CÁC DẠNG BÀI CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG CẤP SỐ NHÂN 11 CÓ ĐÁP ÁN

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG- CẤP SỐ NHÂN ĐẠI SỐ 11 Các dạng bài tập chương Dãy số - Cấp số cộng, cấp số nhânPhương pháp quy nạp toán học Trắc nghiệm phương pháp quy nạp toán học Cách ch

CHUYÊN ĐỀ CẤP SỐ CỘNG- CẤP SỐ NHÂN ĐẠI SỐ 11 Các dạng bài tập chương Dãy số - Cấp số cộng, cấp số nhân

Phương pháp quy nạp toán học

Trắc nghiệm phương pháp quy nạp toán học

Cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp cực hay có lời giải

Dãy số

Dạng 2: Xác định số hạng của dãy số

Trắc nghiệm xác định số hạng của dãy số

Dạng 3: Tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số

Trắc nghiệm tính đơn điệu, tính bị chặn của dãy số

Cách tìm số hạng thứ n của dãy số cực hay có lời giải

Cách tìm công thức của số hạng tổng quát cực hay có lời giải

Cách xét tính đơn điệu của dãy số cực hay có lời giải

Cách xét tính bị chặn của dãy số cực hay có lời giải

Cấp số cộng

Dạng 4: Phương pháp giải bài tập Cấp số cộng

Trắc nghiệm cấp số cộng

Cách chứng minh một dãy số là cấp số cộng cực hay có lời giải

Cách tìm số hạng đầu tiên, công sai, số hạng thứ k của cấp số cộng cực hay

Cách tính tổng n số hạng đầu tiên của cấp số cộng cực hay có lời giải

Tìm điều kiện để dãy số lập thành cấp số cộng cực hay

Cách chứng minh đẳng thức dựa vào tính chất của cấp số cộng cực hay

Cấp số nhân

Dạng 5: Phương pháp giải bài tập Cấp số nhân

Trắc nghiệm cấp số nhân

Dạng 6: Điều kiện để dãy số là cấp số cộng, cấp số nhân

Trắc nghiệm điều kiện để dãy số là cấp số cộng, cấp số nhân

Bài tập trắc nghiệm

60 bài tập trắc nghiệm Dãy số, Cấp số cộng, Cấp số nhân có đáp án chi tiết (phần 1)

Phương pháp quy nạp toán học

Dạng 1: Phương pháp quy nạp toán học

A Phương pháp giải & Ví dụ

Giả sử cần chứng minh đẳng thức P(n)=Q(n) (hoặc P(n) > Q(n)) đúng với n ≥

n0 ,n0 ∈ ¥ ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tính P(n0),Q(n0) rồi chứng minh P(n0 )= Q(n0)

Bước 2: Giả sử P(k) = Q(k) ; k ≥ n0 ,k ∈ ¥, ta cần chứng minh P(k+1) = Q(k+1)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Chứng mình với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta luôn có: 1+2+3+ +n= (n(n+1))/2

Đặt P(n) = 1+2+3+ +n : tổng n số tự nhiên đầu tiên :

Vậy đẳng thức cho đúng với mọi n ≥ 1

Bài 2:Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta luôn có: 1+3+5+⋯+2n-1=n2

♦ Với n = 1 ta có VT =VP = 1

Suy ra đẳng thức cho đúng với n = 1

♦ Giả sử đẳng thức cho đúng với n = k với k ≥ 1 ,k ∈ ¥ tức là:

1+3+5+⋯+2k-1=k2 (1)

Ta cần chứng minh đẳng thức cho đúng với n = k+1, tức là:

1+3+5+⋯+(2k-1)+(2k+1)=(k+1)2 (2)

Thật vậy: VT(2) = 1+3+5+⋯+(2k-1)+(2k+1)=k2+(2k+1)=(k+1)2 =VP(2)Vậy đẳng thức cho đúng với mọi n = 1

Bài 3: Chứng minh rằng vớí ∀n ≥ 1, ta có bất đẳng thức:

