Một số bài toán có tính định lượng trong giải tích vi phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập Tự do Hạnh phúc BẢN TRÍCH YẾU LUẬN ÁN TIẾN SĨ Tên tác giả: PHAN PHIẾN Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. TẠ LÊ LỢI Tên luận án: MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ TÍNH ĐỊNH LƯỢNG TRONG GIẢI TÍCH VI PHÂN Ngành: Toán học Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 62.46.01.01 Đơn vị đào tạo sau đại học: Trường Đại học Đà Lạt. NỘI DUNG BẢN TRÍCH YẾU 1. Mục đích nghiên cứu của luận án: Nghiên cứu các đánh giá định lượng về định lý hàm ngược, định lý hàm ẩn, định lý hạng hằng, bổ đề tách và định lý Morse; Nghiên cứu đánh giá chặn trên cho các số Betti và độ đo Hausdorff của các đối tượng trong cấu trúc otối tiểu. 2. Đối tượng nghiên cứu: Lớp các ánh xạ Lipschitz; Lớp các ánh xạ khả vi lớp Ck; Lớp các tập và ánh xạ định nghĩa được trong cấu trúc otối tiểu như các đối tượng nửa đại số và nửaPfaff; Các kết quả định tính đã có trong Giải tích vi phân. 3. Các phương pháp nghiên cứu đã sử dụng: Luận án được nghiên cứu dựa trên các phương pháp tính toán trong Giải tích vi phân, Giải tích số, Đại số tuyến tính và Tích phân hình học; Các phương pháp về đánh giá độ phức tạp topo trong Hình học đại số thực và Topo đại số. 4. Nguồn tài liệu chính: 1 Ta Le Loi and Phan Phien, Bound of Hausdorff measurse of tame sets, (Submitted 2010). (Proceedings of the International Conference on Topology, Geometry, Algebra Arithmetics, University of Dalat, December 2224, 2008, (2009), pp. 156169). 2 Phan Phien, Betti numbers and Hausdorff measures of basic semialgebraic sets, Journal of Science University of Dalat, Volume 1 (2011), pp. 1322. (Vietnamese) 3 Phan Phien, Some quantitative results on Lipschitz inverse and implicit function theorems, EastWest Journal of Mathematics, Vol. 13, No 1 (2011), pp. 722. 4 Ta Le Loi and Phan Phien, The Quantitative Morse theorem, International Journal of Mathematical Analysis, Vol. 6, no. 10 (2012), pp. 481491. 5 Ta Le Loi and Phan Phien, A Numerical approach to some basic theorems in Singularity theory (2012). (Submitted) 5. Các kết quả chính và kết luận: Qua luận án, tác giả đã đưa ra một số kết quả mới mà có thể được áp dụng cho một số lĩnh vực như Giải tích số, Tối ưu hóa, Lý thuyết độ đo, Đánh giá độ phức tạp thuật toán và Động lực học vi phân... Các kết quả chính bao gồm: 5.1. Định lý hàm ngược định lượng cho ánh xạ Lipchitz; Định lý hàm ẩn định lượng cho ánh xạ Lipschitz; Tính mở của lớp các ánh xạ Lipschitz thỏa mãn định lý hàm ngược Clarke; Định lý hạng hằng định lượng cho ánh xạ Lipschitz và ánh xạ lớp Ck. 5.2. Dạng định lượng của Bổ đề chéo hóa ma trận hàm đối xứng; Bổ đề tách định lượng; Bổ đề Morse định lượng; Chứng minh chi tiết của Định lý Morse định lượng (Y. Yomdin phát biểu (2005)). 5.3. Đánh giá chặn trên cho các số Betti và tổng các số Betti của tập nửa đại số cơ sở. 5.4. Chặn đều cho các số Betti của các thớ của ánh xạ định nghĩa được; Chặn trên cho độ đo Hausdorff của các tập định nghĩa được; Chặn trên cho độ đo Hausdorff của các thớ định nghĩa được; Chặn trên cho độ đo Hausdorff của nghịch ảnh qua ánh xạ định nghĩa được của một họ các đường cong định nghĩa được. Đà Lạt 2012 Người hướng dẫn khoa học Nghiên cứu sinh TẠ LÊ LỢI PHAN PHIẾN

PHAN PHIẾN

MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ TÍNH ĐỊNH LƯỢNG

TRONG GIẢI TÍCH VI PHÂN

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Đà Lạt - 2012

PHAN PHIẾN

MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ TÍNH ĐỊNH LƯỢNG

TRONG GIẢI TÍCH VI PHÂN

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 62.46.01.01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 PGS TS Tạ Lê Lợi

2 PGS TS Phạm Tiến Sơn

Đà Lạt - 2012

LỜI CAM ĐOAN

Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Đà Lạt dưới sự hướng dẫnkhoa học của PGS TS Tạ Lê Lợi

PGS TS Phạm Tiến Sơn đã đọc và sửa chữa luận án

Các kết quả trong các bài báo [P1] và [P2] ở danh mục các công trình liên quanđến luận án, tác giả nghiên cứu dưới sự hướng dẫn và gợi ý của PGS TS Tạ Lê Lợi.Các kết quả trong luận án này là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳcông trình khoa học nào của ai khác

LỜI CẢM ƠN

Tác giả xin trân trọng cảm ơn Lãnh đạo Trường Đại học Đà Lạt, Phòng ĐàoTạo Đại học và Sau Đại học, Phòng NCKH-HTQT, Khoa Sau Đại học, Khoa ToánTin học, Trưởng ngành Toán Giải tích, Lãnh đạo Trường Cao đẳng Sư phạm NhaTrang, Khoa Tự Nhiên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quátrình làm nghiên cứu sinh tại Đại học Đà Lạt từ tháng 11 năm 2007

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS.TS Tạ Lê Lợi đã tận tình hướng dẫn,giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án.Tác giả xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Phạm Tiến Sơn đã đọc và sửa chữa luậnán

Tác giả xin cảm ơn gia đình, các bạn bè, đồng nghiệp đã luôn chia sẻ, động viêntác giả trong cả khóa học này

Mục lục

1 MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐỊNH LƯỢNG VỀ ĐỊNH LÝ HÀM NGƯỢC,

1.1 Giới thiệu 18

1.2 Kiến thức cơ sở 20

1.2.1 Ký hiệu 20

1.2.2 Jacobi suy rộng 21

1.2.3 Không gian các ánh xạ Lipschitz 22

1.2.4 Chặn trên cho C k-chuẩn của ánh xạ hợp và ánh xạ nghịch đảo 23 1.3 Định lý hàm ngược định lượng cho ánh xạ Lipschitz 25

1.4 Định lý hàm ẩn định lượng cho ánh xạ Lipschitz 28

1.5 Tính mở của lớp các ánh xạ Lipschitz thỏa mãn định lý hàm ngược Clarke 34

1.6 Định lý hạng hằng định lượng 38

2 ĐỊNH LÝ SARD VÀ ĐỊNH LÝ MORSE ĐỊNH LƯỢNG 42

2.1 Giới thiệu 42

2.2 Các khái niệm, định nghĩa 44

2.2.1 Giá trị kỳ dị của ánh xạ tuyến tính 44

2.2.2 Điểm tới hạn và γ-tới hạn 45

2.2.3 Entropy 45

2.3 Dạng định lượng của bổ đề chéo hóa ma trận hàm đối xứng 46

2.4 Bổ đề tách định lượng 48

2.5 Định lý Sard định lượng 54

2.6 Định lý Morse định lượng 55

3 CHẶN TRÊN CHO CÁC SỐ BETTI CỦA TẬP NỬA ĐẠI SỐ 61 3.1 Giới thiệu 61

3.2 Các khái niệm và một số kết quả 63

3.2.1 Trường thực đóng 64

3.2.2 Tập nửa đại số 64

3.2.3 Tương đương đồng luân nửa đại số 67

3.2.4 Số Betti của tập nửa đại số 68

3.2.5 Một số kết quả về topo đại số 69

3.3 Chặn trên cho các số Betti của tập nửa đại số cơ sở 70

4 CHẶN TRÊN CHO ĐỘ ĐO HAUSDORFF CỦA CÁC TẬP THUẦN 76 4.1 Giới thiệu 76

4.2 Kiến thức cơ sở 79

4.2.1 Cấu trúc o-tối tiểu 79

4.2.2 Phân hoạch tế bào 80

4.2.3 Một số tính chất của cấu trúc o-tối tiểu 82

4.2.4 Phân tầng định nghĩa được 84

4.2.5 Tầm thường hóa định nghĩa được 85

4.2.6 Tập nửa-Pfaff 86

4.2.7 Độ đo tích phân hình học 88

4.3 Độ đo Hausdorff của các tập định nghĩa được 914.4 Chặn đều cho độ đo Hausdorff của các thớ định nghĩa được 95

DANH SÁCH CÁC KÝ HIỆU

Bn

r (x0) quả cầu mở bán kính r, tâm tại x0 ∈ R n 20

∂f (x0) Jacobi suy rộng của f tại x0 21

J f (x i) ma trận Jacobi của f tại x i 22

∂1F (x0, y0) Jacobi suy rộng của F ( ·, y0) : U → R n 28

∂2F (x0, y0) Jacobi suy rộng của F (x0, ·) : U → R n 28

σ i (L) giá trị kỳ dị thứ i của ánh xạ tuyến tính L 44

Ký hiệu Trang

Σ(f, Λ, A) tập các điểm Λ-tới hạn của f chứa trong A 45

M (ε, A) số quả cầu bán kính ε phủ A 45

Z( P, S) tập các không điểm của P trong S 64

f ∼ sa g f và g đồng luân nửa đại số 67

F (A) format của tập nửa-Pfaff A 87

O(m, n) tập các ánh xạ trực giao từ Rm vào Rn 88

O ∗ (m, n) tập các phép chiếu trực giao từ Rm vào Rn 88

Ký hiệu Trang

H α

DANH SÁCH CÁC HÌNH ẢNH

Trang

TÓM TẮT

Trong luận án này, tác giả đưa ra một số kết quả về đánh giá định lượng tronggiải tích vi phân Luận án có 4 chương Nội dung của hai chương đầu bao gồm cáckết quả về đánh giá định lượng dựa trên các kỹ thuật tính toán trong Giải tích viphân, Giải tích số và Đại số tuyến tính Nội dung của hai chương sau được nghiêncứu dựa trên các kỹ thuật về đánh giá Độ phức tạp topo trong Hình học đại số thực

và Topo đại số, các tính toán trong Đại số tuyến tính và Tích phân hình học.Nội dung chính của Chương 1 bao gồm: Định lý hàm ngược định lượng cho ánh

xạ Lipschitz (Định lý 1.3.2); Định lý hàm ẩn định lượng cho ánh xạ Lipschitz (Định

lý 1.4.2); Tính mở của lớp các ánh xạ Lipschitz thỏa mãn định lý hàm ngược Clarke(Định lý 1.5.1); Định lý hạng hằng định lượng cho ánh xạ Lipschitz (Định lý 1.6.1).Nội dung chính của Chương 2 bao gồm: Dạng định lượng của bổ đề chéo hóa matrận hàm đối xứng (Bổ đề 2.3.1); Bổ đề tách định lượng (Bổ đề 2.4.1); Bổ đề Morseđịnh lượng (Hệ quả 2.4.2) Phần cuối chương, tác giả đưa ra một chứng minh chođịnh lý Morse định lượng được phát biểu bởi Y Yomdin (Định lý 2.6.1)

Trong Chương 3, tác giả đưa ra đánh giá chặn trên cho các số Betti của tập nửađại số cơ sở (Định lý 3.3.1), từ đó đưa ra chặn trên cho tổng các số Betti (Hệ quả3.3.2)

Trong Chương 4, tác giả đưa ra các kết quả về độ phức tạp đại số và độ đoHausdorff của các tập thuần bao gồm: Chặn đều cho các số Betti của các thớ củaánh xạ định nghĩa được (Mệnh đề 4.3.1); Chặn trên cho độ đo Hausdorff của các tậpđịnh nghĩa được (Định lý 4.3.3); Chặn trên cho độ đo Hausdorff của các thớ định

nghĩa được (Định lý 4.4.2); Chặn trên cho độ đo Hausdorff của nghịch ảnh qua ánh

xạ định nghĩa được của một họ các đường cong định nghĩa được (Định lý 4.4.5)

MỞ ĐẦU

Lý do chọn đề tài: Bài toán nghiên cứu đánh giá định lượng cho các kết quả định

tính đã có, hoặc đưa ra các kết quả định lượng mới, đã được quan tâm nhiều bởicác ứng dụng của nó trong các lĩnh vực khác nhau như: Lý thuyết số, Tối ưu hóa,

Lý thuyết độ đo, Đánh giá độ phức tạp thuật toán, Các kết quả trong Giải tích viphân được ứng dụng nhiều phải kể đến đó là: định lý hàm ngược, định lý hàm ẩn,định lý Sard, định lý Morse, định lý hoành Có thể nói sự thiếu vắng những định lý

đó ở dạng định lượng thực sự cản trở việc xây dựng các kết quả về định lượng vàứng dụng trong Lý thuyết kỳ dị Hơn nữa, các định lý trên còn là cơ sở cho các kếtquả hình học trong lĩnh vực Hình học đại số thực

Mục đích và phương pháp nghiên cứu: Với những lý do trên, trong luận án

này tác giả nghiên cứu các đánh giá định lượng theo hai hướng

- Nghiên cứu các đánh giá định lượng theo hướng Giải tích số: đưa ra các kếtquả định lượng (chẳng hạn độ lớn của các lân cận, chặn trên của chuẩn củacác đạo hàm theo dữ liệu vào của các đối tượng liên quan) về định lý hàmngược, định lý hàm ẩn, định lý hạng hằng, bổ đề chéo hóa ma trận hàm đốixứng, bổ đề tách, định lý Morse Các kết quả nghiên cứu dựa trên các phươngpháp tính toán trong Giải tích vi phân, Giải tích số và Đại số tuyến tính

- Nghiên cứu các đánh giá định lượng dựa trên Độ phức tạp topo: đưa ra cáckết quả định lượng về số Betti và các đánh giá chặn trên cho độ đo Hausdorffcủa các đối tượng thuần Các kết quả được nghiên cứu dựa trên các phươngpháp về đánh giá độ phức tạp topo trong Hình học đại số thực và Topo đại

số, các tính toán trong Đại số tuyến tính và phương pháp Tích phân hình học.

Các đối tượng nghiên cứu chính bao gồm: Lớp các ánh xạ Lipschitz; Lớp các

ánh xạ khả vi lớp C k; Lớp các tập và ánh xạ định nghĩa được trong cấu trúc o-tốitiểu (như các đối tượng nửa đại số và nửa-Pfaff); Các kết quả định tính đã có trongGiải tích vi phân

Tổng quan những vấn đề liên quan đến luận án:

Các nghiên cứu về định lý hàm ngược, hàm ẩn: F H Clarke (1976 - [C1]) đã

chứng minh định lý hàm ngược địa phương cho ánh xạ K-Lipschitz Tổng quát

hơn, M S Gowda (2004 - [Go]) chứng minh định lý hàm ngược và hàm ẩn cho lớpcác ánh xạ H - khả vi Đối với trường hợp toàn cục, J Hadamard (1906 - [Ha])

phát biểu điều kiện vi phôi toàn cục cho ánh xạ lớp C1 P J Rabier (1997 - [R])

đã mở rộng kết quả của J Hadamard trên không gian các đa tạp trơn O Gutú

và J A Jaramillo (2007 - [Gu-J]) chứng minh điều kiện khả nghịch toàn cục cholớp các ánh xạ tựa đẳng cự giữa các không gian metric đủ Mới đây, T Fukui, K.Kurdyka và L Paunescu (2010 - [F-K-P]) chứng minh định lý hàm ngược toàn cụccho lớp các ánh xạ liên tục thuần Đối với định lý hàm ẩn, M Papi (2004 - [PA]) đãđưa ra miền xác định của hàm ẩn Lipschitz, kết quả nhận được phụ thuộc vào cáctham số chưa tường minh Hầu hết các nghiên cứu đều chỉ ra sự tồn tại các lân cận

U và V để f : U → V khả nghịch, mà chưa đưa ra các đánh giá định lượng cho các

đối tượng trong các kết quả đó Một số kết quả định tính khác như Định lý hạnghằng, Định lý chuẩn bị, Định lý chia, đến nay chưa có các nghiên cứu về đánh giáđịnh lượng

Để nghiên cứu định lượng trong Lý thuyết kỳ dị, Y Yomdin (1983 - [Y3]) đưa

ra khái niệm điểm gần tới hạn và giá trị gần tới hạn của một ánh xạ khả vi Đếnnay có nhiều kết quả nghiên cứu về đánh giá định lượng cho các điểm và các giá trịgần tới hạn Y Yomdin (1983 - [Y3]) chứng minh Định lý Sard định lượng cho các

ánh xạ lớp C k Kết quả đưa ra đánh giá chặn trên cho entropy của tập các giá trị

Λtới hạn Y Yomdin (1987 [Y2], 2005 [Y1]), Y Yomdin và G Comte (2004 [Y-C]) đưa ra một số dạng cải tiến của Định lý Sard định lượng Hơn nữa, kết quả

-cho một số đánh giá tường minh trong các trường hợp hàm khả vi lớp C k Ngoài ra,

A Rohde (1997 - [Roh]) chứng minh định lý Sard cho lớp các hàm không trơn Đốivới Định lý Morse, Y Yomdin (2005 - [Y1]) phát biểu Định lý Morse định lượngcho các hàm khả vi Tuy nhiên trong bài báo này, Y Yomdin chỉ nêu một vài gợi ýchứng minh, mà không đưa ra chứng minh chi tiết Có lẽ đến nay, Y Yomdin cũngchưa công bố chứng minh của định lý Một dạng định lượng khác của Định lý Morseđược L Niederman (2004 - [N]) chứng minh cho các hàm Morse Diophantine Ngoài

ra, đối tượng nghiên cứu khác của luận án đó là Bổ đề tách, khi đó định lý Morseđịnh lượng được suy ra từ Bổ đề tách định lượng

Nghiên cứu về các số Betti của tập nửa đại số, kết quả sớm nhất và điển hìnhtrong lĩnh vực này đó là kết quả của Oleinik-Petrovskii, Thom, Milnor (xem [M],[Ba-P-R]) về đánh giá chặn trên cho tổng các số Betti của tập đại số, và đó là mộtkết quả cơ sở cho một số đánh giá chặn trên cho các số Betti của tập nửa đại số.Gần đây, có nhiều kết quả thu được bởi S Basu: S Basu (2003 - [Ba2]) đưa ra đánhgiá chặn trên cho các số Betti của tập nửa đại số cơ sở được chứa trong một tập đại

số Đối với tập nửa đại số được định nghĩa bởi các đa thức có bậc ≤ 2, S Basu và

M Kettner (2008 - [Ba-K]) đưa ra một chặn trên là đa thức theo số biến k và số

đa thức m (m < k) Kết quả dựa trên việc đánh giá các số Betti của đa tạp xạ ảnh

phức là giao đầy đủ không suy biến, được định nghĩa bởi các dạng toàn phương.Các kết quả về độ đo Hausdorff được nghiên cứu dựa trên các công thức Cauchy-Crofton và co-area trong Tích phân hình học Kết quả điển hình thu được bởi

R M Hardt (1983 - [H]), kết quả đưa ra các chặn trên cho độ đo Hausdorff của cáctập sub-giải tích, thớ của ánh xạ sub-giải tích và nghịch ảnh của một đoạn của mộtánh xạ sub-giải tích Gần đây, một kết quả khác của A Fornasiero và E Vasquez

Rifon (2010 - [F-R]) cho chứng minh của các công thức Cauchy-Crofton và co-area.

Những đóng góp mới của luận án: Các kết quả mới của luận án thể hiện qua

bốn chương như sau

Chương 1 “Một số kết quả định lượng về định lý hàm ngược, hàm ẩn”

nghiên cứu các kết quả định lượng về định lý hàm ngược, định lý hàm ẩn cho ánh

xạ Lipschitz, định lý hạng hằng Dạng định lượng của định lý hàm ngược cho ánh

xạ Lipschitz (Định lý 1.3.2) được chứng minh dựa trên kết quả của F H Clarke vềđịnh lý hàm ngược cho ánh xạ Lipschitz, từ đó ta chứng minh định lý hàm ẩn định

lượng cho ánh xạ Lipschitz (Định lý 1.4.2) Ngoài ra, với f0 là một ánh xạ Lipschitz

thỏa mãn định lý hàm ngược Clarke, nếu nhiễu f0 bởi một ánh xạ Lipschitz h có hằng số Lipschitz thích hợp thì ánh xạ thu được f = f0 + h cũng thỏa mãn định

lý hàm ngược Clarke (Định lý 1.5.1) Nói cách khác, lớp các ánh xạ Lipschitz thỏamãn định lý hàm ngược Clarke là mở trong không gian các ánh xạ Lipschitz Phầncuối chương, định lý hạng hằng định lượng cho ánh xạ Lipschitz (Định lý 1.6.1)được chứng minh dựa trên định lý hàm ngược cho ánh xạ Lipschitz và dạng định

lượng, khi đó định lý hạng hằng định lượng cho ánh xạ lớp C k là một trường hợpriêng (Hệ quả 1.6.2)

Chương 2 “Định lý Sard và định lý Morse định lượng” nghiên cứu các kết

quả định lượng về bổ đề Morse, định lý Sard và định lý Morse Áp dụng các kết quảcủa Lý thuyết kỳ dị, Đại số tuyến tính và Giải tích số, bổ đề tách định lượng (Bổ đề2.4.1) được chứng minh dựa trên cơ sở chứng minh dạng định lượng của bổ đề chéohóa ma trận hàm đối xứng (Bổ đề 2.3.1) Khi đó Bổ đề Morse định lượng là trườnghợp riêng của Bổ đề tách định lượng (Hệ quả 2.4.2) Từ các kết quả trên, áp dụngđịnh lý Sard định lượng và định lý hàm ngược định lượng cho ánh xạ Lipschitz, tácgiả đưa ra một chứng minh chi tiết cho định lý Morse định lượng được phát biểubởi Y Yomdin (Định lý 2.6.1)

Chương 3 “Chặn trên cho các số Betti của tập nửa đại số” nghiên cứu về

một số kết quả và kỹ thuật chứng minh của Hình học đại số thực Kết quả chínhcủa chương: đánh giá chặn trên cho các số Betti của tập nửa đại số cơ sở (Định lý3.3.1) và chặn trên cho tổng các số Betti (Hệ quả 3.3.2) Các chặn trên phụ thuộcvào tổ hợp dữ liệu định nghĩa các tập nửa đại số.

Chương 4 “Chặn trên cho độ đo Hausdorff của các tập thuần” nghiên cứu

áp dụng phương pháp Tích phân hình học trong việc ước lượng độ đo Hausdorffcủa các đối tượng định nghĩa được Các kết quả chính của chương bao gồm: Chặntrên cho các số Betti của các thớ định nghĩa được (Mệnh đề 4.3.1); Chặn trên cho

độ đo Hausdorff của các tập định nghĩa được (Định lý 4.3.3); Chặn trên cho độ

đo Hausdorff của các thớ định nghĩa được (Định lý 4.4.2) và chặn trên cho độ đoHausdorff của nghịch ảnh qua ánh xạ định nghĩa được của một họ các đường congđịnh nghĩa được (Định lý 4.4.5) Các chặn trên nhận được là các hàm chỉ phụ thuộcvào tổ hợp dữ liệu biểu diễn các đối tượng đó

Ngoài ra, một số ví dụ tường minh về các chặn trên của các kết quả trong luận

án cũng được đưa ra ở các chương 1, 3 và 4.

Ý nghĩa khoa học: Qua luận án, tác giả đã đưa ra một số kết quả mới mà có thể

được áp dụng cho một số lĩnh vực như Giải tích số, Tối ưu hóa, Lý thuyết độ đo,Đánh giá độ phức tạp thuật toán, Động lực học

Hầu hết các kết quả trong luận án này đã được báo cáo ở các Seminar hoặc cáchội thảo:

• Seminar ngành Toán Giải tích, Khoa Toán - Tin học, Đại học Đà Lạt.

• Các Hội nghị Khoa học Khoa Sau Đại học, Đại học Đà Lạt: 2008, 2009, 2010.

• Đại hội Toán Học Toàn Quốc Lần thứ 7, Đại học Quy Nhơn 4-8/8/2008.

• International Conference on Topology, Geometry, Algebra & Arithmetics, University

of Dalat, Dalat, Vietnam, December 22-24, 2008

• Hội nghị Tin học và Toán ứng dụng, Đại học Nha Trang 17/6/2011.

• Hội nghị Toàn Quốc về Đại số - Hình học - Tô pô, Đại học Thái Nguyên

3-5/11/2011

• International Conference in Mathematics and Applications (ICMA - MU 2011),

Mahidol University, Thailand, December 17-19, 2011

• International Conference on Topology of singularities and related topics, III,

JSPS-VAST Japan-Vietnam Bilateral joint project, Dalat, Vietnam, March26-30, 2012

• Hội nghị Toán học phối hợp Việt - Pháp, Huế, 20-24/08/2012.

Chương 1

MỘT SỐ KẾT QUẢ ĐỊNH LƯỢNG VỀ ĐỊNH LÝ HÀM NGƯỢC, HÀM ẨN

Định lý hàm ngược, hàm ẩn cổ điển đã được quan tâm nhiều bởi ứng dụng của

nó trong Toán học, nó được phát biểu cho lớp ánh xạ khả vi lớp C k Đến nay, đã cónhiều kết quả nghiên cứu về định lý hàm ngược, hàm ẩn cho lớp các ánh xạ khôngtrơn và mở rộng toàn cục

F H Clarke (1976 - [C1]) chứng minh định lý hàm ngược địa phương cho ánh xạ

không trơn thỏa mãn điều kiện Lipschitz: Cho f : Rn → R n là ánh xạ Lipschitz

trong lân cận x0 Nếu Jacobi suy rộng ∂f (x0) tại x0 có hạng cực đại (xem Định

nghĩa 1.2.5, 1.2.6), thì tồn tại các lân cận U và V của x0 và f (x0) tương ứng, và

một ánh xạ Lipschitz g : V → R n sao cho

(a) g(f (u)) = u với mọi u ∈ U,

O Gutú và J A Jaramillo (2007 - [Gu-J]) chứng minh điều kiện khả nghịch toàncục cho lớp các ánh xạ tựa đẳng cự giữa các không gian metric đủ Mới đây, T Fukui,

K Kurdyka, và L Paunescu (2010 - [F-K-P]) chứng minh định lý hàm ngược toàncục cho lớp các ánh xạ liên tục thuần (lớp các ánh xạ không trơn)

Đối với định lý hàm ẩn, M Papi (2004 - [PA]) đưa ra miền xác định của hàm

ẩn Lipschitz Tuy nhiên kết quả nhận được phụ thuộc vào các tham số chưa tườngminh

Hầu hết các nghiên cứu về định lý hàm ngược, hàm ẩn đều chỉ ra sự tồn tại các

lân cận U và V để f : U → V khả nghịch, mà chưa đưa ra các đánh giá định lượng

cho các đối tượng trong các kết quả đó Việc đánh giá định lượng cho các định lýhàm ngược, hàm ẩn là cần thiết cho toán học Các kết quả nghiên cứu về định lượngnếu đạt được, có thể có nhiều áp dụng trong một số lĩnh vực khác nhau như: Lýthuyết số, Tối ưu hóa, Lý thuyết độ đo, Đánh giá độ phức tạp thuật toán,

Một số kết quả định tính khác trong Giải tích vi phân như Định lý hạng hằng,Định lý chuẩn bị, Định lý chia, đến nay cũng chưa có các nghiên cứu về đánh giáđịnh lượng

Với những lý do trên, trong chương này, tác giả đưa ra một số kết quả định lượng

về định lý hàm ngược, hàm ẩn Dạng định lượng của định lý hàm ngược LipschitzClarke (Định lý 1.3.2) được trình bày trong phần 1.3, kết quả đưa ra đánh giá định

lượng cho các lân cận U , V và hệ số Lipschitz L(g) phụ thuộc vào ∂f (x0) Định lýhàm ẩn Lipschiz định lượng (Định lý 1.4.2) được trình bày trong phần 1.4, kỹ thuậtchứng minh của định lý khác với kết quả của M Papi [PA, Theorem 3.1] Hơn nữacác điều kiện đưa ra trong luận án là đơn giản hơn và có thể tính toán tường minh.Phần 1.5 chứng minh lớp các ánh xạ Lipschitz thỏa mãn định lý hàm ngược Clarke

là mở (Định lý 1.5.1): Cho f là một ánh xạ thỏa mãn Định lý hàm ngược Clarke, nếu nhiễu f bởi một ánh xạ h với hệ số Lipschitz đủ bé thì f vẫn ổn định, nói cách khác, khi đó ánh xạ f + h cũng khả nghịch địa phương Trong phần 1.6, định lý

hạng hằng định lượng cho ánh xạ Lipschitz (Định lý 1.6.1) được chứng minh dựatrên việc áp dụng dạng định lượng của định lý hàm ngược, khi đó dạng định lượng

của định lý hạng hằng cho ánh xạ lớp C k là trường hợp riêng (Hệ quả 1.6.2).Chương này được viết trên cơ sở các bài báo [P2] và [L-P3] trong danh mục cáccông trình liên quan đến luận án (trang 105)

Trong phần này, ta trình bày một số khái niệm và các tính chất liên quan sẽđược sử dụng trong các kết quả của chương và luận án

1.2.1 Ký hiệu

Các ký hiệu sau đây sẽ được dùng trong luận án

Ký hiệu Mm ×n là không gian các ma trận thực cấp m × n, B n là quả cầu đơn vị mởtrong Rn, Bn

r là quả cầu mở bán kính r, tâm tại 0 ∈ R n, Bn

r (x0) là quả cầu mở bán

kính r, tâm tại x0 ∈ R n, Sn −1 là mặt cầu đơn vị trongRn, vàB m ×n là quả cầu đơn

vị mở trong Mm ×n Chuẩn trong các không gian trên:

(ii) ∥AB∥ ≤ ∥A∥∥B∥.

(iii) ∥A∥ ≤ √ n ∥A∥, với A ∈ M m ×n.

(iv) Với mọi A ∈ M m ×n và x ∈ R n ta có ∥Ax∥ ≤ ∥A∥∥x∥.

Định nghĩa 1.2.1 Cho f : U → R m là một ánh xạ khả vi lớp C k , k ≥ 1, trên một

tập mở U ⊂ R n Khi đó C k -chuẩn của f được định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.2.3 Ánh xạ f :Rm → R n được gọi là Lipschitz trong lân cận của

điểm x0 ∈ R m nếu tồn tại hằng số K > 0 sao cho với mọi x và y gần x0, ta có

∥f(x) − f(y)∥ ≤ K∥x − y∥.

Khi đó f được gọi là K-Lipschitz tại x0

Ánh xạ f được gọi là K-Lipschitz trên Rm nếu f là K-Lipschitz tại mọi x.

Định lý 1.2.4 (Rademacher) Nếu f : Rm → R n là K-Lipschitz thì f khả vi hầu khắp nơi.

Chứng minh Xem [F, Ch.3 Theorem 3.1.6].

Giả sử f là K-Lipschitz Theo định lý Rademacher, ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.2.5 (F H Clarke - 1976) Jacobi suy rộng của f tại x0, ký hiệu

∂f (x0), là bao lồi của các ma trận M dạng

M = lim

i →∞ J f (x i ),

f là khả vi tại x i , x i hội tụ đến x0 và J f (x i ) là Jacobi của f tại x i , với mỗi i.

Khi n = 1 thì ∂f (x) được gọi là gradient suy rộng của f tại x.

Cho p ≤ min(m, n), ta ký hiệu

Định nghĩa 1.2.6 Cho f : Rm → R n là Lipschitz trong lân cận của điểm

x0 ∈ R m Khi đó ∂f (x0) được gọi là có hạng cực đại nếu mọi M ∈ ∂f(x0) cóhạng là min{m, n}, ∂f(x0) được gọi là có hạng p nếu mọi M ∈ ∂f(x0) có hạng là

L(f ) = 0 ⇔ f ≡ 0, với mọi f ∈ Lip x0(Rm ,Rn ).

Như vậy Lipx

0(Rm ,Rn) là một không gian vectơ định chuẩn với chuẩn là L(·).

1.2.4 Chặn trên cho Ck-chuẩn của ánh xạ hợp và ánh xạ

nghịch đảo

Trong phần này, ta đưa ra các ước lượng cho C k-chuẩn của ánh xạ hợp và ánh

xạ nghịch đảo Các ước lượng này sẽ được sử dụng để tính toán các chặn trên trongcác kết quả của Chương 1 và Chương 2

Bổ đề 1.2.7 Cho f : U → V và g : V → R p là các ánh xạ khả vi lớp C k , k ≥ 1, trên các tập mở U ⊂ R n , V ⊂ R m Khi đó

∥g ◦ f∥ C k ≤ (1 k+ 2k+· · · + k k)∥g∥ C kmax(∥f∥ C k , ∥f∥ k

C k ).

Trong luận án này ta ký hiệu

E(K f , K g , k) = (1 k+ 2k+· · · + k k )K g max(K f , K f k ), với K ∗ =∥ ∗ ∥ C k

Chứng minh Áp dụng quy tắc xích (xem [A-M-R]), với p ≤ k, ta nhận được ước

Bổ đề 1.2.8 Cho φ : U → V là một ánh xạ vi phôi lớp C k giữa các tập con mở

U, V của Rn , k ≥ 1 Khi đó ta có

∥φ −1 ∥ C k ≤ EI(∥φ∥ C k , ∥Dφ −1 ∥, k), với EI được xây dựng như sau:

Cho

M0 = E( ∥φ∥ C k , max

0≤p≤k−1 p! ∥Dφ −1 ∥ p+1 , k − 1), M1 =∥Dφ −1 ∥, và

Từ Dφ −1 = Inv◦ Dφ ◦ φ −1, sử dụng Bổ đề 1.2.7, ta nhận được các bất phương trình

∥φ −1 ∥ C p = max(∥Dφ −1 ∥, ∥Dφ −1 ∥ C p −1)≤ E(∥φ −1 ∥ C p −1 , ∥Inv◦Dφ∥ C p −1 , p −1), với p ≥ 2.

Trước hết, ta ước lượng ∥Inv ◦ Dφ∥ C k −1:

Từ D p Inv(M )(δM ) = p!( −1) p (M −1 δM ) p M −1, ta nhận được∥D p Inv(M ) ∥ ≤ p!∥M −1 ∥ p+1

∥φ −1 ∥ C k ≤ M k = EI(K, L, k).

1.3 Định lý hàm ngược định lượng cho ánh xạ

Lipschitz

Phần này phát biểu một dạng định lượng cho định lý hàm ngược Lipschitz của

F H Clarke (1976 - [C1]) Trước hết ta có bổ đề sau:

Bổ đề 1.3.1 ([C1]) Cho f : Rn → R n là K-Lipschitz trong lân cận điểm x0 Cho

Ta có các kết quả sau với các giả thiết của Định lý 1.3.2 được thỏa mãn:

Mệnh đề 1.3.3 ([C1]) ∂f (x0) là tập con khác trống, lồi, compact của M n ×n

Ta giả sử rằng h :Rn → R là một hàm lớp C1, hàm f là Lipschitz gần x.

Bổ đề 1.3.4 ([C1]).

∂(h ◦ f)(x) ⊂ ∇h(f(x))∂f(x).

Bổ đề 1.3.5 Với mọi vectơ đơn vị v trong Rn , tồn tại một vectơ đơn vị w trong Rn

sao cho nếu x ∈ x0+ rB n và M ∈ ∂f(x) thì

Chứng minh Theo Mệnh đề 1.3.3 và ∂f (x0) có hạng cực đại, tập con ∂f (x0)Sn −1

của Rn là compact và không chứa 0 Lấy M0 ∈ ∂f(x0) Ta có

Chứng minh Chứng minh tương tự [C1, Lemma 4] nhưng thay [C1, Lemma 3] bằng

được g là Lipschitz với hằng số 1/δ, từ đó ta nhận được kết quả định lý.

Chú ý 1.3.8 Bộ (δ, r) của Định lý 1.3.2 chính là các ký hiệu thường được sử dụng

Như vậy, δ chính là một phần hai khoảng cách từ Jacobi suy rộng của f tại x0 đến

tập kỳ dị Σ Chú ý rằng nếu δ ′ ≤ δ thì Định lý 1.3.2 vẫn đúng khi δ được thay thế

Hệ quả 1.3.9 Với các giả thiết và ký hiệu của Định lý 1.3.2, và thêm điều kiện f

Nhận xét 1.4.1 Cho A = U ×V là tập con mở của R m ×R n Khi đó nếu F : A → R n

là một ánh xạ Lipschitz trong một lân cận của (x0, y0)∈ A thì Jacobi suy rộng của

Định lý 1.4.2 Cho A = U × V là một tập con mở của R m × R n và F : A → R n

là ánh xạ K-Lipschitz trong một lân cận của (x0, y0) ∈ A Giả sử rằng ∂2F (x0, y0)

Khi đó tồn tại lân cận U0 = Bm rδ

2(K+1)

(x0) của x0 và tồn tại duy nhất ánh xạ Lipschitz

g : U0 → V sao cho g(x0) = y0 và

F (x, g(x)) = 0 với mọi x ∈ U0 Hơn nữa, hằng số Lipschitz của g

L(g) ≤ K

δ . Chứng minh Chứng minh được chia thành các bước.

Bước 1 Đặt f (x, y) = (x, F (x, y)), với mọi (x, y) ∈ U × V Từ F là K-Lipschitz,

theo định lý Rademacher, tồn tại Jacobi suy rộng của F tại (x0, y0) Trong lân cận

của (x0, y0), F là khả vi hầu khắp nơi, do vậy tồn tại Jacobi suy rộng của f tại (x0, y0) và

Do vậy

1

∥M −1 ∥ ≥

1(

1 + (K + 1)2∥M −1

2 ∥2)1 2

g(x) = h(x, 0).

Khi đó g là Lipschitz và

(x, F (x, g(x))) = f (x, g(x)) = f (x, h(x, 0)) = f (f −1 (x, 0)) = (x, 0).

Bước 5 Ước lượng lân cận U0 của x0 và hằng số Lipschitz L(g):

Áp dụng quy tắc Leibnitz (xem [A-M-R]), ta có

}

,

24· 1 2(1+√

Nhận xét 1.4.5 Kỹ thuật chứng minh của Định lý 1.4.2 khác với chứng minh của

[PA, Theorem 3.1] về định lý hàm ẩn cho ánh xạ Lipschitz, các điều kiện của haiđịnh lý là tương đương Tuy nhiên các tham số định lượng trong Định lý 1.4.2 làtường minh và có thể đánh giá chi tiết như Ví dụ 1.4.4

1.5 Tính mở của lớp các ánh xạ Lipschitz thỏa

mãn định lý hàm ngược Clarke

Định lý 1.5.1 Cho f0 : Rn → R n là ánh xạ Lipschitz trong lân cận của x0 ∈ R n

và thỏa mãn

K ∥x − y∥ ≤ ∥f0(x) − f0(y) ∥ ≤ K ′ ∥x − y∥, K, K ′ > 0.

Giả sử ∂f0(x0) có hạng cực đại Cho f = f0 + h, với h : Rn → R n là ánh xạ L-Lipschitz sao cho

∥x∥=1 ∥Jf(x i )x ∥

)

supy ̸=0 ∥Jf(x ∥y∥ i)y ∥ ≤ K ′ , ∀Jf(x i) ⇒ sup J f (x i)

(max∥x∥=1 ∥Jf(x i )x ∥)≤ K ′

Vậy f là Lipschitz với hệ số K ′ + L.

Theo Định lý Rademacher f khả vi hầu khắp nơi Do đó tồn tại Jacobi suy rộng

ở đây dãy{x0+ h i } thuộc phần bù của E, do vậy nó sinh ra một dãy con {x0+ h n i }

sao cho cả hai dãy J f0(x0+ h n i ) và J h(x0+ h n i) đều hội tụ Do đó

M = lim

i →∞ J f0(x0+ h n i) + lim

i →∞ J h(x0 + h n i ) = M0+ H, với M0 ∈ ∂f0(x0), H ∈ ∂h(x0)

Tiếp theo, ta chứng minh ∂f (x0) có hạng cực đại:

Áp dụng (1.4) và (1.5) ta có

L < K ⇒ sup H ∈∂h(x0 )∥H∥ < inf M0∈∂f0(x0 )

(min∥x∥=1 ∥M0x ∥)

Theo Định lý 1.2.2, M0+ H có hạng cực đại với mọi H ∈ ∂h(x0), M0 ∈ ∂f0(x0).

Theo chứng minh trên, nếu M ∈ ∂f(x0) thì M = M0 + H, với M0 ∈ ∂f0(x0),

H ∈ ∂h(x0) Do vậy M có hạng cực đại với mọi M ∈ ∂f(x0) Vậy ∂f (x0) có hạngcực đại

Như vậy f là Lipschitz và ∂f (x0) có hạng cực đại Áp dụng Định lý 1.3.2 ta nhậnđược kết quả của định lý

Hơn nữa, theo chứng minh Định lý 1.3.2, ta có

Hệ quả 1.5.2 Lớp các ánh xạ Lipschitz thỏa mãn định lý hàm ngược Clarke là mở

trong không gian Lip x0(Rn ,Rn ).

Chứng minh Áp dụng Định lý 1.5.1 với ánh xạ f0 thỏa mãn f0(x0) = 0.

Ví dụ 1.5.3 Cho n = 2, xét hàm f0(x, y) = ( |x| + 2x, |y| + 2y) trong B2((0, 0)).

Như vậy, f0 là Lipschitz với hệ số K = 1, K ′ = 3.

1.6 Định lý hạng hằng định lượng

Phần này, áp dụng định lý hàm ngược định lượng cho ánh xạ Lipschitz, ta đưa

ra dạng định lượng của định lý hạng hằng cho ánh xạ Lipschitz

Định lý 1.6.1 Cho f :Rn → R m là một ánh xạ Lipschitz trong một lân cận U của

x0 ∈ R n với L(f ) ≤ K Giả sử rằng ∂f(x) có hạng p với mọi x ∈ U và ∂ p ×p f (x0)