Phương trình bậc 2-Hệ thức viét

CHỦ ĐỀ 7: Phương trình bậc hai – định lý vi étI.. MỤC TIÊU: • HS nắm vững các dạng toán về phương trình bậc hai: dấu của các nghiệm; mối quan hệ giữa các nghiệm • Rèn luyện kỷ năng giải

CHỦ ĐỀ 7: Phương trình bậc hai – định lý vi ét

I MỤC TIÊU:

• HS nắm vững các dạng toán về phương trình bậc hai: dấu của các nghiệm; mối quan hệ giữa các nghiệm

• Rèn luyện kỷ năng giải các bài toán có tham số m và các điều kiện của nghiệm;

• Biết cách chứng minh một phương trình bậc hai luôn luôn có nghiệm và biết tìm các hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m

II NỘI DUNG:

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT CƠ BẢN

1 Phương trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0

 ∆ = b2 – 4ac > 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -b +

2a

∆ ;

x2 = -b -

2a

∆

 ∆ = b2 – 4ac = 0 ⇒ phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = b

2a

−

 ∆ = b2 – 4ac < 0 ⇒ phương trình vô nghiệm

2 Định lý Vi ét:

 Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm x1; x2 thì tổng và tích các nghiệm đó là: S = x1 + x2 = -ba ; P = x1.x2 = ca

 Nếu có hai số x1; x2 có S = x1 + x2 và P = x1.x2 thì hai số đó là nghiệm của phương trình:

x2 – Sx + P = 0

3 Chứng minh một phương trình bậc hai luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m

• Lập ∆

• Biến đổi ∆ về dạng: ∆ = A2 ≥ 0 với mọi m

hoặc ∆ = A2 + k > 0 với mọi m

Ví dụ:

Cho phương trình: x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0

Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

Hướng dẫn:

∆’ = (m – 1)2 – m + 3

= m2 – 3m + 4

= (m – 23 )2 + 47 > 0 với mọi giá trị của m Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

4 Tìm m để phương trình có nghiệm thoả mãn một hệ thức nào đó:

• Lập ∆

• Phương trình có nghiệm khi ∆ ≥ 0 Từ đó suy ra điều kiện của m

• Áp dụng định lý Vi ét tính S = x1 + x2 ; P = x1.x2

• Biến đổi đề bài thành một dãy các phép tính có chứa tổng và tích

• Thay S và P vào suy ra giá trị của m

• Đối chiếu điều kiện và kết luận

Ví dụ:

Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 với m là tham số:

Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức: xx xx 25 0

1

2 2

Hướng dẫn:

Δ ’ = m2 – (m – 1)(m + 1) = 1 > 0 Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m≠

1

Áp dụng định lý Viét ta có: x1.x2 = mm 11

−

+ = 5 ⇒m =

2 3

⇒ x1 + x2 =

1 m

m 2

− = 6

0 2

5 x

x

x

x

1

2 2

1 + + = ⇔2(x12 + x22) + 5x1x2 = 0

⇔2[(x1 + x2)2 – 2x1x2] + 5x1x2 = 0

⇔2(x1 + x2)2 + x1x2 = 0

⇔2

1 m 1 m

m

4

2

2

−

+ +

⇔9m2 = 1

⇔m =

3

1

±

5 Tìm một hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m

• Khử m từ S và P ta sẽ được hệ thức cần tìm

Ví dụ:

Cho phương trình x2 + (m + 1)x + 5 – m = 0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Với m tìm được ở câu a, hãy viết một hệ thức giữa x1 và x2 độc lập đối với m

Hướng dẫn:

a) Ta có: ∆ = (m + 1)2 – 4(5 – m) = m2 + 6m – 19

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi ∆ = m2 + 6m – 19 > 0 Ta xét dấu ∆

m –3 – 2 7 –3 + 2 7

Vậy khi m < –3 – 2 7 hoặc m > –3 + 2 7 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Ta có: x1 + x2 = –m – 1 (1) ; x1 x2 = 5 – m (2)

Thay vào (1): x1 + x2 = x1 .x2 – 6

Vậy hệ thức cần tìm là x1 + x2 – x1.x2 + 6 = 0

6 Một số hệ thức khác:

Phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠0) có:

