một số phương pháp cơ bản để giải cực trị trong không gian

- Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng hoặc một mặt phẳng , đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng mặt phẳng có độ dài ngắn nhất.. - Trong các đoạn thẳng nối hai điểm

Ph n I: M U

I Lý do ch n đ tμi

Trong ch ng tr×nh To¸n THPT mà c th là ph n m«n H×nh h c kh«ng gian C¸c em h c sinh đ· đ c ti p c n v i ph n quan hÖ song song, quan hÖ vu«ng gãc,h×nh chãp,h×nh l¨ng trô,h×nh hép và c¸c bài to¸n liªn quan Tuy nhiªn, ph n c c tr h×nh h c kh«ng gian là m t v n đ khã đ i v i h c sinh «n thi i h c và Cao đ ng H c sinh cßn lóng tóng và khã kh n khi đ ng tr c

m t bài to¸n c c tr h×nh h c kh«ng gian T i sao nh v y?

LÝ do chÝnh đ©y là trong ch ng tr×nh h×nh h c kh«ng gian s¸ch gi¸o khoa c ban n©ng cao và c b n đ u r t Ýt đ c p đ n m c này Trong s¸ch gi¸o khoa cã m t s vÝ d đ a ra cßn r t đ n gi n, kh«ng mang tÝnh h th ng

và kh¸i qu¸t nªn h c sinh g p r t nhi u khã kh n

II M c đÝch nghiªn c u

T lÝ do ch n đ tài trªn, t c s th c ti n gi ng d y c¸c l p 11, 12 cïng v i kinh nghi m trong th i gian gi ng d y t«i đ· t ng h p, khai th¸c và

h th ng ho¸ c¸c ki n th c thành m t chuyªn đ M t s ph ng ph¸p c

b n đ gi i b i to¸n c c tr h×nh h c kh«ng gian

Qua n i dung c a đ tài này t«i mong mu n s cung c p cho h c sinh

m t s ph ng ph¸p t ng qu¸t và m t s k n ng c b n và vËn dông c¸c kiÕn thøc cña d¹i sè vµ gi¶i tÝch vµo gi¶i bµi to¸n cùc trÞ h×nh häc H c sinh th«ng

hi u và tr×nh bày bài to¸n đóng tr×nh t , đóng logic, kh«ng m c sai l m khi tr×nh bày Hi v ng đ tài nh này ra đ i s gióp c¸c b n đ ng nghi p cïng c¸c

em h c sinh cã m t c¸i nh×n toàn di n c ng nh ph ng ph¸p gi i m t l p c¸c bài to¸n c c tr h×nh h c kh«ng gian

V Nhi m v - yêu c u c a đ t i

- Xu t phát t lí do ch n đ tài, sáng ki n kinh nghi m th c hi n nhi m

v : Giúp cho giáo viên th c hi n t t nhi m v và nâng cao ch t l ng giáo

d c, giúp h c sinh hình thành t duy logic, k n ng phân tích đ đi đ n m t

h ng gi i đúng và thích h p khi g p bài toán c c tr hình h c ph c t p đ a

v d ng đ n gi n, c b n và gi i đ c m t cách d dàng Mu n v y ng i giáo viên ph i h ng cho h c sinh bi t các d ng toán

- Yêu c u c a sáng ki n kinh nghi m: N i dung gi i pháp rõ ràng không rườm rà, logic phù h p v i tr ng THPT, có sáng t o đ i m i Gi i thi u

- Trao đ i v i đ ng nghi p, tham kh o ý ki n giáo viên cùng b môn

- Liên h th c t trong nhà tr ng, áp d ng đúc rút kinh nghi m qua quá trình gi ng d y

- Thông qua vi c gi ng d y tr c ti p t i các l p chất lượng cao và các lớp ôn thi đ i h c

VII Th i gian nghiên c u

Trong su t th i gian giảng d y t n m 2006 đ n nay

Phần II: NộI DUNG

I Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên vμ hình chiếu để tìm GTLN, GTNN

- Trong các đoạn thẳng nối từ một điểm đến một đường thẳng ( hoặc một mặt phẳng ), đoạn thẳng vuông góc với đường thẳng (mặt phẳng) có độ

dài ngắn nhất

- Trong các đoạn thẳng nối hai điểm thuộc hai đường thẳng song song (hoặc thuộc một đường thẳng song song với một mặt phẳng, hoặc thuộc hai mặt phẳng song song), đoạn thẳng vuông góc với hai đường thẳng đó (hoặc với đường thẳng và mặt phẳng song song, hoặc hai mặt phẳng song song) có