♦ Với n = 1 ta có đẳng thức cho trở thành :1/2 < 1/√3 ⇒ 2 > √3 đúng

⇒ Đẳng thức cho đúng với n = 1

♦ Giả sử đẳng thức cho đúng với =k ≥ 1 , tức là :

Ta phải chứng minh đẳng thức cho đúng với n = k+1, tức là :

Chú ý: Vậy Phương pháp quy nạp toán học còn được ứng dụng nhiều trong số

Bước 2: Giả sử đẳng thức cho đúng với n = k ≥ 1, tức là

Ta sẽ chứng minh đẳng thức cho đúng với n = k+1, tức là cần chứng minh

Thật vậy:

⇒ (1) đúng đẳng thức cho đúng với mọi n ≥ 1

Bài 2: Chứng minh các đẳng thức sau:

* Với n=1 ta có:VT = |sin1.α|=1.|sinα| =VP nên đẳng thức cho đúng

* Giả sử đẳng thức cho đúng với n = k+1, tức là :|sinkα| ≤ k|sinα| (1)

Ta phải chứng minh đẳng thức cho đúng với n = k+1,tức là :

Bài 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1 thì A(n)=7n+3n-1 luôn chia hếtcho 9

Lời giải:

* Với n=1 ⇒ A(1)=71+3.1-1=9 ⇒ A(1)chia hết cho 9

* Giả sử A(k)chia hết cho 9 ∀k ≥ 1, ta chứng minh A(k+1)chia hết cho 9

Thật vậy:A(k+1)=7k+1+3(k+1)1=7.7k+21k-7-18k+9 ⇒ A(k+1)=7A(k)-9(2k-1)

Vì A(k) chia hết cho 9 và 9(2k-1) chia ết cho 9 nên A(2k+1) chia hết cho 9

Vậy A(n) chia hết cho 9 với mọi số tự nhiên n ≥ 1

Bài 5: Chứng minh rằng tổng các trong một n – giác lồi (n ≥ 1) bằng (n-2)180º Lời giải:

* Với n = 3 ta có tổng ba góc trong tam giác bằng 180º

* Giả sử công thức đúng cho tất cả k-giác, với k < n, ta phải chứng minh mệnh đềcũng đúng cho n-giác Ta có thể chia n-giác bằng một đường chéo thành ra hai đagiác Nếu số cạnh của một đa giác là k+1, thì số cạnh của đa giác kia là n – k + 1,hơn nữa cả hai số này đều nhỏ hơn n Theo giả thiết quy nạp tổng các góc của hai

đa giác này lần lượt là (k-1)180ºvà (n-k-1)180º

Tổng các góc của n-giác bằng tổng các góc của hai đa giác trên, nghĩa là k-1)180º=(n-2)180º

(k-1+n-Suy ra mệnh đề đúng với mọi n ≥ 3

Trắc nghiệm phương pháp quy nạp toán học

Bài 1: Mạnh cầm một tờ giấy và lấy kéo cắt thành 7 mảnh sau đó nhặt một trong

số bảy mảnh giấy đã cắt và lại cắt thành 7 mảnh Mạnh cứ tiếp tục cắt như vậy.Sau một hồi, Mạnh thu lại và đếm tất cả các mảnh giấy đã cắt Hỏi kết quả nào sauđây có thể xảy ra?

A Mạnh thu được 122 mảnh

Mỗi lần cắt một mảnh giấy thành 7 mảnh, tức là Mạnh tạo thêm 6 mảnh giấy Do

đó công thức tính số mảnh giấy theo n bước được thực hiện là Sn = 6n + 1 Tachứng minh tính đúng đắn của công thức trên bằng phương pháp quy nạp theo n.Bước cơ sở Mạnh cắt mảnh giấy thành 7 mảnh, n =1, S(1) = 6.1+1 =7

