TểM TẮT KIẾN THỨC Nguyên hàm tích phân 1.
Trang 1TểM TẮT KIẾN THỨC
Nguyên hàm tích phân
1 xα
1
1
x
C
α+
+
α
a
1
1
ax b
C
α+
α +
3
2
dx
x
dx
a x b
= +
5 1
ax +b
1
7 a x
ln
x
a C
a
a
2
1
cos (ax +b)
1
tan(ax b) C
15
2
1
2
1
sin (ax +b)
1
cot(ax b) C a
17
2
1
1
x −a
1
+
19
' ( )
( )
u x
1
a −x đặt x=a sin ;t t 2 2π π; ;t 0
1
sin
a
t t
π π
1
x +a đặt x=a tant; t∈ − π π2 2;
25 a x hoặc a x
1
x +a
ln x + x +a +C
27 (x −a b)( −x) Đặt x=a+(b-a).sin t 2 28 1
(x a b x− )( − ) theo dấu của x+a và x+b
1 Hoặc
u +a đặt u=a tant; t 2 2π π;
1 Hoặc
sin
a
t t
π π
29
2
1
ax +bx +c
Biến đổi về
1 Hoặc
a −u đặt u=a tant; t 2 2π π;
Trang 2phuocxuansang@gmail.com
b
b a a
f x dx = F x =F b −F a
2 Các tính chất của tích phân:
1: : ( ) 0
a
a
f x dx =
f x dx = − f x dx
3: Nếu f(x) = c không ñổi trên a b; thì: b ( )
a
cdx =c b −a
∫
4: Nếu f(x) liên tục trên a b; và f x( )≥ thì 0 b ( ) 0
a
f x dx ≥
∫
5: Nếu hai hsố f(x) và g(x) liên tục trên a b; và f x( )≥g x( ) x∀ ∈ thì ( )a;b ( )
f x dx ≥ g x dx
6: Nếu f(x) lt trên a b; và m ≤ f x( )≤ M ( m,M lµ hai h»ng sè) ( ) b ( ) ( )
a
m b −a ≤ ∫f x dx ≤ M b−a
7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên a b; thì ( ) ( ) ( ) ( )
8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên a b; và k là một hằng số thì ( ) ( )
k f x dx =k f x dx
9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên a b; và c là một hằng số thì ( ) ( ) ( )
f x dx = f x dx + f x dx
10: Tích phân của hàm số trên a b; cho trước không phụ thuộc vào biến số , b ( ) b ( )
f x dx = f t dt
3.Công thức ñổi biến số dạng 1:
( )
( )
u b b
f u x u x dx = f t dt
4.Công thức ñổi biến số dạng 2:
b
a
β α
Bước 1: ðặt t =u x( )⇒dt =u x dx' ( )
( )
⇒
Bước 3: Chuyển tích phân ñã cho sang tích phân
theo biến t ta ñược
( )
( )
u b b
I = ∫f u x u x dx = ∫ f t dt
Bước 1: ðặt x = φ( )t ⇒dx = φ' ( )t dt
Bước 2: ðổi cận : x b t
⇒
Bước 3: Chuyển tích phân ñã cho sang tích phân theo biến t ta ñược
b
a
β α
b a
udv = u v − vdu
Bước 1: ðặt
⇒
Bước 2:Thay vào công thức ( 1) :
.
b a
udv = u v − vdu
Bước 3: Tính
. b
a
u v
và
b
a
vdu
∫