )C có hai điểm cực trị Ta thấy các nghiệm của ' y là x1= −1 3<x2 = +1 3 'y đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x nên 1 x là điểm cực đại, '1 y đổi dấu từ âm sang

dương khi x đi qua x nên 1 x là điểm cực đại.1

Thực hiện phép chia y cho t x ta được ( )

( 1) ( ) 6 6

Suy ra:

( )1 6 1 6

y x = − x + (vì t x( )1 =0) ⇒ y x( )1 = −6 1( − 3)+ =6 6 3

⇒ tọa độ điểm cực đại của ( )C là (1− 3;6 3) Tương tự, tọa độ điểm cực tiểu của ( )C là (1+ 3; 6 3− )

Ta thấy tọa độ các điểm cực trị của ( )C cùng thỏa mãn phương trình y= − +6x 6 nên phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số là y= − +6x 6

Nhận xét Trong ví dụ trên thay vì chia y cho ' y , ta thực hiện phép chia y cho t x đơn giản( )

hơn mà vẫn đạt được mục đích của phương pháp Sở dĩ có thể làm được như thế là vì 'y và t x( )

có cùng tập nghiệm

Ví dụ 6 [ĐHA02] Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

y= − +x mx + −m x m+ −m .

Giải Ta có

Tam thức bậc hai ( ) 2 2

t x =x − mx m+ − có ' 1 0∆ = > nên t x có hai nghiệm phân biệt và đổi( )

dấu tiên tiếp khi x đi qua hai nghiệm này Do đó hàm đã cho có cực đại, cực tiểu

Thực hiện phép chia y cho t x ta có ( ) y=(m x t x− ) ( )+2x m− 2+m Giả sử x là điểm cực trị0

nào đó của hàm số, ta có

Vậy phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số là y=2x m− 2+m

Nhận xét Trong ví dụ này, ta có thể tính được tọa độ các điểm cực trị một cách dể dàng Do đó,

có thể áp dụng phương trình đường

C Bài tập

Bài 1 Cho 3 2 ( )

y mx= + mx − m− x− Tìm m để các hàm số có cực trị và các điểm cực trị

đều âm

Bài 2 Cho y=2x3+mx2−12x−13 ( )C m

1) Chứng tỏ rằng với mọi m , ( )C luôn có các điểm cực đại, cực tiểu Gọi m x , 1 x là hoành độ2

các điểm cực trị của ( )C , tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức m 2 2 ( ) ( )

1 2 1 1 2 1

2) Tìm m để các điểm cực đại, cực tiểu của ( )C cách đều trục tung m

Bài 3 Cho y= − +x3 3x2+3(m2−1)x−3m2−1 ( )C m

1) Tìm m để hàm số có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu.

2) Tìm m để ( )C có các điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng bằng 2 5 m

Bài 4 Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

y= − +x x − x+ ;

y= x − − +x x ;

3) y x= +3 2x2−10x+ 3 1+

Bài 5 Tìm m để các hàm số sau đây có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng đi

qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số

1) y x= −3 3mx2+3(m2 −1)x m− 3;

2) y x= −3 3(m−1)x2+(2m2−3m+2)x m m− ( −1)

Bài 6 Tìm m để đồ thị hàm số

1) y=2x3+3(m−1)x2+6(m−2)x−1có các điểm cực đại, cực tiểu nằm và đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng y= − −4x 1;

2) y=2x3+3(m−1)x2+6m(1 2− m x) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm trên đường thẳng 4

y= − x;

3) y x= +3 mx2+7x+3có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y=3x−7;

y= − +x mx + −m x m+ −m có các điểm cực đại cực tiểu sao cho các điểm cực đại cực tiểu và điểm M( )1;0 thẳng hang;

5) y x= −3 3x2 +m x m2 + có các điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng

6) 1 3 1( ) 2

1

y= x − m+ x +mxcó các điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng

72x−12y−35 0=

D Đáp số

Bài 1. 1 1

4< <m Bài 2 1 min 19

4

A= , đạt được ⇔ 3

2

m= − ; 2 m=0 Bài 3 1 m< −1 ∨ 1

m> ; 2 m= ±1 Bài 4 Error: Reference source not found 2 1

y= x+ ; Error: Reference source not found 7 89

y= − x+ ; Error: Reference source not found 68 3 29

y= − x+ + Bài 5 Error:

Reference source not found Hàm số có cực đại, cực tiểu ∀m, phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là y= − −2x m Error: Reference source not found Hàm số có cực đại, cực tiểu ⇔ 3 5

2

2

m> + , phương trình đường thẳng đi qua các

điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số là 2 2 2 2 2 3 8 2 8 2

Bài 6 1m=5; 2 m=1; 3 3 10

2

m=± ; 4 m= −1 ∨ m=2; 5 m=0; 6 vô nghiệm.

BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

§3 Cực trị của hàm bậc bốn trùng phương

A Tóm tắt lý thuyết

1 Xét hàm f x( ) =ax4+bx2+c (a≠0) Ta có ( )

( )

2

t x

b

a

14 2 43 

Trường hợp 1: ab≥0 Khi đó t x vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất ( ) x=0 ⇒ f x có'( )

nghiệm duy nhất x=0 và f x đổi dấu đúng một lần khi x đi qua 0 '( ) ⇒ f chỉ có một cực trị.

Trường hợp 2: ab<0 Khi đó t x có hai nghiệm phân biệt khác 0 ( ) ⇒ f x có ba nghiệm'( )

và f x đổi dấu liên tiếp khi x đi qua ba nghiệm này '( ) ⇒ f ba cực trị.

2 Một số kết quả cụ thể:

• f có một cực trị ⇔ ab≥0;

• f có ba cực trị ⇔ ab<0;

0

a b

>



 ≥

0

a b

<



 ≤

0

a b

>



 <

0

a b

<



 >

B Một số ví dụ

Ví dụ 1 [ĐHB02] Tìm m để hàm số y mx= 4+(m2−9)x2+10 có 3 điểm cực trị

Giải Để hàm số có ba điểm cực trị thì trước hết hàm số phải là hàm bậc 4 , tức là m≠0 Ta có

( )

2

2

m

t x

1 4 2 43 Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi

'

y có 3 nghiệm phân biệt ⇔ t x có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ( ) ⇔ 2 9 0

2

m

m− <

⇔ m m( 2− <9) 0 ⇔ 0 3

3

m m

< <



 < −

Ví dụ 2 Tìm m để hàm số ( ) 4 2 3

1

2

y= m+ x −mx + chỉ có cực tiểu mà không có cực đại

Giải Ta xét hai trường hợp sau đây:

• m+ =1 0 ⇔ m= −1 Khi đó 2 3

2

y x= + ⇒ hàm số chỉ có cực tiểu (x=0) mà không có cực đại ⇒ m= −1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

• m+ ≠1 0 ⇔ m≠ −1 Khi đó hàm số đã cho là hàm bậc 4 có

m

m

+

Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại ⇔ 'y có đúng một nghiệm và đổi dấu từ âm sang

dương khi x đi qua nghiệm này ⇔ ( )

0

m m m

 + >





⇔ 1− < <m 0

Kết hợp những giá trị m tìm được, ta có − ≤ <1 m 0

Ví dụ 3 [ĐHB11] Cho hàm số y x= 4−2(m+1)x2+m Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A , B , C sao cho OA BC= ; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung,

B và C là hai điểm cực trị còn lại

Giải Ta có

( )

t x

1 44 2 4 43 Hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi

'

y có 3 nghiệm phân biệt ⇔ t x có 2 nghiệm phân biệt khác 0( )

Khi đó, ta có

' 0

0 1 1

x

=



 = − +



 = +



⇒

2

2

0;





 − + − − −







,

(vai trò của B , C trong bài toán là như nhau nên cung có thể giả sử

B m+ −m − −m , C(− m+ −1; m2− −m 1))

Ta có

(0; )

OAuuur m

⇒ OA= m ; BCuuur(2 m+1;0) ⇒ BC=2 m+1

Do đó

OA BC= ⇔ m =2 m+1 ⇔ 2

m − m− = (∆ =' 8)⇔ m= ±2 8 (thỏa mãn ( )* ) Vậy m= ±2 8

Ví dụ 4 [ĐHA12] Tìm m để đồ thị hàm số y x= 4−2(m+1)x2+m2 có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông

Giải Ta có

( )

t x

1 44 2 4 43

Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi

'

y có 3 nghiệm phân biệt ⇔ t x có 2 nghiệm phân biệt khác 0( )

⇔ m+ > ⇔1 0 m> −1 ( )* Khi đó, ta có

' 0

0 1 1

x

=





= − +



 = +



Suy ra các điểm cực trị của đồ thị hàm số là