II/ Thực hiện phép tính.. V/ Các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai.. VII/ Giải phương trình Vô tỉ – phương trình chứa giá trị tuyệt đối.. IX/ Các bài toán liên quan đến hàm số.
Trang 11
-CHƯƠNG TRÌNH
A ĐẠI SỐ :
I/ Rút gọn biểu thức.
II/ Thực hiện phép tính.
III/ Chứng minh đẳng thức.
IV/ Chứng minh bất đẳng thức.
V/ Các bài toán liên quan đến phương trình bậc hai.
VI/ Giải PT và HPT bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
VII/ Giải phương trình Vô tỉ – phương trình chứa giá trị tuyệt đối VIII/ Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất.
IX/ Các bài toán liên quan đến hàm số.
X/ Hệ thức Viét - áp dụng
B HÌNH HỌC:
20 BÀI TOÁN MẪU.
Trang 2
A ĐẠI SỐ
I
RÚT GỌN BIỂU THỨC :
1) Phương pháp: Để rút gọn một biểu thức ta thực hiện các bước sau:
+ Quy đồng mẫu (nếu có)
+ Đưa bớt thừa số ra ngoài dấu căn
+ Trục căn thức ở mẫu( nếu có)
+ Thực hiện các phép tính
+ Rút gọn
2) Các ví dụ: Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức:
2
1 1
a
−
Giải:
3
2
0, 0
0, 0
0
0 0
0
0 2) : 1 0
1
a b
A
A
a
a
a a
⇒ =
≥
≥
− ≠
2
2 2
(1 )
(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) 1
(1 ) (1 )
1
a
B
÷
−
⇒ =
3) Rút gọn rồi tính gía trị của biểu thức:
2
C = a + a − − a − a − khi a =
Giải:
Điều kiện: a2 –1 ≥ 0
Trang 33
( 1) 2 1 1 ( 1) 2 1 1
Với a = 5
2 , Ta được: C = 1
4) Rút gọn biểu thức: D = b2 c12 a2 +c2 a12 b2 +a2 b12 c2
+ − + − + − ; biết a + b + c = 0.
Giải:
Có: a + b + c = 0 ⇒ + = −b c a
2
Tương tự ta có: c2 + a2 – b2 = -2ab
a2 + b2 – c2 = -2 ac
a b c D
− + +
− − − ( vì a+ b + c = 0)
Vậy khi a + b + c = 0 thì D = 0
5) Cho a,b,c > 0 Rút gọn:
2 ;
a b khi a b c
=
+ <
Trang 4
II THỰC HIỆN PHÉP TÍNH:
1) Phương pháp: Dùng các phép biến đổi về căn thức, đưa biểu thức dưới dấu căn về dạng (a ±b)2
để đưa ra thừa số ra ngoài căn…
2) Các ví dụ: Tính: 8 2 15 8 2 15 ; 49 20 6 49 20 6
Giải:
2 2
2 3
2 :
16 2 4 16 4 12
A
A
Cach
A
B
= − − +
= − + − + +
= − + − + +
= − − + = − − +
= −
= − − + = − + + − − +
= − = − =
< ⇒ = − = −
= + + −
HS Tự giải: Đáp số: B = 10 ; C = 5 1+
8 2 7 8 2 7 2
( 7 1) ( 7 1) 2 7 1 7 1 2
7 1 7 1 2 2 2 0
2
3) Bài Tập:Tính: H = 2006 2005.2007 2006 2005.2007
(4 15)( 10 6)( 4 15 ); 13 160 53 4 90
E = + − − F = − − + Đáp số : E = 2 ; F = -4 5
2
1991 1990.1992 1991 1990.1992
1991 1991 1 1991 1991 1 2 1991 1991 1 1991. 1991 1
1991 1991 (1991 1)
1991 1 1992
G
G
Vì G > 0 Suy ra G = 1992
Trang 55
-III CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC: A = B (1)
1) Phương pháp giải :
a) Phương pháp 1 :Dựa vào định nghĩa: A = B ⇔A – B = 0
+ Lập hiệu số : A – B
+ Biến đổi biểu thức: A – B và chứng tỏ A – B = 0
+ Kết luận A = B
b) Phương pháp 2 : Biến đổi trực tiếp A = A1= A2 = A3= ………….= B
c) Phương pháp 3: Sử dụng giả thiết để biến đổi
d) Phương pháp 4: Chứng minh: A = C và B = C ⇒A = B
e) Phương pháp 5: Biến đổi tương đương
Ta có: A = B ⇔A/ =B/ ⇔A// =B// ⇔ ⇔(*)
(*) đúng suy ra A = B
f) Phương pháp 6: Quy nạp
g) Phương pháp 7: Dùng biểu thức phụ
2) Các ví dụ :
Ví dụ 1: Chứng minh: (x +y)2 – y2 = x(x+2y)
Giải:
Ta có: (x +y)2 – y2 - x(x+2y) = x2 + 2xy + y2 – y2 – x2 – 2xy = 0 Vậy: (x +y)2 – y2 = x(x+2y)
