bồi dưỡng một số yếu tố của t¬ư duy sáng tạo cho học sinh thcs khá và giỏi thông qua dạy học giải toán cực trị trong hình học phẳng

Giả thuyết khoa học Trên cơ sở tôn trọng nội dung chương trình SGK toán hiện hành ở trườngTHCS nếu trong quá trình dạy học giải các bài toán cực trị hình học chúng ta xâydựng được các bi

cơ bản mà còn đặc biệt quan tâm đến việc hình thành và phát triển tư duy sángtạo cho HS một cách hiệu quả.

Theo A.AStolia Dạy toán là dạy hoạt động toán học, trong đó hoạt độngchủ yếu là hoạt động giải toán Bài tập toán mang nhiều chức năng như chứcnăng giáo dục, chức năng giáo dưỡng, chức năng kiểm tra và đánh giá Dạy họcbài tập toán được xem là một trong những tình huống điển hình trong dạy họcmôn toán, khối lượng bài tập toán ở trường THCS rất phong phú và đa dạng, cónhững bài toán đã có thuật giải, nhưng cũng có những bài toán chưa có thuậtgiải Đứng trước những bài toán chưa có thuật giải đó người GV cần gợi ý, h-ướng dẫn HS tìm đường lối giải quyết bài toán là việc làm mà người GV phải th-ường xuyên quan tâm chú ý Bài tập toán là một trong những phương tiện dạyhọc hết sức quan trọng, nhiều tài liệu lý luận dạy học toán đã xem bài tập làphương tiện thực hành giúp HS hiểu sâu hơn về những kiến thức toán học, biếtphân tích, tổng hợp và vận dụng kiến thức vào thực tiễn Việc giải quyết nhữngvấn đề liên quan đến bài toán cực trị hình học chứa đựng nhiều tiềm năng phát

triển tư duy cho HS, giúp HS rèn luyện cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sángtạo Do đó việc dạy toán ở trường phổ thông bên cạnh truyền những thụ tri thứckhoa học cơ bản cần phải dạy cho HS suy nghĩ cách phát hiện và giải quyết vấn

đề, phát triển tư duy sáng tạo cho HS

Việc phát triển năng lực tư duy sáng tạo cho HS trong học toán có ảnh ưởng trực tiếp đến chất lượng dạy học vì đó là điều kiện tốt để HS tiếp thu kiếnthức, rèn luyện khả năng vận dụng toán, tư duy toán học phát triển đòi hỏi cácphẩm chất trí tuệ khác phát triển theo Tiến hành các hoạt động tư duy toán họcđưa đến việc hình thành tri thức phương pháp để xem xét, giải quyết vấn đềmong muốn

h-Việc giải các bài toán cực trị hình học giúp HS năng lực liên hệ toán họcvới thực tiễn Điều này hoàn toàn có cơ sở đúng đắn, bởi chúng ta biết rằng cácbài toán cực trị hình học thường có nguồn gốc xuất phát từ thực tiễn Trong thựctiễn, có rất nhiều vấn đề đòi hỏi phải giải quyết sao cho có lợi nhất

Đã có nhiều tài liệu nghiên cứu về tư duy sáng tạo chẳng hạn như bộ sách

nổi tiếng: Sáng tạo toán học, Giải bài toán nh thế nào, Toán học và những suy luận có lý của G.Polia, Tư duy và hoạt động toán học của Trần Thúc Trình, Xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập nhằm bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho HS khá và giỏi toán ở trờng THCS Việt Nam luận án TS của Tôn Thân

v.v Tất cả những công trình đó đều khẳng định sự cần thiết phải rèn luyện một

số năng lực về tư duy sáng tạo cho HS

Xuất phát từ những lý do trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu: " Bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho học sinh THCS khá và giỏi thông qua dạy học giải toán cực trị trong hình học phẳng"

2 Mục đích nghiên cứu

- Mục đích nghiên cứu của luận văn là hệ thống một số dạng toán cơ bản vềcực trị hình học trong chơng trình hình học ở trờng THCS và các hướng tiếp cận

để giải các bài toán đó

- Đề xuất một số biện pháp sư phạm góp phần bồi dưỡng một số yếu tố của

tư duy sáng tạo cho HS bậc THCS khá và giỏi thông qua dạy học giải toán cựctrị hình học

3 Giả thuyết khoa học

Trên cơ sở tôn trọng nội dung chương trình SGK toán hiện hành ở trườngTHCS nếu trong quá trình dạy học giải các bài toán cực trị hình học chúng ta xâydựng được các biện pháp sư phạm thích hợp để bồi dưỡng một số yếu tố của tưduy sáng tạo cho HS thì có thể góp phần nâng cao chất lượng dạy và học toán ởtrường THCS

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Phân tích, tổng hợp, cụ thể hóa khái niệm tư duy, tư duy sáng tạo

- Tìm hiểu về quá trình sáng tạo và năng lực tư duy sáng tạo của HS bậcTHCS trong học tập

- Lựa chọn các dạng toán về cực trị hình học có tác dụng rèn luyện tư duysáng tạo cho HS

- Xác định các biện pháp sư phạm cần thực hiện nhằm bồi dưỡng một sốyếu tố của tư duy sáng tạo cho HS

- Tiến hành làm thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi, tính hiệuquả của đề tài

5 Phương pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lý luận

- Nghiên cứu các tài liệu về giáo dục học môn toán, tâm lí học, phươngpháp dạy học toán

- Tìm hiểu về các sách báo, bài viết khoa học toán, các công trình nghiêncứu có các vấn đề liên quan trực tiếp đến đề tài.

5.2 Điều tra khảo sát

- Khảo sát thực tiễn dạy và học ở trường phổ thông bằng cách dự giờ, quansát việc dạy của GV và việc học của HS, thăm dò ý kiến GV

- Luận văn có thể làm tài liệu tham khảo cho HS và GV dạy toán, góp phầnnâng cao chất lượng dạy và học môn toán ở trường THCS

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo luận văn còn có 3

chư-ơng

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.

Chương 2: Biện pháp chủ yếu bồi dưỡng một số yếu tố của tư duy sáng tạo cho HS bậc THCS khá và giỏi thông qua dạy học giải toán cực trị hình học Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

CHƯƠNG 1

CỞ SỎ LÝ LUẬN 1.1 Tư duy sáng tạo và một số thành tố đặc trưng của tư duy sáng tạo

1.1.1 Tư duy

1.1.1.1 Tư duy là gì?

Tư duy là quá trình suy nghĩ diễn ra trong trí óc, là sự nhận thức phản ánhnhững thuộc tính bản chất, những mối quan hệ có tính quy luật của sự vật hiệntượng trong hiện thực khách quan Nhà tâm lý học X.L.Rubintein viết: “Tư duy

đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về khách thể với mức độ đầy đủ hơn,toàn diện hơn so với các tư liệu cảm tính xuất hiện do tác động của khách thể”.Theo từ điển triết học “Tư duy, sản phẩm cao nhất của cái vật chất được tổchức một cách đặc biệt là bộ não, là quá trình phản ánh tích cực thế giới kháchquan trong các khái niệm phán đoán, lý luận Tư duy xuất hiện trong quá trìnhhoạt động sản xuất xã hội của con người, tư duy đợc thực hiện trong mối liên hệchặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy đợc ghi nhận trong ngôn ngữ.Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hoá, phân tích và tổng

hợp, việc nêu lên những vấn đề nhận định và tìm cách giải quyết chúng” Từđịnh nghĩa trên ta có thể rút ra những đặc điểm cơ bản sau đây của tư duy:

- Tư duy là sản phẩm của bộ não con người và là một quá trình phản ánhtích cực thế giới khách quan

- Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và được thể hiệnqua ngôn ngữ

- Bản chất của tư duy là phân biệt sự tồn tại độc lập của đối tượng đượcphản ánh với hình ảnh nhận thức được qua khả năng hoạt động suy nghĩ của conngười nhằm phản ánh được đối tượng

- Tư duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo

- Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hoàn cảnh có vấn đề, tư duy có tính khái quát,

có tính gián tiếp

- Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, thường bắt đầu

từ nhận thức cảm tính Dù tư duy có tính khái quát và trừu tượng đến đâu thì nộidung của tư duy cũng chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, hình t-ượng tổng quan,…)

1.1.1.2 Quá trình tư duy

Tư duy là một quá trình hoạt động trí tuệ Nghĩa là tư duy có nảy sinh diễnbiến và kết thúc Quá trình tư duy bao gồm 4 bước cơ bản:

1) Xác định được vấn đề, biểu đạt nó thành nhiệm vụ tư duy Nói cách khác

là tìm được câu hỏi cần giải đáp

2) Huy động tri thức, vốn kinh nghiệm, liên tưởng, hình thành giả thiết vềcách giải quyết vấn đề, cách trả lời câu hỏi

3) Xác minh giả thiết trong thức tiễn, nếu giả thiết đúng thì qua bước sau,nếu sai thì phủ định nó và hình thành giả thiết mới

4) Quyết định đánh giá kết quả, đưa ra sử dụng

Sơ đồ của quá trình tư duy do K.K.Platônôp xây dựng theo [33] như sau:

Nhs vậy quá trình tư duy là một quá trình hoạt động về trí tuệ có nhiều thaotác trí tuệ tham gia vào quá trình tư duy cụ thể như: Phân tích, tổng hợp, so sánh,trừu tượng hoá và khái quát hoá.