 Hai nghiệm trái dấu ⇔ P < 0

 Hai nghiệm đều dương ⇔

0

S > 0

P > 0

∆ ≥









 Hai nghiệm đều âm ⇔

0

S < 0

P > 0

∆ ≥









Ví dụ:

Cho phương trình ẩn x: (m – 1)x2 + 2(m + 1)x + m + 2 = 0

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương

b) Tìm m để phương trình có đúng một nghiệm dương

Hướng dẫn:

a) Phương trình có hai nghiệm dương khi: ( )

m - 1 0 ' = m + 3 0

2 m + 1

S = - > 0

m - 1

m + 2

P = > 0

m - 1

≠

















⇔

m 1

m -3 -1 < m < 1

m < -2 hay m > 1

≠



 ≥









⇔m ∈∅

b) Phương trình có đúng một nghiệm dương khi xảy ra một trong các trường hợp sau:

• Có nghiệm kép dương: ⇔

0 -b m + 1

x = = - > 0 2a m - 1

∆ =









⇔

m = -3

m + 1

- > 0

m - 1







 ⇔không có giá trị của m

• Có một nghiệm bằng 0; một nghiệm dương ⇔x = 0 suy ra m = -2 Lúc đó nghiệm thứ hai

là x = - 23 không thoả mãn

• Có hai nghiệm trái dấu ⇔ (m – 1)(m + 2) < 0

⇔ -2 < m < 1

B LUYỆN TẬP:

Bài 1:

Cho phương trình x

2

– (2m – 3)x + m

2

– 3m = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 1 < x1 < x2 < 6

c) Xác định m để x

12

+ x

22

đạt giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn:

a) Ta có Δ = (2m – 3)2 – 4(m2 – 3m) = 9 > 0

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

b) x1 = m – 3; x2 = m ⇒ 1 < x1 < x2 < 6 ⇔1 < m – 3 < m < 6 ⇔4 < m < 6

c) x12 + x22 = (m – 3)2 + m2 = 2m2 – 6m + 9 = 2( m2 – 3m + 29) = 2(m – 23 )2 + 29 ≥

2 9

Vậy giá trị nhỏ nhất của x12 + x22 là 29khi m = 23

Bài 2:

Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 với m là tham số:

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m ≠1

b) Xác định giá trị của m để phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy

tính tổng hai nghiệm của phương trình

c) Tìm một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc m

d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn hệ thức: xx xx 25 0

1

2 2

Hướng dẫn:

a) Δ ’ = m2 – (m – 1)(m + 1) = 1 > 0 Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m≠

1

b) Áp dụng định lý Viét ta có: x1.x2 = mm−+11 = 5 ⇒m = 23

⇒ x1 + x2 =

1 m

m 2

− = 6

a) x1 + x2 = m2m1

− = m 1

m 2

− – 1 + 1 =

2m-(m-1)+1=m+1+1=

m-1 m-1 x1.x2 + 1 Vậy hệ thức cần tìm là: x1.x2 – (x1 + x2) + 1 = 0

d) xx xx 25 0

1

2 2

1 + + = ⇔2(x1 + x2) + 5x1x2 = 0

⇔2(x1 + x2)2 + x1x2 = 0

⇔2

1 m 1 m

m 4

2

2

−

+ +

⇔9m2 = 1

⇔m =

3

1

±

Bài 3:

Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 5 = 0

a) Định m để phương trình có nghiệm

b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình Tính x12 + x22 theo m

c) Tìm m sao cho x12 + x22 = 12

Hướng dẫn:

a) Ta có ∆’ = (m + 1) 2 – m2 + 4m – 5

= 6m – 4 Phương trình có nghiệm khi ∆’ ≥ 0 ⇔m ≥ 2

3 b) Aùp dụng hệ thức Viet ta có S = x1 + x2 = 2(m + 1)

P = x1 x2 = m2 – 4m + 5

x12 + x22 = (x1 + x2 )2 – 2x1x2 = 12

4(m + 1)2 – 2m2 + 8m – 10 = 12

2m2 + 16m – 6 = 12

m2 + 8m – 9 = 0

m1 = 1; m2 = -9 (loại)

Bài 4:

Cho phương trình x2 + 2 mx – m2 + m – 1 = 0

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m Xác định

dấu của các nghiệm

b) Gọi x1; x2 là các nghiệm của phương trình Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị

nhỏ nhất

Hướng dẫn:

a) Vì phương trình có hệ số a = 1 > 0 và c = – m2 + m – 1 = -(m - 12)2 - 34 < 0 nên ac < 0 với mọi

m Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu

b) Aùp dụng hệ thức Viet ta có: S = x1 + x2 = - 2 m; P = x1.x2 = – m2 + m – 1

x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1.x2 = 2m2 + 2m2 – 2m + 2

= 4m2 – 2m + 2

= (m - 12 )2 + 47 ≥ 7

4 với mọi m

Vậy giá trị nhỏ nhất của x12 + x22 là 47 khi m = 12

Bài 5:

Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 – 2x – m2 – 4 = 0

a) Chứng tỏ phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho Tìm m để x12 + x22 = 20

c) Giải phương trình khi m = -2

Hướng dẫn:

a) Ta có: ∆’ = 1 + m2 + 4 = m2 + 5 > 0 ∀m Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : S = x1 + x2 = 2; P = x1.x2 = – m2 – 4

mà x1 + x2 = 20 hay (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 20

4 + 2m2 + 8 = 20

2m2 = 8

m2 = 4

m = ±2 c) Khi m = -2 ta có phương trình: x2 – 2x – 8 = 0 Giải phương trình này ta được hai nghiệm x1 = 4; x2 = -2

Bài 6:

Cho phương trình 2x2 – 5x + 1 = 0

Tính x x1 2 +x x2 1 (x1; x2 là hai nghiệm của phương trình)

Hướng dẫn:

Ta có: ∆ = 25 – 8 = 17 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng định lý Viét : S = x1 + x2 = 25 > 0; P = x1 x2 = 21> 0 ⇒hai nghiệm của phương trình

đều là nghiệm dương

2

1 2 2

5

2 1 2 2

1

2 2

1 + = + + = + = +

x x x x

x x

⇒

2

2 2

5

2

1 + x = +

x

A =x x1 2 +x x2 1 = x1x2( x1 + x2)

=

2

2 2

5 2

1⋅ +

= 21⋅ 5+2 2

Bài 7:

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau

Hướng dẫn:

a) ∆’ = (m – 1)2 – m + 3

= m2 – 3m + 4

= (m – 23 )2 + 47 > 0 với mọi giá trị của m Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt b) Áp dụng định lý Viét ta có: x1 + x2 = 2(m – 1) ; x1.x2 = m – 3

Phương trình có hai nghiệm đối nhau khi x1 + x2 = 2(m – 1) = 0

m = 1

Bài 8:

Cho hai phương trình: x2 – (2m + n)x – 3m = 0 (1)

x2 – (m + 3n)x – 6 = 0 (2) Tìm m và n để hai phương trình tương đương

Hướng dẫn:

Xét hai phương trình: x2 – (2m + n)x – 3m = 0 (1)

x2 – (m + 3n)x – 6 = 0 (2)

Ta có: ∆1 = (2m + n)2 + 12m; ∆2 = (m + 3n)2 + 24 > 0 với mọi m; n ⇒phương trình (2) luôn luôn có 2

nghiệm phân biệt Do đó để hai phương trình tương đương thì (1) cũng phải có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng định lý Viét ta có:







=

+

=

-3m P

n 2m S

1

1

và 2

2

S m 3n

P 6

= +





(1) ⇔(2) nên P1 = P2 và S1 = S2 ⇔







+

= +

=

3n m n 2m

6 3m

-⇔







=

=

-1 n

-2 m

Bài 9:

Cho phương trình x2 + mx + n – 3 = 0 (1)

a) với n = 0 Hãy chứng minh phương trình luôn luôn có nghiệm

b) Tìm m; n sao cho







=

−

=

−

7 x x

1 x

x

2 2

2 1

2 1

với x1; x2 là các nghiệm của (1)

Hướng dẫn:

a) Phương trình x2 + mx – 3 = 0 có ∆ = m2 + 12 > 0 với mọi m

b) Aùp dụng định lý Viét ta có: x1 + x2 = -m; x1.x2 = n - 3

x12 – x22 = (x1 + x2)(x1 – x2) = 7 ⇒m = -7 và x1 = 4; x2 = 3 ⇒n = 15

Bài 10:

Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

c) Tìm một hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m

Hướng dẫn:

a) Khi m = 2 ta có phương trình: x2 – 2x – 1 = 0 Giải phương trình ta được:

x1 = 1 + 2 ; x2 = 1 – 2 b) Ta có: ∆’ = (m – 1)2 – m + 3

= m2 – 3m + 4

= (m – 32)2 + 74 ≥ 7

4 > 0 với mọi m Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

c) Áp dụng hệ thức Viet ta có: S = x1 + x2 = 2m – 2

P = x1 x2 = -m + 3

⇒S + 2P = 4

Vậy hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào m là: x1 + x2 + 2 x1 x2 = 4

Bài 11:

Cho phương trình x2 – 10x – m2 = 0 (1)

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi giá trị m ≠0

b) Chứng minh rằng nghiệm của phương trình (1) là nghịch đảo của các nghiệm của

phương trình: m2x2 + 10x – 1 = 0 (2) với m ≠0

c) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có nghiệm thoả mãn điều kiện

6x1 + 5x2 = 5

Hướng dẫn:

a) Vì a = 1 > 0; c = -m2 < 0 ⇒ac < 0 nên phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m khác 0

b) Gọi a là nghiệm của phương trình (1) ta có: a2 – 10a – m2 = 0

Vì a khác 0 nên chia cả hai vế cho a2 ta được: 1 – 10 – m2

2

1

a = 0 Hay: m2 12

a + 10 - 1 = 0

⇒ là nghiệm của phương trình m2x2 + 10x – 1 = 0

Vậy nghiệm của phương trình (1) là nghịch đảo của các nghiệm của phương trình:

m2x2 + 10x – 1 = 0 (2) với m ≠0

c) Aùp dụng hệ thức Viet ta có: S = x1 + x2 = 10; P = x1 x2 = -m2

Kết hợp với giả thiết 6x1 + 5x2 = 5 ta được x1 = - 45 ; x2 = 55 ⇒ x1 x2 = -m2 = -2475

⇒ m = ± 2475

Bài 12:

Cho ba số a; b; c thoả mãn a > b > c > 0 và a + b + c = 12 Chứng minh rằng

trong 3 phương trình sau: x2 + ax + b = 0 (1)

x2 + bx + c = 0 (2)

x2 + cx + a = 0 (3) có một phương trình có nghiệm, một phương trình vô nghiệm

Hướng dẫn:

Từ a > b > c > 0 và a + b + c = 12 ⇒3a > a + b + c = 12 > 3c ⇒ a > 4 > c

Δ 1 = a2 – 4b > 4a – 4b = 4(a – b) > 0 ⇒phương trình x2 + ax + b = 0 có nghiệm

Δ 2 = c2 – 4a < 4c – 4a = 4(c – a) < 0 ⇒phương trình x2 + cx + a = 0 vô nghiệm

Bài 13:

Xác định m để hai phương trình :

x2 – mx + 2m + 1 = 0

mx2 – (2m + 1)x – 1 = 0 có nghiệm chung

Hướng dẫn:

Gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình ta có:

( )

2

0 0 2

x mx 2m m 0 (1)

mx 2m 1 x 1 0 (2)







Từ (2) suy ra x0 ≠0 Nhân cả hai vế của (1) với x0 rồi cộng với (2) ta được: x03 = 1

⇒ x0 = 1

Thay x0 = 1 vào hệ phương trình ta được: − − = m 2 0m 2 0+ = ⇒ = −m 2

Vậy với m = -2 thì hai phương trình có nghiệm chung

Bài 14:

Cho hai số a và b khác 0 thoả mãn:

2

1

= +

b

1 a

1

Chứng minh phương trình ẩn x sau luôn có nghiệm (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0

Hướng dẫn:

Xét phương trình (x2 + ax + b) = 0 (1) có ∆1 = a2 – 4b

Xét phương trình (x2 + bx + a) = 0 (2) có ∆2 = b2 – 4a

∆1+ ∆2 = a2 + b2 – 4(a + b)

mà

2

1

= +

b

1 a

2(a + b) = ab

⇒ ∆1+ ∆2 = a2 + b2 – 4(a + b) = a2 + b2 – 2ab = (a – b)2 ≥0

⇒Có ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm.

Do đó phương trình (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0 luôn luôn có nghiệm