Các Bài Giảng Về Tổ Hợp_công thức khai triển Nhị thức Newton

Hơn nữa, ta thấy trong tam giác này, các phần tử nằm trên cột thứ nhất và trên cạch huyền bằng 1.. Từ các nhận xét trên, ta có cách xác định nhanh các phần tử trong tam giác Pa-xcan...

Trang 1

THS PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 – WEBSITE: violet.vn/phphong84

1

Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn

PHẦN 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Công thức khai triển nhị thức Niu-tơn

n

k n k k n

k

n 0



2 Tam giác Pa-xcan

Từ công thức ta thấy C k n là hệ số của a n k k  b trong khai triển a  bn Như vậy, với mỗi n   cố định thì hệ số của các lũy thừa trong khai triển là C 0 n, C 1 n, …, C n n Ta xếp các hệ số của các lũy thừa vào một bảng sao cho

+) dòng n là các hệ số của các lũy thừa trong khai triển a  bn,

+) cột k là hệ số của lũy thừa a n k k  b ,

ta được một tam giác Tam giác này được gọi là tam giác Pascal

0 0

C



Theo công thức Pa-xcan, ta nhận thấy trong tam giác Pa-xcan tổng hai phần tử liên tiếp ở hàng trên bằng phần tử cùng cột với phần tử thứ hai ở hàng dưới (C k n  C k 1 n   C k 1 n 1   ) Hơn nữa, ta thấy trong tam giác này, các phần tử nằm trên cột thứ nhất và trên cạch huyền bằng 1 Từ các

nhận xét trên, ta có cách xác định nhanh các phần tử trong tam giác Pa-xcan

Trang 2

Ví dụ Xét khai triển a  b5 Viết 6 dòng đầu tiên của tam giác Pa-xcan, ta có

1

1 1

1 5 10 10 5 1

a  b  a  5a b 10a b   10a b  5ab  a

Trang 3

3

PHẦN 2 CÁC LOẠI BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH

Loại 1 Các đẳng thức suy ra trực tiếp từ công thức khai triển nhị thức Niu-tơn

A Một số ví dụ

Ví dụ 1 Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau

1) S 1  C 0 n  C 1 n  C n 2  C  n n,

S  C  C  C    1 C

Giải

n

k 0 k 0

n

Nhận xét: Kết quả ở câu 1) nhận được từ công thức khai triển nhị thức Niu-tơn khi cho

a  b  1 Kết quả ở câu 2) nhận được khi cho a  1, b   1

Ví dụ 2 Rút gọn

S 0!2012! 1!2011! k ! n k ! 2012!0!



Giải

Ta có

2012

k 0

1 S

k ! 2012 k !





 2012!S

2012

k 0

2012!

k ! 2012 k !







2012 k n

k 0

C



2012

k 2012 k k n

k 0



Trang 4



2012

2 S

2012!

Ví dụ 3 Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn các biểu thức sau:

S  C  C  C  C  , S 2  C 1 2n  C 3 2n  C 5 2n  C  2n 1 2n 

Giải

2n

Từ  1 ,  2 suy ra 1 2 2 2n 2n 1

2

S  S   2 

Ví dụ 4 Với n là số nguyên dương, hãy rút gọn biểu thức

S  C  C  C  C 

Giải

Áp dụng công thức C k n  C n k n  ta có

S  C  C   C   C   C  C   C   C 

2n

 2 2n 2n 1

2

S   2 

S  C  2C  2 C    1 2 C

Giải

n

Trang 5

5

2) n k 1 n k k 1   n  5 n  n 5 n

k 0



Trang 6

B Bài tập

Bài 1 Giải phương trình C x 1 x   C x 2 x   C x 3 x     C x 8 x   C x 9 x   C x 10 x   1023

Bài 2 Tính

 k

Bài 3 Chứng minh

2004

0 2 2 4 4 2002 2002 2004 2004

2004 2004 2004 2004 2004

2



Bài 4 Tìm số nguyên dương n sao cho C 1 2n  C 3 2n  C 5 2n    C 2n 1 2n   2048

Bài 5 Rút gọn

1) S  2 C n 0 n  2 n 2  C n 2  2 n 4  C 4 n    C n n (n là số nguyên dương chẵn)

2) S  2 n 1  C n 1  2 n 3  C n 3  2 n 3  C 5 n    C n n (n là số nguyên dương lẻ)

Trang 7

7

Loại 2 Các đẳng thức thu được nhờ biến đổi số hạng tổng quát

A Nội dung phương pháp

Ta đặc biệt quan tâm đến một số biến đổi sau đây

*

n 1 !

n k ! n k ! k 1 ! n 1 k 1 ! n 1

        

Tương tự ta cũng có k k  1 C k n  n n 1 C   k 2 n 2   , …

*

k 1

k 1 k 1 k ! n k ! n 1 k 1 ! n 1 k 1 ! n 1



Tương tự ta cũng có

k 2

k 1 k 2 n 1 n 2



B Một số ví dụ



Giải

1) n  2  k k

k 0





Với mọi k  0, 1 , 2 , …, n , ta có

n 1 !

k 1 C k 1 k ! n k ! n 1 k 1 ! n 1  k 1 ! n 1 C  

 S 1   

n

k k 1 1

n 1

k 0

2 C  









n 1

h 1 h 1

n 1

h 1











 (h  k  ) 1

n 1

h h 1

n 1

h 1





n 1

h

h n 1 h 1

n 1

h 0



 







Trang 8

 1  2  n 1 1

n 1



    





  1 n 1

n 1

 



Vậy  1 n 1

1 n 1



2) n   1 k k k 1   k

3

k 2





Với mọi k  , 2 3, 4 , …, n ta có:

   n 2 !     

Trang 9

9

C Bài tập

Bài 6 Tính

1) S  C 0 2010 C 2009 2010  C 1 2010 C 2008 2009    C k 2010 C 2009 k 2010 k      C 2009 2010 1 C 0

2) [ĐHB2003] 0 n 2 2 1 1 n 2 2 1 2 n 2 2 1 n n



Bài 7 Với n là số nguyên dương, rút gọn

S  C  2C    n 1 C    nC

2) S  C n 0  2C n 1    nC n 1 n  n 1 C   n n

3) S  2.1C 2 n  3.2C 3 n    n n 1   1n C n n

4) S  3.2C n 0  4 3C n 1  n  3n  2 C n n

5)

n



6)

n 0 n 1 n n 2 n n

n

 Bài 8 Chứng minh

1) C 0 2002 C 2001 2002  C 1 2002 C 2000 2001    C k 2002 C 2001 k 2002 k      C 2001 2002 1 C 0  1001.2 2002

2) C 3 1 n 1 n   2C 3 n 2 n 2   3C 3 3 n 3 n     nC n n  n4 n 1  (n nguyên dương)

3) C 2n 0  2C 2n 1  3 C 2n 2  4 C 2n 3  2n  1C 2n 2n  0 (n nguyên dương)

4) [ĐHA07]

2n 2n 2n 2n

 (n nguyên dương)

5)

 

  (n nguyên dương)

Bài 9 [ĐHA05] Tìm số nguyên dương n sao cho

C   2.2C   3.2 C   4.2 C    2n 1 2  C    2005 ĐS: 1002

Trang 10

Loại 3 Các bài tốn về hệ số của lũy thừa trong khai triển

A Một số ví dụ

Ví dụ 1 [ĐHD04] Tìm số hạng khơng chứa x trong khai triển

7

3 1

4 x

x



  , với x  0 Giải

Áp dụng cơng thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta cĩ

 



 hệ số của

28 7k 12

x



trong khai triển là C k 7

Ta cĩ 28 7k

12   0  k  4  số hạng khơng chứa x trong khai triển là C 4 7  35

Ví dụ 2 [ĐHA12] Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5C n 1 n   C 3 n Tìm số hạng chứa x 5

trong khai triển nhị thức Niu-tơn của

n 2

nx 1

14 x



  , x  0

Giải

* Ta cĩ 5C n 1 n   C 3 n

 n n 1 n 2  

6

 n 1 n 2 

6

5    (do n nguyên dương)

 n 2  3n  28  0

thỏa mãn loại

n 7

 



 



* n  7  x 2 1 7 7 k x 2 k 1 7 k 7  1 7 k C 7 k 3k 7

7



 hệ số của x 3k 7  trong khai triển là  1 7 k C k 7

k



Ta 3k  7  5  k  4  hệ số của x trong khai triển là 5  1 3 4 C 7 35

4 16 2



 

Trang 11

11

Tìm số hạng chứa x trong khai triển là 5 35 5

16 x

Ví dụ 3 [ĐHD07] Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của 5

P  x 1 2x   x 1  3x

Giải

Hệ số của x trong khai triển thành đa thức của 5 P là tổng các hệ số của x trong các khai triển 5