Kết quả của quá trình tư duy bao giờ cũng là một ý nghĩ nào đó biểu hiện ởkhả năng con người có thể xây dựng đợc những khái niệm chung gắn liền với sựtrình bày của những quy luật tương ứng

1.1.2 Tư duy sáng tạo

Theo định nghĩa trong từ điển thì sáng tạo là tìm ra cái mới cách giải quyếtvấn đề mới không bị gò bó và phụ thuộc vào cái đã có Nội dung của sự sáng tạobao gồm hai ý chính: Có tính mới (khác với cái cũ, cái đã biết) và có lợi ích (cógiá trị hơn cái cũ) Như vậy sự sáng tạo bao giờ cũng cần thiết cho bất kỳ hoạtđộng nào của xã hội loài người Sáng tạo thường được nghiên cứu trên nhiều ph-

ương diện như là một quá trình phát sinh cái mới trên nền tảng cái cũ, như mộtkiểu tư duy nh một năng lực của con người.

Trong cuốn “Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy,nghiên cứu toán học” Tác giả Nguyễn Cảnh Toàn cho rằng “Sáng tạo là sự vậnđộng của tư duy từ những hiểu biết đã có đến những hiểu biết mới Cũng theo tác

giả thì “Người có óc sáng tạo là người có kinh nghiệm về phát triển và giải quyết vấn đề” [28].

Theo Henry Gleitman “Sáng tạo, đó là năng lực tạo ra những giải pháp mới hoặc duy nhất cho một vấn đề thực tiễn và hữu ích” [31].

Theo Lecne [31] Có hai kiểu tư duy cá nhân: Một kiểu gọi là tư duy táihiện, một kiểu gọi là tư duy sáng tạo theo định nghĩa thông thường và phổ biếnnhất của tư duy sáng tạo thì đó là tư duy tạo ra cái mới Tư duy sáng tạo dẫn đếnnhững tri thức mới về thế giới và phương thức hoạt động Lecne đã chỉ ra cácthuộc tính sau đây của quá trình tư duy sáng tạo

- Có năng lực chuyển các tri thức và kỹ năng sang một tình huống mới tìnhhuống sáng tạo

- Nhìn thấy vấn đề mới trong các điều kiện, đối tượng quen biết “đúng quycách”

- Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng quen biết

- Nhìn thấy cấu trúc của đối tượng đang nghiên cứu

- Kỹ năng nhìn thấy nhiều lời giải, nhiều cách nhìn đối với việc tìm kiếmlời giải (khả năng xem xét đối tượng ở những khía cạnh khác nhau, đôi khi mâuthuẫn nhau)

- Kỹ năng kết hợp những kiến thức giải đã biến thành một phơng thức mới

- Kỹ năng sáng tạo một phương thức giải độc đáo tuy đã biến phương thứckhác

- Nhà tâm lý học Đức Mehlonr cho rằng: “Tư duy sáng tạo là hạt nhân của

sự sáng tạo cá nhân, đồng thời là mục tiêu cơ bản của giáo dục” [31] Theo ông,

tư duy sáng tạo đặc trưng bởi chất lượng hoạt động trí tuệ như tính mềm dẻo,tính nhạy cảm…

Khi bàn về quan hệ giữa các khái niệm tư duy tích cực, tư duy độc lập và tưduy sáng tạo V A.Krutexki cho rằng có thể biểu diễn các quan hệ đó dưới dạngnhững vòng tròn đồng tầm Đó là những mức độ tư duy khác nhau mà mỗi mức

độ tư duy đi trớc là tiền đề cho mức độ tư duy đi sau Trong tư duy sáng tạo có

tư duy tích cực và tư duy độc lập, nhng không phải tư duy tích cực đều là tư duyđộc lập và không phải mọi tư duy độc lập là tư duy sáng tạo [31]

Nét nổi bật của tư duy sáng tạo là tạo ra cái mới, điều mới này có thể mớivới người này mà không mới đối với người khác Có thể quan niệm sự sáng tạođối với người học toán, nếu họ tự đương đầu với những vấn đề mới đối và họ tựtìm tòi độc lập những vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưatừng biết Trong quá trình học toán thì kỹ năng vận dụng kiến thức toán học làquan trọng

- Nhà trường phổ thông không những cung cấp cho HS những kiến thứctoán học mà còn luyện cho HS kỹ năng vận dụng, tính độc lập, sự độc đáo vàkhả năng sáng tạo

Chính vì vậy điều quan trọng là hệ thống bài tập cần phải được khai thác và

sử dụng hợp lý nhằm rèn luyện cho HS khả năng phát triển tư duy sáng tạo biểuhiện ở các mặt như: khả năng tìm bước đi mới (khả năng tìm nhiều lời giải khácnhau cho một bài toán), khả năng tìm ra kết quả mới (khai thác các kết quả củamột bài toàn, xem xét các khía cạnh khác nhau của một bài toàn)

Bài đọc trong SGK tự tìm hiểu cách chứng minh thì trong trường hợp này

có thể nói đến tư duy độc lập

Có thể nói đến tư duy sáng tạo khi HS tự khám phá, tự tìm cách chứngminh mà HS đó chưa biết

Tác giả Tôn Thân [31] quan niệm: “Tư duy sáng tạo là một dạng tư duy độclập tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao”

Theo tác giả thì tư duy sáng tạo là tư duy độc lập vì nó không bị gò bó phụthuộc vào cái đã có Tính độc lập của nó bộc lộ vừa trong việc đặt mục đích vừatrong việc tìm giải pháp Mỗi sản phẩm của tư duy sáng tạo đều mang rất đậmdấu ấn của mỗi cá nhân đã tạo ra nó

Tác giả nhấn mạnh rằng: “ý tưởng mới ở đây thể hiện ở chỗ phát hiện ravấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới”, “Tính độc đáo của ý tưởngmới thể hiện ở giải pháp lạ, hiếm, không quen thuộc hoặc duy nhất” [31]

Trong khi đó, J.Danton lại cho rằng: “Tư duy sáng tạo đó là những năng lựctìm thấy những ý nghĩ mới, tìm thấy những mối quan hệ, là một chức năng củakiến thức, trí tưởng tượng và sự đánh giá là một quá trình, một cách dạy và họcbao gồm một chuổi phiêu lưu, chứa đựng những điều như: sự khám phá, sự phátsinh, sự đổi mới, trí tưởng tợng, sự thí nghiệm, sự thám hiểm”

1.1.3 Một số thành tố đặc trng của tư duy sáng tạo

Theo nghiên cứu của các nhà tâm lý học, giáo dục học, các nhà khoa họcgiáo dục … về cấu trúc của tư duy sáng tạo thì có thể thấy được năm thành tố cơbản sau:

Tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo, tính nhạy cảm vấn đề,tính hoàn thiện

Ngoài năm thành phần cơ bản đó còn có những yếu tố quan trọng như tínhchính xác năng lực định giá trị, năng lực định nghĩa lại… Trong các yếu tố trênthì 3 yếu tố đầu tiên (tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo) là ba yếu

tố đạt sự nhất trí cao trong hầu hết các công trình nghiên cứu về cấu trúc của tưduy sáng tạo [31]

Do đó tác giả cũng xin được đề cập đến ba yếu tố đó của tư duy sáng tạo

1.1.3.1 Tính mềm dẻo

Đó là năng lực dễ dàng thay đổi các trật tự của hệ thống tri thức, chuyển từgốc độ quan niệm này sang góc độ quan niệm khác, định nghĩa lại sự vật hiện t-ượng, xây dựng phương pháp tư duy mới, tạo ra sự vật mới trong những mốiquan hệ mới hoặc chuyển đổi quan hệ và nhận ra bản chất của sự vật và điềuphán đoán Tính mềm dẻo của tư duy còn làm thay đổi một cách dễ dàng các thái

độ đã cố hữu trong hoạt động trí tuệ của con người Tính mềm dẻo của tư duy cócác đặc trưng nổi bật sau:

- Dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, vậndụng linh hoạt các thao tác phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, kháiquát hoá, đặc biệt hoá và các phương pháp suy luận nh quy nạp, diễn dịch, tươngtự

- Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc những kinhnghiệm, những kiến thức, kỹ năng đã có vào hoàn cảnh mới trong đó có nhiều

yếu tố đã thay đổi, có khả năng thoát khỏi ảnh hưởng kìm hãm của những kinhnghiệm, những cách suy nghĩ, những phương pháp đã có từ trước…

- Nhận ra những vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chứcnăng mới của đối tượng quen biết

