BD HS giỏi: Cực trị đại số

Kĩ năng - Rèn khả năng sáng tạo, vận dụng kiến thức Thái độ - Học sinh tích cực giải bài tập B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: - HS: C/Tiến trình bài dạy I.. Kiểm tra bài cũ miễn III.

- Học sinh tích cực giải bài tập

B/Chuẩn bị của thầy và trò

*) Bài tập 1: Cho x > 0 và y > 0 thỏa mãn điều kiện 1 1 1

x + y = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = x + y

Dấu “=” xảy ra  x = y = 4 Vậy Min A = 4  x = y = 4

Phương pháp 2: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó

*) Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 3x 5ư + 7 3xư

Hướng dẫn: ĐKXĐ: 5 x 7

Ta có A2 =(3x 5ư ) (+ 7 3xư )+2 (3x 5 7 3xư )( ư ) ≤2+(3x 5 7 3xư + ư )=4

Dấu “=” xảy ra  x = 2

Vậy Max A2 = 4 => Max A = 2  x = 2

Phương pháp 3: Nhân và chia cả tử và mẫu của một biểu thức với cùng một số khác 0

*) Bài tập 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A x 9

1) Tách một hạng tử thành tổng của nhiều hạng tử bằng nhau

*) Bài tập 4: Cho x > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 3x43 16

*) Bài tập 5: Cho 0 x 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 9x 2

Phương pháp 5: Thêm một hạng tử vào biểu thức đã cho

*) Bài tập 6: Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x2 y2 z2

Hướng dẫn: áp dụng bất đẳng thức cô-si cho hai số dương x2 và y z

++

Cộng vế với vế của ba bất đẳng trên ta được P 1≥

II –––– Luyện tậpLuyện tậpLuyện tập

*) Bài tập 1: Cho x > 0 và y > 0 và x + y = 2a (a > 0) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 1 1

B≥ 8 =>MinB= 8 (khi và chỉ khi x = 4; y = 11 hoặc x = 12 ; y = 3)

Max B2 = 16 => Max B = 4 (khi và chỉ khi x = 8; y = 7)

*) Bài tập 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2x2 6x 5

Ta cã: A2 = 3x - 5 + 7 - 3x + 2 (3x−5)(7 3 )− x = 2 + 2 (3x−5)(7 3 )− x

Á p dụng BĐT Cô-si ta có: A2

≤ 2 + ( 3x- 5 + 7 - 3x) = 4 Dấu = xảy ra ⇔ 3x - 5 = 7 - 3x ⇔x = 2

Vậy Max A2 = 4 suy ra Max A= 2 khi x = 2

Min Q = 8 (khi vµ chØ khi x = 5 vµ y = 1 hoÆc x = - 1 vµ y = - 5)

*) Bµi tËp 7: Cho x > 1 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc

*) Bµi tËp 8: Cho x, y, z > 0 tháa m·n ®iÒu kiÖn x + y + z = a

a) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A = xy + yz + zx

b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc B = x2 +y2 +z2

 Kĩ năng

- Rèn khả năng sáng tạo, vận dụng kiến thức

 Thái độ

- Học sinh tích cực giải bài tập

B/Chuẩn bị của thầy và trò

- GV:

- HS:

C/Tiến trình bài dạy

I Tổ chức Tổ chức sĩ số sĩ số

II Kiểm tra bài cũ (miễn)

III Bài mới

*) Bài tập 1 : Đề thi vào THPT tỉnh Bắc Giang năm học 2011 2012Đề thi vào THPT tỉnh Bắc Giang năm học 2011 20122012

Cho hai số thực dương x, y thoả mãn: x3 +y3 ư 3xy x( 2 +y2)+ 4x y x y2 2( + )ư 4x y3 3 = 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = x + y

Gi¶ sö ∆ =(1) cã nghiÖm b tho¶ m·n b 2

Tõ (*) vµ (**) suy ra a = M cã gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 2 khi x = y =1

*) Bµi tËp 2 : §Ò thi vµo THPT thµnh phè Hµ Néi n¨m häc 2011 2012§Ò thi vµo THPT thµnh phè Hµ Néi n¨m häc 2011 20122012

