12 cực trị của hàm số

Mx0; fx0gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số.. Mx0; fx0 gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.. Hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại x0 gọi là đạt cực trị tại điểm đó và x0 gọi là điểm

y

y = f(x)

x0 0 x0' x

f’(x) - 0 +

f’(x) + 0

Chuyên đề cực trị của hàm số

A Tóm tắt lí thuyết:

1 Định nghĩa:

a x0 gọi là điểm cực đại của hàm số y = f(x) với mọi x thuộc một lân cận nào đó của

điểm x0 ta có: f(x) < f(x0) ( x x0)

+ Khi đó ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x0, f(x0) gọi là giá trị cực đại của hàm

số M(x0; f(x0))gọi là điểm cực đại của đồ thị hàm số

b Điểm x0 gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f(x) Nếu với mọi x thuộc lân cận nào

đó của điểm x0 ta có f(x) > f(x0) ( x x0)

+ Khi đó ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x0, f(x0) gọi là giá trị cực tiểu của hàm

số M(x0; f(x0)) gọi là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số

c Hàm số đạt cực đại hay cực tiểu tại x0 gọi là đạt cực trị tại điểm đó và x0 gọi là điểm cực trị, f(x0) gọi là giá trị cực trị của hàm số

2 Điều kiện cần để hàm số có cực trị:

Định lí: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì

0

( ) 0

f x 

ý nghĩa: Hàm số có đạo hàm và cực trị tại x0 thì tiếp tuyến tại M(x0; f(x0)) của đồ thị hàm số y = f(x) song song trục hoành

3 Điều kiện để hàm số có cực trị:

Định lí 2: Nếu f(x) có đạo hàm trên một lân cận của x0 (có thể trừ tại x0)

a Nếu qua x0, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dơng, tức f x ( ) 0  nếu x < x0 và

( ) 0

f x  nếu x > x0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x0

b Nếu qua x0, đạo hàm đổi dấu từ dơng sang âm, tức f x ( ) 0  nếu x < x0 và

( ) 0

f x  nếu x > x0 thì hàm số đạt cực đại tại x0

4 Các bài tập áp dụng:

a Tìm cực trị của hàm số bằng dấu hiệu 1, ta làm theo các bớc sau:

B1: tìm miền xác định của hàm số

B2: Tính đạo hàm Y, xác định các điểm tới hạn

B3: Tính các giới hạn (nếu cần)

B4: Lập bảng biến thiên, từ đó xác định các điểm cực trị của hàm số

VD1: Tìm cực trị các hàm số sau:

a y = - x3 + 3x2 – 1

x   0 2  

x

x

y 

Giải :

a y = - x3 + 3x2 - 1

+ TXĐ : R

+ Y = -3x2 + 6x = 0 2

0

x x





  



lim lim

x x

x

x x

y

 

 

      

lim lim

x x

x

x x

y

  

  

     

Ta có bảng biến thiên của hàm số

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 0 và giá trị cực tiểu y = -1

hàm số đạt cực đại tại x = 2 và giá trị cực đại y = 3

y x



+TXĐ D = R \  0

+

2 4

2

x



+ Ta có lim y = lim y = - ; lim y = lim y = 0

x -> 0+ x -> 0- x->+ x->-

Ta có bảng biểu thiên của hàm số:

y’ - + 0

y 0 1

4

-  -  0 Vậy hs đạt cực đại tại x = 2 và giá trị cực đại 1

4

y 

b Tìm cực trị của hàm số bằng dấu hiệu 2

Ta thực hiện theo các bớc sau:

B1: Miền xác định của hàm số

B2: Tính đạo hàm ý, tìm các điểm tới hạn x0

B3: Tính y”, y” (x0)

B4: Từ dấu y”(x0) ta có kết luận về cực trị của hàm số

VD2: Tìm cực trị của hàm số

y 2x3 x2 1

Giải :

TXĐ: D = R

y’ =

2

2 2

5

2

"( ) 0 5 (1x )  y  Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x =

2 5

Các bài tập áp dụng: Tìm cực trị của hàm số sau

1

x

y

x





 2

4 2

y x  x  3

2 4 4 1

x x y

x

 





4

2

2

y



  5 y 3 2  x x 2 6 y = (1 + cosx) sinx

7 y = ex.cosx 8 y = -x +1 - m 4 x 2

B Cực trị của một số hàm hay gặp.

I Cực trị của hàm đa thức bậc 3:

1 Tóm tắt lí thuyết.

a Hàm số bậc 3 : y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0)

y’ = 3ax2 + 2bx + c

b Điều kiện để hàm số có cực trị

Hàm số y = f(x) có cực trị  y = f(x) có cực đại, cực tiểu  f’(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt    ' b2  3ac 0

c Tính các giá trị cực trị

* Khi    ' 0 f x'( ) 0  có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x1;

x2 Ta có y1 = f (x) ; y2 = f(x2) là các giá trị cực trị của các hàm số

* Nếu các giá trị x1, x2 làm cho f(x1); f(x2) tính toán phức tạp thì ta dùng cách sau:

Thực hiện phép chia đa thức f(x) cho f’(x) ta có:

Y = f’(x) p(x)+ q(x)

Khi đó y (x1) = f’(x1) p(x1)+ q(x1) = q(x1)

y (x2) = f’(x2) p(x2)+ q(x2) = q(x2) (do f’(x1) = f’(x2) = 0) Việc tính q(x1), q(x2) sẽ dễ dàng hơn

Toạ độ các điểm CĐ, CT của hàm số thoả mãn hệ:

y’ = f’(x) = 0

y = f’(x) p(x) + q(x) => y = q(x)

Hay các điểm cực đại, cự tiểu thuộc đờng thẳng y = q(x)

2 Các dạng toán:

a Tìm m để hàm số có cực trị

b Tìm m để hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ dơng

c Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu mà xCĐ < xCT

d Tìm m để hàm số đạt cực đại tại x = 0

Giải : TXĐ: D = R

y’ = mx2 – 2(m - 1) x + 3 (m- 2).

a Nếu m = 0 => y’ = 2x – 6 = 0  x = 3, y’ đổi dấu qua x = 3 => m = 0 thoả mãn Nếu m 0=> hàm số có cực trị  y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

2

0 0

' ( 1) 3 ( 2) 0

m m









Kết hợp với m=0 => m 2 6 2 6

;

Thoả mãn yêu cầu bài toán

b Hàm số có cực đại, cực tiểu tại điểm có hoành độ dơng

 phơng trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt thoả mãn 0 <x1<x2

2

0 0

' 0

( 2) 0 0

1

m m

m m s

m p

m







  











0 2

2

2

m m

 









c Hàm số có cực đại, cực tiểu thoả mãn xCĐ<xCT

 m 0 và y’= 0 có hai nghiệm phân biệt

0

m

m











0

2

d Hàm số đạt cực đại tại x = 0 => y’(0) = 0  3(m - 2)= 0  m = 2

Với m = 2 => y’= 2x2 – 2x = 0  x= 0 v x = 1

y”= 4x – 2 => "(0) 0

"(1) 0

y y











=> hàm số đạt cực đại tại x = 0

VD2: Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số:

y = f(x) = x3 – 3x2 – 6x + 8

Giải:

* Ta có y’ = 3x2 – 6 x – 6 = 3(x2 – 2x - 2) = 0 1 3

x x

  

 

 



=> Hàm số y = f(x) đạt cực trị tại x1 = 1 - 3 và x2 = 1 + 3

* Ta có f(x) = (x2 – 2x - 2) (x - 1) – 6(x - 1)

Ta có toạ độ các điểm cực trị thoả mãn hệ:

2

' 0

y









2

2

6( 1)





Vậy các điểm cực trị của đồ thị hàm số nằm trên đờng thẳng y = - 6(x-1)

VD3: Cho hàm số y = f(x) – x3 + mx2 + 7x + 3

Tìm m để hàm số có đờng thẳng đi qua cực đại, cực tiểu vuông góc với đờng thẳng

y = 3x -7

Giải:

Ta có y’ = 3x2 + 2mx + 7

Hàm số có cực đại, cực tiểu <=> y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

<=>   ' m2  21 0   m  21

' (21 ) 3



Với m  21, y’=0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2

Ta có toạ độ các điểm cực trị thoả mãn hệ

2

2

' (21 ) 3







(21 ) 3

m

y  m x 

=> đờng thẳng đi qua các điểm cực trị là 2 2 7

(21 ) 3

m

y  m x  (d)

Ta có (d) vuông góc với đờng thẳng y = 3x -7



21

45

m

m



Vậy m = 45

2

 thoả mãn yêu cầu bài toán

VD4: Tìm m để hàm số y = x3 – 3x2 + m2x + m có cực đại, cực tiểu đối xứng với nhau qua (d): y = 1 5

2x  2

Giải:

Hàm số có CĐ, CT <=> y’ = 3x2 – 6x + m2 = 0 có hai nghiệm phân biệt <=>

2

9 3m 0 m 3

      Ta có

2 2

( 1) ' ( 3)

m

y x y  m  x m

Với m  3 thì ta có PT

y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt, toạ độ các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số thoả mãn hệ:

2 2

m









=>

2 2

2 ( 3)

m

y m  x m

Hay đờng thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu là

2 2

2

m

y m  x m

Giả sử A(x1, y1) và B(x2; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số với x1, x2 là nghiệm của phơng trình y’ = 3x2 – 6x + m2 = 0

A, B đối xứng với nhau qua (d) <=> AB (d) và trung điểm M của AB thuộc (d)



2

2 2

0

( 1) 0

m

m

m

m m m









Kết hợp m  3 m 0

Vậy m = 0 thoả mãn yêu cầu của bài toán

VD5: Cho hàm số f(x) = 1 3 1

(sin

3x  2 acos a) x

2 + 3

sin 2

a Tìm a để hàm số luôn đồng biến

b Tìm a để hàm số đạt cực trị tại x1,x2 thoả mãn x1+ x2 = x1 + x2

Giải:

a Hàm số luôn đồng biến  y' 0  với mọi x  x2 – x (sin a + cos a) + 3

4sin a 0

  (sin a + cos a)2 – 3 sin 2a  0

 1 – 2 sin 2a  0 => sin 2a 1

2



12 k a 12 k k Z

12 k a 12 k k Z

     thoả mãn yêu cầu bài toán

b Hàm số đạt cực trị tại x1, x2  y’= x2 – x(sin a +cos a) + 3

4sin 2a = 0 có hai nghiệm

phân biệt   = 1 -2 sin 2a > 0  sin 2a < 1

2(*)

do x1; x2 là nghiệm của phơng trình y’ = 0

1 2

1 2

sin cos 3

sin 2

4





 





=> x1 + x2 = x1 + x2  x1 + x2 = (x1 + x2)2 - 2 x1x2

 sin a + cos a = (sin a + cos a)2 - 3

2 sin 2a (1)

đặt t = sin a +cos a, t   2; 2 

 (1) trở thành thành :

2 2

t

t loai





        



 1

t

  => sin a + cos a= 1 <=> sin (a +

4



) = 1 2

<=>

2 2

2

a k

 





















  



Kết hợp (*) =>

2 2 2

a k















, k Z

VD 6: Tìm m để

3

3

x

y  mx  x m  có khoảng cách giữa các điểm cực đại, cực tiểu

là nhỏ nhất

Giải:

Ta có y’ = x2 - 2mx – 1 = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Hàm số đạt cực trị tại

x1, x2 Giả sử A(x1; y1), B(x2; y2) là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số:

y x m y  m  x m

0

y

 











2

4

9

1 2 1 2

4

9

Vậy min AB =2 13

3 xảy ra khi m = 0.

II Cực trị của hàm đa thức bậc 4

1 Tóm tắt lý thuyết:

a Hàm số đa thức bậc 4 là hàm số có dạng y = ax4 + 3bx3 + 2cx + d = 0 (a 0)

y’ = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d

b Cực trị: y' 0  4ax33bx22cx d 0 (1)

(1) có tối đa 3 nghiệm

+ Nếu (1) có nghiệm thì hàm số có đúng 1 cực trị

x -  0 

y

+ Nếu (1) có 2 nghiệm giả sử x1, x2 thì có một nghiệm đơn là x1, một nghiệm kép

là x2  hàm số có đúng một cực trị

+ Nếu (1)có 3 nghiệm phân biệt thì hàm số có cực đạivà cực tiểu

2 Các bài toán liên quan:

VD 1 : Cho hàm số 1 4 2 3

y x  mx  Tìm m để hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại

Giải

Ta có y' 2  x3  2mx 2 (x x2  m)

+ Nếu m 0 x2 m 0 y'cùng dấu 2x

Bảng biến thiên

Vậy m 0 thoả mãn yêu cầu bài toán

+ Nếu m > 0

0 ' 0

x







    

 



Bảng biến thiên

Vậy m 0 thoả mãn yêu cầu bài toán

VD2: Tìm m để f(x) = x4- 2mx2 + 2m + m4 có CĐ, CT lập thành một tam giác đều

Giải

f’(x) = 4x3 – 4mx = 0  2

0

x

x m











hàm số có CĐ, CT <=> m > 0 khi đó f’(x) = 0 

0

x

x m

















=> đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị là A ( m; m4 – m2 + 2m)

B ( m; m4 – m2 + 2m )

C (0; m4 + 2m) Nhận xét rằng ABC cân đỉnh C (vì A, B đối xứng qua Oy, C Oy )

y' - 0 + 0 - 0 + y

  đều <=> 20 2 0 4 3

3 4

m

VD3: xác định m để đồ thị hàm số 1 4 3 9 2

y x  x  x mx m có các điểm cực đại, cực tiểu mà hoành độ của chúng lập thành cấp số cộng

Giải:

Ta có y’ = x3 – 3x2 – 9x + m = 0  x3 - 3x2 – 9x + m = 0 (1)

Yêu cầu bài toán  (1) có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng

* Giả sử (1) có 3 nghiệm x1; x2; x3 lập thành cấp số cộng

khi đó x1 + x3 = 2x2  x1+ x2 + x3 = 3x2

 3x2 = 3  x2 = 1 Thay x2 = 1 vào (1) ta có m = 11

* Với m = 11 => (1) trở thành: x3 – 3x2 – 9x + 11 = 0

 (x – 1) (x2 – 2x - 11) = 0



1 12 1

1 12

x x x

  







  



Vậy m = 11 thoả mãn yêu cầu bài toán

III Cực trị của phân thức bậc 2/ bậc 1.

1 Tóm tắt lí thuyết.

a Hàm phân thức bậc 2/bậc 1 có dạng y =

2

ax bx c

am

mx n

 





x m



b Có y’ =

2

2

amx anx bn cm

mx n



=> hàm số có cực trị  y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

 f(x) = amx2 + 2anx + bm – cn = 0 có hai nghiệm phân biệt n

x m

 

0

0

n f

m

 





  

 



 



c Cách tính cực trị hàm số phân thực bậc 2/bậc 1

Cho hàm số

( )

ax bx c u x y

mx n v x

 

 thoả mãn điều kiện có cực trị

=> toạ độ các điểm cực trị thoả mãn hệ

2

( )

( )

u x y

y

y

v x















Giả sử hàm số đạt cực trị tại x1, x2 =>

1

1

2

2

'( ) 2 ( )

'( ) '( ) 2 ( )

'( )

y x

y x















=> ứ ng dụng:

Nếu A(x1, y1) ; B (x2, y2) là hai điểm cực trị của hàm số y =

2

ax bx c

mx n

 



Thì A, B thuộc đờng thẳng có phơng trình là y = 2ax b

m



Chú ý: Cách tính trên còn áp dụng cho các hàm số phân thức dạng ( )

( )

u x y

v x

 nói chung (trừ bậc 1/bậc 1)

2 Các dạng toán:

Dạng 1: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị và viết phơng trình đờng thẳng qua các điểm cực trị.

VD1: Cho hàm số

x mx y

x m

 



 xác định m để

a, Hàm số có cực đại, cực tiểu Viết phơng trình đờng thẳng qua các điểm cực đại, cực tiểu

b, Hàm số đạt cực đại tại x = 2

Giải:

2

'

y

x m





a Hàm số có cực đại, cực tiểu  x2+2xm +m2-1 = 0 có hai nghiệm phân biệt xm

2 2

1 0

m m

m R

      



 



Vậy với mọi m hàm số luôn có cực đại, cực tiểu

Toạ độ các điểm cực đại, cực tiểu thoả mãn hệ:

2

2

1

'

x mx y

x m

y

x m







 



=> 2

2 1

x m

y   x m

Vậy các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số thuộc đờng thẳng y = 2x + m

b Hàm số đạt cực đại tại x = 2 => y’(2) = 0

2 2

2

1

3 (2 )

3

m

m

m m

m

m m

m

















+ Với m = -1 =>

'

2

0

0

2

x

x







"

( 1)

y

x



 y”(2) = 3 > 0 => hàm số không đạt cực đại tại x=2

+ Với m = - 3 =>

'

2

2

0

4

x

x







" "(2) 3 0 ( 3)

x



=> hàm số đạt cực đại tại x = 2

Vậy m = -3 thoả mãn yêu cầu bài toán

VD2: Tìm a, b, c để

2 2

ax bx c y

x

 



 có cực trị bằng 1 khi x = 1 và đờng tiện cận xiên của đồ thị vuông góc với 1

2

x

y 

Giải TXĐ:D \ 2 

Có y’ =

2 2

( 2)

ax b x ax bx c

x

2

2

( 2)

ax ax b c x



Hàm số đạt cực trị tại x=1 và có giá trị là 1

(*)

1

a a b c

a b c





2

a b c

y ax a b

x

 có tiệm cận xiên

là y = 2ax + 2a + b (khi 4a + 2b + c  0)

x

y   a    a Thế vào (*) =>

2

2

1

1 2

b c

b c

b c

x x y

x

 





 



 



Và hiển nhiên thử lại ta thấy

2

x x y

x

 



 thoả mãn yêu cầu bài toán

Dạng 2: Sử dụng định lí viet vào giải các bài toán liên quan đến cực đại, cực tiểu.

VD1: Cho hs

2 3 4

x x m y

x

  



 tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu thoả mãn (yCĐ - yCT)

=4

Giải TXĐ : D R \ 4 

Có

2

2

'

( 4)

y

x



 Hàm số có cực đại, cực tiểu  y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

 f(x) = -x2 + 8x – m – 12 =0 có hai nghiệm phân biệt x # 4

4 (4) 4 0

m

m

   





  



Với m < 4 thì hàm số có cực đại, cực tiểu Giả sử hoành độ các điểm cực trị là x1, x2 =>

x1, x2 là nghiệm của phơng trình x2 – 8x + m + 12 = 0 (1)

Toạ độ các điểm cực trị thoả mãn hệ:

2

2

3 4

( 4)

1

y

x

y

x x



















 (yCĐ - yCT) = 4  y x( ) 1  y x( ) 2  4



2

2

1 2

8

12

x x

x x m





 

 Kết hợp m < 4 => m = 3

Vậy m = 3 thoả mãn yêu cầu bài toán

1

y

x





Tìm m để hàm số có cực trị Tìm

m để tích các giá trị cực trị nhỏ nhất

Giải

TXĐ : D R \ 1 

2

( 1)

y

x





Hàm số có cực đại, cực tiểu  y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

 f(x) = x2 – 2x + m2 – 3m + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 1



2 2

m

     







Với m1;2thì hàm số đạt cực trị tại x1, x2 là nghiệm của phơng trình

x2 – 2x + m2 – 3m + 3 = 0 (1)

Toạ độ các điểm cực trị thoả mãn hệ:

2

1

'

( 1)

y

x

y

x





 



1

2

Vậy Min  1 2 

4 ( ) ( )

5

y x y x   tại 7

5

m 

VD3: Tìm m để hàm số có 1 điểm cực trị thuộc góc phần t thứ (II) và một điểm cực trị thuộc góc phần t thứ (IV)

y

x m





Giải:

TXĐ : D R \m

Có

2

x m

 Hàm số có hai cực trị  (1) có hai nghiệm phân biệt xm

4 4

0

m











Khi đó (1) 

3







=> hai điểm cực trị là A (m, 3m2;+ 1); B (-3m, -5m2 + 1)

=> yêu cầu bài toán  tìm m để

2

2

0

m m

m m

m







 









5

m     thoả mãn yêu cầu bài toán

VD4:

Tìm m để

1

x mx y

x



 có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía của đờng thẳng y = 2x Giải

TXĐ : D R \ 1 

Ta có

2

2

'

( 1)

y

x





Hàm số có cực đại, cực tiểu  y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

 - x2 + 2x – 2m + 5 = 0 có hai nghiệm phân biệt x 1

3

m

m m

    







Khi m < 3 ta có toạ độ các điểm cực trị thoả mãn

hệ :

2

2

1

( 1)

x mx

y

x

y

x









=> y = -2x + 2m

Hay các điểm cực trị nằm trên đờng thẳng y = -2x + 2m

Giả sử là A (x1; -2x1 + 2m)

B (x2; -2x1 + 2m)

A, B nằm về phía của y = 2x hay y – 2x = 0

 (y1 – 2x1) (y2 – 2x2) < 0  (-4x1 + 2m) (-4x2 + 2m) < 0

 16x1x2 – 8m (x1 + x2) + 4m2 < 0