Như vậy tính mềm dẻo là một trong những đặc điểm cơ bản của tư duy sángtạo, do đó có thể rèn luyện tư duy sáng tạo cho HS ta có thể cho các em giải một

số bài tập mà thông qua đó rèn luyện được tính mềm dẻo của tư duy

1.1.3.2 Tính nhuần nhuyễn

Đó là năng lực tạo ra một cách nhanh chóng sự tổ hợp của các yếu tố riêng

lẽ của tình huống, hoàn cảnh, đưa ra giả thuyết mới và ý tưởng mới

Tính nhuần nhuyễn được đặc trng bởi khả năng tạo ra một số lượng nhấtđịnh các ý tưởng Số ý tưởng nghĩ ra được càng nhiều thì có nhiều khả năng xuấthiện ý tưởng độc đáo Trong trường hợp này có thể nói số lượng làm nảy sinhchất lượng

Tính nhuần nhuyễn của tư duy thể hiện rõ ở hai đặc trưng sau đây

- Tính đa dạng của cách xử lý khi giải toán, khả năng tìm được nhiều giảipháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trước một vấn đề cần giảiquyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm ra và đề xuất được nhiềuphương án khác nhau và từ đó tìm ra được phương án tối ưu

- Khả năng xem xét đối tượng nhiều khía cạnh khác nhau có cái nhìn sinhđộng từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ không phải cái nhìn bấtbiến, phiến diện, cứng nhắc

1.1.3.3 Tính độc đáo

Tính độc đáo của tư duy được đặc trng bởi khả năng:

- Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới

- Khả năng nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện mà bên ngoài ởng như không có liên hệ với nhau

tư Khả năng tìm ra những giải pháp lạ tuy đã biến những giải pháp khác.Các yếu tố cơ bản nói trên không tách rời nhau mà trái lại chúng có quan hệmật thiết với nhau, hỗ trợ bổ sung cho nhau Khả năng chuyển từ hoạt động trítuệ này sang hoạt động trí tuệ khác tạo điều kiện cho việc tìm được nhiều giảipháp trên góc độ và tình huống khác nhau và nhờ đó đề xuất được nhiều phương

án khác nhau mà có thể tìm được giải pháp lạ, đặc sắc

Các yếu tố cơ bản cuả tư duy sáng tạo nêu trên biểu hiện khá rõ ở HS, đặcbiệt là HS khá, giỏi Trong học tập toán mà cụ thể là trong hoạt động giải toán,các em biết di chuyển các hoạt động trí tuệ, biết sử dụng xen kẽ phân tích vàtổng hợp, biết khái quát hoá, đặc biệt hoá, tương tự …

Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho ba tính chất cơ bản đặc trưng nhất của tư duy sáng tạo:

Ví dụ 1: Cho đường thẳng a và điểm A không thuộc đường thẳng a, hai

đư-ờng thẳng thay đổi đi qua A vuông góc với nhau cắt đưđư-ờng thẳng a ở B và C.Xác định vị trí hai đường thẳng vuông góc trên sao cho đoạn BC là nhỏ nhất?

*) Phân tích bài toán:

- Nếu HS sử dụng kiến thức đơn giản ở lớp 7 đó là quan hệ giữa đườngvuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm tới một đường thẳng ta có:

Cách giải 1: (Hình 1 + Hình 2)

Xét ABC vuông tại A Gọi AH, AM theo thứ tự là đường cao, đườngtrung tuyến của tam giác Ta có BC = 2AM

C M

H

B

A

a

Xét hai đường thẳng bất kỳ vuông góc với nhau tại A cắt đường thẳng a tại

D và E Giả sử AD > AE ta chứng minh DE > BC

Trên tia AD lấy điểm M sao cho AM = AE ABM = ACE (c.g.c ) 

BM = CE (1)

Dễ thấy M nằm giữa A và D nên DMB > MBA= ACB= ABC > D Trong 

MDB có DMB > D nên DB > MB (2) Từ (1) và (2) suy ra:

DB > CE Vậy DE > BC

Ta có bài toán tổng quát (suy ra từ cách giải 2)

Bài toán tổng quát: Trong các tam giác ABC có A =  (không đổi) vàchiều cao AH = h (không đổi) Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A thì BC

có độ dài nhỏ nhất?

Nếu HS biết nhìn nhận bài toán một cách mềm dẻo và thực hiện các thaotác trí tuệ như: phân tích, tổng hợp, khái quát hoá… thì sẽ nhìn thấy chức năngmới của đối tượng và huy động được những kiến thức cần thiết để giải bài toán,đồng thời có cách nhìn sinh động từ nhiều phía đối với bài toán Từ đó tìm đợclời giải hợp lý, nghiên cứu đề xuất bàt toán mới, bài toán tổng quát

Ví dụ 2: Cho hình thang ABCD, đáy nhỏ AB Một đường tròn tâm O đi

qua đỉnh A và B đồng thời tiếp xúc với đáy lớn CD tại M M’ là điểm bất kỳ trênđáy lớn CD Chứng minh rằng góc AMB là góc lớn nhất so với góc AM’B?

1 Phân tích tìm lời giải:

Muốn chứng minh góc AMB là góc lớn nhất so với mọi góc AM’B với M’

là điểm bất kỳ trên CD ta làm như sau: Lấy M’ bất kỳ trên CD ta chứng minh

AMB> AM B' Ta nhận ra rằng AMB là góc nội tiếp chắn cung AB Góc AM’B làgóc có đỉnh ngoài đường tròn (O) Ta dễ dàng so sánh được hai góc này đpcm

* Khai thác bài toán:

O

C

B A

Nhận xét 1: Chứng minh AMBlớn nhất không vận dụng gì đến cạnh bên

AD và BC của hình thang ABCD Hãy mở rộng bài toán bằng cách thay đổi một

số dữ kiện của đề bài, chẳng hạn bỏ điều kiện “Hình thang ABCD” và đặt vấn đềthay cạnh CD của hình thang bằng đường thẳng d, với A, B bất kỳ trên (O), khi

đó AB sẽ không còn song song với d Ta có bài toán tương tự:

Bài toán 1: Cho đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn tâm O tại M Trên

đường tròn (O) lấy hai điểm A, B bất kỳ khác M Chứng minh rằng góc AMB làgóc lớn nhất so với mọi góc AM’B với M’ là điểm bất kỳ trên d?

Để giải được bài toán này cần phân biệt 2 trường hợp:

B

a, AB // d có cách giải tương tự như bài toán ở ví dụ 2

b, ABd = I  I, A, B thẳng hàng, ta lại có hai trường hợp

* Với M  tia Iy Ta chứng minh như bài toán ở ví dụ 2

* Với M  tia Ix: AM B' < BM I ' < BIM (góc ngoài của BM’I) Mà BIM

< AMB  AM B' < AMB(đpcm)

Nhận xét 2: ở bài toán 1 cho trớc 2 điều kiện

*) Đường tròn tâm O đi qua A, B

*) Đường tròn tâm O tiếp xúc với đường thẳng d tại M Ta hãy đặt vấn đề:Nếu cho trước 2 điểm A, B ta có thể dựng được đường tròn tâm O đi qua A, B vàtiếp xúc với đường thẳng d hay không? Ta có bài toán dựng hình:

Bài toán 2: Cho 2 điểm A, B cùng nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là đờng thẳng

d Hãy dựng đờng tròn đi qua A, B và tiếp xúc với đờng thẳng d?

Nhận xét 3: Giải đợc bài toán 2 nhìn trở lại bài toán 1 ta đã xác định được

điểm M  d và M có tính chất nhìn AB dưới một góc lớn nhất (A, B cũng nằmtrên một nửa mặt phẳng bờ là d) Từ đây ta lại có bài toán gần với bài toán 2nhưng ở mức độ khó hơn

Bài toán 3: Cho hai điểm A, B cùng nằm trên một nửa mặt phẳng có bờ d.

Tìm điểm M trên d sao cho góc AMB lớn nhất?

Như vậy trong quá trình dạy học GV chú ý rèn luyện cho HS khả năngphân tích bài toán, phân tích đường lối giải, ý nghĩa của lời giải hay ý nghĩa củabài toán để sau khi tìm ra lời giải dưới nhiều hình thức khác Bằng tổng hợp,khái quát hoá, so sánh, tương tự, lật ngược vấn đề, xét tính giải được, phân chiatrường hợp tìm mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa các yếu tố để giải bài toán,biến đổi bài toán để được bài toán mới Đó chính là những cơ hội bồi dưỡng cho

HS các yếu tố đặc trng của tư duy sáng tạo

1.2 Toán cực trị hình học trong chương trình toán THCS

1.2.1 Bài toán cực trị hình học

Trong quá trình giải toán chúng ta thường gặp các bài toán về tìm giá trị lớnnhất hay nhỏ nhất của một đại lượng hình học nào đó Các bài toán này còn đượcgọi là bài toán “Cực trị hình học”

Thường thì những bài toán cực trị hình học luôn gắn liền với thực tiễn cuộcsống, bởi vì việc đi tìm cái lớn nhất, nhỏ nhất, nhiều nhất, ít nhất… Chính là đitìm cái tối ưu đặt ra trong cuộc sống và trong kỹ thuật

Bởi sự đa dạng và thú vị, đặc biệt là sự ràng buộc của nó với các kiến thứctrong cả chương trình hình học và thậm chí là cả các kiến thức về bất đẳng thứctrong chương trình đại số

Trong chương trình hình học ở bậc THCS các bài toán dạng này thường lànhững bài toán khó, đòi hỏi HS phải tự tìm kết quả của bài toán Đối với bài toáncực trị hình học, thường có nhiều con đường để tìm ra lời giải, trong đó có cảnhững cách ngắn gọn, hợp lý, đôi khi có có phương án sáng tạo, độc đáo Do đóchủ đề về toán cực trị hình học sẽ đem đến cho HS nhiều điều bổ ích và lý thú,nhất là đối với HS khá và giỏi

Bài toán cực trị hình học có dạng chung: Trong tất cả các hình có chung

một tính chất, tìm những hình mà một đại lượng f nào đó (như độ dài, đoạn

thẳng, số đo góc, bán kính đường tròn, chu vi của một hình nào đó…) đạt giá trịlớn nhất hoặc đạt giá trị nhỏ nhất Giả sử cho hình H trên miền D:

a Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị lớn

nhất, ta phải chứng tỏ: Với mọi vị trí của hình H* trên miền D thì f  M (Với M

là hằng số cố định) Ta phải xác định vị trí của hình H* trên miền D sao cho f =

M

b Khi tìm vị trí của H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trị nhỏ nhất, ta phải chứng tỏ: Với mọi hình H trên miền D thì f ≥ m (Với m là hằng số cố định).

Ta phải xác định vị trí của H* trên miền D sao cho f = m.

1.2.2 Tác dụng của bài tập cực trị hình học đối với HS

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học cho HS Trong đóhoạt động giải toán là hình thức chủ yếu Khi HS được tiếp xúc với hệ thống bàitập cực trị hình học đã được chọn lọc giúp HS có điều kiện tiếp cận, ôn lại nhiềukiến thức toán học được học trước đó Được vận dụng giải quyết nhiều vấn đềtoán học khác, đồng thời rèn luyện và phát triển cho HS nhiều loại hình tư duytoán học

Thật vậy việc giải các bài toán cực trị hình học giúp HS củng cố và đào sâukiến thức, rèn luyện kỹ năng tư duy Bởi vì trong chương trình môn toán ở tr-ường phổ thông, những bài toán cực trị hình học khi giải nó cần đến rất nhiềucác loại kiến thức, thậm chí cả kiến thức về đại số, với nhiều phương pháp giảikhác nhau Do đó khi HS giải các bài toán cực trị hình học, các em thường xuyên

sử dụng các loại kiến thức liên quan và vận dụng linh hoạt các kiến thức đó Cáckiến thức này luôn được củng cố và đào sâu đồng thời cần có kỹ năng, kỹ xảotrong việc sử dụng các phương pháp giải, đặc biệt là năng lực tư duy sáng tạo,phương pháp suy nghĩ tìm lời giải

Mỗi bài toán cực trị hình học có thể giải bằng nhiều cách khác nhau, nên ởđây là cơ hội để HS so sánh, lựa chọn phương pháp phù hợp và tốt nhất trongtrường hợp có thể, giúp HS rèn luyện được các thao tác tư duy như phân tích,tổng hợp và khả năng đặc biệt hoá bài toán v.v… hình thành các phẩm chất quýbáu của ngờưi làm toán như tính thận trọng, chặt chẽ, chính xác

Việc giải bài toán cực trị hình học giúp HS nâng cao năng lực liên hệ toánhọc với thực tiễn Điều này là hoàn toàn có cơ sở đúng đắn, bởi vì chúng ta biếtrằng các bài toán cực trị nói chung và cực trị hình học nói riêng thường có cơ sở

hoặc nguồn gốc xuất phát từ thực tiễn Trong thực tiễn có rất nhiều đòi hỏi giảiquyết sao cho có lợi nhất Chẳng hạn như phải xây dựng một nhà máy ở vị trínào sao cho thuận tiện việc vận chuyển nguyên liệu, hàng hoá và cước phí vậnchuyển là nhỏ nhất Tất cả các tình huống được đặt ra để giải quyết đều đa đếnviệc tìm ra một phương pháp tốt nhất, đảm bảo được lợi ích nhiều nhất cho cuộcsống.

1.2.3 Tiến trình phát triển bài tập cực trị hình học trong chương trình toán THCS

Phát triển bài tập cực trị hình học là từ một bài tập cơ bản ta có thể bổ sung,hoặc thay đổi giả thiết, kết luận của bài toán để được một bài tập mới có mức độphức tạp cao hơn

Quá trình thay đổi giả thiết, kết luận của bài toán có thể được tiến hành theonhiều con đường, có thể hoán đổi giả thiết, kết luận, thay đổi giả thiết hoặc kếtluận bằng cách cho gián tiếp qua các đại lượng trung gian hay thay đổi điều kiệnnào đó của bài toán

Quá trình phát triển bài tập cực trị hình học đợc minh hoạ theo sơ đồ cụ thểnhư sau:

- Bài tập ban đầu: Tóm tắt giả thiết, kết luận của bài toán theo sơ đồ sau:

* Các hướng phát triển bài tập ban đầu để được bài tập mới

a Phát triển giả thiết: Bằng cách bổ sung, hoán đổi vị trí hoặc cho các đại ượng một cách gián tiếp qua các đại lượng trung gian

l-+ Cho A thông qua A1, A2…

+ Cho B thông qua B1, B2…

Tuỳ theo mức độ phát triển bài tập mà các đại lượng có nhiều hay ít mốiquan hệ với các đại lượng trung gian Ta có thể tóm tắt bài toán theo sơ đồ

b Phát triển kết luận: Thay cho việc tìm C ta có thể thay yêu cầu tìm Cn (n

= 1, 2…)

c Phát triển đồng thời giả thiết và kết luận

Phát triển giả thiết và kết luận của bài toán một cách đồng thời chính là sựkết hợp giữa sơ đồ 2 và sơ đồ 3

Từ các sơ đồ nhận thấy:

Tiến trình phát triển bài tập cực trị hình học thực chất là việc phát triển giảthiết và kết luận của bài toán Mức độ phức tạp của bài tập phụ thuộc vào mốiquan hệ giữa các đại lsợng trung gian với giả thiết và kết luận, nhng mối quan hệ

chính giữa giả thiết và kết luận vẫn là bài tập cơ bản ban đầu Chính vì vậy việcgiải các bài tập đợc phát triển ra dù trực tiếp hay gián tiếp đều nên quan tâm sửdụng lời giải của bài tập cơ bản.

1.2.4 Các mức độ phát triển bài tập cực trị hình học

Với mục đích của giờ dạy bài tập là tìm ra lời giải và đáp số một cách cócăn cứ khoa học thì việc phát triển các bài tập cực trị hình học là cần thiết Nhngtiến trình phát triển bài tập cực trị hình học lại phụ thuộc vào nhiều yếu tố khácnh: Nội dung bài tập, mục đích ôn luyện kiến thức, mục đích phát triển năng lực

t duy sáng tạo, trình độ và năng lực của HS Chính vì vậy tiến trình phát triển bàitập chỉ thực hiện ở những mức độ nhất định Căn cứ vào những điều kiện trênchúng tôi đa ra một số mức độ phát triển bài tập cực trị hình học ở trờng THCS

nh sau:

Mức độ 1: Phát triển bài tập cơ bản thành bài tập mới khi biến đổi giả thiết,

biến đổi kết luận hoặc biến đổi đồng thời giả thiết và kết luận, dới sự hớng dẫncủa GV

+ Đối tợng: HS khá

+ Yêu cầu đối với mức độ 1

- HS không những nắm đợc một số kiến thức liên quan đến bài toán cực trịhình học mà còn có thể phát triển đợc giả thiết kết luận hoặc phát triển đồng thờigiả thiết và kết luận của bài toán cơ bản ban đầu, đề ra hớng đặt các đề toán mới

- Xác định đợc mối liên hệ có tính thống nhất giữa các phần kiến thức vàphơng pháp giải chúng

