ĐỀ CƯƠNG BÀI GIẢNG HỌC PHẦN PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN.

MỤC TIÊU - Sinh viên hiểu ñược các khái niệm cơ bản, ñịnh nghĩa về phương trình vi phân, cách giải một số dạng phương trình vi phân thường cấp 1.. Giải phương trình vi phân dạng 1.5 về

CHƯƠNG 1 Phương trình vi phân cấp 1

Số tiết: 12 (lý thuyết: 09 tiết; bài tập: 03 tiết)

A MỤC TIÊU

- Sinh viên hiểu ñược các khái niệm cơ bản, ñịnh nghĩa về phương trình vi phân, cách giải một

số dạng phương trình vi phân thường cấp 1

- Sinh viên vận dụng thành thạo lý thuyết vào giải các bài tập tìm nghiệm, tìm nghiệm riêng, nghiệm kì dị của phương trình vi phân, tìm quỹ ñạo trực giao của họ ñường cong

- Sinh viên hiểu rõ vai trò của môn phương trình vi phân ñối với các môn học khác, tích cực, chủ ñộng tham gia các hoạt ñộng của môn học, có phương pháp học tập tích cực sáng tạo

B NỘI DUNG

1.1 Mở ñầu

Trong rất nhiều lĩnh vực ứng dụng, chuyển ñộng của một hệ ñược mô hình hoá bởi các phương trình vi phân, tức là phương trình có chứa các ñạo hàm của ẩn hàm cần tìm Chẳng hạn, trong cơ học cổ ñiển (ñịnh luật Newton), trong thiên văn học (sự chuyển ñộng của các hành tinh), trong hoá học (các phản ứng hoá học), trong sinh học (sự phát triển của dân số), trong ñiện tử Trong hầu hết các lĩnh vực như thế, bài toán chung nhất là mô tả nghiệm của các phương trình này (cả về ñịnh tính lẫn ñịnh

lượng)

1.1.1 Vài mô hình ñơn giản

Sự rơi tự do: Xét một vật có khối lượng m ñược thả rơi tự do trong khí quyển gần

mặt ñất Theo ñịnh luật II Newton, chuyển ñộng của vật ñó có thể mô tả bởi phương trình F = ma (1.1) trong ñó F là hợp lực tác ñộng lên vật và a là gia tốc chuyển ñộng Hợp lực F có thể giả thiết chỉ bao gồm lực hấp dẫn (tỷ lệ với khối lượng của vật và hướng xuống) và lực cản (tỷ lệ với vận tốc chuyển ñộng và hướng lên trên) Ngoài ra, do gia tốc chuyển ñộng a dv

dt

=

nên (1.1) có thể viết dưới dạng m dv mg v

dt = −γ (1.2) trong ñó g≈9,8 /m s2 là gia tốc trọng trường, còn γ là hệ số cản

Vậy vận tốc v của vật rơi tự do thỏa mãn phương trình (1.2) với sự xuất hiện của ñạo hàm

của v Những phương trình như vậy ta sẽ gọi là phương trình vi phân

Dung dịch hóa học: Giả sử tại thời ñiểm ban ñầu t = t0 một thùng chứa x0 kg muối hòa tan trong 1000 lít nước Ta cho chảy vào thùng một loại nước muối nồng ñộ a (kg/lít) với lưu lượng r (lít/phút) và khuấy ñều ðồng thời, cho hỗn hợp ñó chảy ra khỏi thùng cũng với tốc ñộ như trên Gọi x = x(t) là lượng muối trong thùng tại thời ñiểm bất kỳ Rõ ràng tỉ lệ thay ñổi lượng

với dữ kiện ban ñầu x t( )0 =x0

thực y = y(x) xác ñịnh trên khoảng mở I ⊂ ℝ , khi ñó hàm F trong ñẳng thức trên xác ñịnh trong một tập mở G của ℝ x ℝn+ 1 Trong trường hợp ẩn hàm cần tìm là vec tơ hàm (hàm giá trị vec tơ)

y = f x y với f liên tục trong một miền D⊂ ℝ 2

Ví dụ 1.1 Các phương trình ysin 'cos 1; '' 92 4 0; '''3 x

φ → ℝ (với I = (a,b) là khoảng nào ñó của

ℝ) là nghiệm của phương trình (1.4) nếu nó có các ñạo hàm liên tục ñến cấp n trên I và thỏa mãn ( , ( ), '( ), ''( ), , ( )n ( )) 0

1.1.3 Ý nghĩa hình học của phương trình vi phân

Xét phương trình (1.5) với ( , )f x y liên tục trên miền mở ℝ2 Tại mỗi ñiểm M(x,y) thuộc miền này, ta gán cho nó một hướng với hệ số góc là k dy f x y( , )

dx

= = (1.7) Khi ñó ta thu ñược một trường các hướng xác ñịnh bởi (1.7), và dĩ nhiên hướng của tiếp tuyến của ñường cong tại mỗi ñiểm trùng với hướng của trường tại ñiểm ñó Giải phương trình vi phân dạng (1.5) về mặt hình học là tìm tất cả các ñường cong sao cho tại mỗi ñiểm của nó hướng của tiếp tuyến trùng với hướng của trường Hình 1.1 cho ta trường hướng của phương trình y' y

x

= −

Ngược lại cho trước họ ñường cong ( , , ) 0ϕ x y C = (1.8) phụ thuộc vào tham số C sao cho qua mỗi ñiểm chỉ có duy nhất một ñường cong của họ ñi qua Ta

sẽ lập phương trình vi phân nhận họ ñường cong này làm nghiệm tổng quát như sau ðạo hàm hai vế của phương trình trên theo x, ta ñược

và ñây là phương trình vi phân cần tìm

Ví dụ 1.3 Tìm phương trình vi phân của họ ñường cong sau: 2

y=Cx

ðạo hàm 2 vế theo x ta ñược ' 2y = Cx Khử C ta thu ñược phương trình vi phân y' 2y

x

=

1.2 ðịnh lý tồn tại và duy nhất nghiệm

1.2.1 Bài toán Cauchy

Ta nhận xét rằng nghiệm của một phương trình vi phân nói chung phụ thuộc vào một hay nhiều hằng số tuỳ ý nào ñó ðể xác ñịnh một nghiệm cụ thể, ta cần thêm một hay vài dữ kiện nào ñó về nghiệm (tuỳ theo cấp của phương trình vi phân) Chẳng hạn,

3

3

x

y= +C là nghiệm tổng quát của phương trình y'= x2 Dễ thấy

3

13

x

y= + là nghiệm duy nhất thỏa mãn y(0)=1

Ta xét bài toán sau ñặt ra ñối với phương trình (1.5), gọi là bài toán Cauchy (hay bài toán giá trị ban ñầu):

Bài toán: Tìm nghiệm y(x) thỏa mãn:

' ( , )

( )

Hình 1.1 Trường hướng của phương trình 'y y

x

= −

1.2.2 Phương pháp xấp xỉ Picard

Ta xét bài toán Cauchy ñối với phương trình vi phân cấp 1 dạng giải ra ñược ñối với ñạo hàm

(1.9), trong ñó f xác ñịnh và liên tục trên miền mở D⊂ ℝ Giả sử ( )2 y x la nghiệm của bài toán (1.9)

tích phân hai vế của phương trình trong (1.9) ta ñược phương trình

pháp xấp xỉ liên tiếp Picard - Linñơliop sau:

Xét dãy các hàm xác ñịnh một cách ñệ quy bởi

y x −y ≤ với mọi k (nói cách khác, trong phép lặp Picard - Linñơliop các hàm b y k không ñi ra

khỏi phần hình chữ nhật D ứng với x I∈ ) (xem [1], [6])

1.2.3 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm

ðịnh nghĩa 1.2 Cho hàm ( , )f x y xác ñịnh trên miền D ⊂ ℝ Ta nói f thỏa mãn ñiều kiện 2

Lipschitz theo biến y trên D nếu tồn tại hằng số dương L ( gọi là hằng số Lipschitz) sao cho:

ðịnh lý 1.3 (ðịnh lý tồn tại và duy nhất nghiệm) Giả sử hàm số ( , ) f x y trong (1.9) liên tục và thỏa

D= x y ∈ℝ x−x ≤a y−y ≤b Khi ñó nghiệm của bài toán Cauchy (1.9) là tồn tại và duy nhất trong ñoạn I =[x -h,x +h]0 0 , với min( , b )

Chứng minh Xem [1], [4] hoặc [6]

1.2.4 Phân loại nghiệm của phương trình vi phân

Về mặt hình học, bài toán Cauchy cho phương trình vi phân cấp 1 có thể hiểu là tìm nghiệm y(x) của (1.5) mà ñồ thị của hàm số y = y(x) (còn gọi là ñường cong tích phân

ñường cong tích phân của phương trình (1.5) ñi qua ñiểm (x0, y0) ∈ D cho trước

ðịnh nghĩa 1.4 Giả sử D⊂ ℝ sao cho vế phải của phương trình (1.5) xác ñịnh và liên tục trên D 2

Hàm số y= y x C( , ) phụ thuộc liên tục vào hằng số C ñược gọi là nghiệm tổng quát của (1.5) nếu: i) Với mỗi ñiều kiện ban ñầu (x0, y0) ∈ D ta luôn giải ñược C dưới dạng C=ϕ( , )x y0 0 (*) trong ñó

chất duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy bị vi phạm ñược gọi là nghiệm kỳ dị

Nhận xét: Từ ñịnh nghĩa nghiệm tổng quát, ta suy ra rằng với mỗi ñiều kiện ban ñầu (x , y0 0)∈D, ta luôn tìm ñược C0 =ϕ(x , y0 0) sao cho y y x, C= ( 0) là nghiệm của bài toán Cauchy tương ứng Nói cách khác, bằng cách chọn các giá trị thích hợp cho hằng số, ta có thể thu ñược các nghiệm riêng tuỳ ý của phương trình, không kể các nghiệm kỳ dị

Giải (hay còn gọi là tích phân) một phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm (biểu thức nghiệm tổng quát) của phương trình ñó hoặc nghiệm của bài toán Cauchy với ñiều kiện ban ñầu cho trước

1.3 Phương pháp giải một số phương trình vi phân cấp 1

1.3.1 Phương trình với biến số phân ly

Phương trình vi phân cấp 1 dạng: M x dx( ) +N y dy( ) = 0 (1.10) ñược gọi là phương trình vi phân với biến số phân ly (hay phương trình tách biến)

Cách giải: Các hàm M(x), N(y) ñược giả thiết liên tục trên các khoảng nào ñó Khi ñó chỉ cần

tích phân hai vế của (1.10) ta thu ñược tích phân tổng quát của nó là:

Thử trực tiếp vào phương trình thì x=1 àv y= − cũng là nghiệm của phương trình 1

1.3.2 Phương trình vi phân ñẳng cấp, cấp một (phương trình thuần nhất)

1.3.2.1 ðịnh nghĩa: Phương trình vi phân ñẳng cấp, cấp một là phương trình có dạng:

dy

f x y

dx = (1.12) Trong ñó f x y( , ) có thể biểu diễn ñược thành hàm của tỷ số hai ñối số: f x y( , ) y

* Nếu ϕ( )u − =u 0 tại u=u0⇒ =y u x0 cũng là nghiệm của phương trình (1.13) (bằng cách thử trực tiếp)

Cu x u

+thay u y

x

= vào ta có nghiệm 2 2

x +y =Cy (tích phân tổng quát của phương trình)

*Ngoài ra ta thấy rằng tại u0= ⇔0 y= cũng là nghiệm của phương trình (thử trực tiếp) 0

1.3.2.3 Phương trình ñưa về phương trình ñẳng cấp cấp một

* Nếu c=c1= thì (1.14) trở thành phương trình thuần nhất 0

* Nếu ít nhất một trong hai số c hoặc c khác không thì ta giải hệ phương trình sau: 1

 ắt phải xảy ra một trong hai trường hợp sau:

- Nếu hệ vô nghiệm tức là

là phương trình vi phân tuyến tính cấp một

Nói cách khác: Phương trình (1.15) là phương trình bậc nhất ñối với hàm phải tìm và ñạo hàm của nó

* Nếu Q x( )≡ thì (1.15) gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất 0

* Nếu Q x( )≠ thì (1.15) gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất 0

Cách giải: (Phương pháp biến thiên Lagrange)

Trước tiên giải phương trình thuần nhất tương ứng:

* Giải phương trình y'+ p x y( ) = 0

- Với y ≠ 0 ta có dy p x dx( ) ln y p x dx( ) lnc (C 0)

Hay y=Ce−∫p x dx( ) (1.16) (nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất)

- Ta thấy với C= ⇒0 y= (thử trực tiếp vào phương trình thuần nhất thì 0 y= cũng là nghiệm 0của phương trình)

* Coi C không phải hằng số mà là hàm của x

Lấy ñạo hàm 2 vế của (1.16) theo x ta ñược:

y = C e−∫p x dx( ) +e−∫p x dx( ) ∫Q x e( ) ∫p x dx( ) dx

Nhận xét: Nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính không thuần nhất bằng nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng cộng với một nghiệm riêng nào ñó của chính nó

Với ñiều kiện ban ñầu ta có: 1 1= + ⇒ε ε =0

Vậy nghiệm riêng của phương trình ñã cho ứng với ñiều kiện ban ñầu là y = x2

1.3.4 Phương trình Bernoulli

Phương trình dạng: dy ( ) ( ) n

P x y Q x y

dx+ = (1.18) Trong ñó P x( ), Q x( ) là các hàm số liên tục ñối với biến x trong khoảng (a; b) nào ñó và n ∈ ℝ

bất kỳ, ñược gọi là phương trình Bernoulli

Cách giải:

* Với n = 0 hoặc n = 1 thì (1.18) trở thành phương trình tuyến tính cấp một

* Vớin≠0 àv n≠ thì (1.18) có thể ñưa về phương trình tuyến tính cấp một bằng cách sau: 1

Hay z + −n p x z= −n Q x (phương trình tuyến tính cấp một)

Ví dụ 1.10: Giải phương trình: y' 2− xy=x y3 2

* Thử y = 0 cũng là nghiệm của phương trình

* Với y≠ ta có: 0 y y−2 ' 2− xy−1=x3 ðặt z= y−1⇒z'= −y y−2 '

3 2

− (phương trình tuyến tính cấp một không thuần nhất)

Giải ra ta ñược nghiệm tổng quát của nó là: x2 2 1

z=Ce− −x + Vậy nghiệm tổng quát của phương trình trên là: 2 2

11

1.3.5 Phương trình vi phân toàn phần và thừa số tích phân

1.3.5.1 Phương trình vi phân toàn phần

* Phương trình vi phân dạng: M x y dx( , ) +N x y dy( , ) = (1.19) 0

Trong ñó M x y v N x y là những hàm liên tục, tồn tại ñạo hàm riêng theo các biến liên tục ( , ) à ( , )

ðược gọi là phương trình vi phân toàn phần nếu:

M x y dx+N x y dy=d U x y

* Nếu (1.19) là phương trình vi phân toàn phần thì tích phân tổng quát của (1.19) là: ( , )U x y =C

* Tiêu chuẩn nhận biết một phương trình vi phân là một phương trình vi phân toàn phần

ðiều kiện cần và ñủ ñể phương trình (1.19) là phương trình vi phân toàn phần là: M N

Nếu (1.19) không phải phương trình vi phân toàn phần, nhưng tồn tại hàm ( , )µ x y sao cho: µ( , ) ( , )x y M x y dx+µ( , ) ( , )x y N x y dy= là phương trình vi phân toàn phần, thì hàm 0

( , )x y

µ ñược gọi là thừa số tích phân

ðịnh lý về sự tồn tại thừa số tích phân

Nếu phương trình (1.19) có tích phân tổng quát ( , )U x y =C thì phương trình (1.19) có thừa số tích phân

* Chú ý: Phương trình (1.19) có thừa số tích phân ( , )µ x y thì nó có vô số thừa số tích phân và mọi thừa số tích phân của nó ñều có dạng µ1( , )x y =φ( )u µ( , )x y trong ñó φ( )u là hàm số nào

ñó liên tục và tồn tại ñạo hàm riêng liên tục với u

* Cách tìm thừa số tích phân

Không có một phương pháp tổng quát nào ñể tìm thừa số tích phân Mà chỉ có thể tìm ñược thừa

số tích phân ñối với một số lớp phương trình dạng (1.19) (xem [4])

Trường hợp 1: Nếu

( , ) ( , )

( )( , )

1.3.6 Phương trình Lagrange và phương trình Clero

1.3.6.1 Cách ñưa phương trình về dạng ñã giải ra ñối với ñạo hàm

Giả sử ñã cho phương trình F x y y( , , ')=0 (1.20) Giả sử phương trình (1.20) có thể biểu diễn ñược dưới dạng tham số:

x=ϕ u v y=χ u v y =ψ u v (1.21) Khi ñó (1.20) và (1.21) tương ñương

Nhờ việc ñưa phương trình (1.20) về dạng phương trình (1.21), ta có thể ñưa việc giải phương trình dạng (1.20) về việc giải phương trình dạng (1.21)

Ví dụ 1.13 Giải phương trình '2 ' 2

2

x

y= y −y x+ ta có thể tham số hóa bằng cách ñặt , '

x=x y = p và

2 2

Giải phương trình này theo cách ñã biết ta ñược nghiệm tổng quát của phương trình Giả

sử biểu diễn dưới dạng: x=ω( )p +ψ( )p Thay biểu thức này vào (1.23) ta ñược:

C x p

1

Cp y p

11

1

C x p Cp y p

( ñây cũng là nghiệm viết dưới dạng tham số của phương trình Clero)

Nếu tồn tại ψ '' p ( ) liên tục khác không thì nghiệm cho dưới dạng tham số là là hình bao của họ ñường thẳng (1.26)

ðể tìm nghiệm kỳ dị, tức tìm bao hình của họ ñường thẳng trên ta xét hệ 2 1 2

2

( 1)4

Chú ý rằng nếu n = m-1 thì phương trình Darboux chính là phương trình thuần nhất Trong trường hợp tổng quát, ta luôn ñưa phương trình Darboux về phương trình Bernoulli

( ) ( )

ðây là phương trình Bernoulli của ẩn x= x (z) xem như hàm theo z

Ví dụ 1.15: Giải phương trình xdx+ydy+x xdy2( −ydx) 0=

ðây là phương trình Darboux, ñặt y =xz ta ñược

4

xdx+xz xdz+zdx +x dz =Hay (1 2) ( 3) 0

=+

++z dx xz x dz

Hình 1.2

+

−

=++ðây là phương trình Bernolli, giải phương trình này (sau khi ñưa về phương trình tuyến tính bậc

)(

)

=

−+

+

x

y y

x y

x

1.3.8 Nghiệm kỳ dị của phương trình vi phân

1.3.8.1 Hình bao của một họ ñường cong

Giả sử có phương trình dạng: φ(x y C, , )= (1.28) 0

trong ñó x,y là các biến ñộc lập, c là thông số có thể lấy những giá trị khác nhau Với mỗi giá trị xác ñịnh của C, phương trình (1.28) xác ñịnh một ñường trên mặt phẳng Oxy Cho C mọi giá trị

có thể ñược ta có một họ ñường phụ thuộc một thông số

* Hai ñường cong gọi là tiếp xúc với nhau tại giao ñiểm nếu tại ñấy chúng có cùng một tiếp

tuyến chung

* Cho một họ ñường cong phụ thuộc thông số C là φ(x y C, , )=0 ðường cong L gọi là hình bao của ñường cong trên, nếu như tại mỗi ñiểm thuộc ñường cong L nó tiếp xúc với một và chỉ một ñường cong của họ

* Hay: xét phương trình F x y y( , , ')= Nghiệm 0 y=ϕ( )x của nó gọi là kỳ dị nếu tính duy nhất tại mỗi ñiểm của nó bị phá vỡ

Ví dụ 1.16: Tìm nghiệm bất thường của phương trình: y2(1+y'2)=R2

Họ ñường tích phân gọi là họ ñường tròn bán kính R, tâm nằm trên Ox Hình bao của họ là cặp ñường thẳng y = ± R Hàm y = ± R thỏa mãn phương trình nhưng không phụ thuộc vào C Vậy nghiệm y = ± R là nghiệm kỳ dị của phương trình

1.3.8.3 Quỹ ñạo trực giao

Trên mặt phẳng Oxy, cho một họ ñường cong (C C ) phụ thuộc tham số C: F x y C( , , )= 0Những ñường cắt tất cả các ñường cong của họ (C C ) dưới một góc

2

π

α = ñược gọi là những quỹ ñạo trực giao của họ (C C )

Cách tìm quỹ ñạo trực giao

Giả sử cho họ ñường cong (C C ) có phương trình: F x y C( , , )= 0

Lập phương trình vi phân của họ (C C ) bằng cách khử C từ hệ phương trình:

Nhận xét: ðạo hàm 'y là hệ số góc của tiếp tuyến với ñường cong của họ (CCC ) tại ñiểm

M(x y, ) Vì quỹ ñạo trực giao của họ (CCC ) ñi qua M cắt các ñường cong của họ (CCC ) dưới góc

y y

1

1'

y y

= −Vậy phương trình vi phân của họ các quỹ ñạo trực giao của (CCC ) chính là phương trình

Ví dụ 1.17: Tìm các quỹ ñạo trực giao của họ ñường thẳng ñi qua gốc tọa ñộ: y = Cx

Ta có: 'y =C nên phương trình vi phân của họ ñường thẳng trên là: 'y y

[2] Nguyễn Thế Hoàn, Trần Văn Nhung (1979), Bài tập Phương trình vi phân, Nhà xuất bản

ðại học và Trung học chuyên nghiệp

[3] Vũ Tuấn, Phan ðức Thành, Ngô Xuân Sơn (1998), Giải tích toán học tập 3 (Sách ðại học sư

phạm), Nhà xuất bản Giáo dục

D CÂU HỎI, BÀI TẬP, NỘI DUNG ÔN TẬP VÀ THẢO LUẬN

1.1 Giải các phương trình vi phân có biến số phân li

x

= =1.3 Giải các phương trình vi phân

1.11 Chứng minh rằng phương trình dạng 'y+ay=P x( ) trong ñó a = const, P(x) là ña thức bậc

m của x, có nghiệm riêng dạng Q(x) là ña thức bậc m

1.12 Chứng rằng bất kì phương trình tuyến tính 'y+ p x y( ) =q x( ) có nghiệm riêng dạng y1= b

là phương trình với biến số phân li

1.13 Cho hai nghiệm khác nhau y1,y2 của phương trình tuyến tính cấp 1 Hãy biểu diễn nghiệm tổng quát của phương trình ñó qua hai nghiệm này

1.14 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình 'y+p x y( ) = nếu biết một nghiệm không tầm 0thường y x1( ) của nó

1.15 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất 'y+p x y( ) = bằng cách 0ñưa nó về phương trình không chứa số hạng có hàm phải tìm qua phép thế y=α( )x z, trong ñó ( )x

CHƯƠNG 2 Phương trình vi phân cấp cao

Số tiết: 09 (lý thuyết: 07 tiết; bài tập: 02 tiết)

A MỤC TIÊU

- Sinh viên hiểu ñược các khái niệm ñịnh nghĩa về phương trình vi phân cấp hai, cấp ba cấp n,

Ý nghĩa hình học, cách giải phương trình vi phân cấp cao

- Sinh viên vận dụng thành thạo lý thuyết vào giải các dạng bài tập về phương trình vi phân cấp cao

- Sinh viên tích cực, chủ ñộng tham gia các hoạt ñộng của môn học, có năng lực tự học cao, có phương pháp học tập tích cực sáng tạo