Ví dụ 2:C/m 2m+ +1 2 m2 +m − 2m+ −1 2 m2+m = 2 m Khi m; : >0
Giải:
( 1) 2 ( 1) ( 1) 2 ( 1)
Vậy khi m > 0 thì: 2m+ +1 2 m2 +m − 2m+ −1 2 m2+m =2 m
Ví dụ 3: Cho a + b + c = 0 chứng minh: a) a2 + b2 – c2 + 2ab = 0
b) a3 + b3 + c3 = 3 abc
Giải: a) Ta có: a + b + c = 0 ⇒ + = − ⇒a b c (a b+ )2 =c2 ⇒a2 +b2 +2ab c− 2 =0 (đpcm) b) Có: a + b + c = 0 ⇒a+b=-c⇒(a+b)3 = −c3
3
Ví dụ 4:
Ví dụ 5: Chứng minh: 2+ 3 + 2− 3 = 6 ( )1
Giải:
2
(1) ( 2 3 2 3 ) 6
2 2 2 6
Trang 6Vậy: 2+ 3 + 2− 3 = 6
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP:
+ Bước 1: Với n = 1 ⇒A(n) đúng
+ Bước 2: Giả sử A(n) đúng khi n = k ( k∈Z)
+ Bước 3: Ta chứng minh A(n) đúng với n = k + 1
Ví du ï6: Chứng minh rằng: 1 + 2 + 3 +…….+ n = ( 1) (1)
2
+
Giải:
+ Với n = 1, ta có: 1 1(1 1) 1 1
2
+
= ⇔ = đúng + Giả sử: (1) đúng khi n = k ( k ∈Z) tức là: 1 + 2 + 3 +…….+ k =k k( 2+1) (2) + Khi n = k + 1, ta phải chứng minh: 1 + 2 + 3 +…….+ k + (k +1) =(k +1)(2k +2) (3) có: (2) ⇔1 + 2 + 3 +…….+ k + (k +1) =k k( 2+1) + k + 1
⇔1 + 2 + 3 +…….+ k + (k +1) =k k( + +1) 2(2 k +1) (= k +1)(2k +2)
Vậy: 1 + 2 + 3 +…….+ n = n n( 2+1) ∀ ∈n Z+
3) Bài tập :
Bài1: Chứng minh: a b 2b 1
a b
a − b − a + b − − = ; với a > 0, b > 0 , a ≠ b Bài2: a) Chứng minh rằng nếu a = b + 1 thì (a + b)(a2 + b2)(a4 + b4) = a8 – b8
b) Chứng minh rằng nếu a + b + c = 0 thì a3 + a2 c - abc + b2c + b3 = 0
(n+1) n n n+ +1= n − n +1 n N∈ Bài4: Chứng minh: n = 2( 3 1) 2+ − 3 là một số tự nhiên
Bài5: Chứng minh:
3
x y
x x y y
− +
Bài6: Chứng minh: (a 31) a (b 21) b a b Khi a, : 0,b 0
a
Giải:
Bài2: a) Có a = b +1 ⇒ − =a b 1
(a + b)(a + b )(a + b )=1.(a + b)(a + b )(a + b )
=(a-b)(a + b)(a + b )(a + b ) =(a -b )(a + b )(a + b )
=(a b )(a + b )=a b
⇒
c) Có: a3 + a2 c - abc + b2c + b3 = (a3 + b3) + (a2c – abc + b2c)
=(a + b)(a2 – ab + b2) + c( a2 – ab +b2)
Trang 77
-=(a + b + c)( a2 – ab + b2) = 0; Vì a + b + c = 0 Vậy: a3 + a2 c - abc + b2c + b3 = 0, khi: a + b + c = 0
Bài3:
2 2
1
VT
VP
+ −
+ Bài4: Có : n = 2( 3 1) 2+ − 3= 2( 3 1) 4 2 3 2( 3 1) 4 2 3
=( 3 1) ( 3 1)+ − 2 =( 3 1)( 3 1) 3 1 2 N+ − = − = ∈ Vậy n là số tự nhiên
Bài1; Bài5; Bài6 HS tự chứng minh
Trang 8
IV/ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC: A > B (1)
1) Phương pháp giải:
a) Phương pháp1:Dùng Định nghĩa A > B ⇔A – B > 0 ( hoặc B – A < 0)
+ Lập hiệu: A – B
+ Rút gọn A – B và chứng tỏ A – B > 0 ( hoặc B – A < 0) + Kết luận A > B
b) Phương pháp2: Biến đổi trực tiếp
A = A1 = A2 = ………… = B + M2 > B ; M ≠0
c) Phương pháp3: Sử dụng giả thiết hoặc một bất đẳng thức đã biết
d) Phương pháp4: Chứng minh A > C và C > B suy ra A > B
e) Phương pháp5: Biến đổi tương đương:
A > B ⇔A1 > B1 ⇔…… ⇔ (*) đúng, suy ra A > B
f) Phương pháp 6: Quy nạp
g) Phương pháp7: PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG
Để Chứng minh A > B , Ta làm như sau:
+ Bước 1: Giả sử A ≤ B
+ Bước 2: Dùng các phép biến đổi tương đương để dẫn đến điều vô lý
+ Bước 3: Kết luận A > B
h) Phương pháp9: Phân tích số hạng
2) Các ví dụ :
Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi a, b, c ta luôn có: a2 + b2 + c2 ≥ab bc ca+ +
Dấu “= “ xảy ra lúc nào?
Giải:
Ta có: a2 + b2 + c2 −ab bc ca− −
2
2
2
dấu “=” xảy ra khi a = b = c
Ví dụ 2: CMR: 2 2 3 0
4
x + x + > Với mọi giá trị của x
Giải:
Ta có: x2 +2x + =3 x2+2x + + =1 2 (x +1)2+ > ∀2 0, x, Vì (x + 1)2 ≥0
Do đó: 2 2 3 0
4
x + x + > Với mọi giá trị của x Vì 4 > 0
Ví dụ 3:Chứng minh ví dụ 1
Ta có: (a – b) 2≥0; ∀a b,
⇔a2−2ab b+ 2 ≥0
Trang 99
⇔a2 +b2 ≥2ab (1) ( Dấu bằng xảy ra khi a = b)
Tương tự: b2 +c2 ≥2bc (2) (Dấu bằng xảy ra khi b = c)
a2 +c2 ≥2ac (3) (Dấu bằng xảy ra khi a = c)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta có:
2a2 + 2b2 + 2c2 ≥2abb + 2bc + 2ac
⇔a2+b2 +c2 ≥ab bc ac+ + Dấu “=” xảy ra khi a = b = c
3) Bài tập:
1) Chứng minh: a + b ≤ a b + b a ( Với a>0; b>0)
2) Chứng minh: a2−(2 a +1)2 + +5 4 a ≥0, ∀ ≥a 0
3) Chứng minh: 10 24 2 0,
1
x
+ 4) Chứng minh: 1 1 4 , ( , 0)x y
5) Chứng minh:
2
a +b a b+
≥ ÷ 6) Chứng minh:1.2 2.31 + 1 + +n n( 1+1)< ∀ ∈1, n N
7) Chứng minh: a2+b2+c2+d2 + ≥ + + +1 a b c d
Giải:
1) Với a>0; b>0, Ta có:
a b
+
+
⇔ ≤ +
(*) Đúng Với a>0; b>0 Vậy BĐT được chứng minh
4) Ta có: (x – y )2 0,≥ ∀x y,
2
x y
+
+
2
( )
Trang 10
+ −
2
1 ; (1) 4
Tương tự ta có:
2
2
2
1 ; (2) 4
1 ; (3) 4
1 ; (4) 4
+ ≥ + ≥ + ≥
⇒a2 +b2 +c2 +d2 + ≥ + + +1 a b c d
V/ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
1) Ghi nhớ: Cho phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (1), với a, b, c phụ thuộc vào tham số m
+ Bài toán1: Tìm điều kiện của m để PT (1) có nghiệm
(1) có nghiệm khi: a) Hoặc a = 0, b ≠0
b) Hoặc a ≠0, ∆ ≥0 + Bài toán2: Điều kiện để PT (1) có 2 nghiệm phân biệt: a≠0 và ∆ >0
+ Bài toán3: Điều kiện để PT (1) có 1 nghiệm: a = 0 và b ≠0, hoặc a ≠0 và ∆ =0
+ Bài toán4: a) Điều kiện để PT (1) có 2 nghiệm cùng dấu: ∆ ≥ 0 và P > 0
b) Điều kiện để PT (1) có 2 nghiệm dương: ∆ ≥0, P > 0 , S > 0
c) Điều kiện để PT (1) có 2 nghiệm âm: ∆ ≥0, P > 0 , S < 0
d) Điều kiện để PT (1) có 2 nghiệm trái dấu: P < 0 hoặc a và c trái dấu
+ Bài toán5: Điều kiện để PT (1) có 1 nghiệm x = x1 Tìm nghiệm kia?
Thay x = x1 vào(1), ta có: ax12 + bx1 + c = 0 ⇒ m
Thay giá trị của m vào (1) ⇒x2 hoặc Tính x2 = S – x1 hoặc x2 =
1
P
x
+ Bài toán6: Điều kiện để PT (1) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn một trong các giả thiết sau:
1 1
2) Phương pháp giải: Điều kiện chung: ∆ ≥0 (*) Aùp dụng định lý Viét:
1 2
b
a c
P x x
a
−
= + =
Trang 1111
Kết hợp với một trong các giả thiết trên, giải PT hoặc HPT để suy ra m
3) Các ví dụ:
Ví dụ1: Cho Pt x2 + 3x – m = 0 (1)
a) Tìm các giá trị của m để Pt (1) có nghiệm
b) Định m để PT (1) có 1 nghiệm bằng -2 Tìm nghiệm kia
Giải:
2
a) PT (1) có nghiệm khi 0
9
3 4.1.( ) 0 9 4 0
4
∆ ≥
−
b) Vì Pt (1) có một nghiệm bằng x1= -2 nên ta có:
(-2)2 + 3.(-2 ) – m = 0 ⇔4 – 6 – m = 0⇔m = -2.
Ta có: x1 + x2
3 3 1
b a
= = = − ⇒x2 = − −3 x1= − − − = −3 ( 2) 1
1
2 2
2
c
−
Ví dụ2:Cho Pt: x2 + mx + 3 = 0 (2)
a) Định m để Pt (2) có 2 nghiệm phân biệt
b) Định m để Pt (2) có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x12 + x 22 =10
Giải:
a) PT(2) có 2 nghiệm phân biệt khi: 0
12 0
12
12 12
12 0
12
12 0
m
m
m m
m
m m
∆ >
> −
b)Theo Vi ét, ta có:
1 2
1 2 3
x x
2
Mà: x + x =10
( ) 2 10 ( ) 2.3 10 0
16 0 4(Chọn)
Vậy khi m =4 hoặc m = - 4 thì Pt (2) có hai nghiệm thỏa mãn bài toán
Ví dụ3: Cho PT mx2 – 4x – 5 = 0 (3) Tìm các giá trị của m để PT (3) có nghiệm
Giải: + Khi: m = 0, PT (3) trở thành: – 4x – 5 = 0 có nghiệm duy nhất x = −45.
+ Khi m ≠0, PT (3) có nghiệm khi: / 4 5 0 4
5
Ví dụ4: Cho PT x2 +(1 –m)x – m = 0 (4)
Trang 12a) Chứng minh PT(4) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để Pt(4) có hai nghiệm âm
Giải:
2 2
Ta có: = 1-m 4.1.( ) 1 2 4
Vậy PT(4) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m
1 2
b) PT(4) có hai nghiệm âm khi:
S<0 x 0
x
Vậy khi m < 0 PT(4) có hai nghiệm âm
Ví dụ5: Cho PT: 3x2 – 4x + m – 3 = 0 (5)
a) Tìm m để PT(5) có hai nghiệm cùng dấu
b) Với giá trị nào của m thì PT(5) có hai nghiệm dương
Giải:
/
1 2
a) PT(5) có hai nghiệm cùng dấu khi:
4 3.2 0
3 2
3
m
m m
≥
/
1 2
b) PT(5) có hai nghiệm dương khi:
4 6
4 0 3
m m
m m
m
≥
≤
4) Bài Tập: 1) Tìm tất cả các giá trị của m để PT:
a) 5x2 + 3x +10 = 0 có nghiệm
b) -2x2 + mx - 3 = 0 có nghiệm
c) mx2 - 4x - 5 = 0 có nghiệm
2) Cho PT: 2x2 – 10x + m – 1 = 0 (2)
a) Giải PT (2) khi m = 9
b) Với giá trị nào của m thì Pt(2) có hai nghiệm phân biệt
3) Cho PT (m + 1)x2 + 3x – 2 = 0 (3) a) Giải PT(3) khi m = 4
b) Với giá trị nào của m thì Pt(3) có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m, biết PT(3) có một nghiệm bằng –2 Tìm nghiệm kia
4) Cho PT: x2 –2(m – 1)x + m + 1 = 0 (4) Định m để PT (4) Có: a) Hai nghiệm trái dấu
b) Hai nghiệm dương phân biệt
Trang 1313
-5) Xác định m để PT x2 + 2x + m = 0 có: a) Hai nghiệm x1, x2 thỏa: 3x1 + 2x2 = 0
b) Hai nghiệm x1, x2 thỏa: x12 – x22 = 12
c) Hai nghiệm x1, x2 thỏa:
1 1 3