+ Biện pháp: Từ bài tập cơ bản ban đầu đó phát triển thành bài tập mới GVcần có những câu hỏi định hớng cho HS, hớng dẫn HS thay đổi mối quan hệ giữacác đại lợng đã cho và đại lợng cần tìm để đợc những bài tập phù hợp Tuỳ thuộcvào mức độ phức tạp của bài tập mới mà mức độ rèn luyện kỹ năng lực t duy

sáng tạo cho HS đợc nâng lên, việc giải các bài tập mới phù hợp tạo điều kiệncho HS vận dụng linh hoạt kiến thức để tự lực giải quyết thành công những tìnhhuống mới Trong quá trình giải các bài tập HS phải vận dụng các thao tác trí tuệnh: So sánh, phân tích, tổng hợp, khái quát hoá, đặc biệt hoá Chính vì vậy việcgiải bài tập mới đợc phát triển từ bài tập cơ bản là điều kiện để phát triển t duysáng tạo, tính độc lập trong suy nghĩ, tính kiên trì trong khắc phục khó khăn cũng

nh lĩnh hội kiến thức một cách sâu sắc

- Kết thúc việc chữa một bài tập GV cần có những nhận xét về: Bài tập cơbản và lời giải của nó, những hớng có thể phát triển, cần nhấn mạnh quá trình bàitập mới dù trực tiếp hay gián tiếp đếu coi trọng sử dụng phơng pháp giải bài toán

cơ bản

Mức độ 2: Phát triển bài tập cơ bản ban đầu thành bài tập mới không có sự

định hớng của GV với độ phức tạp cao hơn

+ Đối tợng: HS giỏi, HS lớp chuyên có kiến thức chắc chắn và có tính sángtạo

+ Yêu cầu đối với mức độ 2:

- HS nắm đợc mức độ 1, tự đặt ra vấn đề và tự giải quyết vấn đề mà họ đặtra

- HS tự đặt ra trớc những bài toán khi phát triển bài toán cơ bản và phơngpháp giải chúng

- HS giỏi nhận định, phân tích những bài toán cơ bản chứa đựng trong bàitập mới

+ Biện pháp: GV không sử dụng những câu hỏi định hớng mà yêu cầu HStrực tiếp phát triển bài toán dựa trên bài toán cơ bản rồi GV yêu cầu những HSkhác cho hớng giải, hoặc nhận định những yếu tố liên quan bài toán ban đầu rồicho HS giải quyết những bài tập đó, qua đó rèn cho HS năng lực nhìn nhận cấu

trúc đối tợng nghiên cứu, rèn luyện cho HS biết đề xuất ý kiến riêng của bảnthân, độc lập trong suy nghĩ, tự nêu lên vấn đề và tự giải quyết vấn đề đó.

1.2.5 Một số kiến thức thờng dùng để giải bài toán cực trị hình học

 Quan hệ đờng vuông góc và đờng xiên, hình chiếu

Trong các đờng xiên và đờng vuông góc hạ từ một điểm đến một đờngthẳng

- Đờng vuông góc ngắn hơn mọi đờng xiên

- Đờng xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn và ngợc lại

 Quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác, bất đồng thức tam giác, qui tắccác điểm

- Trong một tam giác, đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn và ngợc lại

- Trong hai tam giác có hai cặp cạnh tơng ứng bằng nhau nếu cạnh thứ bacủa tam giác này lớn hơn cạnh thứ ba của tam giác kia thì góc đối diện cũng lớnhơn và ngợc lại

- Bất đẳng thức tam giác: Tam giác ABC có:

AB  AB + BC, dấu “=” xảy ra  A, B, C thẳng hàng B nằm giữa A và C

AC - AB  BC, dấu “=” xảy ra  A, B, C thẳng hàng B nằm giữa A vàC

- Qui tắc các điểm: cho n điểm A1, A2 ,… An

Ta có:A1, An  A1 A2 + A2 A3 +… + An-1 An, dấu “=” xảy ra  A1, A2… An

thẳng hàng và sắp xếp theo thứ tự đó

 Bất đẳng thức trong đờng tròn:

- Trong tất cả các dây cung của đờng tròn, đờng kính là dây lớn nhất

- Trong một đờng tròn, dây cung nào có độ dài ngắn hơn thì có khoảng cáchđến tâm lớn hơn và ngợc lại

- Trong hai cung nhỏ của một đờng tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi góc ởtâm lớn hơn.

- Trong hai cung nhỏ một đờng tròn, cung lớn hơn khi và chỉ khi dây trơngcung lớn hơn

 Hệ thức lợng trong tam giác

- Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông

Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin góc đối

Cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với cos góc kề

Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang góc đối

Cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với cotg góc kề

- Định ký Pitago:  ABC vuông ở A: a2 = b2 + c2

- Hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác bất kỳ  ABC có BC = a, AC =

b, AB = c Gọi c’ là độ dài hình chiếu của cạnh AB trên BC

Nếu B < 90o  b2 = a2 + c2 - 2a c’

Nếu B > 90o  b2 = a2 + c2 + 2a c’

- Diện tích tam giác, hình bình hành:

Với  là góc nhọn Diện tích tam giác ABC: S ABC = 1

2 AB.AC Sin .Diện tích hình bình hành: SAB CD =AB AD Sin 

1.2.6 Một số chú ý trong dạy học giải bài tập cực trị hình học

Dạy HS giải một bài tập về hình học không chỉ đơn thuần là giúp HS có

đ-ợc lời giải của bài toán đó, mà cần giúp HS một cách tìm lời giải bài toán thôngqua dạy tri thức, truyền trụ tri thức phơng pháp Với cách làm nh vậy dần dần HS

tự đúc kết đợc phơng pháp giải toán, tiến tới có đợc phơng pháp học tập bộ môn Khi đã hiểu đợc mỗi bài tập có dụng ý gì, việc tiếp theo là “Dạy HS giảimột bài tập nên nh thế nào?” Với GV có kinh nghiệm, việc dạy HS giải một bàitoán hình học thông thờng theo tiến trình đã trình bày Tức là dành thời gian cho

HS làm quen với bài toán, cùng HS nghiên cứu để hiểu bài toán, dạy HS cáchsuy nghĩ tìm ra chơng trình giải, hớng dẫn HS tự trình bày lời giải của bài toán,đối với GV cha có kinh nghiệm thờng cho thực hiện ở chơng trình giải, GVkhông nên nhầm lẫn giữa dạy HS giải bài tập với việc chữa bài tập Chữa bài tậpmới chỉ cung cấp cho HS lời giải đúng của một bài tập cho trớc, chứ cha hớngdẫn HS cách tìm lời giải bài toán đó Do đó càng học HS càng tích luỹ thêm, ghinhớ máy móc thêm lời giải của những bài toán cụ thể mà cha thể tự mình giải đ-

ợc Tình trạng này dẫn đến quá tải tại một thời điểm nào đó đối với ngời học Đểgiải bài toán cực trị hình học, hình vẽ phải mang tính tổng quát, không nên vẽ

hình trong những trờng hợp đặc biệt, làm đến nội dung nào thì HS vẽ hình đến

đó, giúp HS hiểu rõ hơn về chơng trình giải Khi kết thúc bài làm, yêu cầu HSđọc lại một lần nữa đề bài để HS hình dung lại bớc quan trọng và hiểu bài toán.Nếu có điều kiện nên cho HS tự đánh giá để xem HS có cách hiểu nh thế nào?

Có trùng với cách đợc hớng dẫn không?

Không nên đa quá nhiều bài tập trong một tiết dạy, cần dự kiến thời giancho bài tập trọng tâm (bài có điều kiện củng cố khắc sâu kiến thức, kỹ năng…),rồi lựa chọn bài tập có cách giải tơng tự để HS tự luyện tập Nh vậy trong nhữngtiết giải bài tập có những bài đợc giải chi tiết, có những bài chỉ cần hớng dẫn Đểcủng cố, khắc sâu hệ thống hoá kiến thức, cách tốt nhất là làm bài tập Do đó GVcần cân đối tỷ lệ giữa việc nhắc lại lý thuyết và thực hành trong giờ giảng, saocho có thể giúp HS hiểu tốt nhất kiến thức đã học Do đó, để hớng dẫn HS tìm ralời giải bài toán GV phải đóng vai trò ngời học, tự tìm ra kiến thức cơ bản, cácdạng toán, các bớc tiến hành để có lời giải bài toán Trên cơ sở đó GV phân bậchoạt động phù hợp với đối tợng HS cụ thể của mình, dự kiến các câu hỏi dẫn dắt,gợi mở sao cho thông qua hoạt động HS không những tìm đợc lời giải bài toán

mà cả tri thức về phơng pháp giải toán

Hầu hết các bài toán về cực trị hình học dành cho HS bậc THCS có lời giảicần đến việc vận dụng bất đẳng thức Đại số Trong đó thờng chỉ vận dụng đếncác bất đẳng thức Bunhiacopski và bất đẳng thức Côsi, ngoài ra còn vận dụngđến một số bất đẳng thức Đại số quen thuộc khác Cho nên giải các bài toán cựctrị hình học mà cần thiết phải vận dụng các bất đẳng thức trên GV phải giúp HShiểu rõ bản chất, áp dụng một cách thành thạo chiều xuôi và chiều ngợc lại củabất đẳng đó

