Bài giảng: Một số bài toán thường gặp về đồ thị (Giải tích 12 - Chương I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ)

Bài giảng có phần nâng cao. Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM".

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

CHƯƠNG I ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

 Các em học sinh đừng bỏ qua mục “Phương pháp tự học tập hiệu quả”

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP HIỆU QUẢ Phần: Bài giảng theo chương trình chuẩn

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ có thể bỏ quả nội dung các HOẠT ĐỘNG

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Đọc lần 2 toàn bộ:

Ghi nhớ bước đầu các định nghĩa, định lí

Định hướng thực hiện các hoạt động

Đánh dấu lại nội dung chưa hiểu

3 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện có thứ tự:

Đọc  Hiểu  Ghi nhớ các định nghĩa, định lí

Chép lại các chú ý, nhận xét

Thực hiện các hoạt động vào vở

4 Thực hiện bài tập lần 1

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Phần: Bài giảng nâng cao

1 Đọc lần 1 chậm và kĩ

Đánh dấu nội dung chưa hiểu

2 Lấy vở ghi tên bài học rồi thực hiện các ví dụ

3 Đọc lại và suy ngẫm tất cả chỉ với câu hỏi “Vì sao họ lại nghĩ được cách giải như vậy”

4 Thực hiện bài tập lần 2

5 Viết thu hoạch sáng tạo

Dành cho học sinh tham dự chương trình “Học tập từ xa”: Sau mỗi bài

giảng em hãy viết yêu cầu theo mẫu:

Nôi dung chưa hiểu

Hoạt động chưa làm được

Bài tập lần 1 chưa làm được

Bài tập lần 2 chưa làm được

Thảo luận xây dựng bài giảng

gửi về Nhóm Cự Môn theo địa chỉ nhomcumon86@gmail.com để nhận

được giải đáp

Đ8 một số bài toán thờng gặp về đồ thị

bài giảng theo chơng trình chuẩn

1 Giao điểm của hai đồ thị

Để xét sự tơng giao của hai đồ thị:

y = f(x) và y = g(x)chúng ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Thiết lập phơng trình hoành độ giao điểm:

Bớc 2: Giải hoặc giải và biện luận (1), từ đó đa ra lời kết luận

Thí dụ 1: Cho hàm số (C): y = x4  2x2  3

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b Với các giá trị nào của m đờng thẳng y = m cắt đồ thị của hàm số đã cho tạibốn điểm phân biệt ?

 Giải

a Ta lần lợt có:

1 Hàm số xác định trên D = 

2 Sự biến thiên của hàm số:

 Giới hạn của hàm số tại vô cực:

x

lim y

  = 4

2 4 x

3 nên đồ thị hàm số có hai điểmuốn là U1 1 ; 32

93

3 Đồ thị của hàm số: Ta tìm thêm vài điểm trên đồ thị A 3; 0 , B  3; 0

b Ta có thể lựa chọn một trong các cách sau:

Cách 1: Phơng trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với đ ờng thẳng y = m

)

4

BA

y

=m

3

1

1

Đờng thẳng y = m cắt đồ thị của hàm số đã cho tại bốn điểm phân biệt khi ph ơngtrình (2) phải có hai nghiệm phân biệt dơng (0 < t1 < t2), tức là:

Vậy, với 4 < m< 3 thoả mãn điều kiện đầu bài

Cách 2: Dựa vào đồ thị ta thấy ngay đờng thẳng y = m cắt đồ thị của hàm số đã cho

tại bốn điểm phân biệt khi 4 < m< 3



Nhận xét: Nh vậy, các em cũng cần linh hoạt trong việc sử dụng phơng pháp

đồ thị để thực hiện yêu cầu của bài toán

Hoạt động Cho hàm số

2

x 2x (H) : y

1 x







a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:

b Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đờng thẳng y

= x  m luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b Chứng minh rằng đờng thẳng y = mx + m  1 luôn đi qua một điểm cố địnhcủa đờng cong (H) khi m biến thiên

c Tìm các giá trị của m sao cho đờng thẳng đã cho cắt đờng cong (H) tại hai

điểm thuộc cùng một nhánh của (H)

Đờng thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm thuộc một nhánh của đồ thị:

 (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 về một phía của 1

2

x x2

2) và có hệ số góc m cắt đồ thị của hàm số đ choã cho :

a Tại hai điểm phân biệt ?

b Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị ?

c Tại hai điểm thuộc một nhánh của đồ thị ?