Công thức đúng với n = 1

Bước quy nạp: giả sử sau k bước, Mạnh nhận được số mảnh giấy là S(k) = 6k + 1Sang bước thứ k +1, Mạnh lấy một trong số những mảnh giấy nhận được trong kbước trước và cắt thành 7 mảnh Tức là Mạnh đã lấy đi 1 trong S(k) mảnh và thayvào đó 7 mảnh được cắt ra Vậy tổng số mảnh giấy ở bước k + 1 là: S(k =1) = S(k)-1 + 7= S(k) + 6 = 6k + 1 + 1 = 6(k+1) +1

Vậy công thức S(n) đúng với mọi n ∈ N* Theo công thức trên chỉ có phương án

C Không đúng không sai

D Vừa đúng vừa sai

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Phép chứng minh thiếu mất bước cơ sở kiểm tra mệnh đề đúng với n=1

Bài 5: Cho x≠0 và x +1/x là một số nguyên Khi đó với mọi số nguyên dương n,

Hiển thị đáp án

Đáp án: C

Ta có

Ta sẽ chứng minh T(1,x) là số nguyên

Thật vậy, áp dụng phép chứng minh quy nạp, ta có:

Bước cơ sở: T(1,x) là số nguyên Khẳng định đúng với n=1

Bước quy nạp: Giả sử T(n,x) là số nguyên với mọi n ≥ 1 Ta sẽ chứng minhT(n+1,x) cũng là số nguyên

Ta có:

Theo giả thuyết quy nạp, ta có T(1,x),T(n,x), T(n-1,x) là các số nguyên nênT(n+1,x) là số nguyên

Bài 6: Với mọi số nguyên dương n, tổng Sn=n3+11n chia hết cho:

Với mọi số nguyên dương n, tổng Sn=n3+11n chia hết cho:

A 6 B 4 C 9 D 12

Hiển thị đáp án

Đáp án: A

Dễ dàng tìm được đáp án n = 6

Bài 7: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự

nhiên n > p ( là một số tự nhiên) Ở bước 2 ta giả thiết mệnh đề A(n) đúng với n =

k Khẳng định nào sau đây là đúng?

Bài 8: Khi sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n)

đúng với mọi số tự nhiên n > p (p là một số tự nhiên), ta tiến hành hai bước:

- Bước 1, kiểm tra mệnh đề A(n) đúng với n = p

- Bước 2, giả thiết mệnh đề A(n) đúng với số tự nhiên bất kỳ n > p và phải chứngminh rằng nó cũng đúng với n = k+1

Trong hai bước trên:

- Giả sử đúng với n = k, tức là 8n+1 chia hết cho 7

- Ta có: 8k+1+1=8(8k+1)-7 , kết hợp với giả thiết 8k+1 chia hết cho 7 nên suy rađược 8k+1+1 chia hết cho 7 Vậy đẳng thức đúng với mọi n ∈ ¥

Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Học sinh trên chứng minh đúng.

B Học sinh chứng minh sai vì không có giả thiết qui nạp.

C Học sinh chứng minh sai vì không dùng giả thiết qui nạp.

D Học sinh không kiểm tra bước 1 (bước cơ sở) của phương pháp qui nạp.

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Thiếu bước 1 là kiểm tra với n = 1, khi đó ta có 8 +1 = 9 không chi hết cho 7.Chọn D

Bài 10: Dùng quy nạp chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) đúng với mọi số tự

nhiên n ≥ p (p là một số tự nhiên) Ở bước 1 (bước cơ sở) của chứng minh quynạp, bắt đầu với n bằng:

Để chứng minh một mệnh đề P(n) phụ thuộc vào số tự nhiên n đúng với mọi n ≥

m (m là số tự nhiên cho trước), ta thực hiện theo hai bước sau:

Bước 1: Chứng minh rằng P(n) đúng khi n = m

Bước 2: Với k là một số tự nhiên tùy và k ≥ m Giả sử P(n) đúng khi n = k, ta sẽchứng minh P(n) cũng đúng khi n= k + 1

Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta kết luận rằng P(n) đúng với mọi số tự nhiên

n ≥ m

B Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: 1.4 + 2.7 + +

Do đó (1) đúng với mọi số nguyên dương n

Ví dụ 2: Chứng ming rằng với mọi số nguyên dương n ta có :

Hướng dẫn giải:

+ Với n = 1:

Vế trái

Vế phải

=> Vế trái = Vế phải Vậy (1) đúng với n = 1

+ Giả sử (1) đúng với n= k; k ∈ N* Có nghĩa là ta có:

* Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1 Có nghĩa ta phải chứng minh:

* Thật vậy

Vậy (1) đúng khi n= k+ 1 Do đó (1) đúng với mọi số nguyên dương n.