B NỘI DUNG

2.1 Các khái niệm cơ bản

Phương trình vi phân cấp n có dạng tổng quát:

y , nghĩa là nó có dạng:

( )n ( , , ', , (n 1 ))

thì (2.2) ñược gọi là phương trình vi phân cấp n ñã giải ra ñối với ñạo hàm cấp cao nhất

Giả sử hàm f xác ñịnh và liên tục trong miền biến thiên G nào ñó của các biến số

( 1 )

, , ', , n

x y y y −

Hàm y= y x( ) ñược gọi là nghiệm của phương trình (2.2) trên khoảng (a; b) nếu:

i y x( ) liên tục và có ñạo hàm ñến cấp n liên tục trên (a; b) sao cho khi x∈(a b; ) thì ñiểm

( ; ; ' ; ; n1 ) ;

ii Trên (a; b) với y= y x( ) thì (2.2) trở thành ñồng nhất thức

Nghiệm của phương trình (2.2) có thể tìm ñược dưới dạng ẩn Φ(x y, )= hoặc dưới 0dạng tham số x=ϕ( )t , y=ψ( )t ðồ thị của nghiệm ñược gọi là ñường cong tích phân

Tương tự ta ñịnh nghĩa nghiệm của phương trình (2.1)

* Bài toán Cauchy: Tìm nghiệm của phương trình (2.2) thỏa mãn ñiều kiện ban ñầu:

0 0, ' 0 ' , ,0 n 0 0n

y x = y y x = y y − x = y − (2.3) trong ñó x0∈ ⊂ ℝ và I 0 ( , , ,0 0 0(n1)) n

Y = y y′ y − ∈ ℝ là các số cho trước và ñược gọi là các giá trị ban ñầu

Trong trường hợp phương trình vi phân cấp 2

y′′= f x y y′ (2.4)

Bài toán Cauchy ñòi hỏi tìm nghiệm y= y x( ) của phương trình (2.4) thỏa mãn ñiều kiện:

* ðịnh nghĩa nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp n

Nghiệm tổng quát của phương tình vi phân cấp n là hàm số y=ϕ(x C, , ,1 C n) phụ thuộc vào n hằng số tùy ý C C1, 2, ,C n sao cho:

* Hàm số thỏa mãn phương trình với mọi giá trị của hằng số C C1, 2, ,C n

Với ñiều kiện ban ñầu cho trước

các hằng số C C1, 2, ,C n sao cho hàm y=ϕ(x C, , ,1 C n) thỏa mãn ñiều kiện ñó

* Mọi hàm số có ñược từ nghiệm tổng quát với những giá trị xác ñịnh của các hằng số

1, 2, , n

C C C gọi là nghiệm riêng của phương trình (nghiệm của bài toán Cauchy)

2.2 Các phương trình có thể hạ cấp ñược

2.2.1 Phương trình chỉ chứa biến số và ñạo hàm cấp cao nhất

Phương trình chỉ chứa biến số và ñạo hàm cấp cao nhất là phương trình có dạng

( )

( , n ) 0

F x y = (2.5) (i) Từ phương trình (2.5) ta có thể biểu diễn ñược ( )n

y qua x: ( )n ( )

y = f x (2.6) Giả sử f x( ) liên tục trên khoảng (a; b) Khi ñó bài toán Cauchy có nghiệm duy nhất ñối với bất kỳ x0∈(a b; ) và ( 1 )

(ii) Giả sử từ (2.5) ta không giải ñược ( )n

y nhưng qua phương trình (2.5) ta có thể biểu thị , ( )n

ϕψ

=

=

Ví dụ 2.1 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình x

y′′ =xe

Tích phân lần lượt 2 vế ta ñược y=(x−2)e x+C x C1 + 2

Nghiệm thỏa mãn ñiều kiện ban ñầu y( )0 =1, ' 0y ( )= có dạng 0 ( 2) x 3

2.2.2 Phương trình không chứa hàm phải tìm và các ñạo hàm của nó ñến cấp k-1

Phương trình không chứa hàm phải tìm và các ñạo hàm của nó ñến cấp k-1 là phương trình dạng ( , ( )k , (k 1 ), , ( )n ) 0, (1 )

x

z= −Trở lại biến cũ y:

2 2

x

y= − +C

2.2.3 Phương trình không chứa biến số ñộc lập

Phương trình không chứa biến số ñộc lập là phương trình ( , ', , ( )n ) 0

F y y y = (2.9) ðặt 'y = và coi z z=z y( ) ta ñược

( ) 1

1

n n

Thay các giá trị này của ', '', , ( )n

y y y vào phương trình (2.9) ta ñưa nó về phương trình cấp n-1:

dy = + ở ñây u=z2 Giải phương trình cuối ta có 2

Ngoài ra phương trình còn có nghiệm y= Nó là nghiệm riêng 0

2.2.4 Phương trình thuần nhất ñối với hàm phải tìm và các ñạo hàm của nó

Nếu phương trình ( , , ', , ( )n ) 0

F x y y y = thuần nhất ñối với , ', , ( )n

y y y thì có thể hạ nó xuống một cấp bằng phép thế 'y = yz, z là hàm số mới phải tìm

Thay các biểu thức này của , , , ( )n

y y′ ′′ y vào phương trình ban ñầu và chú rằng F là hàm thuần nhất (chẳng hạn bậc m) ñối với , , , , ( )n

+ = (giả sử y≠ ) ðây là 0phương trình cấp n-1 Giả sử z=ϕ(x C C, ,1 2, ,C n−1) là nghiệm tổng quát của nó

= là nghiệm tổng quát của phương trình ban ñầu

Ví dụ 2.5 Giải phương trình xyy′′−xy′2−yy′=0

ðặt 'y = yz ta có y′′ =y z( 2+z') Bởi vậy sau khi thay giá trị ', "y y vào phương trình

trên và ñơn giản cho 2

y ta ñược x z( 2+z')−xz2− =z 0,Hay xz'− =z 0 Tích phân phương trình này ta ñược z=C x1 , Hay y' C x1

y =

Do ñó

2 1

2 2

C x

y=C e Nghiệm y= rõ ràng có thể nhận ñược từ biểu thức tích phân tổng quát với 0 C2 =0

2.2.5 Phương trình thuần nhất suy rộng

Phương trình ( , , ', , ( )n ) 0

F x y y y = (2.10) ñược gọi là phương trình thuần nhất suy rộng, nếu tồn tại số k sao cho vế phải của phương trình (2.10) trở thành hàm thuần nhất (chẳng hạn bậc m) theo các biến , , , , ( )n

x y y′ ′′ y với giả thiết rằng , , , , ( )n

e Vì theo phần 2.2.3, phương trình (2.11) có thể hạ xuống một cấp nên

phương trình (2.10) qua phép thế ở trên có thể hạ xuống cấp n-1

Ví dụ 2.6 Xét phương trình x y4 ′′ +(xy'−y)3=0 (2.12)

Ta chứng minh rằng ñây là phương trình thuần nhất suy rộng Thật vậy, coi , , ', "x y y y là

các ñại lượng bậc 1, , k k−1, k− và ñồng nhất bậc của các số hạng ta có 42 + − =k 2 3 k

Hay

3 2

2.2.6 Phương trình với vế trái là ñạo hàm ñúng

Nếu vế trái của phương trình ( , , ', , ( )n ) 0

là tích phân ñầu của phương trình (2.14) Có thể xảy ra là (2.15) cũng là phương trình với vế trái

là ñạo hàm ñúng Trong trường hợp này ta lại có thể tìm ñược tích phân thứ hai của phương trình (2.14)

y = A +y A= ±C Tích phân phương trình cuối ta ñược arctany=Ax+B

ðây là tích phân tổng quát của phương trình ñang xét

2.3 Phương trình tuyến tính cấp n với hệ số hằng số

2.3.1 Phương trình tuyến tính thuần nhất

Phương trình tuyến tính thuần nhất cấp n với hệ số hằng số có dạng