Thí dụ 3: Cho hàm số:

(C) y = 2x3 + 3x2 + 1

a Tìm các giao điểm của đờng cong (C) với parabol (P): y = 2x2 + 1

b Viết phơng trình các tiếp tuyến của (C) và (P) tại các giao điểm của chúng

c Xác định các khoảng trên đó (C) nằm phía trên hoặc phía dới (P)

Tại giao điểm B lần lợt với (C) và (P):

 Với (C) ta có y' = 6x2 + 6x do đó phơng trình tiếp tuyến tại B có dạng:

c Bằng việc xét dấu biểu thức ở VT của (1), ta có kết luận:

 (C) nằm dới (P) khi x thuộc (; 1

2)

 (C) nằm trên (P) khi x thuộc (1

2; +)\{A(0; 1), B(0}

Hoạt động a Vẽ đồ thị (P) của hàm số y = x  x + 1 và đồ thị (H) của hàm

số y = 1

x 1

b Tìm giao điểm của hai đờng cong (P) và (H) Chứng minh

rằng hai đờng cong đó có tiếp tuyến chung tại giao điểm của chúng

c Xác định các khoảng trên đó (P) nằm phía trên hoặc phía

Khi đó, nghiệm của hệ phơng trình chính là hoành độ tiếp điểm

Thí dụ 4: Chứng minh rằng các đồ thị của ba hàm số:

f(x) = x2 + 3x + 6, g(x) = x3  x2 + 4 và h(x) = x2 + 7x + 8tiếp xúc với nhau tại điểm A(1; 2)

x 3x 2 03x 3 0

và viết phơng trình tiếp tuyến chung của chúng tại điểm đó

Bài toán: Chứng minh rằng đờng thẳng (d): y = px + q là tiếp tuyến của parabol

Chú ý: Có thể áp dụng điều khẳng định trong bài toán trên để xét sự tiếp xúc

của đờng thẳng và parabol

Thí dụ 5: Viết phơng trình tiếp tuyến đi qua điểm 3 1

 Với k = 1 ta đợc tiếp tuyến (d1): y = x  2

 Với k = 1 ta đợc tiếp tuyến (d2): y = x + 1

Vậy, tồn tại hai tiếp tuyến (d1), (d2) thoả mãn điều kiện đầu bài

Hoạt động Cho parabol (P): y = x2 + 2x  3

Viết phơng trình tiếp tuyến của (P), biết tiếp tuyến:

a Song song với đờng thẳng y = 2x + 3.

b Vuông góc với đờng thẳng y = x + 3.

c Đi qua điểm A(2; 4).

và tiếp tuyến của (C) tại điểm O có hệ số góc bằng 3

b Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với các giá trị của a, b đã tìm đợc

 Giải

a Trớc tiên ta có:

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.

b Với giá trị nào của m thì đờng thẳng y = m  x cắt đồ thị hàm số đã cho tạihai điểm phân biệt ?

c Gọi A và B là hai giao điểm đó Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạnthẳng AB khi m biến thiên

Bài tập 2: Cho hàm số:

(C): y = x3  3x + 1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn I của nó

c Gọi (dm) là đờng thẳng đi qua điểm I có hệ số góc m Tìm các giá trị của msao cho đờng thẳng (dm) cắt đồ thị hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt

a Với điều kiện nào để hàm số có một cực đại và một cực tiểu ?

b Chứng minh rằng nếu giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu thì phơng trình:

a Tại hai điểm phân biệt ?

b Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị ?

c Tại hai điểm thuộc một nhánh của đồ thị ?

Bài tập 6: Cho hàm số (C): y = x33x

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Chứng minh rằng khi m thay đổi, đờng thẳng cho bởi phơng trình y = m(x +1) + 2 luôn cắt đồ thị (C) tại điểm A cố định Hãy xác định m để đờng thẳng

cắt đồ thị (C) tại ba điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B

và C vuông góc với nhau

Bài tập 7: Cho hàm số:

(Cm): y = 2x3 + 2(6m1)x23(2m1)x3(1 + 2m) = 0

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có tổngcác bình phơng các hoành độ bằng 28

Bài tập 8: Cho hàm số:

(Cm): y = mx3 + (3m4)x2 + (3m7)x + m3

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độkhông dơng

Bài tập 9: Cho hàm số:

y = x4  (m + 1)x2 + m

a Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1

b Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại bốn

điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau

a Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1

b Xác định a để đồ thị hàm số cắt đờng thẳng (d): y = x1 tại hai điểmphân biệt Khi đó gọi y1, y2 là tung độ của hai giao điểm, hãy tìm một hệthức giữa y1, y2 không phụ thuộc a

Bài tập 11:Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số:

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b Tìm các điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi m Từ kết quả đó xác định m

để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với a = 1

b Với giá trị nào của a thì đồ thị hàm số tiếp xúc với đờng thẳng y = a

Bài tập 16:Tìm các hệ số a và b sao cho parabol y = 2x + ax + b tiếp xúc vớihypebol y = 1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b Chứng minh rằng đồ thị hàm số tiếp xúc với một đờng thẳng cố định

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b Chứng tỏ rằng tiệm cận xiên của đồ thị hàm số luôn tiếp xúc với mộtParabol cố định

Bài tập 19:Cho hàm số: (H): y = x 2

x 2





a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đi qua điểmA(6; 5)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Chứng minh rằng có hai tiếp tuyến của đồ thị đi qua điểm A(1; 0) và haitiếp tuyến đó vuông góc với nhau

 Chú ý: Các bài tập này sẽ đợc trình bày trong phần “Bài giảng nâng cao”

Giỏo ỏn điện tử của bài giảng này giỏ: 1.250.000đ.

1 Liờn hệ thầy Lấ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689

2 Bạn gửi tiền về:

Lấ HỒNG ĐỨC

Số tài khoản: 1506205006941

3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giỏo ỏn điện tử qua email.

LUễN LÀ NHỮNG GAĐT

ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

bài giảng nâng cao

A Tóm tắt lí thuyết

B

B phơng pháp giải Các dạng toán thờng gặp

Bài toán 1:Giao điểm của hai đồ thị

b Với giá trị nào của m thì đờng thẳng y = m  x cắt đồ thị hàm số đã cho tạihai điểm phân biệt ?

c Gọi A và B là hai giao điểm đó Tìm tập hợp các trung điểm M của đoạnthẳng AB khi m biến thiên

Đồ thị hàm số cắt đờng thẳng (d) tại hai điểm phân biệt A, B

 phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 khác 1

Vậy, với m > 4 + 2 6 hoặc m < 4  2 6 thỏa mãn điều kiện đầu bài

c Với kết quả trong b), phơng trình (1) có hai nghiệm xA, xB thoả mãn:

Ví dụ 2: Cho hàm số:

(C): y = x3  3x + 1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

b Viết phơng trình tiếp tuyến của đồ thị tại điểm uốn I của nó

c Gọi (dm) là đờng thẳng đi qua điểm I có hệ số góc m Tìm các giá trị của msao cho đờng thẳng (dm) cắt đồ thị hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt

Đờng thẳng (dm) cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt khi:

Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0

Để đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt điều kiện là:

Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1

Nhận xét: Nh vậy, với hai ví dụ trên cho dù phơng trình hoành độ giao điểm

là một phơng trình bậc ba, xong việc biện luận về số nghiệm của nó đều đợc đa vềphơng trình bậc hai Trong trờng hợp không thể phân tích để chuyển về phơngtrình bậc hai đợc chúng ta có thể sử dụng kết quả đợc trình bày thông qua ví dụsau:

Ví dụ 4: Cho hàm số:

(C) y = x3 + px + q

a Với điều kiện nào để hàm số có một cực đại và một cực tiểu ?

b Chứng minh rằng nếu giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu thì phơng trình:

Để hàm số có một cực đại và một cực tiểu điều kiện là:

Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt  p < 0

Vậy, với p < 0 thỏa mãn điều kiện đầu bài

b Với hàm số trên (liên tục trên R), ta có ngay nhận xét xCĐ < xCT Khi đó:

Ví dụ 5: Cho hàm số:

2x 1(H) : y

x 1





Với các giá trị nào của m đờng thẳng (dm) đi qua điểm A(2; 2) và có hệ số góc mcắt đồ thị của hàm số đã cho:

a Tại hai điểm phân biệt ?

b Tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị ?

c Tại hai điểm thuộc một nhánh của đồ thị ?

a Đờng thẳng (dm) cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt:

 phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1



m 0

0f( 1) 0

Vậy, với m < 0 hoặc m > 12 thoả mãn điều kiện đầu bài

b Đờng thẳng (dm) cắt đồ thị hàm số tại hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị:

 phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 < 1 < x2

 af(1) < 0  m.3 < 0  m < 0

Vậy, với m < 0 đồ thị hàm số cắt đờng thẳng (dm) tại hai điểm thuộc hai nhánhcủa đồ thị

c Đờng thẳng (dm) cắt đồ thị hàm số tại hai điểm thuộc một nhánh của đồ thị:

 (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 về một phía của 1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

b Chứng minh rằng khi m thay đổi, đờng thẳng cho bởi phơng trình y = m(x +1) + 2 luôn cắt đồ thị (C) tại điểm A cố định Hãy xác định m để đờng thẳngcắt đồ thị (C) tại ba điểm A, B, C khác nhau sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại B

và C vuông góc với nhau

Vậy, khi m thay đổi, (d) luôn cắt đồ thị (C) tại một điểm A(1; 2) cố định.

Đồ thị (C) cắt đờng thẳng (d) tại ba điểm phân biệt A, B, C

 Phơng trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có tổngcác bình phơng các hoành độ bằng 28

17 1 7 m

Chú ý : Trong trờng hợp việc xác định điều kiện để " Phơng trình (2) có hai

nghiệm phân biệt khác 1 " phức tạp chúng ta kiểm tra điều kiện 2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục Ox tại ba điểm phân biệt có hoành độkhông dơng

0 m

Chú ý : Trong chủ đề về "Đồ thị hàm số và phép tịnh tiến hệ toạ độ" chúng ta đã

biết cách giải bài toán "Tìm điều kiện để đồ thị hàm đa thức bậc ba cắt trục

hoành tại ba điểm phân biệt lập thành cấp số cộng", ví dụ tiếp theo sẽ minh hoạ

yêu cầu này với hàm đa thức bậc bốn dạng trùng phơng

Ví dụ 9: Cho hàm số:

y = x4  (m + 1)x2 + m

a Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1

b Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại bốn

điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau

 Giải

a Bạn đọc tự giải

b Đồ thị hàm số đã cho cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành ba đoạn thẳng có độdài bằng nhau tức là đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt với hoành độlập thành cấp số cộng

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là nghiệm của phơng trình:

Vậy, với m = 9 hoặc m = 1

9 đồ thị hàm số cắt trục hoành tại bốn điểm, tạo thành

ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau

a Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số với m = 1.

b Xác định a để đồ thị hàm số cắt đờng thẳng (d): y = x1 tại hai điểmphân biệt Khi đó gọi y1, y2 là tung độ của hai giao điểm, hãy tìm một hệthức giữa y1, y2 không phụ thuộc a

 = x1  f(x) = 2x2 + (a2)x2a = 0 với x a (1)

Đồ thị hàm số cắt đờng thẳng (d) tại hai điểm phân biệt khác a

 phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

(a 2) 16a 0( a) (a 2)( a) 2a 0

đó là một hệ thức giữa y1, y2 không phụ thuộc a

Bài toán 2:Sự tiếp xúc của hai đờng cong

Ví dụ 1: Chứng minh rằng đồ thị của hai hàm số:

 Phơng trình tiếp tuyến chung có dạng:

 Với m = 0 đồ thị hàm số tiếp xúc với trục Ox tại điểm M1(0; 0)

Chú ý: Với hàm đa thức bậc ba chúng ta còn có thể sử dụng điều kiện nghiệm

kép để thiết lập điều kiện cho đồ thị của nó tiếp xúc với trục hoành

Ví dụ 3: Cho hàm số y = x3(m + 1)x2(2m23m + 2)x + 2m(2m1)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b Tìm các điểm mà đồ thị luôn đi qua với mọi m Từ kết quả đó xác định m

để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành