cấp số cộng cấp số nhân 11

Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng: - Giải tóan bằng phương pháp quy nạp.. Phương pháp chứng minh bằng quy nạp: Để chứng minh một mệnh đề bằng phương pháp quy nạp tóan học hay phương pháp quy

A Mục đích yêu cầu:

1. Kiến thức: Học sinh nắm vững:

- Thế nào là phương pháp quy nạp tóan học.

- Các bước tiến hành để giải bài tóan quy nạp

2. Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:

- Giải tóan bằng phương pháp quy nạp

B Lên lớp:

B1 Ổn định và điểm danh:

B2 Bài cũ:

B3 Bài mới: Trọng tâm: Cách giải các bài tóan bằng phương pháp quy nạp.

Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa

PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TÓAN HỌC

I Mở đầu:

Trong nhiều bài tóan, đôi lúc ta thường gặp phải chứng minh

những mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n ¥

Để chứng minh những mệnh đề như thế, ta không thể thử trực

tiếp được mà dùng phương pháp chứng minh bằng quy nạp như

sau:

II Phương pháp chứng minh bằng quy nạp:

Để chứng minh một mệnh đề bằng phương pháp quy nạp tóan

học (hay phương pháp quy nạp), ta làm như sau:

III Một số ví dụ:

1 Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 1, ta có:

n n 1

2



    

Giải:

+ Khi n = 1, ta có:

 

VT 1

1 1 1 VP

2

 

 

  (1) đúng với n = 1 + Giả sử (1) đúng với một số tự nhiên n = k 1, tức là:

k k 1

2



    

Ta chứng minh (1) cũng đúng khi n = k+1, tức phải chứng minh:

+ GV giới thiệu phương pháp quy nạp tón học

+ Kiểm tra với n nào?

+ Cách kiểm tra?

+ Cách thiết lập giả thiết quy nạp?

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 0

Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ

n = k 0 (gọi là giả thiết quy nạp) Ta hãy chứng minh mệnh

đề cũng đúng với n = k+1

Kết luận: Mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n

Chú ý Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự

nhiện np thì:

- Trong bước 1 ta phải thử với n = p.

- Trong bước 2, ta giả sử mệnh đề đúng với một số tự

nhiên n = kp.

  k 1 k 2    

2

      

Cm:

2



k 1  k 1 k 1 k 2   VP

Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n 1

2 Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n 2, ta có:

anbn  a b a  n 1  an 2 b ab  n 2  bn 1    2

Giải:

+ Khi n = 2:

2 2

2 2

      (2) đúng với n = 2

+ Giả sử (2) đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k 2, tức là:

a b  a b a  a  b ab   b 2'

Ta chứng minh (2) cũng đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:

ak 1  bk 1   a b a  ka b abk 1    k 1  bk  2"

Cm:

Vậy (2) đúng với mọi số tự nhiên n 2

IV Bài tập:

Chứng minh rằng với   ¥n *, ta có:

6

Giải:

+ Khi n = 1, ta có:

   

VT 1

1 1 1 2 1

6

 

   (*) đúng với n = 1

+ Giả sử (*) đúng với một số tự nhiên n = k > 0, tức là:

6

Ta chứng minh (*) cũng đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:

       

6

Cm:

2

k k 1 2k 1

6

k 1 k 2 2k 3

VP 6

B4 Củng cố: Phương pháp chứng minh bằng quy nạp?

B5 Dặn dò: BTVN trang 88

+ Phải chứng minh điều gì?

+ Dùng giả thiết quy nạp thay vào k số hạng đầu tiên

+ Kiểm tra với n = 2

+ Thành lập giả thiết quy nạp?

+ Mệnh đề phải chứng minh?

+ Hướng dẫn chứng minh

+ Kiểm tra (*) với n = 1

+ Thành lập giả thiết quy nạp?

+ Cách chứng minh?

+ Kết luận

C Mục đích yêu cầu:

1. Kiến thức: Học sinh nắm vững:

- Định nghĩa dãy số.

- Cách cho dãy số, biểu diễn hình học của dãy số

- Dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn

2. Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:

- Giải các bài tóan về dãy số như: Tính đơn điệu, tính bị chặn,

- Rèn luyện kỹ năng tính tóan

D Lên lớp:

B1 Ổn định và điểm danh:

B2 Bài cũ:

B3 Bài mới: Trọng tâm: Định nghĩa, dãy đơn điệu, dãy số bị chặn.

Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa

I Định nghĩa:

1 Định nghĩa 1: Cho tập hợp M = {0; 1; 2; …; m}

- Một hàm số u xác định trên M được gọi là một dãy số hữu hạn

- Tập giá trị của dãy này là {u(1); u(2);…; u(m)} Ký hiệu là:

u 1  u ; u 21  u ; ; u m2  um

- Viết dãy số như sau:

u ; u ; ; u

• u1 là số hạng thứ nhất (số hạng đầu)

• u2 là sồ hạng thứ hai,…

• um là số hạng cuối (số hạng thứ m)

2 Định nghĩa 2: Một hàm số u xác định trên tập *¥ được gọi là

một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số)

- Tập giá trị của dãy số gồm vô số phần tử được ký hiệu là:

u ; u ; ; u ;

Dạng này được gọi là dạng khai triển của dãy số

- u1 là số hạng thứ nhất,…

- un là số hạng tổng quát (số hạng thứ n) của dãy số u

II Cách cho dãy số

1 Cho số hạng tổng quát bằng công thức:

Ví dụ: Cho dãy số (un), với  n

1 u n



 Viết dưới dạng khai triển, ta có:

 n 2

1 1;1; 1;1; ; ;

n



2 Cho một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó:

3 Cho bằng phương pháp truy hồi:

Cách cho:

Ví dụ: Cho dãy số

n n 2 n 1

u 1, u 2

Ta có:

+ Giới thiệu định nghĩa

+ Ví dụ: Cho dãy số hữu hạn 2; 4; 6 ;8 ;10

Ta có:

- Dãy số có 5 số hạng

- Số hạng đầu: 2

- Số hạng cuối: 10

+ Ví dụ: Cho dãy số (un), với un 1

n

 , ta có dạng khai triển của nó là: 1; ; ; ; ; 1 1 1

+ Thay các giá trị của n vào

DÃY SỐ

- Cho một hay vài số hạng đầu của dãy

- Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng

thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) trước nó

+ Cho n vài giá trị để thấy dãy số dần tiến về điểm 0 (nhưng không bằng 0)

+ Suy ra: Để khảo sát tính đơn điệu của dãy số ta tính un+1 rồi xét hiệu un+1 – un ( n  ¥ ) Nếu:*

• un+1 – un < 0 thì dãy số giảm

• un+1 – un > >0 thì dãy số tăng

+ Cách chứng minh?

+ Lập hiệu un+1 – un ( n  ¥ ).*

+ Cách chứng minh dãy số bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

u 1, u 1, u  u u 2, u u u 3, u u u 5

Dãy số này được gọi là dãy Phibônaci

III Biểu diễn hình học của dãy số:

Người ta có thể biểu diễn hình học của dãy số trên trục số

Ví dụ: Biểu diễn hình học của dãy số 1

n

 

 

  trên trục số

4

u4 1 3

u3

1

u1?

1 2

u2

IV Dãy số tăng, dãy số giảm:

1 Các định nghĩa :

2 Ví dụ: Chứng minh dãy số (un) với un n 1

n



Giải:

Với n  ¥ , ta có: *  

n 1

u



n 1 n



Vậy dãy số đã cho giảm (đpcm)

V Dãy số bị chặn:

1 Các định nghĩa:

2 Ví dụ: Chứng minh rằng dãy số 1

n

 

 

  bị chặn.

Giải: Với n  ¥ , ta có:*

1

n

  nên dãy số đã cho bị chặn trên bởi 1, bị chặn dưới bởi 0

Vậy dãy số đã cho bị chặn

B4 Củng cố: Các định nghĩa.

B5 Dặn dò: BTVN trang 94 – 95

a) ĐN1:  u là dãy số tăng 2  n ¥* : un un 1

b) ĐN2:  u là dãy số giảm2   n ¥* : un un 1

c) ĐN3: Dãy số tăng và dãy số giảm được gọi chung là dãy

số đơn điệu

Chú ý:

 Không phải mọi dãy số đều đơn điệu.

 Nếu mọi số hạng của dãy đều dương thì:

 un tăng n 1

n

u

u



 un giảm n 1

n

u

u



a) ĐN1:  un bị chặn trên   M ¡ : n ¥*, un M

b) ĐN2:  un bị chặn dưới  m ¡ : n ¥*, un m

c) ĐN3:  un bị chặn m, M¡ : n ¥*, m u n M

E Mục đích yêu cầu:

1. Kiến thức: Học sinh nắm vững:

- Định nghĩa dãy số.

- Cách cho dãy số, biểu diễn hình học của dãy số

- Dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn

2. Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:

- Giải các bài tóan về dãy số như: Tính đơn điệu, tính bị chặn,

- Rèn luyện kỹ năng tính tóan

F Lên lớp:

B1 Ổn định và điểm danh:

B2 Bài cũ:

B3 Bài mới: Trọng tâm: Định nghĩa, dãy đơn điệu, dãy số bị chặn.

Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa



Giải:

a) Ta có: u1 1; u2 1; u3 1; u4 1; u5 1

b) Ta có: u1  1; u2 4; u3  6; u4 8; u5 10

Giải:





Giải:

a) Ta có:

u 2u 2.2.3

  Dự đóan : un 3.2n 1 ( n  ¥ ) (1)*

………

+ Lần lượt cho n = 1; 2; 3; 4; 5 vào công thức đã cho, tính các giá trị tương ứng

+ Chú ý n chẵn, n lẻ để chọn dấu đúng

Bài 1: Víết 5 số hạng đầu của các dãy số sau:

 

n

n

1

2

1 neáu n chaün

n

c) u

n

Bài 2: Cho  n

n

u

n

 

 Tính u7, u12, u2n, u2n+1

Bài 3: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số sau:



+ Để tìm số hạng tổng quát của dãy, ta có thể làm như sau:

- Cho n vài giá trị đầu tiên

- Xem thử quy luật của un?

- Dự đóan công thức un

- Chứng minh công thức dự đóan là đúng bằng phương pháp quy nạp

+ Nhắc lại cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp

+ Thử với n = 1?

+ Biểu thức của giả thiết quy nạp?

+ Biểu thức cần chứng minh?

+ Kết luận công thức cần tìm?

b) Hướng dẫn học sinh giải

+ Nhắc lại phương pháp xét tính đơn điệu của dãy số?

a) Tính un+1 =?

+ Xét hiệu un+1 – un = ? + Kết luận?

b) Tính un+1 =?

+ Xét hiệu un+1 – un = ? + Kết luận?

+ Nhắc lại phương pháp xét tính bị chặn của dãy số?

a) Vì sao un không bị chặn trên?

b) Phân tích như thế nào?

+ Chú ý rằng n n 1 1   n n 11 1

và 1 1, 1 1, n *

n n 1 2  

d) Phân tích như thế nào?

Chứng minh:

+ Khi n = 1:

1

1 1

VP 3.2 3

   (1) đúng với n = 1.

+ Giả sử (1) đúng với một số tự nhiên n = k 1, tức là:

k 1 k

u 3.2

Ta chứng minh (1) cũng đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:

k

k 1

u  3.2

Ta có:

 

k 1 k

u  2u 2.3.2 3 2.2 3.2 VP

Vậy công thức tổng quát của dãy số đã cho là:

n 1 n

u 3.2  ( n  ¥ )* b) Ta có: 10n + n , n  ¥

Bài 4: Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:

n n

2

Giải:

2n 1



Vây dãy số đã cho giảm

b) Ta có:

 





Vây dãy số đã cho tăng

Bài 5: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

n 2n 1

1

n n 1 1

3





 

  Giải:

a) Với  n ¥*: un 2n 1 1 

Do đó dãy đã cho bị chặn dưới bởi 1



¥

Do đó dãy đã cho bị chặn dưới bởi 0, bị chặn trên bởi 1

2 nên bị chặn

c) Với  n ¥* : 3.22n 1  6 un 6

Do đó dãy đã cho bị chặn dưới bởi 6

d) Với

n

n

 

 

¥

b4 Củng cố: Các dạng.

b5 Dặn dó: Bài mới

A Mục đích yêu cầu:

a. Kiến thức: Học sinh nắm vững:

i Định nghĩa cấp số cộng

ii Số hạng tổng quát của cấp số cộng iii Tính chất của CSC, tổng n số hạng đầu của một CSC

b. Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:

i. Giải các bài tóan về cấp số cộng

ii Rèn luyện kỹ năng tính tóan

B Lên lớp:

B1 Ổn định và điểm danh:

B2 Bài cũ:

B3 Bài mới: Trọng tâm: Định nghĩa, các tính chất của CSC.

Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa



I Định nghĩa:

1 Định nghĩa:

(1)

Trong đó d là công sai của cấp số cộng Ta có: d = un+1 – un

Nếu d = 0 thì CSC có tất cả các số hạng bằng nhau

Ký hiệu CSC là u ; u ; ; u ; 1 2 n

2 Ví dụ:

a) Xét dãy số tự nhiên lẻ:

1, 3, 5, 7, …, 2n + 1, …

là một CSC với số hạng đầu bằng 1, công sai d = 2

b) Gọi (un) là CSC có số hạng đầu u1= –1, công sai d = –2 Hãy viết

5 số hạng đầu của CSC này

Giải:

u1 = -1, u2 = u1 + d = –1 +(–2) = –3, u3 = –5, u4 = –7, u5 = –9

Vậy ta có cấp số cộng là:

     1; 3; 5; 7; 9

II Số hạng tổng quát:

1 Định lý:

(2)

Chứng minh:

+ Khi n = 1: Rõ ràng (2) đúng

+ Giả sử (2) đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k 1, tức là:

uk   u1 k 1 d

Ta chứng minh (2) cũng đúng khi n = k+1, tức là:

uk 1  u1 k.d

Cm: Ta có:

VT u k 1 uk   d u1 k 1 d d u   1 kd VP

+ Học sinh nêu định nghĩa CSC

+ GV tóm tắt công thức của định nghĩa

+ Cách tìm công sai của CSC?

a) Tìm u1 =?, d = ?

b) Cách tìm?

+ Chứng minh bằng phương pháp quy nạp + Thử với n = 1

+ Thành lập mệnh đề quy nạp?

+ Phải chứng minh ?

CẤP SỐ CỘNG

(un) là CSCun 1 un (n = 1, 2, …)d

un = u1 + (n – 1).d

 

k 1 k 1

k

2

  

+ Tìm u1 và d như thế nào?

+ Công thức số hạng tổng quát của CSC?

+ HD: Áp dụng công thức (2) để biến đổi VP về theo VT

+ Học sinh tính uk–1 , uk+1 = ?

+ Cách giải?

+ Công thức (4) cho phép tính tổng n số hạng đầu của CSC theo u1 và d

+ Công thức (5) cho phép tính tổng n số hạng đầu của CSC theo u1 và un

2 Ví dụ: Tính số hạng tổng quát un của cấp số cộng:

1; 4;7;10; 

Giải:

Ta có u1 = 1, d = 3 Vậy số hạng tổng quát là:

un = u1 + (n – 1)d = 1 + (n – 1).3 = 3n – 2

III Tính chất các số hạng của cấp số cộng:

1 Định lý:

(3)

Chứng minh: Với k 2 , ta có:

k 1 1

k 1 1

k 1 k 1 1





2 Ví dụ: Tìm x để các số sau lập thành một cấp số cộng theo thứ tự

đó: 2; x; 4

Giải: Để các số trên lập thành một CSC, ta phải có:

2 4

2



  Vậy CSC là 2; 3; 4

IV Tổng n số hạng của một cấp số cộng:

1 Định lý:

Hoặc:

2 Ví dụ:

a) Tính tổng n số lẻ đầu tiên

b) Tính tổng n số chẵn đầu tiên

Giải:

a) Ta có:

l

n

2

           

b) Ta có:

n

2

B4 Củng cố: - Định nghĩa CSC?

- Số hạng tổng quát của CSC? Tính chất của CSC

- Công thức tính tổng các số hạng của CSC?

B5 Dặn dò: BTVN trang 99 – 100

k 1 k 1 k

2

  

n

2

n

2

C Mục đích yêu cầu:

a. Kiến thức: Học sinh nắm vững:

i Định nghĩa cấp số cộng

ii Số hạng tổng quát của cấp số cộng iii Tính chất của CSC, tổng n số hạng đầu của một CSC

b. Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:

i Giải các bài tóan về cấp số cộng

ii Rèn luyện kỹ năng tính tóan

D Lên lớp:

B1 Ổn định và điểm danh:

B2 Bài cũ:

B3 Bài mới: Trọng tâm: Định nghĩa, các tính chất của CSC.

Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa



Dạng 1: Tìm các yếu tố của một CSC

Áp dụng:

Bài 1: Trong các cấp số cộng sau, hãy tính số hạng un đã chỉ ra:

a) 1;5;9; u ? b) 2 1; 2;3  2; u ?

Giải:

a) Ta có:

17 1

u 1,d 4, n 17

b) Ta có:

n 1

1

10

Bài 2: Tìm công sai d của CSC hữu hạn, biết số hạng đầu u1 = 1, và

số hạng cuối u15 = 43

Giải:

Ta có:

n 1  

u 1, u u 43, n 15

Bài 3: Trong các dãy số (un) dưới đây, dãy số nào là CSC, khi đó

cho biết số hạng đầu và công sai của nó:

2

3n 2

5



Giải:

a) Ta có:

k 1 k 1

k

Vậy dãy số đã cho là một CSC với u= –4, u = –1  d = 3

+ Nhắc lại các công thức về CSC?

a) Công thức tổng quát của CSC?

+ Tìm u1, d, n = ?

b) Tìm u1, d, n = ?

+ Công thức áp dụng?

+ Tìm u1, un, n = ?

+ Áp dụng tính chất của CSC Học sinh phát biểu tính chất của CSC?

+ Cách tính u1, d ?

+ Các yếu tố của một CSC gồm: Công sai, số hạng tổng quát,

tổng n số hạng đầu,…

+ Để làm được các dạng tóan này cần phải thuộc, vận dụng tốt

các công thức (1), (2), (4) và (5) của CSC

b) Ta có:

k 1 k 1

k

u

Vậy dãy số đã cho là một CSC với u1 = 1, u2 = 8

5  d 3

5

 c) Ta có:

  2 2 2

2

k 1 k 1

k

Vậy dãy số đã cho không phải là một cấp số cộng

Bài 4: Xác định số hạng đầu và công sai của CSC, biết:

Giải:

1   1 

7 3

a)

1

b)



Bài 5: Tính tổng 10 số hạng đầu của mỗi CSC sau, biết:

Giải:

a) Ta có:

10

n

2

2

n 10, u 5, u u 50

1

2



Dạng 2: Xác định các số hạng của một CSC:

c) Vì sao dãy số đã cho không phải là CSC?

+ Cách giải?

+ Áp dụng công thức: un = u1 + (n – 1).d

a) Áp dụng công thức?

n = ?, u1 = ?, u10 = ?

b) Áp dụng công thức?

d = ?

Xác định một CSC (hay tìm các số hạng của nó) ta làm như

sau:

*Nếu CSC có số số hạng lẻ thì ta cần đặt số hạng ở giữa là 

và công sai là d = r

Khi đó, giả sử CSC có 3 số hạng thì có dạng:

 - r;  ;  + r

*Nếu CSC có số số hạng chẵn thì ta cần đặt hai số hạng ở

giữa là  - r và  + r và công sai là d = 2r

Khi đó, giả sử CSC có 4 số hạng thì có dạng:

 -3 r;  - r;  + r;  - 3r

* Ngòai ra, để xác định các số hạng của một CSC, ta có thể

dùng tính chất của CSC.

NỘI DUNG TG PHƯƠNG PHÁP

Áp dụng:

Bài 1: Một cấp số cộng có 4 số hạng Tổng của chúng bằng 22

Tổng các bình phương của chúng bằng 166 Tìm bốn số đó

Giải:

Cấp số cộng cần tìm có dạng:

-3r, -r,  r,3r

Trong đó d = 2r là công sai Ta có:

   



Vậy có hai cấp số cộng là:

+ Với  4, r 1 ta có CSC 1,3,5,7

+ Với  4, r  ta có CSC 7,5,3,11 

Bài 2: Một CSC có 11 số hạng Tổng các số hạng bằng 176 Hiệu

giữa số hạng cuối và số hạng đàu là 30 Tìm CSC đó

Giải:

1 11

11 1

n 1

2

14, 11, 8, 5, 2,1, 4,7,10,13,16

+ Dạng của CSC cần tìm

+ Từ giả thiết lập hệ phương trình như thế nào? + Giải hệ

+ Tìm các CSC?

+ Cách tìm

E Mục đích yêu cầu:

a. Kiến thức: Học sinh nắm vững:

i. Định nghĩa cấp số nhân

ii. Số hạng tổng quát của cấp số nhân

iii. Tính chất của CSN, tổng n số hạng đầu của một CSN

b. Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:

i. Giải các bài tóan về cấp số nhân

ii Rèn luyện kỹ năng tính tóan

F Lên lớp:

B1 Ổn định và điểm danh:

B2 Bài cũ:

B3 Bài mới: Trọng tâm: Định nghĩa, các tính chất của CSN.

Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa



I Định nghĩa:

1 Đinh nghĩa:

Trong đó:

• q là công bội (1)  n 1

n

u q u





 (1) là một hệ thức truy hồi

• q = 0 thì CSN là dãy u1, 0, 0, 0, …,0, …

• q =1 thì CSN là dãy u1, u1, …,u1,…

• u1 = 0 thì với mọi q, ta có CSN là dãy: 0, 0, …,0,…

Ta dùng ký hiệu  u1, u2, …,un, …

2 Ví dụ:

1, 2, 4, 8, …, 2n-1, … là CSN vô hạn với công bội q = 2

II Số hạng tổng quát:

1 Định lý:

Chứng minh:

+ Khi n = 1: (2) đúng

+ Giả sử (2) đúng với một số tự nhiên n = k 1 bất kỳ, tức là:

k 1

k 1

u u q 

Ta chứng minh (2) cũng đúng với n = k+1, tức là:

k

k 1 1

u  u q Cm: Ta có:

2 Ví dụ: Tìm số hạng thứ 11, biết rằng số hạng đầu u1 = 1, công bội

q = 2

Giải:

u u q  u 1.2  2 1024

III Tính chất các số hạng của CSN:

1 Định lý:

+ Nêu định nghĩa

+ Suy ra công bội q = ?

+ Nêu định lý?

+ Chứng minh định lý bằng phương pháp phản chứng

+ Theo định nghĩa uk+1= ?

n 1 n

u  u q (n = 1, 2, …) (1)

n 1

n 1

u u q  q 0 

(2)

k k 1 k 1

u  u u  (k 2 )

(3)