Ví dụ 3: Với mỗi số nguyên dương n, gọi un = 9n − 1 Chứng minh rằng với mọi

số nguyên dương n thì un luôn chia hết cho 8

Hướng dẫn giải:

+ Với n = 1 ta có u1 = 91 − 1 = 8 chia hết cho 8 (đúng)

+ Giả sử uk = 9k − 1 chia hết cho 8 với k ∈ N*

Ta cần chứng minh: uk + 1 = 9k + 1 − 1 chia hết cho 8

* Thật vậy, ta có uk+1=9k+1 − 1 = 9.9k − 1 = 9(9k − 1) + 8 = 9uk + 8

Vì 9uk và 8 đều chia hết cho 8

=> uk+ 1 = 9k + 8 ⋮ 8

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 8

Ví dụ 4: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 2, ta luôn có: 2n + 1 > 2n+ 3

(*)

Hướng dẫn giải:

+ Với n = 2 ta có : 22 + 1 = 8 và 2.2+ 3= 7

=> 8 > 7 nên (*) đúng khi n = 2

+ Giả sử với n = k; k ≥ 2 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2k+ 1 > 2k + 3 (1)

Ta phải chứng minh (*) đúng với n= k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

2k+2 > 2(k+1)+3

* Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:

2.2k+1 > 2(2k+3) ⇔ 2k+2 > 4k + 6 > 2(k + 1) + 3

Vậy 2k+2 > 2(k+1)+3 (đúng)

Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 2

Ví dụ 5: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

Hướng dẫn giải:

* Với n = 1:

Vế trái của (1) = 1 và vế phải của (1)

Vậy (1) đúng với n = 1

* Giả sử (1) đúng với n= k; k ∈ N* Có nghĩa là ta có:

Ta chứng minh (1) đúng với n= k+ 1 Có nghĩa ta phải chứng minh:

* Giả sử với n= k; k ≥ 5 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 2k > k2 (1).

Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k + 1, có nghĩa ta phải chứng minh: 2k+1 >(k+1)2

* Thật vậy, nhân hai vế của (1) với 2 ta được:

2 2k > 2.k2 ⇔ 2k+1 > k2 + k2

⇔ 2k+1 > k2 + 2k + 1= (k+1)2 (vì k2 > 2k+ 1 với mọi k ≥ 5)

Vậy (*) đúng với mọi số nguyên dương n≥5

Ví dụ 7: Chứng minh với mọi số nguyên n ta có:

Ví dụ 8: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:

* Giả sử uk = k3 − k chia hết cho 3

Ta cần chứng minh uk+1 = (k + 1)3 − (k + 1) chia hết cho 3

* Thật vậy, uk+1 = k3+ 3k2 + 3k + 1 − k − 1 = k3 + 3k2 + 2k

⇔ uk + 1 = (k3 − k) + (3k2 + 3k) = uk +3(k2 + k)

Vì uk và 3(k2 + k) đều chia hết cho 3, nên uk+1 cũng chia hết cho 3

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 3

Ví dụ 10: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có: 2n3 − 3n2 + n chiahết cho 6

Hướng dẫn giải:

* Đặt un = 2n3 − 3n2 + n

*Ta có: u1 = 2 13 − 3 12 + 1 = 0 chia hết cho 6

=> đúng với n = 1

* Giả sử uk = 2k3 − 3k2+ k chia hết cho 6

Ta cần chứng minh: uk + 1 = 2.(k+1)3 − 3.(k+1)2 + k+1 chia hết cho 6

* Thật vậy ta có: uk+1 = 2.k3+ 6k2 + 6k + 2 − 3k2 − 6k − 3 + k + 1

⇔ uk + 1 = 2k3 + 3k2 + k = 2k3 − 3k2 + k + 6k2 = uk + 6k2

Vì uk và 6k2 đều chia hết cho 6, nên uk + 1 cũng chia hết cho 6

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 6

Ví dụ 11: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: 13n − 1 chia hết cho 6

Ta cần chứng minh: uk+1= 13k+1 − 1 ⋮ 6

* Thật vậy ta có: uk+1 = 13 13k − 1 = 13(13k − 1) + 12 = 13.uk + 12

Vì 13uk và 12 đều chia hết cho 6, nên uk + 1 cũng chia hết cho 6

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 6

Ví dụ 12: Chứng minh với mọi số nguyên n và n ≥ 3 thì 3n > n2 + 4n + 5 (*)

Hướng dẫn giải:

* Với n = 3 ta có 33 > 32 + 4.3 + 5 ⇔ 27 > 26 (đúng)

Vậy (*) đúng với n = 3

* Giả sử với n = k ; k ≥ 3 thì (*) đúng, có nghĩa ta có: 3k > k2 + 4k + 5 (1)

Ta phải chứng minh (*) đúng với n = k+ 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

*Với n = 2:

Vế trái của , vế phải của

Hiển thị đáp án

*Với n = 1: Vế trái của , vế phải của

Suy ra (1) đúng với n = 1

*Giả sử (1) đúng với n = k Có nghĩa là ta có:

Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1 Có nghĩa ta phải chứng minh:

Suy ra (1) đúng với n = 1.

* Giả sử (1) đúng với k; k ∈ N* Có nghĩa là ta có:

Ta phải chứng minh (1) đúng với n = k+ 1 Ta phải chứng minh:

+Giả sử với n = k (k ∈ N*) thì k3 + 11k chia hết cho 6.

Ta phải chứng minh với n = k + 1 thì (k+1)3 + 11( k+1) chia hết cho 6

+ Thật vậy ta có:

(k+1)3 + 11(k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1+ 11k + 11 = (k3 + 11k) + 3k(k + 1)+ 12 (*)+ Do k3 + 11k chia hết cho 6 theo bước 2

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 3

Câu 7: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: 4n + 15n − 1 chia hết cho 9

Hiển thị đáp án

*Đặt un = 4n + 15n − 1

*Với n = 1, ta có u1 = 41 + 15 1 − 1 = 18 chia hết cho 9

=>đúng với n = 1

* Giả sử uk = 4k +15k − 1 chia hết cho 9

Ta cần chứng minh uk + 1 = 4k + 1 + 15(k + 1) − 1 chia hết cho 9

*Thật vậy ta có: uk+1 = 4.4k + 15k+ 14 = 4( 4k + 15k − 1) − 45k + 18 = 4.uk + 9(2 −5k)

Vì 4uk và 9(2 − 5k) đều chia hết cho 9, nên uk+1 cũng chia hết cho 9

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 9

Câu 8: Chứng minh với mọi số nguyên dương n thì 4n + 6n + 8 chia hết cho 9

Hiển thị đáp án

* Đặt un = 4n + 6n+ 8

* Với n = 1, ta có u1 = 41 + 6 1 + 8 = 18 chia hết cho 9

=> đúng với n = 1

* Giả sử uk = 4k + 6k + 8 chia hết cho 9

Ta cần chứng minh uk + 1 = 4k + 1 + 6(k+ 1)+ 8 chia hết cho 9

Thật vậy ta có uk+1 = 4 4k + 6k + 14 = 4 (4k + 6k + 8) − 18k + 18 = 4.uk + 18(1 −k)

Vì 4uk và 18(1 − k) đều chia hết cho 9, nên uk+1 cũng chia hết cho 9

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 9

Câu 9: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: 7.22n − 2 + 32n − 1 chia hết cho5?