1

P  x 1 2x  và P 2  x 21  3x10

Hệ số của x trong khai triển 5 P là hệ số của 1 x trong khai triển 4 1 2x  5

Hệ số của x trong khai triển 5 P là hệ số của 2 x trong khai triển 3 1 3x  10

Áp dung công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có :

 hệ số của x trong khai triển này là 4  24 C 4 5  80  1

 10 10 k 5 k k 10  k k k

 hệ số của x trong khai triển này là 3 3 C 3 10 3  3240  1

Từ  1 ,  2 suy ra hệ số của x trong khai triển 5 P là 80  3240  3320

Ví dụ 4 [ĐHA04] Tìm hệ số của x trong khai triển thành đa thức của 8  1 x  21 x   8

Trang 12

Giải

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn ta có

k 0

Trong khai triển P k  x 2k1 x  k lũy thừa bậc thấp nhất và bậc cao nhất lần lượt là x 2k và

3k

x Do đó muốn trong khai triển P có chứa k x thì 8 2k  8  3k  8

3  k  4  k 3;4

3

P  x 1 x   x 1 3x   3x  x  x  3x  3x  x

 hệ số của x trong khai triển 8 P là 3 3

P  x 1 x   x 1 4x   6x  4x  x  x  4x  6x  4x  x

 hệ số của x trong khai triển 8 P là 1 4

Vậy hệ số của x trong khai triển ban đầu là 8 3C 3 8  C 4 8  238

Ví dụ 5 Tìm lũy thừa có hệ số lớn nhất của đa thức 3x  29

Giải

 hệ số của x trong khai triển là k a k  3 2 k 9 k  C k 9 (k  0,1, , 9)

Với mọi k  0,1, , 8, xét tỷ số ak 1

ak

T  

Ta có

k 1 8 k k 1

3 2 C 9 3 9! k ! 9 k ! 3 9 k

k 9 k k 2 k 1 ! 8 k ! 9! 2 k 1

3 2 C

9

T  1   

3 9 k

2 k 1  1

   k  5  k 0;1;2;3;4;5, dấu bằng xảy ra  k  5

Từ đó suy ra: a 0  a 1  a 2  a 3  a 4  a 5  a 6  a 7  a 8  a 9

Vậy các lũy thừa số hệ số lớn nhất trong khai triển là x và 5 x 6

Ví dụ 6 Tìm n để đa thức x  2n chỉ có một lũy thừa hệ có hệ số lớn nhất là x 10

Trang 13

13

 n n  k k n k n  n k k k

 hệ số của x trong khai triển là k a k  2 n k  C k n (k  0,1, ,n)

Với mọi k  0,1, , n 1  , xét tỷ số ak 1

k ak

T  

Ta có

   

 

n k 1 k 1 k ! n k !

k n k k 2 k 1 ! n k 1 ! n! 2 k 1

2 Cn



Lũy thừa có hệ số cao nhất là x 10 nên

9 10 11

a  a  a 

a10 a9 a11 a10

1







 9

10













n 9 20

n 10 22

1 1











 n 29

n 32











 n 30

n 31











Thử lại ta thấy cả hai giá trị tìm được của n đều thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trang 14

B Bài tập

Bài 1 [CĐAB08] Tìm số hạng không chứa x trong khai triển

18 5

1 2x x



, với x  0

Bài 2 [ĐHB07] Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong đa thức 2  xn, biết

 n

n 0 n 1 1 n 2

3 C  3  C  3  C     1 C  2048

Bài 3 [ĐHA03] Tìm hệ số của số hạng chứa x trong khai triển 8

n 5 3

1 x x



biết rằng

n 1 n

n 4 n 3

C    C   7 n  3

Bài 4 [ĐHA06] Tìm hệ số của số hạng chứa x 26 trong khai triển

n 7 4

1 x x



, biết rằng

2n 1 2n 1 2n 1

C   C     C   2  1

Bài 5 Tìm hệ số của x 15 trong đa thức 1  x 2 1 x  2  3 1  x3   20 1  x20

1  2x  a  a x  a x   a x Biết rằng

12

     Tìm số lớn nhất trong các số a , 0 a , 1 a , , 2 a n

Bài 7 [ĐHD03] Gọi a 3n 3  là hệ số của x 3n 3  trong khai triển thành đa thức của

x 2  1nx  2n Tìm n để a 3n 3   26n

Bài 8 Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong đa thức 1  xn có hai lũy thừa liên tiếp

có tỷ số các hệ số bằng 7

5

Bài 9 Khai triển biểu thức 1 2x  n ta được đa thức có dạng a 0  a x 1  a x 2 2    a x n n Tìm

Trang 15

15

C Đáp số

Bài 1 6528. Bài 2 22. Bài 3 495.

Bài 4 210. Bài 5 400995. Bài 6 a 8.

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	187,55 KB