Víi x > 0, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: M = 4x2 3x 1 2011

x

8

1 , 8

1 ,

2 ta có

4

3 8

1 8

1 3 8

1 8

x x

x x x

3

0 + + + =

≥

M

Vậy giá trị nhỏ nhất của M bằng 2011 khi x = 1/2

*) Bµi tËp 3 :§Ò thi vµo THPT tØnh H¶i§Ò thivµo THPT tØnh H¶ivµo THPT tØnh H¶i D−¬ng n¨m häc 2011 D−¬ng n¨m häc 2011 D−¬ng n¨m häc 2011 2012, ngµy thø hai2012, ngµy thø hai

Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n 0 < x, y, z ≤ 1 vµ x + y + z = 2

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A =

2(x 1)z

−

+

2(y 1)x

−

+

2(z 1)y

*) Bµi tËp 4: §Ò thi vµo THPT tØnh L¹ng S¬n n¨m häc 2011 2012§Ò thi vµo THPT tØnh L¹ng S¬n n¨m häc 2011 2012

Cho hai số thực dương x, y thoả mãn 2011 x; y 2012.≤ ≤

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A (x y)(x22 y )2

*) Bµi tËp 5 : §Ò thi vµo THPT tØnh B×nh §Þnh n¨m häc 2011 2012§Ò thi vµo THPT tØnh B×nh §Þnh n¨m häc 2011 2012

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x2 2x 20112

A 1 x 2x 2011 0 * coi đây là phương trình ẩn x

2

Nếu A 1 0 thì (*) luôn là phương trình bậc hai đối với ẩn x − ≠

x tồn tại khi phương trình (*) có nghiệm

2011⇔

*) Bµi tËp 6 : §Ị thi vµo THPT tØnh Thanh Hãa n¨m häc 2011 2012§Ị thi vµo THPT tØnh Thanh Hãa n¨m häc 2011 2012

Cho a, b lµ c¸c sè d−¬ng tháa m·n: a+b =1

T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: T = 19 6 2011 ( 4 4 )

2

b a

H−íng dÉn:

ta cĩ

) (

6 ) (

19 6

19

2 2

2 2 2

ab b

a b

a

+ +

= +

) (

2 2 1

) ( 3 ) (

16

2 2

2 2

2

b a ab

b a b

a

+

+ + +

=

) (

2 2 1

3 ) (

16

2 2

2 2

b a ab

b a

+

+ +

⇒16 (a2+b2) ≥ 8.( a+b)2

ta cĩ a > 0 ; b > 0 nên ab > 0 ; a2+b2 > 0 áp dụng co si ta cĩ

( 2 2)

2 2

2

2 2

2

b a ab ab

1

b a

≥ dấu = khi a= b =

2 1

⇒

) (

2

.

2

1

3 ) (

16

2 2

2 2

b a ab

b a

+

+ +

2 2

2 2

2

2 2

1

3 8

ab b

a

b a

2

1 2 1

3 8

Mà a4 + b4 ≥

2

1(a2 + b2)2 dấu = khi a= b =

2 1

2 1

Vậy T ≥ 88 +

8

1.2011 khi va chỉ khi khi a= b =

2 1

*) Bµi tËp 7 : §Ò thi vµo THPT tØnh H¶i D−¬ng §Ò thi vµo THPT tØnh H¶i D−¬ng H¶i D−¬ng n¨m häc 20n¨m häc 20n¨m häc 20090909 201020102010

*) Bµi tËp 8 : §Ò thi vµo THPT tØnh B¾c Giang §Ò thi vµo THPT tØnh B¾c Giang B¾c Giang n¨m häc 2009n¨m häc 2009n¨m häc 2009 2010, ngµy thø nhÊt2010, ngµy thø nhÊt2010, ngµy thø nhÊt

Cho c¸c sè d−¬ng x, y, z tháa m·n xyz - 16 0

x y z+ + =T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc P = (x+y)(x+z)

H−íng dÉn:

V× xyz - 16 0

x y z+ + = => xyz(x+y+z) = 16

P = (x+y)(x+z) = x2 +xy + xz + yz = x(x+y+z) + yz

¸p dông B§T C«sy cho hai sè thùc d−¬ng lµ x(x+y+z) vµ yz ta cã

P = (x+y)(x+z) = x(x+y+z) + yz ≥ 2 xyz(x+y+z) = 2 16 = 8;

dấu đẳng thức xẩy ra khi x(x+y+z) = yz Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8

Cách 2:

Vì

xyz z y x z

y x

0

16

= + +

⇒

= + +

ư

P = (x+y)(x+z) = x2 +xy + xz + yz = x(x+y+z) + yz = yz

yz

yz xyz

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8

*) Bài tập 9: Đề thi vào THPT tỉnh Tây Nguyên Đề thi vào THPT tỉnh Tây Nguyên Tây Nguyên năm học 2009năm học 2009năm học 2009 20102010

Cho x, y >0 và x y 1 + ≤ Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A 21 2 1

*) Bài tập 10: Đề thi vào THPT tỉnh Hải Dương Đề thi vào THPT tỉnh Hải Dương Hải Dương năm học 2009năm học 2009năm học 2009 20102010

Tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: K 6 82

1

ư

= +

x x

*) Bài tập 11 : Đề thi vào THPT tỉnh Đề thi vào THPT tỉnh H−ng Yên H−ng Yên H−ng Yên năm học 2009năm học 2009năm học 2009 201020102010

Cho hai số a,b khác 0 thoả mãn 2a2 + 2 12

4 +

b

a = 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = ab + 2009

- Xem lại các bài tập đã chữa

- Giải tiếp các bài tập sau:

*) Bài tập 1 : Đề thi vào THPT tỉnh Hà Tĩnh Đề thi vào THPT tỉnh Hà Tĩnh Hà Tĩnh năm học 20năm học 20năm học 2011 11 11 20122012

Cho cỏc số a, b, c đều lớn hơn 25

4 (*) nờn suy ra: 2 a − >5 0, 2 b − >5 0, 2 c − >5 0

Áp dụng bất đẳng thức Cụ si cho 2 số dương, ta cú:

Cộng vế theo vế của (1),(2) và (3), ta cú: Q ≥5.3 15=

Dấu “=” xẩy ra ⇔ = = =a b c 25 (thỏa món điều kiện (*))

Vậy Min Q = 15 ⇔a b c= = =25

*) Bài tập 2 : Đề thi vào THPT tỉnh Vĩnh Phúc Đề thi vào THPT tỉnh Vĩnh Phúc Vĩnh Phúc năm học 20năm học 20năm học 2011 11 11 20122012

Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa món điều kiện a + b + c = 1

Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức: P = ab bc ca

c ab + + a bc + + b ca + Hướng dẫn:

*) Bài tập 3 : Đề thi vào THPT tỉnh Hòa Bình Đề thi vào THPT tỉnh Hòa Bình Hòa Bình năm học năm học năm học 2010 2010 2010 20112011

Cho x, y > 0 và x2 +y2 ≤ 8 Tìm giá trị nhỏ nhất của: A 1 1

= +

Hướng dẫn:

x,y > 0 Theo BĐT Cosi và kết hợp với đề bài ta có: 2xy≤x2 +y2 ≤ 8 ⇒xy≤ 4

áp dụng BDT Cosi với hai số: 1 1,

x y ta có: 1 1 2

x+ y≥ xy mà: xy ≤4Nên: 1 1 1

x+ y≥ Vậy Amin = 1 1 1 1 2

2 x y

*) Bài tập 4 : Đề thi vào THPT tỉnh Lạng Sơn Đề thi vào THPT tỉnh Lạng Sơn Lạng Sơn năm học năm học năm học 2010 2010 2010 20112011

Cho hai số thực dương x, y thỏa món 4xy = 1

Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 2x2 2y2 12xy

x y

+Hướng dẫn:

2 ; x = y = 1

2

*) Bài tập 5 : Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2010 Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2010 Đề thi chính thức chọn HSG năm học 2010 201120112011

Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 = 5 Hướng dẫn:

Trước hết chứng minh bất đẳng thức bunhia-côp-xki

*) Bµi tËp 6 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức M y x 1 x y 4

xy

=H−íng dÉn:

Với điều kiện x≥ 1,y≥ 4 ta có: M = x 1 y 4

−

− +

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm,

−

⇒ ≤ (vì x dương) Và: 4 1 4( 4) 1 4 4

+

+H−íng dÉn:

b) Tõ m 2 + n 2 − 2mn =(m n − )2≥ 0 vµ gi¶ thiÕt suy ra m 2 + n 2 ≥ 2mn 1 =

Dấu ''='' x¶y ra ⇔x – y = 0 và y – 2 = 0 ⇔x = y = 2

Vậy GTNN của A là 2010 t¹i x = y =2

b) Ta có: (x + y + z)3= x3+ y3+ z3 + 3(x + y)(y + z)(z + x)

Kết hợp các điều kiện đã cho ta có: (x + y)(y + z)(z + x) = 0⇒ Một trong

các thừa số của tích (x + y)(y + z)(z + x) phải bằng 0

Giả sử (x + y) = 0, kết hợp với đ/k: x + y + z = 1 ⇒ z = 1, l¹i kết hợp với

x + + y + +z + đạt giá trị lớn nhất bằng 3

2 khi x = 1; y = 1 ; z = 1

F đạt giỏ trị nhỏ nhất bằng 2 khi t +1 = 0 hay t = -1

Vậy min F = 2 khi x = 3 5

2

− ±

*) Bài tập 13 : Đề thi chính thức chọn HSG TP Hà Nội năm học 2010 Đề thi chính thức chọn HSG TP Hà Nội năm học 2010 Đề thi chính thức chọn HSG TP Hà Nội năm học 2010 201120112011

1) Tỡm 7 số nguyờn dương sao cho tớch cỏc bỡnh phương của chỳng bằng

* B=16x2y2 +12(x+y)3-2xy= …= 16(xy- 16 )1 2+ 19116

* B ≥ 19116 , B nhỏ nhất =19116 ⇔ xy= 16 Giải được: 1

y x

86+H−íng dÉn:

2 2 2

c b

10

=Μ

2

382

62

32

32

y

y x

2

623

áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho các số không âm ta có :

y

y x

.22

2.266.2

3

++

≥

Dấu bằng xảy ra khi x = 2; y = 4 ⇒ M nhỏ nhất bằng 19 (khi x = 2; y = 4)

*) Bài tập 15 : Cho 2 số dương x, y thỏa mãn x + y =1

a) Tìm GTNN của biểu thức M = ( x2 + 12

y )( y2 + 12

x ) b) Chứng minh rằng : N = ( x +

a) Ta có : M = ( x2 + 12

y )( y2 + 12

2 2

2 2 2

)

1 ( ) 1 (

xy

xy y

x

y x

+

= +

1 +

4

1 16

15 =4

b) áp dụng BĐT : A2 + B2 ≥

2 ) (A + B 2 , ta có :

N ≥

2

25 2

4 1

1 1 2

)

1 1 (

y x

y

⇔ x = y =

2 1

1 1

3

+Hướng dẫn:

2 1

c Ta có: (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy( x + y ) = 1 hay x3 + y3 + 3xy = 1

Thay vào biểu thưc A ta có:

A =

xy

xy y x y

x

xy y

+

xy

y x y x

3 3

3

+ +

áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

xy

y x y x

3 3

+ +

≥

xy

y x y x

3 2 2 1 2

3 2 2 1 2

3 2 2 1

3 2 2 1 2

*) Bài tập 17 : Cho biểu thức f(x,y) = x2 + 26y2 -10xy + 14x – 76y + 11

Tìm giá trị x; y để f(x,y) đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất

Hướng dẫn:

Ta có: f(x,y) = x2 + y2 + 25y2 – 10xy – 6y – 70y + 9 +14x + 2

= (x2 – 10xy + 25y2) + (y2- 6y + 9) + (14x – 70y) + 2

= (x-5y)2 + (y-3)2 + 14(x – 5y) +2

+ +Hướng dẫn:

(1)Ax2 + 2A= 2x+ ⇔ 1 Ax2 + 2x+ 2Aư = 1 0

Xét: A=0 thì x=1

2 Xét: A≠ 0

6823

x x

d/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M =

124

2++ x x x

Hướng dẫn:

a/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

2x2 + 4x = 19 - 3y2 <=> 4x2 + 8x + 4 = 42 - 6y2 <=> (2x + 2)2 = 6(7 - y2) Vì (2x + 2)2 ≥ 0 => 7 - y2 ≥ 0 => 7 ≥ y2 mà y ∈Z => y = 0;±1;±2

+ Với y = ± 1 => (2x + 2)2 = 6(7 - 1) <=> 2x2 + 4x - 16 = 0=> x1 = 4; x2 = -2 + Với y = ± 2 =>2x2 + 4x - 7 = 0 => x1, x2 ∉ Z (loại)

+

x ≥ 1 + 3 = 4 Mặt khác : 4 – (x - 3)2 ≤ 4 Vậy vế trái “=” khi và chỉ khi x – 3 = 0 Từ đó ta có x = 3

Vậy nghiệm phương trình x = 3

c/ Có A =

2)1(

11

232

)1(

1)1(2)122(3

ư

x x

x

x x

M =

12

12

1++ 

M đạt giá trị lớn nhất khi

2

12

*******************************