Bên cạnh đó GV cũng phải dự kiến một số sai lầm và những khó khăn khigiải bài toán cực trị hình học Chẳng hạn nh HS lúng túng trong việc tìm kiếm

lời giải, không biết vẽ thêm yếu tố phụ để việc biểu diễn các đại lợng hình học

đ-ợc đơn giản, gọn nhẹ hơn Không biết thiết lập mối quan hệ giữa cái cha biết vớicái đã biết, đặc biệt là các bài toán chọn biến khi giải để từ bài toán cực trị hìnhhọc chuyển về bài toán tơng đơng trong cực trị Đại số Có những bài toán HSkhông biện luận hết những trờng hợp xảy ra hay nói cách khác không tìm ra tiêuchí cho sự phân chia trờng hợp nên dẫn đến lời giải bài toán còn thiếu sót, khôngđầy đủ Để khắc phục những sai lầm và khó khăn trên thì GV thờng xuyên phảiluyện tập cho các em có thói quen đọc kỹ đề bài, có sự phân tích từng yếu tố,từng khía cạnh của bài toán, không vội vàng tính ngay, giải ngay

Gợi ý cho các em bằng những câu hỏi gợi mở sát với nội dung bài toán vàphù hợp với trình độ của HS

GV chú ý rèn luyện cho HS năng lực ứng dụng các kiến thức, kỹ năng ơng pháp hình học vào việc giải quyết một số bài toán thực tế, rèn luyện khảnăng “Toán học hoá” tình huống thực tiễn thành bài toán với đầy đủ giả thiết vàkết luận Liên hệ những yếu tố của hình học với những yếu tố thực tiễn, nghĩa là

ph-HS cần phải phát hiện và huy động những kiến thức hình học phù hợp với nhữngyếu tố thực tiễn trong một tình huống cụ thể, phát hiện và nhận biết đợc nhữngtình huống thực tiễn thể hiện cho một tình huống toán học

1.3 Vài nét về nhận thức của HS bậc THCS khá và giỏi

1.3.1 Về nhận thức của HS bậc THCS khá và giỏi

Lứa tuổi HS ở bậc THCS bao gồm những em có độ tuổi từ 11, 12 đến 14,

15 tuổi Đó là những HS đang theo học từ lớp 6 đến lớp 9 ở trờng THCS

Lứa tuổi này còn gọi là lứa tuổi thiếu niên và nó có một vị trí đặc biệt trongthời kỳ phát triển của trẻ em Vị trí đặc biệt này phản ánh bằng những tên gọikhác nhau của nó: “tuổi quá độ”, “tuổi khó bảo”…Những tên gọi đó nói lên quátrình phát triển của HS bậc THCS

Đây là lứa tuổi bắc cầu, chuyển tiếp từ trẻ em lên ngời lớn, từ thời thơ ấusang tuổi trởng thành Điều đó đợc thể hiện ở sự phát triển mạnh mẽ, thiếu cânđối ở cơ thể, sự phát dục và sự hình thành những phẩm chất mới về các mặt đạođức, trí tuệ…

Sự thay đổi tính chất và hình thức hoạt động học tập cùng với sự phát triểncủa nhu cầu nhận thức, hứng thú trong học tập đã ảnh hởng mạnh mẽ đến sự pháttriển trí tuệ của HS So với các lứa tuổi trớc, hoạt động trí tuệ của các em cónhững biến đổi cơ bản, đặc biệt là HS khá và giỏi

HS khá và giỏi, tri giác có chủ định chiếm u thế, kỹ năng quan sát đợc nângcao Tri giác trở nên có kế hoạch, có trình tự và hoàn thiện hơn so với HS tiểuhọc và HS đại trà

Trí nhớ HS khá và giỏi cũng đợc thay đổi về chất Năng lực ghi nhớ địnhnghĩa đợc nâng cao rõ rệt Các em bắt đầu sử dụng một cách có ý thức những thủthuật ghi nhớ, biết lập giàn bài cho tài liệu cần ghi nhớ, vận dụng các thao tác tduy trong quá trình ghi nhớ Các em có khuynh hớng muốn tái hiện tài liệu bằnglời nói của mình và thờng phản đối khi GV yêu cầu học thuộc lòng những địnhnghĩa, quy luật

Sự phát triển chú ý có chủ định bền vững đợc hình thành Nhiều công trìnhnghiên cứu cho thấy ở lứa tuổi HS bậc THCS khá và giỏi khối lợng chú ý đợctăng lên rõ rệt, khả năng di chuyển chú ý linh hoạt hơn, năng lực tập trung chú ýcao hơn và bền vững hơn nhiều so với HS tiểu học và HS bậc THCS diện đại trà.Hoạt động t duy của HS khá và giỏi cũng có những biến đổi cơ bản Do nộidung môn học phong phú, đa dạng, phức tạp nên đòi hỏi các em phải có khảnăng t duy độc lập cùng với sự vận động liên tục của các thao tác t duy trong quátrình lĩnh hội tri thức T duy trừu tợng của các em đang trên đà phát triển Sựthay đổi mối quan hệ giữa t duy hình tợng cụ thể sang t duy trừu tợng, khái quát

mà trong đó sự chiếm u thế của t duy trừu tợng là đặc điểm cơ bản trong t duylứa tuổi HS khá và giỏi bậc THCS.

Tởng tợng của HS khá và giỏi bậc THCS phát triển hơn so với lứa tuổi HStiểu học và HS bậc THCS diện đại trà Càng về cuối cấp nội dung của tởng tợng

ở HS càng phong phú hơn, những biểu tợng của tởng tợng tái tạo càng gần hiệnthực hơn Tởng tợng sáng tạo của HS biểu hiện khá rõ rệt khi các em làm thơ,làm văn, kể chuyện, giải toán…

Về ngôn ngữ, do đợc tiếp xúc với nhiều môn học nên vốn từ ngữ, thuật ngữkhoa học tăng lên rõ rệt Ngôn ngữ HS khá phong phú và chuẩn xác, phát triển

cả về số lợng và chất lợng

Với những đặc điểm về phát triển trí tuệ của HS khá và giỏi nh hoạt động tduy có nhiều biến đổi, HS có khả năng t duy độc lập và có sự vận động liên tụccủa các thao tác t duy trong quá trình lĩnh hội tri thức Tri giác có chủ địnhchiếm u thế, khả năng quan sát đợc nâng cao Đó là những điều kiện thuận lợi đểphát triển t duy sáng tạo cho HS thông qua bộ môn hình học

Hơn nữa việc bồi dỡng một yêu tố về t duy sáng tạo cho HS bậc THCS khá

và giỏi thông qua giải bài tập cực trị hình học phải có các yếu tố cần thiết choviệc rèn luyện một số năng lực

Trớc hết HS khá, giỏi, đối tợng rèn luyện, bồi dỡng phải tỏ ra “hứng thú”,bởi vì đây là yếu tố quan trọng để nảy sinh sáng tạo Cho nên ngay từ khi ngồitrên ghế nhà trờng muốn rèn luyện cho HS một số yếu tố của t duy sáng tạo thìtrớc tiên GV trong quá trình giảng dạy phải ra bài tập sao cho phù hợp để HSthấy hứng thú trong học tập, hứng thú gây ra sáng tạo và sáng tạo lại thúc đẩyhứng thú mới HS phải thấy đợc cần có hứng thú, nhận thức cao, cần có khátkhao nhận thức cái mới và vận dụng nội dung cái mới vào thực tiễn

- HS phải nhận thức đợc rằng muốn giải đợc bài toán, cái đầu tiên là phải cómột nền “Kiến thức vững chắc” Một quá trình sáng tạo bất kỳ đều bắt đầu từ sựtái hiện cái đã biết Tâm lý học hiện đại không phủ nhận vai trò của trí nhớ Dĩnhiên nếu chỉ ghi nhớ đơn thuần không biết suy nghĩ, vận dụng sáng tạo thì đó làkiến thức vô dụng Ngời HS phải biết vận dụng tri thức đã biết vào tình huốngmới để giải quyết bài toán.

- HS phải có tính “Nghi ngờ khoa học”, luôn tự đặt ra cho mình câu hỏi,cách làm này, phơng án giải quyết này đã tối u cha? Có cách giải quyết nào hayhơn nữa không?

Nh vậy điều kiện để hoàn thành các phát kiến càng đợc chuẩn bị tốt baonhiêu thì tính chủ động trong sáng tạo của HS càng đợc nâng cao bấy nhiêu

1.3.2 Một số biểu hiện của t duy sáng tạo ở HS bậc THCS trong học tập

T duy sáng tạo của HS chỉ đợc phát triển qua hành động thực tế, trongchiếm lĩnh các kiến thức về toán học, vận dụng các kiến thức đợc học vào giảicác bài tập toán trong những tình huống khác nhau Từ những đặc điểm cơ bảncủa hoạt động sáng tạo trong học tập, có thể đa ra những hiểu biết của t duy sángtạo của HS trong học tập nh sau:

- Năng lực chuyển tải tri thức và kỹ năng từ lĩnh vực quen biết sang tìnhhuống mới, biết vận dụng kiến thức đã học trong điều kiện hoàn cảnh mới

- Năng lực nhận thấy vấn đề trong điều kiện quen biết, tự đặt câu hỏi mớicho mình và cho mọi ngời về bản chất của các điều kiện, tình huống, sự vật

- Năng lực nhìn thấy chức năng mới của đối tợng quen biết

- Năng lực nhìn thấy cấu trúc của đối tợng đang nghiên cứu Thực chất làbao quát đợc vấn đề nhanh chóng, các yếu tố của đối tợng trong mối tơng quangiữa chúng với nhau

- Năng lực đề xuất các giải pháp khác nhau khi xử lý một tình huống Khảnăng huy động các kiến thức cần thiết để đa ra các giả thiết hay các dự đoánkhác nhau khi giải một bài toán.

- Năng lực nhìn nhận một vấn đề dới nhiều góc độ khác nhau đôi khi mauthuẫn, chẳng hạn đứng trớc một bài toán phải có nhiều cách nhìn đối với việc tìmkiếm lời giải, năng lực kết hợp nhiều phơng pháp giải bài tập để đa ra một phơng

án, giải pháp mới Các em có thể dễ dàng chuyển từ t duy thuận sang t duynghịch Khi làm bài tập cùng loại đã biết phát hiện sự khác biệt của các bài, cácđiều kiện khác nhau của chúng để tránh cách giải rập khuôn, máy móc Các em

đã biết di chuyển nhanh chóng các hoạt động trí tuệ, biết sử dụng xen kẽ phântích và tổng hợp, dùng phân tích khi đi tìm lời giải và dùng tổng hợp khi trìnhbày lời giải

1.4 Thực trạng dạy học giải toán cực trị hình học ở trờng THCS đối với yêu cầu phát triển t duy sáng tạo của HS

Qua thực tế dạy học ở trờng THCS cùng với việc trao đổi chuyên môn quamột số GV, việc dạy học nói chung và việc bồi dỡng cho đối tợng HS khá vàgiỏi thông qua dạy học giải bài toán cực trị hình học đối với yêu cầu phát triển tduy sáng tạo, chúng tôi nhận thấy một số tồn tại nh sau:

- Do số tiết học ở trên lớp còn ít, khối lợng tri thức cần truyền đạt nhiềuđồng thời phải đúng lịch phân phối chơng trình theo quy định nên việc mở rộng,khai thác, ứng dụng sáng tạo các kiến thức đã học cha đợc triệt để sâu sắc Điềunày ảnh hởng đến việc huy động vốn kiến thức của HS, hạn chế đến việc rènluyện tính tích cực, độc lập, sáng tạo của HS trong học tập, nhất là đối tợng HSkhá và giỏi

- Trong chơng trình toán THCS, số lợng các dạng toán về phần cực trị hìnhhọc còn đề cập rất hạn chế, nó chỉ nằm rải rác ở một bộ phận sách tham khảo,hơn nữa các bài toán về phần cực trị hình học là một chủ đề toán khó thờng chỉhay xuất hiện trong các kỳ thi HS giỏi Do đó HS và GV cũng ít đợc đợc thờngxuyên tiếp cận với dạng toán này và có thể nói một thực tế GV còn thờ ơ trongviệc thực hiện dạy học chủ đề đó Điều này dẫn đến việc giải các bài tập cực trịhình học HS còn tỏ ra lúng túng, cha đợc rèn luyện về kỹ năng giải toán, chakích thích đợc sự ham mê tìm tòi khám phá của HS, từ đó HS tiếp thu kiến thứcmột cách hình thức và hời hợt Việc tiến hành bồi dỡng cho đội ngũ HS khá vàgiỏi cha đợc tiến hành một cách thờng xuyên ngay từ đầu Chính vì vậy quá trìnhbồi dỡng kiến thức toán học theo hớng nâng cao của chủ đề cực trị hình học cho

HS cha đợc liên mạch và cha có hệ thống, chỉ khi nào có những kỳ thi nh thi vàotrờng chuyên, lớp chọn, HS giỏi thì GV và HS mới thực sự nhảy vào cuộc.Chính điều đó làm cho HS dễ hụt hởng về kiến thức, sự khai thác một bài toáncòn gặp nhiều khó khăn, việc dạy học của GV chủ yếu dựa vào kinh nghiệm củabản thân

Hơn nữa, hệ thống bài tập trong sách tham khảo là rất đa dạng và phongphú nhng đang còn rời rạc, thiếu sự liên kết với nhau trong từng chủ đề, đặc biệttrên thị trờng tìm đợc một vài cuốn sách tham khảo viết dành riêng cho phần cựctrị hình học thể hiện đợc sự chuyên môn hoá là rất hiếm, điều này cũng dẫn đếnmột tình trạng là GV và HS thiếu một hệ thống tài liệu tham khảo cho thật phongphú để phục vụ cho công tác dạy và học Trong thực tế, cách dạy phổ biến hiệnnay là GV với t cách là ngời điều khiển đa ra kiến thức rồi giải thích chứngminh, sau đó đa ra một số bài tập áp dụng, làm cho HS cố gắng tiếp thu vậndụng Rõ ràng với cách dạy nh vậy GV cũng thấy cha thoả mãn bài dạy củamình, HS cũng thấy cha hiểu đợc cội nguồn của vấn đề mà chỉ học một cách

máy móc, làm cho các em có ít cơ hội phát triển t duy sáng tạo, ít có cơ hội khaithác tìm tòi cái mới.

Để khắc phục những tồn tại đã chỉ ra ở trên, ngời GV cần phải có phơngpháp dạy học tích cực, tận dụng tối đa tiết dạy, quan tâm hơn nữa phần cực trịhình học, ngoài ra cần phải thiết kế thêm những tiết học ngoại khoá ở lớp, ở tr-ờng, cung cấp cho HS một “Kiến thức nền” liên quan đến giải bài toán của cựctrị hình học đồng thời phải phối hợp nhiều định lý, bài toán đã học vào việc giảitoán, từ bài toán dễ đến bài toán khó mà sự huy động kiến thức đó là cần thiết,cần phải làm cho HS luôn thấy đợc sự cần thiết thiếu hụt tri thức của bản thân.Bởi vì khi HS nhận ra sự thiếu hụt tri thức của bản thân thì chính sự thiếu hụt đó

là một yếu tố kích thích chuyển động thích nghi để tìm kiếm lại sự cân bằng HSkhi đó trở thành ngời mong muốn bù lấy sự thiếu hụt đó, thoả mãn nhu cầu nhậnthức của bản thân mình

tỏ một số yếu tố đặc trng của t duy sáng tạo biểu hiện trong học tập toán của HStrong nhà trờng phổ thông

Chuyên đề về bài tập cực trị hình học có một tiền năng phong phú để có thểphát triển t duy sáng tạo cho HS, điều quan trọng là GV phải có các biện phápdạy học thích hợp để khơi dậy đợc sự hứng thú của HS trong học tập, trên cơ sở

đó mới có thể khai thác đợc tiềm năng của chuyên đề bài tập cực trị hình học ởbậc THCS một cách có hiệu quả.

Chơng 2 biÖn ph¸p chñ yÕu båi dìng mét sè yÕu tè cña t duy S¸ng T¹o cho hS bËc THCS kh¸ vµ giái th«ng qua d¹y häc gi¶i to¸n

cùc trÞ h×nh häc

2.1 Một số định hớng để xây dựng biện pháp

Trong chơng trình toán bậc THCS nói chung đều có các bài toán cực trịhình học nhng các bài toán cực trị hình học chỉ xuất hiện nhiều ở lớp 8 và 9.Việc đa ra các bài toán cực trị hình học là ứng dụng của các nội dung kiến thức

đã đợc chú ý trong một số tài liệu tham khảo Tuy nhiên các bài toán cực trị hìnhhọc mang nội dung thực tiễn cha đợc chú ý đúng mức Hầu hết các bài toán đềuphát biểu dới dạng phát biểu trực tiếp với nội dung toán học

Nhìn chung lại, các bài toán cực trị hình học trong chơng trình toán bậcTHCS cần xây dựng và khai thác thành một tuyến xuyên suốt chơng trình SGKnhằm thực hiện bồi dỡng cho HS một số yếu tố về t duy sáng tạo Nhằm thựchiện những yêu cầu đó tác giả đa ra một số căn cứ để xây dựng các biện pháp sphạm nh sau:

2.1.1 Dựa vào định hớng đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay

Định hớng đổi mới phơng pháp dạy học hiện nay là “học tập trong hoạtđộng và bằng hoạt động” bao hàm một loạt ý tởng lớn đặc trng cho phơng pháphọc hiện đại đó là:

Xác lập vị trí chủ thể của ngời học, đảm bảo tính tự giác, tích cực, là chủthể chiếm lĩnh tri thức, rèn luyện kỹ năng, hình thành thái độ chứ không phải lànhân vật bị động hoàn toàn làm theo lệnh của thầy giáo Hoạt động tự giác, tíchcực của ngời học thể hiện ở chỗ HS học tập những hoạt động hớng đích và gợiđộng cơ để biến nhu cầu xã hội thành nhu cầu nội tại của chính bản thân mình.Dạy học dựa trên sự nghiên cứu tác động của những quan niệm và kiến thứcsẵn có của ngời học Xác định vai trò mới của ngời thầy bởi t cách là ngời thiết

kế, điều khiển, uỷ thác và thể chế hoá kiến thức

2.1.2 Bài toán cực trị hình học cần đợc xây dựng trên cơ sở thích hợp với nội dung kiến thức quy định trong chơng trình SGK hiện hành

Bài toán cực trị hình học đa ra phải đợc giải hoàn toàn bằng kiến thức trongchơng trình toán THCS, trớc hết là kiến thức chính của nội dung bài mục đa rabài toán đó Làm nh vậy bài toán cực trị hình học vẫn có thể đạt đợc mục đíchriêng và có thể góp phần củng cố, đào sâu kiến thức

Có thể khai thác các bài toán cực trị hình học để góp phần củng cố, đào sâutrực tiếp các kiến thức cụ thể trong chính bài mục mà bài tập này đã đợc đa ra.Chẳng hạn nh khi HS đợc học về bất đẳng thức trong tam giác, bài tập về cực trị

đa ra ở đây có tác dụng rèn luyện kỹ năng chứng minh nh các bài toán chứng

minh bất đẳng thức Ngoài ra còn giúp các em hiểu đúng hơn về bất đẳng thứctrong tam giác.

2.1.3 Hệ thống bài toán cực trị hình học đa ra trên cơ sở làm rõ mối quan hệ giữa toán học và thực tiễn, tăng cờng khả năng ứng dụng

Để làm đợc điều này một trong những công việc cần làm là tăng cờng cácbài toán cực trị hình học có phát triển trực tiếp mang các nội dung thựctiễn.Chẳng hạn nh các bài toán tìm vị trí để xây dựng cầu, tìm kích thớc của mộthình, tìm đờng đi v.v…

Giải những bài toán dạng nh vậy sẽ góp phần rèn luyện kỹ năng giải quyếtmột bài toán thực tiễn bằng toán học, qua đó tăng cờng rèn luyện tốt khả năngtìm tòi, vận dụng toán học vào cuộc sống

2.1.4 Bài toán cực trị hình học cần đợc xây dựng và khai thác trên cơ sở phù hợp với đối tợng HS, phù hợp với quỹ thời gian

Hầu hết các bài toán cực trị hình học không phải là các nội dung chính thứcđợc quy định trong chơng trình SGK, mà chỉ làm cho bài tập ứng dụng của mộtnội dung kiến thức nào đó Do đó nếu bài toán đa ra không phù hợp với trình độ,năng lực của HS, không phù hợp với quỹ thời gian sẽ gây quá tải Các bài toáncực trị hình học đợc xây dựng phải phù hợp với trình độ, năng lực của HS là điềunên làm Vì đối tợng cần thiết HS cần bồi dỡng ở đây là khá và giỏi nên các bàitập đa ra không nên chọn quá nhiều bài tập quá khó, hoặc quá dễ, hạn chế các bàitoán có lời giải tổng hợp, không mẫu mực Làm đợc nh vậy sẽ thúc đẩy đợc t duytheo từng bớc bậc thang một cách đúng mức, phù hợp với cơ sở tâm lý, năng lựccủa HS trong quá trình học

2.1.5 Dựa vào các thành tựu nghiên cứu về t duy sáng tạo của tâm lý học hiện đại và các ngành khoa học khác

Trong tâm lý học hiện đại và các ngành khoa học khác đã quan tâm nghiêncứu và đã chỉ rõ vai trò, vị trí, cơ sở khoa học của sự sáng tạo Đề cao vai trò sựsáng tạo của con ngời trong thời đại mới Do đó căn cứ này chỉ đạo GV trongquá trình dạy học theo định hớng phát triển t duy sáng tạo cho HS cần có căn cứvào những thành tựu mà các nhà khoa học đã nghiên cứu.

Trên cơ sở những thành tựu đó GV xây dựng nội dung dạy học giải bài tậpcực trị hình học và đề ra phơng pháp dạy học phù hợp có tác động đến việc bồidỡng một số yếu tố của t duy sáng tạo, dựa trên vốn trí thức đã có của các em vàphù hợp với lứa tuổi của HS

2.2 Các dạng bài tập cực trị hình học góp phần bồi dỡng một số yếu tố đặc trng của t duy sáng tạo.

a Bài tập có nhiều cách giải:

Cấu tạo: Bài tập có những đối tợng, những quan hệ có thể xem xét dớinhiều khía cạnh khác nhau

Tác dụng: Rèn luyện khả năng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạtđộng trí tuệ khác, rèn luyện khả năng nhìn một đối tợng toán học dới nhiều khíacạnh khác nhau Khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những phơng phápkhác

Ví dụ 3: Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại Avà B Một cát tuyếnchung bất kỳ CBD (B nằm giữa C và D) cắt các đờng tròn (O) và (O’) tại C và D.Xác định vị trí của cát tuyến CBD để tam giác ACD có chu vi lớn nhất ?

Phân tích tìm cách giải: Cho HS thấy (O) (O’) ={ A, B}  AmB = AnB(không đổi)  ACD có các góc không đổi nên chu vi tam giác lớn nhất khimột cạnh của nó lớn nhất Chẳng hạn là cạnh AC, mà AC là dây của (O) nên nólớn nhất  AC là đờng kính

n m

O' O

D D'

C

C'

B A

Hoặc có thể hớng dẫn HS nhìn bài toán ở khía cạnh ACD đồng dạng vớimột tam giác cố định, rồi lập tỉ số giữa chu vi hai tam giác với các cạnh củachúng từ đó suy ra vị trí cát tuyến CBD

Cách giải 1 ( Hình 6): Ta có số đo các góc của ACD không đổi  

ACD có chu vi lớn nhất khi một cạnh của nó, chẳng hạn là AC lớn nhất AC làdây của (O) nên AC lớn nhất khi AC là đờng kính của (O) Khi đó AD là đờngkính của (O’), cát tuyến CBD  C’BD’ và vuông góc với dây chung AB

Cách giải 2 ( Hình 6): Ta có ACD ~AOO’ (C=O,D = O ') 

'

ACD

AOO

P AO Do chu vi AOO’ và AO không đổi  chu vi ACD lớn nhất

 AC lớn nhất  AC là đờng kính của đờng tròn (O) Khi đó AD là đờng kínhcủa đờng tròn (O’), cát tuyến CBD  C’BD’ và vuông góc với dây chung AB

Nhận xét: Thông qua những bài toán dạng này rèn luyện cho HS những hoạt

động trí tuệ nhằm củng cố, vận dụng những kiến thức về đờng tròn vào giải bàitoán cực trị hình học

b, Bài tập có nội dung biến đổi:

Cấu tạo: Bài tập gồm 2 phần Phần thứ nhất là bài toán a, phần thứ hai là bàitoán a nhng có biến đổi một vài yếu tố của nó Do đó nội dung và cách giải củabài toán biến đổi hẳn đi (gọi là bài toán b)

Tác dụng: Rèn luyện khả chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trítuệ khác nhằm khắc phục tính ỳ của t duy

Ví dụ 4: Cho góc nhọn xOy và điểm A nằm trong góc đó Xác định điểm B

thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho OB = OC và AB + AC nhỏ nhất ?

Khai thác bài toán: Hớng dẫn HS biến đổi điều kiện của bài toán bằng cách

thay góc nhọn xOy bằng góc xOy và tìm điểm B thuộc Ox và điểm C thuộc Oysao cho chu vi ABC nhỏ nhất Ta lại có bài toán tơng tự sau:

Bài toán 1: Cho góc xOy và điểm A nằm trong đó Xác định vị trí điểm B

thuộc tia Ox, điểm C thuộc tia Oy sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất ?Nếu hớng dẫn HS thay đổi điều kiện của bài toán 1 để nó trở thành bài toán

mà ta có thể áp dụng ngay đợc phơng pháp giải của bài toán trên và ta có bàitoán tơng tự sau:

Bài toán 2: Cho tam giác nhọn ABC Tìm các điểm M  BC, N  AC, P

AB sao choMNP có chu vi nhỏ nhất ?

Nếu tiếp tục thay đổi điều kiện của bài toán 2 bằng cách thay tam giác nhọnbằng hình chữ nhật để nó trở thành bài toán có thể áp dụng ngay đợc phơng phápgiải của bài toán trên và ta lại có bài toán tơng tự nh sau:

Bài toán 3: Cho hình chữ nhật ABCD và điểm E thuộc cạnh AD Xác định

vị trí các điểm F thuộc cạnh AB, G thuộc cạnh BC, H thuộc cạnh CD sao cho tứgiác EFGH có chu vi nhỏ nhất ?

c Bài tập thuận nghịch:

Cấu tạo: Bài tập dạng này gồm một cặp bài có nội dung ngợc nhau (cái phảitìm của bài này trở thành cái đã cho của bài kia và ngợc lại)