CÁC DẠNG BÀI TẬP: biquyetthanhcong.net 2.1... Ứng dụng hệ thức lượng trong tam giác giải bài toán thực tế Bài toán 1: Đo chiều cao Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng ten cao 5 m... Bài
Trang 1HỆ THỰC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
a2 = b2 +c2 -2bc cosA C
b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB
Hệ quả:
bc
a c b
A
2 cos
2 2
2
ac
b c a B
2 cos
2 2
2
ab
c b a C
2 cos
2 2
2
1.2 Định lí sin:
R C
c B
b
A
a
2 sin
sin
sin (với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác)
1.3 Định lý đường trung tuyến:
4
2
4
2
4
2
2 CÁC DẠNG BÀI TẬP: biquyetthanhcong.net
2.1 Dạng 1: Tính các yếu tố trong một tam giác
Bài 1: Tam giác ABC có <B=60o ; <C= 450 ; BC= a
a / Tính độ dài hai cạnh AB, AC
b / Chứng minh: cos 750
=
4
2
6
Bài 2: Tam giác ABC có BC =12, CA=13, trung tuyến AM =8
a / Tính diện tích tam giác ABC
b / Tính góc B
Bài 3: Cho ta giác ABC có độ dài 3 đường trung tuyến bắng 15; 18 ;27
a / Tính diện tích tam giác
b / Tính độ dài các cạnh của tam giác
2.2 Dạng 2: Chứng minh hệ thức giửa các yếu tố trong một tam giác
Bài 1: Chứng minh trong mọi tam giác ABC đều có
abc
c b a C B
A
2 2 2 cot
cot
Giải : Ta có biquyetthanhcong.net
R abc
c b a R
c ab
c b a
R b ac
b c a
R a bc
a c b
C
C B
B A
A
2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
2 2
2
sin
cos sin
cos sin
cos cotC cotB
cotA
Trang 2Bài 2: Chứng minh rằng: (b-c) cot A/2 +(c-a) cot B/2 + (a-b) cot C/2 =0
CM:
(1) ) cos (cos
2 2
sin 2 sin 4
2 cos 2
sin ) 2
sin 2 cos 4 ( 2 sin 2
cos ) sin 2 sin 2 ( 2 cot ) (
A B
R B A B A R
B A
B A B
A B A R C
C B R A R
C b a
Tương tự
(3) ) cos (cos
2 2 cot ) (
(2) ) cos (cos
2 2 cot ) (
C A
R
B a c
B C
R
A c b
Cộng vế theo vế (1),(2),(3) => đpcm
biquyetthanhcong.net
Bài 3: Chứng minh rằng: r = 4R sin A/2 sin B/2 sin C/2
CM
2
sin 2
sin 2 sin 4 2 2
2 2
sin sin sin R ) 2 2
( 2
sin sin sin R
2 2
2 2 2
2
sin sin sin R
2 ) (
2
sin sin sin 4R
2
sin sin sin 2 sin sin sin 2
pr nC sinAsinBsi 2R
S
2
2 2
2
C B A R C Cos
B Cos
A Cos
C B A B
A Cos B A Cos
C Cos
C B A
C Cos
C Sin B
A Cos B A Sin
C B A SinC
SinB SinA
R
C B A
c b a
C B A R p
C B A R r
2.3 Ứng dụng hệ thức lượng trong tam giác giải bài toán thực tế
Bài toán 1: Đo chiều cao
Trên nóc một tòa nhà có một cột ăng ten cao 5 m Từ vị trí quan sát A cao 7 m so với mặt đất,
có thể nhìn thấy đỉnh B và chân C của cột ăng ten dưới góc 450
và 600 so với phương nằm ngang Tính chiều cao của tòa nhà
D
C
B
A
Trang 3Bài toán 2: Tính khoảng cách
Tính khoảng cách một con tàu ngoài biển tới đất liền
2.4 Nhận dạng tam giác:
Dạng 1: Nhận dạng tam giác đều
2
cos 2
cos 2
cos sin
sin
Dạng 2: Nhận dạng tam giác cân
C
B C
B
tan
tan sin
sin
2
2
Dạng 3: Nhận dạng tam giác vuông
C B
a C
c B
a
sin sin cos
Dạng 4: Tìm đặc điểm của tam giác
Nhận dạng tam giác ABC nếu các góc của nó tỏa mãn: (1+cotA)(1+cotB)=2
biquyetthanhcong.net
BÀI TẬP
Bài 1: Cho tam giác ABC cạnh đáy a, cạnh bên b, góc ở đỉnh bằng 20 CMR 0 a3b33ab2