Hiển thị đáp án

* Đặt un = 7 22n − 2 +32n − 1

* Với n = 1, ta có u1 = 7 22 1 − 2 + 32 1 − 1 = 10 chia hết cho 5

=>đúng với n= 1

* Giả sử uk = 7 22k − 2 +32k − 1 chia hết cho 5

Ta cần chứng minh uk+1 = 7.22k + 32k + 1 chia hết cho 5

Thật vậy ta có uk+1 = 4.(7.22k−2 + 32k − 1) − 4 32k − 1 + 32k+1 = 4uk + 5.32k−1

Vì 4.uk và 5.32k−1 đều chia hết cho 5, nên uk+1 cũng chia hết cho 5

Vậy với mọi số nguyên dương n thì un chia hết cho 5

Câu 10: Chứng minh với mọi n nguyên và n ≥ 4 ta có: 3n − 1 > n(n+ 2) (1)

Do đó theo nguyên lí quy nạp, (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 4

Câu 11: Chứng minh với mọi số nguyên n và n ≥ 2 ta có :

Hiển thị đáp án

* Đặt

* Với n= 2 ta có

=> đúng với n= 2

*Giả sử với n = k ≥ 2 ; k ∈ N thì (*) đúng, có nghĩa ta có:

*Ta phải chứng minh (*) đúng với n=k+ 1, có nghĩa ta phải chứng minh:

*Thật vậy ta có:

*Vậy uk+1 > uk > (đúng) Vậy (*) đúng với n = k + 1.

*Suy ra (*) đúng với mọi số nguyên dương n ≥ 2

Câu 12: Chứng minh với mọi số nguyên dương n ta có: nn ≥ (n+1)n − 1 ( 1)

Hiển thị đáp án

* Với n = 1 ta có 11 ≥ (1+1)0 hay 1 ≥ 1 (đúng)

Vậy (1) đúng với n = 1

* Giả sử với n = k ; k ∈ N* thì (1) đúng, có nghĩa ta có: kk ≥ (k+1)k − 1 (2)

Ta phải chứng minh (1) đúng với n= k+ 1, có nghĩa ta phải chứng minh:(k+1)k+1 ≥ (k+2)k

Thật vậy, nhân hai vế của (2) với (k+1)k+1 ta được:

Vậy (*) đúng với n = k + 1 Do đó (*) đúng với mọi số nguyên dương n.Dãy số

Dạng 2: Xác định số hạng của dãy số

A Phương pháp giải & Ví dụ

1 Dãy số là tập hợp các giá trị của hàm số u: ¥* → i; n → u(n)

Được sắp xếp theo thứ tự tăng dần liên tiếp theo đối số tự nhiên n:

u(1); u(2); u(3); u(n);

♦ Ta kí hiệu u(n) bởi un và gọi là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số,

u1 được gọi là số hạng đầu của dãy số

♦ Ta có thể viết dãy số dưới dạng khai triển u1,u2,u3… un, hoặc dạng rút gọn(un)

2 Người ta thường cho dãy số theo các cách:

♦ Cho số hạng tổng quát, tức là: cho hàm số u xác định dãy số đó

* Cho hệ thức biểu thị số hạng tổng quát qua số hạng (hoặc một vài số hạng) đứngtrước nó

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho dãy số có 4 số hạng đầu là: -1, 3, 19, 53 Hãy tìm một quy luật của dãy

số trên và viết số hạng thứ 10 của dãy với quy luật vừa tìm

Đáp án và hướng dẫn giải

Xét dãy (un) có dạng: un=an3+bn2+cn+d

Giải hệ trên ta tìm được: a = 1 ; b = 0 ; c = -3 ; d = 1

⇒ un=n3-3n+1 là một quy luật

Số hạng thứ 10: u10=971.

Bài 2: Cho dãy số (un) được xác định bởi

1 Viết năm số hạng đầu của dãy;

2 Dãy số có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.

Vậy dãy số có duy nhất một số hạng nguyên là u4=7

Bài 3: Cho dãy số (un) xác định bởi:

1 Viết năm số hạng đầu của dãy;

2 Chứng minh rằng un=u4;

Đáp án và hướng dẫn giải

1 Ta có 5 số hạng đầu của dãy là:

u1=1;u2=2u1+3=5;u3=2u2+3=13;u4=29; u5=61

2 Ta chứng minh bài toán bằng phương pháp quy nạp

* Với n = 1 ⇒ u4=1 ⇒ bài toán đúng với n = 1

* Giả sử uk=2k+1-3 , ta chứng minh u_(k+1)=2k+2-3

Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có:

uk+1=2uk+3=2(2k+1-3)=2k+2-3 (đpcm)

B Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho dãy số (u_n) có số hạng tổng quát

1 Viết năm số hạng đầu của dãy số.

2 Tìm số hạng thứ 100 và 200

3 Số 167/84 có thuộc dãy số đã cho hay không

4 Dãy số có bao nhiêu số hạng là số nguyên.

⇒ un nguyên khi và chỉ khi 3 chia hết cho (n+2) ⇒ n = 1

Vậy dãy số có duy nhất một số hạng là số nguyên

Bài 2: Cho dãy số (u_n) xác định bởi:

1 Viết 7 số hạng đầu tiên của dãy

2 Chứng minh rằng: un=5.3n-1-6.2n-1∀n ≥ 1

Lời giải:

Bốn số hạng đầu của dãy

u3=5u2-6u1=21; u4=5u3-6u2=87; u5=309; u6=1023; u7=3261

2 Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp

* u1=5.30-6.20=-1(đúng)

* Giả sử uk=5.3(k-1)-6.2(k-1) ∀k ≥ 2

Khi đó, theo công thức truy hồi ta có:

u(k+1)=5uk-6u(k-1)=5.(5.3(k-1)-6.2(k-1) )-6(5.3(k-2)-6.2(k-2) )=5(5.3(k-1)-6(3(k-2) )-6(5.2(k-1)6.2(k-2) )=5.3k-6.2k( đpcm)

-Bài 3: Cho dãy số (u_n) có số hạng tổng quát:

1 Viết 6 số hạng đầu của dãy số

⇔ (k – n) (k + n) = 4 phương trình này vô nghiệm

Vậy không có số hạng nào của dãy nhận giá trị nguyên

Bài 4: Cho dãy số (u_n) xác định bởi:

1 Tìm 5 số hạng đầu của dãy

Bài 5: Cho dãy số (un):

1 Chứng minh rằng dãy (vn):vn=un-u(n-1) là dãy không đổi

2 Biểu thị un qua u(n-1) và tìm CTTQ của dãy số (un)

Lời giải:

1 Ta có: u(n+2)-u(n+1)=u(n+1)-un ⇒ v(n+2)=u(n+1)=⋯=u2=1

2 Ta có: : un-u(n-1)=1 ⇒ un=u(n-1)+1

Suy ra un=(un-u(n-1))+(u(n-1)-u(n-2))+⋯+(u2-u1)+u1=1+1+⋯+1+u1=n-1+2018=n+2017

Trắc nghiệm xác định số hạng của dãy số

Bài 1: Cho dãy số (un) Khi đó số hạng thứ 5 của dãy un là

A 10 B 48 C 16 D 6

Hiển thị đáp án

Đáp án: B

Ta có u2=u1, u3=2u2, u4=3u3, u5=4u4=48 Chọn B

Bài 2: Cho dãy số un Khi đó số hạng u3n của dãy (un) là:

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Bài 3: Cho dãy un Khi đó số hạng u2n của dãy un là:

Ta có un+1= 4n+1+n+1.Chọn D

Bài 8: Cho dãy số (un) Khi đó số hạng thứ 10 của dãy số là:

A 41 B 51 C 81 D 91

Hiển thị đáp án

Đáp án: D

Ta có dãy (un) là cấp số cộng có công sai d=10 → u10=u1+9d=91.Chọn D

Bài 9: Cho dãy số (un) xác định bởi un = n2 – 4n – 2 Khi đó u10 bằng: