Như vậy tam giác ABC vuông cân tại A và CB là tia phân giác của góc C.
Trang 1PHÒNG GD&ĐT TỨ KỲ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9
Vòng I - Năm học 2009-2010
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 26/11/2009
(Đề này gồm 05 câu, 01 trang)
Câu I ( 5,0 điểm ).
x
−
Rút gọn rồi tính giá trị của P khi x =5 4. 2 3
− +
+ b) Chứng minh rằng: x=3 7 4 3 + + 3 7 4 3 − là một nghiệm của đa thức:
f(x) = x3 − − 3x 14
Câu I (4,0 điểm).
Giải các phương trình sau:
a) (6 − +x2 x) 3 2 − x= 0
b) x+ 2x− + 1 x− 2x− = 1 2
Câu III (4,0 điểm).
a) Không dùng bảng số và máy tính hãy tính giá trị của biểu thức:
A sin 6= +sin 19 +sin 32 +sin 45 +sin 58 +sin 71 +sin 84 b) Cho biết sinα+cosα=75(với 00<α<900) Hãy tính tgα
c) Chứng minh rằng: tg67 30' 0 = 2 1 +
Câu IV (5,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên AB và AC
a) Chứng minh: BC2=3AH2+BE2+CF2
b) Giả sử BC = a (không đổi) Tìm giá trị nhỏ nhất của của BE2 + CF2
c) Tính theo a giá trị của biểu thức: 3 BE2 + 3CF2
Câu V (2,0 điểm).
Tìm các số nguyên k để giá trị của biểu thức 49k + 2014 là tích của hai số nguyên liên tiếp
======== Hết ========
Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí giám thị 1: Chữ kí giám thị 2:
Chú ý: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
T-DH01-HGS9-09
Trang 2PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỨ KỲ
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC GIỎI HUYỆN LỚP 9
Vòng I - Năm học 2009-2010
MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 26/11/2009
Câu Phần Nội dung Điểm CâuI
(5điểm) (3điểm) a) *ĐKXĐ : x > 0, x ≠ 1
Ta có:
P = ( 1)( 1) (2 1) (2 1)( 1)
= x( x− − 1) (2 x+ + 1) (2 x+ 1)
= x − x− 2 x− + 1 2 x+ 2
= x− x+ 1 Vậy P = x− x+ 1 với x > 0 và x ≠ 1
*Ta có :
( )
2
2
5 4.(2 3) 13 4 3 2 3 1
2 3 1
x
x
+
−
13 4 3 + − 2 3 1 + + = + 1 13 4 3 − 2 3 1 1 + + = 13 2 3+
0,25 0,5
0,5
0,25 0,25
0,25
b) (2điểm) Ta có:
3
3 3
7 4 3 7 4 3
7 4 3 7 4 3
7 4 3 7 4 3 3 7 4 3 7 4 3 7 4 3 7 4 3
14 3 7 4 3 7 4 3
14 3.
3 14 0
x x
x
⇒ − − = Chứng tỏ x=3 7 4 3 + + 3 7 4 3 − là một nghiệm của đa thức
f(x)=x3 − − 3x 14
0,5
0,5 0,5 0,5
CâuII
(4điểm)
a) (2 điểm) a) (6 − +x2 x) 3 2 − x = 0 (*) ĐKXĐ: 3
2
x≤ Khi đó phương trình(*) tương đương với
2
6 0 (1)
3 2 0 (2)
x x x
− + =
Giải (1):
0,5
0,5
Trang 3( ) ( )
Giải (2):
3
2
Do x = 3 không thỏa mãn điều kiện x 3
2
≤ nên phương trình có nghiệm là: x= -2 và x = 3
2
0,5
0,5
b) (2điểm) x+ 2x− + 1 x− 2x− = 1 2
Điều kiện để phương trình xác định là:
2 1 0
1
2
x
− ≥
Phương trình đã cho tương đương với:
2
1 1
1 1
1 0 1
1 2
x x
x x
⇔ + − =
⇔ − = −
⇔ − ≤
⇔ ≤ ≤ Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: 1 1
2 ≤ <x
0,5
0,5 0,25 0,25 0,25
0,25
CâuIII
(4điểm) (2điểm a)
2
A=sin 6 +sin 19 +sin 32 +sin 45 +sin 58 +sin 71 +sin 84 A=(sin 6 +sin 84 )+(sin 19 +sin 71 )+(sin 32 +sin 58 )+sin 45 A=(sin 6 +cos 6 )+(sin 19 +cos 19 )+(sin 32 +cos 32 )+sin 45
2
2
=
1 2
0,5
0,5
b) (1điểm) Từ sin os 7
5
c
α + α = suy ra os 7 sin
5
c α = − α Lại có: sin 2 α +cos 2 α = 1 nên
2
5
α + − α÷ =
25 5
2
25sin α 35sin α 12 0
(5sin α 4 5sin) ( α 3) 0
α α
⇔
4 sin
5 3 sin
5
0, 5
0, 5
Trang 4Nếu sin 4
5
α = thì os 3
5
3
tgα
Nếu sin 3
5
α = thì os 4
5
4
tgα
c) (1điểm)
x
B
K
Giả sử tam giác ABC vuông tại A có µB= 0
67 30' Suy ra µC=
0
22 30' Trên tia AB ta lấy điểm K sao cho AK=AC Như vậy tam giác ABC vuông cân tại A và CB là tia phân giác của góc C
Đặt AC=x Thì AK=x; KC=x 2 Theo tính chất đường phân giác ta có:
AB
x x x
+
Từ đây tính được: tg·ABC= 1 2
x
+ hay 0
tg67 30' = 2 1 +
0,5
0,5
0,5
Câu IV
(5điểm) Hình vẽ
E
F
A
H
a) (2 điểm) Chứng minh BC2=3AH2+BE2+CF2
Ta có: 3AH2+BE2+CF2=3AH2+BH2-HE2+CH2-HF2
=3AH2+BH2-HE2+CH2-HF2
=3AH2-(HE2+HF2)+BH2+CH2
=3AH2-EF2+(BH+CH)2-2.BH.HC =2AH2+BC2-2AH2 (vì EF=AH) =BC2
0,5
0,5 0,5 0.5
b) ( 1,5
điểm)
BC2=3AH2+BE2+CF2
Suy ra: BE2+CF2= BC2-3AH2
Từ đó BE2+CF2 nhỏ nhất khi AH lớn nhất(BC=a không đổi) Giả sử AM là trung tuyến của tam giác vuông ABC thì
0,5
Trang 5AM=a/2(không đổi) và AH≤AM (Dấu “=” xảy ra khi tam giác ABC vuông cân tại A
Do đó BE2+CF2 nhỏ nhất bằng
2 2
khi tam giác ABC vuông cân tại A
0,5
0,5
c) (1,5
điểm)
Trong tam giác vuông AHB có:
( )
2
.
Trong tam giác vuông AHC có:
( )
2
.
Từ (1) và (2) suy ra:
3 BE + 3CF = 3BH 3CH
3BC BC 2a
0,5
0,5
0,5
Câu V
(2,0
điểm)
Giả sử có số nguyên k sao cho 49k+2014 là tích của hai số nguyên liên tiếp
Tức là ta có:
49k+ 2014 =n n( + 1) với n∈Z Hay
2 2 2
49 2014
5 49 2009
4 3 12 7 49( 41) ( 4) 3( 4) 7 49( 41)
(n 3)(n 4) 7 49(k 41)
Do n+4=(n-3)+7 nên +Nếu n-3 chia hết cho 7 thì n+4 chia hết cho 7
(n 3)(n 4)
⇒ − + chia hết cho 49 ⇒ − (n 3)(n+ + 4) 7không chia hết cho 49 (Điều này vô lí vì(*))
+Nếu n-3 không chia hết cho 7 thì n+4 không chia hết cho 7
(n 3)(n 4)
⇒ − + không chia hết cho 7 ⇒ − (n 3)(n+ + 4) 7không chia hết cho 7 (Điều này vô lí vì(*))
Vậy không có số nguyên k nào thỏa mãn đề bài
0,5
0,5
0,5
0,5