Giải
Ta có
2 0
3 0
3 0
0 3 3
0 0
3 3 0
3 3 3 3 0 3
3
0 0
0 0
0 0
3 10 sin 6 ) 10 sin 4 10 sin 3 10 sin 4 ( 2
) 30 sin 10 sin 4 ( 2 ) 2
1 10 sin 4 ( 2 )
10 sin 2 ( a
10 sin 2 10 80 2
10 10
4 20 2
2
ab b
b
b b
b b
b
b Sin
RSin Cos
RSin RSin
RSinA a
Bài 2: CMR diên tích tam giác ABC có thể tính bởi ( sin2 sin2 )
4
A b
B a
CM Ta có
S SinC Sin Sin SinBCosA
SinACosB SinB
SinA
SinACosA B
Sin R SinBCosB A
Sin R A
b B a
B A 2R ) (
2R
) 2
4
2 4
( 4
1 ) 2 sin 2
sin (
4
1
2 2
2 2 2
2 2
2
biquyetthanhcong.net
Trang 4Bài 3: Cho ABC có
B C
A 2
CMR a)
c b a
1 1
1 b)
4
5 cos
cos cos2 A 2B 2C
C/M
a) Ta có
C R B R c
1 sin
2
1 1
1
Ta laị có
7
4 , 7
2 , 7 A 2
4
C B
C B A
C B A
7
2 sin 7
4 sin
7
2 sin 7
4 sin 2 1 7
4 sin 2 1 7
2 sin 2
1 1
1
R R
R c b
a R
R
1 7 sin 2 1 7
cos 7
sin 7
3 sin 2
7
cos 7
3 sin 2 2
1
b)
4
5 cos
cos cos2 A 2B 2C
2
2 cos 1 2
2 cos 1 cos cos
2
1
cos( ) cos( )
cos
7
4 cos 7
2 cos 7 cos 2
Đặt
7
4 cos 7
2 cos 7 cos
T
7
4 cos 7
2 cos 7
2 sin 7
4 cos 7
2 cos 7
cos 7 sin 2 7
dpcm C
B A
v
( 4
5 4
1 1 cos
cos cos
4
1 -T 7
sin 4
1 7
8 sin 4
1 7
4 cos 7
4 sin 2 1
2 2
2
Bài 5: Cho ABC có ba cạnh thoả a4 b4 c4.CMR ABCnhọn và 2sin2AtanBtanC
C/M
G/s a là cạnh lớn nhất trong tam giác ABC Vì
A a
A a
A a c
C b
B a
c bc a c
b bc
a ac
b c a ac
b c a C B
2 2
2
2 2 2
2 2 2 4 2 2
2 2 2 2 2
sin 2 sin sin 2 sin sin 2
2b
sinBsinC 4
) (
a
sinBsinC 4
) 2
)(
2 (
sinBsinC cos
cos
sinBsinC tanBtanC
==> ABC là tam giác nhọn biquyetthanhcong.net
Trang 5Bài 6: Cho tam giác ABC có 1
c
b
m
m b
c
CMR 2cotA= cotB +cotC CM : Theo giả thiết ta có
cot cot
cot 2 sin
sin
) sin(
cot 2 sin
sin sin
cot
2
cos 2 cos
2 2
) (
2
) 2
2 ( 2
2 ( 2
2
2 2
2 2
2 2
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
2
C B
A C
B
C B A
SinC
A SinB
A A
A
bc
a A A
bc a
a c
b
a
b c a b c b a c c b a
b c a b
c m
m b
c
m
m
b
c
c b c
b
Bài 7: Cho tam giác ABC CMR
2 2 2
2 2 2
tanB
tanA
)
a c b
b c a a
biquyetthanhcong.net
2 2 2 2 2 2
2 2 2
) 2
)(
2 (
) 2
)(
2 ( tanB
tanA
a c b
b c a bc
a c b R b
ac
b c a R a SinBCosA SinACosB CosB
SinB CosA SinA
CotC
cotB cotA
)
2 2 2
abc
c b a R
CM ở bài 1 dạng 2 CotB
2 cotC cotA
2
c
CM Ta có
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 ) (
2 ) (
) (
2
2 2 2
2 2
2
sin
cosB 2 sin
cosC sin
cosA CotB
2 cotC cotA
c a b b
c a c
b a a c b
ac S ac
b c a
ab S ab
c b a
bc S bc
a c b
B C
A
Bài 8: CMR:
r h h
h a b c
1 1 1
Giải Ta có:
a
S h ah
2
r pr
c b a S
c b a c
S b
S a S
VT 1
2 2
2
1 2
1 2 1
Bài 10: Cho tam giác ABC có AA’, BB’ là các trung tuyến Chứng minh rằng:
AA’vuông góc với BB’cotC2(cotAcotB)
Giải biquyetthanhcong.net
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC Vì AA’vuông góc với BB’
) 1 ( '
9
4 ' 9 4
) ' 3
2 ( ) ' 3
2 (
2 2 2
2 2
2
2 2
2
AB AA
BB
AB AA
BB
AB AG
BG
Trang 6Mà AA’, BB’ là các trung tuyến nên
4
2 2 '
; 4
2 2 '
2 2 2 2 2
2 2
BB a
c b
Thay vào (1) ta được:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
5 9
2 2 2
2 )
4