độ dài ngắn nhất

- Trong hai đường xiên kẻ từ một điểm đến cùng một đường thẳng ( hoặc một mặt phẳng ), đường xiên lớn hơn khi và chỉ khi hình chiếu của nó lớn hơn

Ví dụ 1

Cho trên mặt phẳng (P) một đường tròn đường kính AB = 2R Đoạn

CA = 2R vuông góc với (P) Giả sử EF là đường kính thay đổi của đường tròn

đã cho Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác CEF

F

B

5 )

Min ΔCEF =

Ví dụ 2

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a AA' vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AA' = 2a Gọi D là trung điểm đoạn BB', M là một

điểm di động trên cạnh AA' Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích tam giác MC'D

(nhỏ nhất) khi đường cao MH lớn nhất (nhỏ

nhất)

Mặt khác, vì 2 2 2 và

NH MN

MH = +

C'

A'

B' I'

MN = = không đổi, do đó MH lớn nhất (nhỏ nhất) khi NH lớn nhất (nhỏ nhất)

Do N chạy trên II' cố định nên NH lớn nhất khi N ≡ I, và NH nhỏ nhất khi N

là giao điểm của C'D với II' Vậy :

4

30 )

15 )

(

2 '

a S

Max C MD =

2

3 )

6 )

(

2 '

a S

Min C MD =

II Sử dụng quan hệ giữa đoạn thẳng vμ đường gấp khúc, các BĐT trong tam giác để tìm GTLN, GTNN

- Với 3 điểm A, B, C bất kỳ, ta có

Bˆ < ˆ

2AM < AB + AC, trong đó AM là đường trung tuyến

Ví dụ 3

Cho mặt phẳng (P) và hai điểm A, B cùng thuộc một miền không gian

do (P) chia ra Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho chu vi tam giác MAB

D thuộc cạnh SB và điểm E thuộc cạnh SC sao cho chu vi tam giác ADE nhỏ nhất

A

E D

Chu vi ΔADE = A1D + DE + EA2 ≥ A1A2 không đổi Vậy chu vi ΔADE đạt giá trị nhỏ nhất khi D, E là giao điểm của A1A2 với SB và SC

III Sử dụng các bất đẳng thức trong đường tròn

Các bất đẳng thức trong đường tròn được thể hiện như sau :

- Đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn

- Trong hai dây cung của một đường tròn, dây lớn hơn khi và chỉ khi khoảng cách đến tâm nhỏ hơn

- Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, dây lớn hơn khi và chỉ khi góc ở tâm lớn hơn

- Trong hai cung nhỏ của một đường tròn, dây lớn hơn khi và chỉ khi dây trương cung lớn hơn

Ví dụ 5

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn đường kính AE cố định Trên

đường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S cố định Xét hình chóp đỉnh S,

đáy là tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AE nói trên có các đường chéo vuông góc với nhau Biết AE = 2R, AS = h

a Tìm tâm và bán kính cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

b Phải chọn đáy hình chóp như thế nào để thể tích của nó lớn nhất ? Hãy tính thể tích lớn nhất ấy

Tóm tắt lời giải

a Tìm tâm và bán kính cầu ngoại tiếp :

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác

ABCD Dựng tia Ot ⊥ (P), suy ra Ot là trục của

đường tròn ngoại tiếp năm điểm A, B, C, D, E

Trong mặt phẳng (SAE), dựng đường trung trực

đoạn SA, cắt Ot tại I Vậy I là tâm cầu ngoại

tiếp S.ABCD

22

h AB

13

13

1.

VS.ABCD lớn nhất ⇔ AC.BD lớn nhất ⇔ AC và BD lớn nhất khi nó là đường kính của đường tròn, suy ra ABCD là hình vuông

Vậy VS.ABCD lớn nhất khi ABCD là hình vuông có AC = BD = 2R, thể

3

2226

1

hR R

R h

Ví dụ 6

Cho đường tròn (C) đường kính AB trong mặt phẳng (P) Một điểm N di

động trong không gian (ngoài P) sao cho hình chiếu của N trên (P) là điểm M trên đường tròn (C) Gọi K là hình chiếu của M trên mặt phẳng NAB Xác

định vị trí của N để thể tích tứ diện KABM lớn nhất

Tóm tắt lời giải

Gọi O là tâm đường tròn (C) Hạ ME ⊥ AB ⇒ NE ⊥ AB (ĐL ba đường vuông góc) ⇒ AB ⊥ (MNE) ⇒ (MNE) ⊥ (NAB), nên MK ⊥ (NAB), từ đó kéo theo K ∈ NE Vì (MNE) ⊥ (P), từ K dựng KH ⊥ (P) nên H ∈ ME

Có V KMAB KH S MAB AB.ME.KH

6

1

B H

E O A

và H là trung điểm ME

Vậy VKMAB lớn nhất khi M là điểm giữa của nửa đường tròn đường kính

Chú ý : Có 2 vị trí của điểm N thỏa yêu cầu bài toán

IV Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản

x x x n

x x

x

. 2

1 2

1+ +L+ ≥

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = … = xnNgoài ra, bất đẳng thức Cosi còn thường được sử dụng dưới các dạng sau :

xy y

x y

2

2 2

Dạng 3 : (Hệ quả của BĐT Cosi)

Nếu hai số có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi và chỉ khi hai số ấy bằng nhau

b Bất đẳng thức Bunhiacopski

Cho (a, b) và (x, y) tùy ý :

( )2 ( 2 2) ( 2 2)

y x b a by

)(

( )

x a

Trong bài toán cực trị, bất đẳng thức Bunhiacopski hay được sử dụng dưới dạng :

2

2 2

y

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x = y

Dạng 2 : (dạng tổng quát)

n

x x

x x x

2 2

1 2 2

2 2 1

+++

≥++

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = … = xnNgoài các bất đẳng thức cơ bản trên, một số bài toán có thể sử dụng thêm các bất đẳng thức sau :

c Bất đẳng thức Minkowski

Cho (a1, a2, …, an) ; (b1, b2, …, bn) ; … ; (l1, l2, …, ln) là n bộ số thực bất kỳ, ta luôn có :

≥ + + + + + + + + + + +

2 2

2 2 2 2 1 2

2 1

n

b b

a a

b

a b

a b

a

+ +

+ +

≥ + + +

)

(

1

2 1

2

2

2 2 1

2 1

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi

n

n

b

a b

a b

Ví dụ 7

Cho tứ diện vuông SABC có góc phẳng ở đỉnh S vuông

a Chứng minh rằng 3.SΔABC ≥SΔSAB +SΔSBC +SΔSAC

b Biết SA = a, SB + SC = k Đặt SB = x Tính thể tích tứ diện SABC theo

a, k, x và xác định SB, SC để thể tích tứ diện SABC lớn nhất

c Giả sử SA = a, SB = b, SC = c thay đổi nhưng luôn thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = k2 (với k > 0) cho trước Khi nào thì tam giác ABC có diện

tích lớn nhất Chứng minh rằng khi đó khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) lớn nhất

Tóm tắt lời giải :

C H

I B

S

A

SAC SBC

SAB

SΔ ≥ Δ + Δ + Δ.

1

.

Kẻ AI ⊥ BC ⇒ BC ⊥ (SAI)

2 2 2

2

4

1

2

1

BC AI BC

1

BC SI

SA +

4

1

4

1

BC SI BC

SA +

4

1 ) (

4

1

BC SI SC

1

4

1

4

1

BC SI SC

SA SB

SBC SAC

1 6

1

x k ax SC

SB SA

V SABC = ⋅ ⋅ = ư VSABC lớn nhất ⇔ x(k-x) lớn nhất

Theo BĐT Cosi :

4 2

) ( )

(

2 2

k x

k x x k

c ΔABC có diện tích lớn nhất :

Gọi SH là đường cao thuộc mặt (ABC) ⇒ H∈ AI

Trong tam giác vuông SAI có 12 12 12

SI SA

SH = + mà 12 12 12

SC SB

SI = +

nªn 12 12 12 12 12 12 12

c b a SC SB SA

2 2 2 2 2 2

a c c b b a

abc SH

+ +

=

2

13

a c c b b a SH

V

Theo B§T Cosi :

2 2 4

4

2 2 2 2 2 2 4 4 4 2

2 4

4

2 2 4

c

a c c b b a c b a c

b c

b

b a b

a

≥

+

+ +

≥ + +

b a c

b a

k = + + = + + + + +

2a b b c c a k

c b

Tõ (1), (2) suy ra

3

4 2 2 2 2 2

a c c b b

a + + ≤

6

1)

SH = + +

3 2 2 2

3 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

=

⋅

c b a c b a c

b a c b a SH

b 1 Thể tích tứ diện OABC nhỏ nhất

b 2 Tổng OA + OB + OC nhỏ nhất

Tóm tắt lời giải :

B I

chiều cao 3 tứ diện IOBC, IOCA, IOAB

Ta có VOABC = VIOBC + VIOCA + VIOAB

⇔

6 6

cxy bzx ayz

xyz + +

z

c y

b x a

OC

c OB

b OA

a OC

c OB

b OA

=

Suy ra OA.OB.OC ≥ 27abc ⇒ V OABC abc abc

2

96

b2 Để tổng OA + OB + OC nhỏ nhất :

OC

c OB

= + +

OC

c OB

b OA

a OC OB OA OC OB OA

+ +

OC

c OB

b OA

a OC

OB OA

c b

≥ ) (theo BĐT Bunhiacopski)

Vậy OA + OB + OC đạt giá trị nhỏ nhất là ( )2

c b

a + + khi :

c b a

OC OB OA c

OC b

OB a

OA

++

++

Ví dụ 9

Hai nửa đường thẳng Am, Bn chéo nhau và vuông góc với nhau

AB = a làm đường vuông góc chung Điểm M, N chuyển động trên Am, Bn sao cho MN = b không đổi Xét tứ diện ABMN

a Chứng minh rằng các mặt là các tam giác vuông

b Tính thể tích và diện tích toàn phần của ABMN theo a, x=AM, y=BN

c Tìm giá trị lớn nhất của V và Stp

Tóm tắt lời giải :

a CMR các mặt là các tam giác vuông

Ta có AM ⊥ AB, BN ⊥ AB ⇒ ΔABM, ΔABN vuông

AM ⊥ AB và BN ⇒ AM ⊥ AN ⇒ ΔAMN vuông tại A Tương tự suy ra

.6

1

3

BN AB AM S

AM

BMN AMN

ABN ABM

2 2 2

2

2

1 2

1 2

1

2

1

x a y y

a x ay

2

1

x a y y a x y

x a

S tp = + + + + +

c Tìm giá trị lớn nhất của V và Stp:

2 2 2 2 2

2 2 2 2

2

2

a b y x b

y x a AN

( 12

1 2

x a axy

V

2 )

( 12

1 ) (

2 2 2

y x khi a

b a V

1

x a y y a x y

2 2

2 2 2

2 2

y x y

x y

x y

x + ≥ + ⇔ + ≤ +

Thay vào ta đ−ợc x+y≤ 2 (b2 −a2 ) và

2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

2

) ( 2 ) (

2 )]

( ) (

[

x a y

y

a

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

) (

) (

2 )

2 ( ) (

2a b −a + xy ≤ a b −a + x +y

=

2 2 2 2 2 2

) (

) (

2a b −a + b −a

=

4 4 2

2 2 2

) )(

−

≤

2 2

2

1 ) (

2 2

a a b a

b a

b a

S tp

⇒

2 2

2 )

(

2 2 2

2 2

2

a b y x khi a

b a a b S

Tóm tắt lời giải :

Kẻ SH ⊥ (ABC)

Nhận xét : Nếu H nằm ngoài Δ ABC, chỉ cần

nối H với đỉnh thích hợp của tam giác

C

⇒ SA + SB + SC không thể nhỏ nhất vì các

hình chiếu của SA, SB, SC đều có thể làm

nhỏ hơn Xét H trong Δ ABC : Ta dễ dàng

chứng minh : HA + HB + HC ≥ 3R

Dấu "=" xảy ra khi H là tâm ΔABC Đặt HA = x, HB = y, HC = z

z h y h x h SC SB

SA+ + = + + + + +

Theo BĐT Minkowski ta có :

2 2 2

2 2

2 2

2 2 2 2

2

3 9

9 ) (

)

z h y h

Min + + = + khi chóp SABC là chóp tam giác đều

V Sử dụng phương pháp hμm số

a Phương pháp khảo sát hμm số

Tính đại lượng f đang xét chỉ theo một đại lượng thay đổi x, đưa về dạng hàm số y = f(x) Tìm miền xác định D của x, và khảo sát cực trị của hàm f(x) trong miền đó

ơ Sử dụng định nghĩa GTLN, GTNN của hμm số

- Tính đạo hàm của hàm số f(x) trên (a; b)

- Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các nghiệm x1, x2, …, xn trên (a; b)

- Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a; b)

- Rút ra kết luận về GTLN, GTNN của hàm số trên (a; b)

ơ GTLN, GTNN của hμm số trên một đoạn

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên khoảng [a; b] và chỉ có một số hữu

hạn điểm tới hạn trên đoạn đó

• Có thể áp dụng cách giải trên

• Hoặc có thể thực hiện theo các bước sau :

- Tính đạo hàm của hàm số f(x) trên [a; b]

- Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các nghiệm x1, x2, …, xn trên [a; b]

Gọi O = AC ∩ BD, K là trung điểm SC

SB

SG SM S

SD

SG SN S

(2)

Δ Δ

SD

SN SB

SM S

S

S

SDO

SNG SMG

32

Δ

SD

SN SB

SM S

SN SM S

Δ (4) Tõ (3), (4) suy ra

SD SB

SN SM SD

SN SB

SD SN

SM SB

SN SD

SM V

V V

12

SM V

31

XÐt f(x) = x(3-x) (1≤x≤2) f'(x) = -2x + 3 = 0 khi x =

2 3

R x

.

R x

x R R AO AO

x

x R R SO

2 2

2

3 3

R Rx x

R

V

−

+ +

R Rx x

x

f

−

+ +

2 2

3 2 '

2

)

(

R x

R Rx x

x f R

x

R Rx x

R

x 3 0

Ta cã b¶ng biÕn thiªn :

x f'(x)

3

R AO R

SO khi

R V

)(

1

2

βα

β

α

f f x

x

x x

Ví dụ 13

ABCD là tứ diện đều cạnh bằng 1 Các điểm M, N di động lần l−ợt

trên AB và AC sao cho mặt (DMN) ⊥ (ABC) Đặt AM = x, AN = y

N

B

I x

sin2

MÆt kh¸c S AMN =S AMO +S ANO = AO x + AO y = (x+y

12

3 30 sin 2

1 30 sin 2

Tõ (1) vµ (2) ⇒ xy = (x+ y)

12

3 4

3

y x

1 3

DO S

V

DO = ⇒ DAMN = AMN ⋅ =

Trong ΔAMN : MN2 = AM2 + AN2 − AM AN 0 =x2 + y2 −xy

60 cos 2

xy y x xy

y x

S S

1 4

3 60 sin 2

1 60 sin 2 1

6

6 3

4

3 3

6

6 4

2 3

2 1 0 9 4

1 2 0

0 2 1 1

0 0

0 4

S

t af

t af

t t

y x

VËy

27

2 ) (V ADMN =

Min vµ (4 2)

9

3 ) (S tp = +

(V ADMN =

Max vµ (2 3 2)

4

1 )

2

1 ,

Phần III: Kết luận

Trong quá trình tìm giá trị cực trị, học sinh ngoài việc biết áp dụng khéo léo, nhuần nhuyễn các phương pháp tìm giá trị cực trị, còn phải hiểu rõ mối liên hệ khăng khít giữa bài toán cực trị với các bài toán khác Đó là :

- Các bài toán về thiết diện

- Các bài toán về chứng minh

- Các bài toán về quỹ tích

- Các bài toán về tính toán

và nắm vững những phương pháp cơ bản để giải các bài toán cực trị là :

- Sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên và hình chiếu

- Sử dụng quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc, các BĐT trong tam giác

- Sử dụng các BĐT trong đường tròn

- Sử dụng các BĐT cơ bản

- Sử dụng phương pháp hàm số

Thông qua hệ thống các bài toán và các phương pháp giải bài toán cực trị, học sinh sẽ được hình thành những kỹ năng, kỹ xảo khi giải các bài toán cực trị

Với ý nghĩa đó, việc đưa các hoạt động trí tuệ vào trong quá trình giải một hệ thống bài tập phù hợp và đa dạng sẽ tạo nên một cách nhìn mới cho học sinh, giúp cho học sinh có thêm kỹ năng trong việc giải toán

Thời gian vμ kết quả áp dụng của đề tμi

Thời gian: Trong các năm học từ 2006 đến nay tôi đã sử dụng đề tài này trong

việc giảng dạy các lớp ôn thi đại học

Kết quả: Học sinh các lớp ôn thi đại học nắm bắt được 80% của nội dung đề

tài này