Khóa luận tốt nghiệp toán học :RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN

LỜI CẢM ƠN Trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp, em đã nhận được sự giúp đỡ của ban chủ nhiệm khoa Toán Lý Tin, Trường Đại học Tây Bắc và các thầy cô giáo trong Khoa, đặc biệt sự hướng dẫn nhiệt tình của cô giáo Thạc sỹ Hoàng Thị Thanh để khóa luận được hoàn thành trong thời gian sớm nhất. Bên cạnh đó em còn nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của các bạn sinh viên lớp K51 ĐHSP Toán Lý, các em học sinh trường THPT Tô Hiệu. Vì đây là công trình nghiên cứu khoa học giáo dục đầu tay của bản thân nên không tránh khỏi thiếu sót và hạn chế em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô và toàn thể các bạn. Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý thầy cô cùng toàn thể các bạn sinh viên. Chúc quý thầy cô, các bạn sinh viên, các em học sinh sức khỏe, thành công và hạnh phúc. Em xin chân thành cảm ơn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGUYỄN THỊ HỒNG QUYÊN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH

TRONG KHÔNG GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

SƠN LA, NĂM 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

NGUYỄN THỊ HỒNG QUYÊN

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC CHO HỌC SINH THPT THÔNG QUA DẠY HỌC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH

TRONG KHÔNG GIAN

Chuyên ngành: Lí luận và PPDH môn Toán

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌCNgười hướng dẫn: ThS Hoàng Thị Thanh

SƠN LA, NĂM 2014

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện khóa luận tốt nghiệp, em đã nhận được sự giúp đỡ của ban chủ nhiệm khoa Toán - Lý - Tin, Trường Đại học Tây Bắc và các thầy cô giáo trong Khoa, đặc biệt sự hướng dẫn nhiệt tình của cô giáo -

Thạc sỹ Hoàng Thị Thanh để khóa luận được hoàn thành trong thời gian

sớm nhất

Bên cạnh đó em còn nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của các bạn sinh viên lớp K51 ĐHSP Toán Lý, các em học sinh trường THPT Tô Hiệu Vì đây là công trình nghiên cứu khoa học giáo dục đầu tay của bản thân nên không tránh khỏi thiếu sót và hạn chế em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô

và toàn thể các bạn

Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới quý thầy cô cùng toàn thể các bạn sinh viên Chúc quý thầy cô, các bạn sinh viên, các em học sinh sức khỏe, thành công và hạnh phúc

Em xin chân thành cảm ơn!

Sơn La, tháng 5 năm 2014

Tác giả

Nguyễn Thị Hồng Quyên

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

2.1 Mục đích nghiên cứu 2

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Phạm vi nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc của đề tài 2

CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN……….………….3

1.1 Kỹ năng 3

1.1.1 Khái niệm 3

1.1.2 Kỹ năng giải toán 3

1.1.3 Sự hình thành kỹ năng giải toán 3

1.1.4 Con đường hình thành kỹ năng giải toán 4

1.2 Dạy học giải bài tập toán 4

1.2.1 Mục đích dạy học toán 4

1.2.1.1 Những căn cứ xác định mục đích dạy học môn Toán 4

1.2.2 Vị trí và chức năng của bài tập toán học 8

1.2.3 Yêu cầu đối với lời giải bài toán 9

1.2.4 Dạy học phương pháp chung để giải bài toán 10

1.2.3.1 Tìm hiểu chung đề toán 10

1.2.3.2 Tìm tòi lời giải bài toán 11

1.2.3.3 Trình bày lời giải của bài toán 11

1.2.3.4 Nhìn lại bài toán 11

1.3 Nội dung khoảng cách trong không gian trong chương trình hình học THPT 13

1.3.1 Khoảng cách trong hình học không gian trong chương trình toán THPT 13

1.3.2 Một số dạng bài toán về tính khoảng cách trong không gian trong chương trình toán THPT 13

1.4 Thực trạng việc dạy học nội dung tính khoảng cách trong không gian 144

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG KHÔNG GIAN 15

2.1 Định hướng giải các dạng bài tập tính khoảng cách trong không gian trong chương trình toán THPT 15

2.1.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng 15

2.1.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng 15

2.1.3 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó.18 2.1.4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song 18

2.1.5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau 18

2.2 Rèn luyện kỹ năng giải một số bài tập về tính khoảng cách trong không gian trong chương trình THPT 19

CHƯƠNG 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 40

3.2 Phương pháp thực nghiệm 40

3.3 Nội dung thực nghiệm 40

3.4 Tổ chức thực nghiệm 40

KẾT LUẬN CHUNG 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Chúng ta đang sống trong thế kỷ 21, thế kỷ của khoa học công nghệ và hội nhập Tri thức và kỹ năng của con người là nhân tố vô cùng quan trọng trong sự phát triển của xã hội, trong đó giáo dục góp phần to lớn trong việc trang bị tri thức, kỹ năng cho con người