2 2 ( 9
4 ) 4
2
2
(
9
4
c b a c b c a a c b c
b c a a
c
Lại có:
) cot (cot
2 sin sin
) sin(
2 sin sin sin 4
sin 8 sin
2 cot
2 cos 4
cos 2 cos
2 cos
2
2
2 2 2
2 2
2 2 2 2
2
2
A B
B A
B A C
B A R
C R
C ab
c C
c C ab c
C ab sC
ab c
b a C ab
c
b
a
Bài 11: Cho tam giác ABC, chứng minh:
a)
4 ) )(
(
2
c b p a
p
b)
8 ) )(
)(
(pa pb pc abc biquyetthanhcong.net
c) R2r
Giải
a)
b) Áp dụng Bất đẳng thức Cối cho từng cặp:
2 ) )(
( ) )(
( 2 ) ( ) (pa pb pa pb pa pb c
2 ) )(
( ) )(
( 2 ) ( ) (pb pc pb pc pb pc a
2 ) )(
( ) )(
( 2 ) ( ) (pa pc pa pc pa pc b
(1)x(2)x(3) ta có điều phải chứng minh
c) Ta có:
pabc
c p b p a p p pabc
S R
r c
p b p a p p pr R
abc
4
2
1 8
4 8
) )(
)(
(
abc R
r abc c
p b p a
p
Ta
Bài 12: CMR
2
tan 2
tan 2 tan CotC
cot cotA
2 2 2 3
2 2 2
C B A
c b a B
c b
Ta có biquyetthanhcong.net
4 ) )(
( ) )(
( 2 ) )(
( 2 2
) )(
( 2 2
2 )
)(
( 2 ) (
)
(
2
c b p a p b
p a p
c b
p a p b
c a a c
b
b p a p b
c b a a c b a b
p a p b
p a
p
Trang 7
(1) cot
4
cot sin 2 cos
2 a
2 2
2 2 2
2 2
A S c b
A A bc c
b A bc c
b
Tương tự b2 a2c24ScotB (2)
c2 a2b24ScotC (3)
Cộng vế theo vế (1)(2)(3) ta được :
4 (*) cot
cot cot
b a )
cot cot
(cot 4 b
3 2 2 2 2
2
2
S C
B A
c C
B A
S
Mặt khác ta có
(1) 4
2 tan 4
2 sin 2
cos sin
2 4 2 sin 2 sin
2 sin 2 2 )
cos 1 ( 2 cos 2 a
2 2
2 2
2 2
2 2 2
S A
a S
A
A a
A bc A
A a
A bc
a A bc
A bc c
b
Tương tự: 4 (2)
2 tan
2
S B
2 tan
2
S C
c
2 2 2
) 4 ( 2
tan 2
tan 2 tan
S B
c B
b B
Từ (*)(**) ta có
2
tan 2
tan 2 tan CotC
cot cotA
2 2 2 3
2 2 2
C B A
c b a B
c b a
Bài 13: Cm: m a m b m c R
2
9
biquyetthanhcong.net
Trang 8
deu ABC ra xay " "
2 9
9 4 9 ) ( (*) 3 cosC -1 CosC 1 B) -cos(A ra xay " " Dau 9 )) 2 cos 1 cos ( 2 ( 4
)) cos 1 ( cos 2 ( 4
) cos ) 2 cos 2 (cos 2 1 2 ( 4
) cos 1 2
2 cos 1 2
2 cos 1 ( 4 ) sin sin
(sin 4 :
m ra
xay
"
"
Dau
) (
4
9 ) (
) (
4
9 4
2 2 4
2 2 4
2 2 ( 3 ) (
3 ) (
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2 2
a
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
Dau R
m m m R
m m m
Tu
C
B A
R C
C R
C C
R
C B
A R
C B
A R
C B
A R
c b a
khac
Mat
m m
c b a m
m
m
c b a c
b a b a c a c b m
m m m
m
m
c b a c
b a
c b
c b
a
c b a c
b
a
biquyetthanhcong.net
Trang 9Bài 14:
a) CM: m a2 m b2 m c2 3 3S
4 2
; 4 2
; 4 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2
2
2
m b
c a m a
c
b
) (
4
3 4 2
4 2
4 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2
c b a c
b a b c a a c b m
m
m a b c
Lại có: S= p(pa)(pb)(pc) biquyetthanhcong.net
Áp dung BĐT Côsi ta có:
(*) 3
12
) (
3 3 27
) )(
)(
( 27 ) )(
)(
(
27
) )(
)(
( 3 2
) )(
)(
( 3 c) -b)(p
-(p
a)
-(p
2 2 2
2 3
2 2 3
3
3 3
c b a
s
p s p p
s p
s c p b p a p
p c p b p a p p
c p b p a p c
b a c p b p a p
) (abc ta có (abc)2 3(a2b2c2)
S m
m m S c
b a c
b a c
b a
4
3 3
12
) (
3 3
12
) (
2 2 2 2
b) CM: ma mb mc abc a b c
4
3
2 2
2
Từ trên:
2 2 2
4
3
c b a
m m
a b c2 2 2 2 abc
1 1 1
c b
1 1
c b
a
c b
abc
c b a abc c
b a
c b a c b a c
b a
m m
4 3
27 27
27
2 2 2
2 2 2
3 2
2 2