Toán học – một khoa học có nhiều ứng dụng thự tiễn cũng như đối với các ngành khoa học khác Nó ra đời từ lúc bình minh của loài người và ngày càng phát triển thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực khoa học và đời sống

Khoảng cách trong không gian là một phần nội dung khá trừu tượng trong chương trình toán phổ thông Vì vậy tổ chức hiệu quả việc dạy học hình học không gian nói chung, tính khoảng cách trong không gian nói riêng có vai trò lớn tác động đến kết quả học tập của học sinh

Trong chương trình toán học lớp 11, 12, bài toán về khoảng cách trong không gian giữ một vai trò quan trọng, nó xuất hiện ở hầu hết các đề thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng, đề thi học sinh giỏi, các đề thi tốt nghiệp trong những năm gần đây Mặc dù vậy, đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có

tư duy sâu sắc, có trí tưởng tượng hình không gian phong phú nên đối với học sinh đại trà, đây là mảng kiến thức khó và thường để mất điểm trong các kì thi nói trên Đối với học sinh giỏi, các em có thể làm tốt phần này Tuy nhiên, cách giải còn rời rạc, làm bài nào biết bài đấy và thường tốn khá nhiều thời gian Giải bài tập về tính khoảng cách trong không gian vừa là mục đích, vừa là phương tiện làm cho học sinh nắm được kiến thức cơ bản, rèn luyện kỹ năng – suy luận toán học, tính toán, toán học hóa các tình huống thực tế… và rèn luyện các phẩm chất tư duy: linh hoạt, độc lập, sáng tạo, cẩn thận, chính xác… góp phần phát triển năng lực toán học cho học sinh

Xuất phát từ nhu cầu đang là sinh viên năm cuối tương lai là một giáo viên

THPT Tôi chọn đề tài nghiên cứu “Rèn luyện kỹ năng cho học sinh phổ thông

thông qua việc giải một số bài toán về tính khoảng cách trong không gian”

đây là một cơ hội để tôi tập nghiên cứu học hỏi và cũng là một lần làm chuyên

đề cho chính bản thân mình

2 Mục đích nghiên cứu

2.1 Mục đích nghiên cứu

Rèn luyện kỹ năng giải một số bài toán về tính khoảng cách trong không gian trong chương trình toán THPT nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học hình học không gian

2.2 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu các vấn đề lý luận có liên quan đến đề tài như: phương pháp,

kỹ năng giải bài tập…

- Tìm hiểu về thực trạng việc dạy học giải bài tập về tính khoảng cách ở trường THPT

- Phân loại các bài tập về tính khoảng cách trong không gian nhằm hình thành phương pháp và kỹ năng cho học sinh

- Tiến hành thực nghiệm sư phạm bước đầu rút ra kết luận cần thiết

3 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu quá trình dạy học giải bài toán hình học không gian

4 Phạm vi nghiên cứu

Kỹ năng giải các bài toán về tính khoảng cách trong không gian

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận;

- Phương pháp quan sát - điều tra;

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm

6 Cấu trúc của đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo….nội dung của khóa luận gồm 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh THPT thông qua một

số bài toán về tính khoảng cách trong hình học không gian

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

1.1.2 Kỹ năng giải toán

Kỹ năng giải toán là kỹ năng sử dụng có mục đích sáng tạo những kiến thức toán học để giải những bài tập toán học

Kỹ năng giải bài tập toán học: trước hết là kỹ năng phân tích bài toán, kỹ năng xác định được hướng giải đúng và kỹ năng trình bày lời giải một cách lôgic, chính xác trong một thời gian nhất định

* Mức độ của kỹ năng

Trong toán học có thể chia làm hai mức độ kỹ năng giải bài tập toán học:

- Kỹ năng giải bài tập toán học cơ bản

- Kỹ năng giải bài tập toán học tổng hợp

Trong mỗi mức độ có 3 trình độ khác nhau:

- Biết làm: Nắm được quy trình giải một loại bài tập toán học cơ bản nào

đó tương tự như bài tập mẫu nhưng chưa nhanh

- Thành thạo: Giải nhanh, ngắn gọn, chính xác như bài tập mẫu nhưng chưa

có biến đổi

- Mềm dẻo linh hoạt sáng tạo: Đưa ra được cách giải ngắn gọn, độc đáo

khác lời giải mẫu do biết vận dụng vốn kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo không chỉ với những bài toán cơ bản mà với cả những bài toán mới

1.1.3 Sự hình thành kỹ năng giải toán

- Giai đoạn 1: Học sinh vận dụng lí thuyết để giải những bài tập toán học

cơ bản từ đó sẽ hình thành ở học sinh những thao tác cơ bản như: Viết các đối tượng theo ngôn ngữ toán học, viết chính xác công thức, kí hiệu, vận dụng công thức để tính toán,…Việc hình thành kỹ năng riêng của giai đoạn này là giải bài tập mẫu cụ thể để học sinh biết được angorit thao tác giải bài tập toán học cơ bản (trình bày, gợi ý để học sinh tự giải)

- Giai đoạn 2: Học sinh vận dụng những kiến thức thao tác để giải bài tập

cơ bản qua đó hình thành kỹ năng giải bài tập cơ bản: Luyện tập giải một số bài toán tương tự bài toán mẫu…

- Giai đoạn 3: Hình thành kỹ năng giải bài tập tổng hợp thông qua việc cho học sinh giải những bài toán đa dạng, phức tạp Rèn luyện các bài tập tổng hợp với mức độ khó ngày càng nâng cao (nâng dần từ thấp tới cao)

* Một số yêu cầu rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh ở trường THPT:

- Học sinh cần hiểu cấu trúc bài tập;

- Kỹ năng giải bài tập toán học không đơn lẻ mà là một hệ thống các kỹ năng: bài tập lí thuyết, kỹ năng tính toán,…

1.1.4 Con đường hình thành kỹ năng giải toán

- Kỹ năng được hình thành do học tập mà có (theo lí luận dạy học)

Có thể hình thành kỹ năng theo nhiều cách:

+ Luyện tập theo mẫu: Cho học sinh giải bài tập toán học tương tự mẫu Việc này có thể hình thành ngay trong tiết học rải rác qua một số bài hoặc bài tập về nhà từ đó giúp học sinh rèn luyện từng thao tác giải từng loại bài tập cụ thể

+ Luyện tập không theo mẫu: Học sinh luyện tập khi những điều kiện và yêu cầu của bài toán thay đổi từ đơn giản đến phức tạp từ đó giúp học sinh phát triển các kỹ năng bậc cao

+ Luyện tập theo nhiều hình thức giải bài tập toán học khác nhau Ngoài bài tập có nhiều hình thức rèn luyện kỹ năng giải bằng lời, giải dưới dạng viết, giải bằng thực nghiệm

+ Luyện tập thường xuyên: Luyện tập thường xuyên để tạo điều kiện cho học sinh rèn luyện kỹ năng trong tiết học và ở nhà

1.2 Dạy học giải bài tập toán

1.2.1 Mục đích dạy học toán

1.2.1.1 Những căn cứ xác định mục đích dạy học môn Toán

Việc xác định mục đích dạy học môn Toán phải xuất phát từ mục tiêu giáo dục nước ta, từ đặc điểm và vị trí môn Toán

* Mục tiêu giáo dục

Nói một cách tổng quát, mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam

là hình thành những cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu và điều kiện, hoàn cảnh của đất nước Việt Nam Luật giáo dục nước ta quy định: “Mục tiêu giáo dục là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện, có đạo đức, tri thức, sức khỏe, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ nghĩa xã hội, hình thành

và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất và năng lực của công dân, đáp ứng yêu cầu xây dựng và bảo vệ Tổ quốc” (Luật giáo dục 1998, Chương I, điều 2)

“Mục tiêu của giáo dục phổ thông là giúp học sinh phát triển toàn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản nhằm hình thành nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa, xây dựng tư cách và trách nhiệm công dân, chuẩn bị cho học sinh tiếp tục học lên hoặc đi vào cuộc sống lao động, tham gia xây dựng và bảo vệ Tổ quốc” (Luật giáo dục, Chương 2, mục 2 điều 23)

Môn Toán cũng như mọi môn học khác, xuất phát từ đặc điểm vị trí của mình, phối hợp cùng với các môn học khác và các hoạt động khác nhau trong nhà trường, góp phần thực hiện mục tiêu nêu trên

* Đặc điểm môn Toán

Về đặc điểm môn Toán: Thứ nhấ, phải tính tới tính trừu tượng cao độ và tính thực tiễn phổ dụng

Tính trừu tượng của Toán học và của môn Toán trong nhà trường được quy định do chính đối tượng và phương pháp của Toán học thể hiện ở hai định nghĩa sau đây:

- Toán học là khoa học nghiên cứu về các quan hệ số lượng, hình dạng và logic trong thế giới khách quan

Kể từ khi có hình học giải tích, rồi logic toán thì để cho gọn, có thể gói cả

ba quan hệ trên vào trong “quan hệ số lượng” Bởi vậy, có thể nói Toán học là khoa học nghiên cứu về các quan hệ số lượng của thế giới khách quan

- Toán học là khoa học nghiên cứu về cấu trúc số lượng mà người ta có thể trang bị cho một tập hợp bằng một hệ tiên đề (Nguyễn Cảnh Toàn 2001 tr.707) Như vậy, những quan hệ số lượng được hiểu theo một nghĩa rất tổng quát

và rất trừu tượng Chúng có thể diễn tả cả quan hệ logic và quan hệ hình dạng không chỉ trong không gian thực tế ba chiều mà còn cả những không gian trừu tượng khác nữa như không gian có số chiều là n hoặc vô hạn, không gian mà phần tử là những hàm liên tục v.v … Quan hệ số lượng không chỉ bó hẹp trong

phạm vi các tập hợp số mà còn được hiểu như những phép toán và những tính chất của chúng trên những tập hợp có các phần tử là những đối tượng loại tùy ý như ma trận, tập hợp, mệnh đề, phép biến hình v.v…

Đương nhiên tính chất trừu tượng không phải chỉ có trong Toán học mà là đặc điểm của mọi khoa học Nhưng trong Toán học, cái trừu tượng tách ra khỏi mọi chất liệu của đối tượng, chỉ giữ lại những quan hệ số lượng dưới dạng cấu trúc mà thôi Như vậy, Toán học có tính chất trừu tượng cao độ

Sự trừu tượng hóa trong Toán học diễn ra trên những bình diện khác nhau

Có những khái niệm Toán học là kết quả của sự trừu tượng hóa những đối tượng vật chất cụ thể như: khái niệm số tự nhiên, hình bình hành Nhưng cũng có nhiều khái niệm là kết quả của sự từu tượng hóa những cái trừu tượng đã đạt được trước đó, chẳng hạn như: khái niệm nhóm, vành, trường, không gian véctơ

…

Tính trừu tượng cao độ chỉ che lấp chứ không hề làm mất tính thực tiễn của Toán học Toán học có nguồn gốc thực tiễn như: số học ra đời do nhu cầu số đếm, hình học phát sinh do sự cần thiết phải đo ruộng đất bên bờ sông Nin (Ai Cập) sau những trận lụt hàng năm Khi đó, nói đến nguồn gốc thực tiễn của Toán học cũng cần nhấn mạnh cả nguồn gốc thực tiễn của chính các quy luật của logic hình thức được sử dụng trong Toá học

Tính trừu tượng cao độ của Toán học có tính thực tiễn phổ dụng, có thể ứng dụng được trong nhiều lĩnh vực rất khác nhau của đời sống thực tế Ví dụ: những tri thức về tương quan tỷ lệ thuận biểu thị bởi công thứcyxacó thể được ứng dụng vào hình học, điện học, hóa học… vì mối tương quan này phản ánh những mối liên hệ trên các lĩnh vực đó, chẳng hạn:

- Diện tích S của một tam giác với một cạnh a cho trước tỷ lệ thuận với đường cao h ứng với cạnh đó: S = 1

Thiên văn học, Địa lý, Sinh học,Tâm lý học và trở thành một công cụ có hiệu lực của ngành đó

Thứ hai, cần phải nhấn mạnh tính logic và tính thực nghiệm của Toán học Khi xây dựng Toán học, ngượi ta dùng suy diễn ligic, cụ thể là dùng phương pháp tiên đề Theo phương pháp đó, xuất phát từ các khái niệm nguyên thủy (tức là đối tượng nguyên thủy và quan hệ nguyên thủy) và các tiên đề rồi dùng các quy tắc logic để định nghĩa các khái niệm khác và chứng minh các mệnh

đề khác

Khi trình bày môn Toán trong nhà trường phổ thông, do đặc điểm lứa tuổi

và yêu cầu của từng bậc học, cấp học, nói chung là vì lí do sư phạm, người ta có phần châm trước, nhân nhượng về tính logic: mô tả (không định nghĩa) một số khái niệm không phải là nguyên thủy, thừa nhận (không chứng minh) một số mệnh đề không phải là tiên đề hoặc chấp nhận một số chứng minh chưa chặt chẽ Tuy nhiên, nhìn chung giáo trình toán phổ thông cũng vẫn mang tính logic,

hệ thống: tri thức trước chuẩn bị cho tri thức sau, tri thức sau dựa vào tri thức trước, tấ cả như những mắt xích liên kết với nhau một cách chặt chẽ

Cần chú ý rằng Toán học có thể xét theo hai phương diện Nếu chỉ trình bày lại những kết quả Toán học đã đạt được thì nó là một khoa học suy diễn và tính lôgic nổi bật lên Nhưng nếu nhìn Toán học trong quá trình hình thành và phát triển, trong quá trình tìm tòi và phát minh, thì trong phương pháp của nó vẫn có tìm tòi dự đoán, vẫn có thực nghiệm và quy nạp Như vậy sự thống nhất giữa suy đoán và suy diễn là một đặc điểm của tư duy Toán học Phải chú ý cả hai phương diện đó mới có thể hướng dẫn học sinh học Toán, mới khai thác được đầy đủ tiềm năng môn Toán để thực hiện mục đích giáo dục toàn diện

kỹ năng Toán học như : tính toán, vẽ hình, đọc và vẽ biểu đồ, đo đạc, ước lượng,

sử dụng những dụng cụ Toán học và máy tính điện tử Môn Toán còn giúp học

sinh hình thành và phát triển những phương pháp, phương thức tư duy và hoạt động như: toán học hóa tình huống thực tế, thực hiện và xây dựng thuật giải, phát hiện và giải quyết vấn đề… Những kỹ năng này rất cần cho người lao động trong thời đại mới

Xuất phát từ mục tiêu giáo dục Việt Nam, từ đặc điểm và vị trí môn Toán, việc dạy học môn này có các mục đích sau:

- Truyền thụ tri thức, kĩ năng Toán học và kĩ năng vận dụng Toán học vào thực tiễn;

- Phát triển năng lực trí tuệ chung;

- Giáo dục tư tưởng chính trị, phẩm chất đạo đức và thẩm mỹ;

- Bảo đảm chất lượng phổ cập, đồng thời phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu về toán

1.2.2 Vị trí và chức năng của bài tập toán học

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học, đối với học sinh

có thể xem việc giải toán là một hình thức chủ yếu của hoạt động toán học Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán học là điều kiện tốt để thực hiện các mục đích dạy học toán ở trường phổ thông Vì vậy, tổ chức có hiệu quả việc giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy học toán

Trong thực tiễn dạy học bài tập toán được sử dụng với những dụng ý khác Mỗi bài tập có thể tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra… Tuy nhiên, việc dạy giải một bài tập cụ thể thường không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào đó mà thường bao hàm những ý đồ nhiều mặt đã nêu

Mỗi bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng một chức năng khác Những chức năng này đều hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy học Trong môn toán các bài tập mang những chức năng sau:

- Chức năng dạy học, bài tập nhằm hình thành cung cấp cho học sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác trong quá trình dạy học

- Chức năng giáo dục, bài tập nhằm hình thành cho học sinh thế giới duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức của người lao

động mới

- Chức năng phát triển, bài tập nhằm phát triển năng lực tư duy học sinh đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuê ̣ hình thành những phẩm chất của tư duy khoa học

- Chức năng kiểm tra, bài tập nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy học, đánh giá khả năng độc lập toán học và trình độ phát triển của học sinh

Trên thực tế các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rời nhau Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể là hàm ý nói chức năng ấy được thực hiện một cách tường minh và công khai hiệu quả của việc dạy học toán ở trường phổ thông phần lớn phụ thuộc vào việc khai thác, thực hiện một cách đầy đủ các chức năng có thể có của một bài tập mà người viết SGK đã có dụ ý chuẩn bị Người giáo viên chỉ có thể khám phá và thực hiện được những dụ ý đó bằng năng lực sư phạm và trình độ nghệ thuật dạy học của mình

1.2.3 Yêu cầu đối với lời giải bài toán

Để khai thác tốt chức năng của bài toán thầy và trò cần nắm vững các yêu cầu của một lời giải:

* Lời giải không có sai lầm: Yêu cầu này có nghĩa là lời giải không có sai

sót về kiến thức toán học, về phương pháp suy luận, về kĩ năng tính toán, về kí hiệu, hình vẽ, kể cả không có sai lầm về nội dung diễn đạt Giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh thói quen xem xét kiểm tra lại kết quả giải toán và lời giải của mình, qua đó giáo dục ý thức trách nhiệm đối với công việc đồng thời phát triển óc phê phán Cần giúp học sinh kiểm tra kết quả bằng cách đối chiếu bài làm với từng câu hỏi của đề bài Xét tính hợp lý của đáp số với đầu bài hoặc từng cách làm, tìm một phương pháp giải khác nếu có thể rồi so sánh các kết quả giải được theo những phương pháp khác nhau Cũng cần yêu cầu học sinh kiểm tra lại bằng việc vân dụng linh hoạt những kết quả đã học chứ không chỉ đơn thuần bằng cách so sánh với đáp số cho sẵn như nhiều học sinh vẫn làm

Trong giải toán học sinh có thể mắc sai lầm do hấp tấp cẩu thả, sơ xuất trong tính toán, không xem xét kĩ đầu bài

* Lập luận phải có căn cứ chính xác: Yêu cầu này đòi hỏi từng bước đổi

mới trong lời giải có cơ sở lý luận phải dựa vào các định nghĩa, định lý, quy tắc, công thức đã học, đặc biệt phải chú ý đảm bảo thỏa mãn điều kiện nêu trong giả thiết của định lý

* Lời giải phải đầy đủ: Điều kiện này có nghĩa là không được bỏ sót một

trường hợp nào, một khả năng, một chi tiết nào Nó cũng có nghĩa là lời giải vừa không thừa vừa không thiếu Muốn vậy cần chú ý tập cho học sinh trong quá trình giải toán phải luân suy xét và tự trả lời các câu hỏi như: Ta đang phải xem xét cái gì?; Như vậy đã đủ chưa?; Còn trường hợp nào nữa không?; Đã đủ các trường hợp đặc biệt chưa?;… Học sinh thường bộc lộ thiếu sót là không xem xét đầy đủ các trường hợp, các khả năng xảy ra ở một tình huống, nhất là những bài toán tham biến, các bài toán đòi hỏi phải biện luận…

* Ngôn ngữ chính xác

* Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật: Yêu cầu này đặt ra với cả lời văn, chữ viết, hình vẽ, cách sắp xếp các yếu tố (chữ, số, hình, kí hiệu, ) trong lời giải

* Tìm ra nhiều cách giải, chọn cách giải ngắn gọn, hợp lý nhất

* Nghiên cứu những bài toán tương tự

1.2.4 Dạy học phương pháp chung để giải bài toán

Quá trình giải một bài toán thường trải qua các bước sau đây: Tìm hiểu chung đề toán; tìm tòi lời giải bài toán; trình bày lời giải bài toán; nghiên cứu sâu lời giải

1.2.3.1 Tìm hiểu chung đề toán

Để hiểu rõ đề toán, trước hết cần nắm vững mọi khái niệm đươc đề cập đến trong bài toán Cần phải nhớ lại vác khái niệm đó đươc định nghĩa như thế nào hoăc có thể định nghĩa bằng những cách khác nhau như thế nào?

Sau đó phải nắm được yêu cầu của bài toán Phải biết được bài toán cho cái

gì, và yêu cầu của bài toán là gì?

Đối với bài toán hình học, nói chung phải vẽ hình Đọc kĩ toàn bộ bài toán

từ đó tưởng tượng một cách tổng quát và sơ bộ hình phác thảo có chứa đựng các

dữ kiện trong đề bài (nhất là đối với bài toán hình học trong không gian) Sau

đó vẫn trong tưởng tượng chọn điểm quan sát thích hợp để biểu diễn hình một cách trực quan nhất … Thường sau khi vẽ hình học sinh sẽ hiểu rõ bài toán hơn Hình vẽ cần mang tính tổng quát, ta không nên vẽ hình trong trường hợp đặc biệt nào Hình vẽ phải rõ ràng, chánh có những nét chập vào nhau, các nét thấy, nét khuất phải rõ, đúng quy ước Hình vẽ các hình biểu diễn không gian còn phải đảm bảo chính xác theo đúng lý thuyết biểu diễn hình qua phép chiếu song song Chẳng hạn trung điểm của đoạn thẳng, hình biểu diễn trọng tâm tam giác

1.2.3.2 Tìm tòi lời giải bài toán

Đây là bước quan trọng nhất trong hoạt động giải toán Ở bước này, ta phải biết định hướng đúng để tìm ra được nhanh chóng hướng giải bài toán

Tìm tòi, phát hiện cách giải nhờ những suy nghĩ có tính chất tìm đoán: biến đổi cái đã cho, biến đổi cái phải tìm hay phải chứng minh, liên hệ cái đã cho hoặc cái phải tìm với những tri thức đã biết, liên hệ bài toán cần giải với một bài toán cũ tương tư, một trường hơp riêng, một bài toán tổng quát hơn hay mộ bài toán liên quan, sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như: chứng minh phản chứng, quy nạp toán học, toán dựng hình, toán quỹ tích

1.2.3.3 Trình bày lời giải của bài toán

Sau khi tìm được cách giải hay nhất, xắp xếp chúng theo một trật tự nhất định và hợp lý nhất, trình bày vào trong bài làm của mình…

1.2.3.4 Nhìn lại bài toán

Sau khi giải xong, chúng ta nên thưc hiên:

- Kiểm tra lại kết quả và toàn bộ quá trình giải toán

- Suy nghĩ xem có những lời giải khác không? Lời giải đã được lựa chọn có phải là hay nhất không?

- Suy nghĩ xem có thể sử dụng kết quả hay phương pháp giải cho một bài toán khác không?

- Từ những kết quả đã thu được tìm cách đề xuất những bài toán khác nhờ tương tự, tổng quát hóa …

Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B, cạnh SA(ABC)

Từ A kẻ ADSB và AESC Biết ABa, BCb, SAc Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ADE)

Bước 1 Tìm hiểu chung đề toán:

B

S

A

C D

E

Giả thiết

B90

SA  (ABC) AD  SB, AE  SC, AB = a,

BC = b, SA= c

Kết luâ ̣n d (S; (ADE)) = ?

Bước 2 Phân tích tìm lơ ̀ i giải:

- Ta có AD, AE là các đường cao trong tam giác SAB và SAC

- Ta thấy: BC(SAB) BCAD

- Ta chỉ ra được AD(SBC) và do đó ADSC

- Kết hợp với giả thiết AESCSC(ADE)

SE(ADE) hay khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ADE) chính là độ dài đoạn thẳng SE

Bước 3 Trình bày lời giải:

Ta có: ABC vuông tại B nên ABBC

Theo giả thiết: SA(BAC)SA BC mà ABBC

Hay SE chính là khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ADE)

Độ dài SE: Ta có AE.SB= AS.AC nên:

Bước 4 Nghiên cứu lời giải:

Ta có thể mở rông bài toán: Ta đã biết SE là khoảng cách từ S đến mặt phẳng (DAE) hay SE chính là đường cao trong hình chóp S.ADE Do đó ta có thể tính thể tích khối chóp S.ADE

Ta có bài toán mới: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông ở B, cạnh SA(ABC) Từ A kẻ ADSB và AESC Biết ABa, BCb,

SAc Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ADE) Tính thể tích khối chóp S.ADE

1.3 Nội dung khoảng cách trong không gian trong chương trình hình học THPT

1.3.1 Khoảng cách trong hình học không gian trong chương trình toán THPT

Trong chương trình toán học, hình học không gian là một phần kiến thức quan trọng Các bài toán về tính khoảng cách trong không gian có thể xem là một trong những dạng toán cơ bản nhất trong chương trình Hình Học THPT

Khoảng cách đựơc trình bày ở bài 5 trong chương 3 của hình học 11 Theo phân phối chương trình của Bộ giáo dục và Đào tạo, nội dung này được dạy trong 2 tiết gồm:

- Định nghĩa các loại khoảng cách trong không gian

- Các tính chất về khoảng cách và mối liên hệ giữa các loại khoảng cách

- Bài tập về khoảng cách

1.3.2 Một số dạng bài toán về tính khoảng cách trong không gian trong chương trình toán THPT

1) Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng

2) Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng

3) Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song

4) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

5) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Để giải được những bài toán về tính khoảng cách, học sinh cần có các kỹ năng tính toán, kỹ năng vẽ hình, kỹ năng chứng minh Đặc biệt quan trọng là

kỹ năng phân tích tìm cách giải, kỹ năng xác định hướng giải đúng và kỹ năng trình bày lời giải Khóa luận sẽ tập trung rèn luyện các kỹ năng quan trọng trên

1.4 Thực trạng việc dạy học nội dung tính khoảng cách trong không gian

Nhằm tìm hiểu thực tế về việc dạy học nội dung giải bài tập về tính khoảng cách trong không gian cho học sinh THPT Tôi có tiến hành điều tra 42 học sinh lớp 11A1 và 48 em học sinh lớp 11A2 trường THPT Tô Hiệu - Sơn La, kết quả điều tra cho bởi bảng sau: Tại lớp 11A1

Qua trao đổi với giáo viên tôi cũng rút ra nhận xét, giáo viên ít chú ý rèn luyện kỹ năng phân tích tìm cách giải bài toán cho học sinh, chưa tạo được hứng thú cho học sinh trong dạy học nội dung về tính khoảng cách trong không gian Tôi nhận thấy đây là một nội dung khó đối với học sinh, mà thời gian học tập nội dung này quá ít Vì vây, cần phải nghiên cứu, tìm giải pháp giúp các em rèn luyện kỹ năng trong việc giải các bài tập này

CHƯƠNG 2 RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI TOÁN THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH KHOẢNG CÁCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 2.1 Định hướng giải các dạng bài toán tính khoảng cách trong hình học không gian trong chương trình toán THPT

2.1.1 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho điểm O và đường thẳng  Gọi H là hình chiếu của O trên  Khi đó

khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến

đường thẳng  Kí hiệu d(O, )

* Nhận xét

- M ,OMd(O, )

- Để tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng  ta có thể

+ Xác định hình chiếu H của O trên  và tính OH

+ Áp dụng công thức

2.1.2 Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Cho điểm O và mặt phẳng () Gọi H là hình chiếu của O trên () Khi đó

khoảng cách giữa hai điểm O và H được gọi là khoảng cách từ điểm O đến mặt

phẳng () Kí hiệu d(O,( ))

* Nhận xét

- M ( ),OM   d(O,( ))

- Để tính khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng () ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

Cách 1 Tính trực tiếp: Xác định hình chiếu H của O trên () và tính OH

* Phương pháp chung

- Dựng mặt phẳng (P) chứa O và vuông góc với ()

- Tìm giao tuyến  của (P) và ()

- Kẻ OH  ( H) Khi đó d(O,( )) OH  Đặc biệt:

+ Trong hình chóp đều, thì chân đường cao hạ từ đỉnh trùng với tâm đáy

+ Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường vuông góc

hạ từ đỉnh sẽ thuộc giao tuyến của mặt bên đó với đáy

+ Hình chóp có 2 mặt bên vuông góc với đáy thì đường cao chính là giao tuyến của hai mặt bên này

+ Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau (hoặc tạo với đáy những góc bằng nhau) thì chân đường cao là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy

+ Hình chóp có các mặt bên tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao là tâm đường tròn nội tiếp đáy

Cách 2 Sử dụng công thức thể tích

Thể tích của khối chóp V 1S.h h 3V

   Theo cách này, để tính khoảng cách từ đỉnh của hình chóp đến mặt đáy, ta đi tính V và S

Cách 3 Sử dụng phép trƣợt đỉnh

Ý tưởng của phương pháp này là: bằng cách trượt đỉnh O trên một đường

thẳng đến một vị trí thuận lợi O', ta quy việc tính d(O,( )) về việc tính d(O',( )) Ta thường sử dụng những kết quả sau:

Kết quả 1 Nếu đường thẳng  song song với mặt phẳng () và M, N  

nếu I là trung điểm của MN thì d(M;( )) d(N;( ))

Cách 4 Sử dụng tính chất của tứ diện vuông

Cơ sở của phương pháp này là tính chất sau: Giả sử OABC là tứ diện vuông tại O ( OA OB,OB OC,OC OA   ) và H là hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC) Khi đó đường cao OH được tính bằng công thức

1 2 1 2 12 12

Bước 1: Chọn hệ toạ độ Oxyz gắn với hình đang xét

Bước 2: Chuyển bài toán từ ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ toạ độ -

véctơ

Bước 3: Giải bài toán bằng phương pháp toạ độ, rồi chuyển sang ngôn ngữ

hình học

Cách 6 Sử dụng phương pháp véctơ

* Nhận xét: Việc lựa chọn hệ véctơ gốc là rất quan trọng khi giải quyết

một bài toán bằng phương pháp véctơ Nói chung việc lựa chọn hệ véctơ gốc phải thoả mãn hai yêu cầu:

+ Hệ véctơ gốc phải là ba véctơ không đồng phẳng

+ Hệ véctơ gốc nên là hệ véctơ mà có thể chuyển những yêu cầu của bài toán thành ngôn ngữ véctơ một cách đơn giản nhất

* Phương pháp:

Bước 1: Chọn hệ véctơ gốc, đưa các giả thiết kết luận của bài toán hình

học đã cho ra ngôn ngữ “véctơ”

Bước 2: Thực hiện các yêu cầu của bài toán thông qua việc tiến hành biến

đổi các hệ thức véctơ theo hệ véctơ gốc

Bước 3: Chuyển các kết luận “véctơ” sang các kết quả hình học tương ứng

2.1.3 Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó

Cho đường thẳng  song song với mặt phẳng () Khoảng cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng () là khoảng cách từ một điểm bất kì của  đến mặt phẳng () Kí hiệu d( ,( )) 

* Nhận xét

-    M , N ( ),MN  d( ,( ))

- Việc tính khoảng cách từ đường thẳng  đến mặt phẳng () được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

2.1.4 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất

kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia Kí hiệu d(( );( )) 

* Nhận xét

- M ( ), N    ( ),MNd(( );( )) 

- Việc tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song được quy về việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

2.1.5 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b Đường thẳng  cắt cả a và b đồng thời vuông góc với cả a và b được gọi là đường vuông góc chung của a và b

Đường vuông góc chung  cắt a tại H và cắt b tại K thì độ dài đoạn thẳng MN gọi là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b Kí hiệu d(a,b)

* Nhận xét

- M a, Nb,MNd(a,b)

- Để tính khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau a và b ta làm như sau: + Tìm H và K từ đó suy ra d(a,b)HK

+ Tìm một mặt phẳng (P) chứa a và song song với b Khi đó d(a,b) d(b,(P))

+ Tìm cặp mặt phẳng song song (P), (Q) lần lượt chứa a và b Khi đó

d(a,b)d((P),(Q))+ Sử dụng phương pháp tọa độ

* Đặc biệt

- Nếu ab thì ta tìm mặt phẳng (P) chứa a và vuông góc với b, tiếp theo

ta tìm giao điểm I của (P) với b Trong mp (P), hạ đường cao IH Khi đó

Bài toán 1 Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cạnh a, cạnh SA

vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SAa Gọi I là trung điểm của đoạn AB Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng CM

Bước 1 Tìm hiểu chung đề toán:

Giả thiết

Hình chóp S.ABCD Đáy ABCD hình vuông tâm O, cạnh a SA = a, SA  (ABCD)

IAB,IA = IB

Kết luâ ̣n d (I, CM) = ?

Bước 2 Phân tích tìm lời giải:

Đây là da ̣ng bài toán tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

- Ta xác đi ̣nh hình chiếu của I trên CM (kẻ IH  MC) trong (∆MIC)

O

S

C B

I

H