De ON thi DH

Chứng minh rằng với mọi  hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.. Giải hệ phương trình sau: a Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng MN với mặt phẳng  ... Chứng minh rằng P và E cắt nha

1 Chứng minh rằng với mọi  hàm số luôn có cực đại và cực tiểu

2 Giả sử rằng hàm số đạt cực trị tại x1, x2 Chứng minh: x12 x22 18

Câu II

1 Giải phương trình: 3 1 2cos x  t anx t anx 2sin x

2 Giải hệ phương trình sau:

a) Tìm tọa độ giao điểm I của đường thẳng MN với mặt phẳng  

b) Tìm tọa độ P nằm trên mặt phẳng   sao cho tam giác MNP đều

2 Theo định lý Viet, ta có: x1x2 3sincos ; x x 1 2  4 1 cos2  

Từ (1) và (2) suy ra xy2, nghĩa là dấu bằng xảy ra ở (1) và (2) Khi đó

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:

x và điểm M bất kì thuộc (C) Gọi I là giao điểm

hai tiệm cận Tiếp tuyến tại M cắt hai tiệm cận tại A và B

1 Chứng minh rằng: M là trung điểm AB

2 Chứng minh diện tích tam giác IAB không đổi

3 Tìm tọa độ điểm M để chu vi tam giác IAB nhỏ nhất

19

x y

  Chứng minh rằng (P) và (E) cắt nhau tại 4 điểm phân biệt A, B, C, D và bốn

điểm đó cùng nằm trên một đường tròn Xác định tâm và bán kính của đường

tròn đó

2 Cho 3 tia OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = a, OB = b, OC = c

Gọi   , , lần lượt là các góc của các mặt phẳng (OAB), (OBC) , (OCA) với

dxI

2 Gọi A, B theo thứ tự là các điểm của mặt phẳng phức biểu diễn số z khác 0

Giao điểm của hai tiệm cận là I 1;2 

Hàm số được viết lại như sau: y 2 1

và A , M , B thẳng hàng nên M trung điểm

của đoạn thẳng AB

Câu III

1 Tọa độ giao điểm của (P) và (E) là nghiệm của hệ phương trình:

2

2

2

2

2

x

9









 

f x liên tục trên 

f 1 f 0  657  0 x  1;0 : f x 0

    2    2

f 0 f 1     9 0 x  0;1 : f x 0

    3    3

f 1 f 2     5 0 x  1;2 : f x 0

f 2 f 3  405  0 x  2;3 : f x 0

Do PT: f x 0 là PT bậc 4 nên có tối đa 4 nghiệm Vậy PT f x 0 có

đúng 4 nghiệm phân biệt nên (P) cắt (E) tại 4 điểm phân biệt

Giả sử    P  E M x ; y 0 0 Khi đó, ta có:

2

2

2

0

0

x

9



Cộng vế theo vế của hai phương trình trên, ta được :

    Vậy 4 giao điểm của (P) và (E) cùng nằm trên

đường tròn tâm I 8 4;

9 9

  , bán kính

161 R

9

2

C

z

x

O

 :x  y  z  1 0

mp ABC

a b c có phương vectơ pháp tuyến 1

1 1 1, ,

Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:

2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác

vuông cân

Câu II

1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 1 x 2 2 1 x3  2 m

2 Giải hệ phương trình sau:

2 2

giác OAB nhỏ nhất

2 Trong không gian với hệ tọa độ trục chuẩn Oxyz

a) Lập phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua các điểm M0;0;1,

đổi và thỏa mãn a2 b2 c2 3 Xác định a, b, c sao cho khoảng cách từ

O0;0;0 đến mặt phẳng ABC đạt giá trị lớn nhất

Câu IV

1 Trong khai triển sau đây có bao nhiêu số hạng hữu tỉ  3 4 5n biết n thỏa

mãn C14n1C42n1C43n1 C42n n12496 1

2 Cho M, N là hai điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn theo thứ tự các số

phức z , z khác 0 thỏa mãn đẳng thức 1 2 z12 z22 z z1 2 Chứng minh tam giác

OMN là tam giác đều

Câu V

1 Tính tích phân: 4  2  x

3 4

Dễ thấy ABAC tam giác ABC cân tại A

Để tam giác ABC vuông cân chỉ cần ABACAB.AC 0

         thỏa mãn điều kiện m 0

Vậy m  là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu đề toán 1

Câu II

1 Điều kiện đủ: Nếu phương trình có nghiệm x thì 0 x0 cũng là nghiệm của

nó Do đó phương trình có nghiệm duy nhất thì điều kiện đủ là:

x  x x  Thay vào phương trình, ta được: 0 m3

Điều kiện cần: Với m 3, phương trình có dạng: 1 x 2 2 1 x3  2 3

nghiệm khi và chỉ khi x0

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m3

1 Tìm m để đồ thị hàm số tiếp xúc với trục hoành

2 Chứng minh rằng tồn tại điểm có hoành độ x sao cho tiếp tuyến với đồ thị 0

tại đó song song nhau với mọi m

3 Chứng minh rằng trên Parabol   2

P : yx có hai điểm không thuộc đồ thị hàm số với mọi m

ĐỀ 4

1 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d: x cos tysin t2cos t 1 0. 

Chứng minh rằng d luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định

2 Trong không gian Oxyz, cho 2 điểm A 2;3;0 , B 0;    2;0 và đường

Vậy tồn tại điểm có hoành độ x0  sao cho tiếp tuyến với đồ thị tại đó có hệ 3

số góc k = 0 tức tiếp tuyến song song nhau m

1 Gọi I x ; y 0 0 là tâm và R là bán kính của đường tròn cần tìm

d tiếp xúc với đường tròn khi và chỉ khi:

Để R là hằng số không phụ thuộc vào t thì: x0  2; y0  0

Lúc đó, d tiếp xúc với đường tròn cố định tâm I2;0, bán kính R = 1

2 Ta có: 3 i 2 cos isin ; 1- i = 2 cos i sin

1 Khi n , rõ ràng phương trình có một nghiệm 2 x2 Cần chứng minh

x  là nghiệm duy nhất của phương trình Thật vậy! Ta có 2 0 sin 1

Điều này chứng tỏ x  không phải là nghiệm của phương trình Vậy x2  2

là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

2 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn

Dấu bằng xảy ra sin a sin b sin c 1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số

2 Tìm M C để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất

góc nhau

2 Cho hình chóp (S.ABCD) đáy ABCD là hình vuông cạnh a và có tâm O SA

vuông góc với mặt phẳng (ABCB), SA = a Gọi I là trung điểm của SC, M là

trung điểm của AB

Chứng minh IOABCDvà tính khoảng cách từ I đến CM

3 Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A 1;2;5  và phương trình

hai đường trung tuyến :

Câu I

1 Bạn đọc tự giải

0 0

0

0

0 0

b 3

nên CM có phương trình tham số là:

2 Tìm m để Cmcắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và tiếp tuyến tại hai

điểm đó vuông góc với nhau

1 Trong mặt phẳng Oxy, lập phương trình đường tròn  C qua M 2;4  và

tiếp xúc với hai trục tọa độ

2 Cho hình lăng trụ ABC.A B C có đáy là tam giác đều cạnh a, 1 1 1 AA12a và

vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi D là trung điểm BB , M di động trên 1

cạnh AA Tìm GTLN- GTNN của diện tích 1 MC D 1

3 Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A 2;0;0  và J 2;0;0  Giả sử  

là mặt phẳng thay đổi, nhưng luôn đi qua đường thẳng AJ và cắt các trục Oy,

Oz lần lượt tại các điểm B 0;b;0  , C 0;0;c  với b,c0 Chứng minh rằng:

1 Tính các góc của tam giác ABC biết rằng:

hai nghiệm phân biệt x , x khi và chỉ khi phương trình 1 2 x2 2mxm0 có

Câu II

1 ĐK:  3 x 1.

HƯỚNG DẪN GIẢI

7t 12t 9m

5t 16t 7



   (**) Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (**) có nghiệm

trên  0;1

Xét hàm số:  

2 2

Câu III

1 Gọi I a;b  là tâm và R là bán kính của đường tròn  C

Vì  C tiếp xúc với hai trục tọa độ nên R  a  b

 C qua điểm M 2;4  nên  C nằm ở góc phần tư thứ I

Gọi O , O lần lượt là trung điểm của 1 B C và BC 1 1

Khi đó OB, OA, OO vuông góc với nhau từng đôi một 1

1 Theo hình vẽ bên  P chia  C thành hai miền

ký hiệu là S S Ta có: 1, 2

2 2

x x

x x

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m 1

2 Tìm m để C m có cực trị tại các điểm A, B sao cho đường thẳng AB đi qua

20101

x

y

y e

y x e

E   Từ điểm M thuộc  C ta kẻ hai tiếp tuyến MT và 1 MT 2

đến trong đó T1, T2 là các tiếp điểm Chứng minh rằng đường thẳng T T luôn 1 2

tiếp xúc với một đường cong cố định Viết phương trình đường cong đó

2 Trong không gian Oxyz cho các điểm A2;0;0 , M 0; 3;6   

a) Chứng minh rằng mặt phẳng  P :x2y 9 0 tiếp xúc với mặt cầu tâm

M , bán kính MO Tìm tọa độ tiếp điểm

b) Viết phương trình mặt phẳng  Q chứa A, M và cắt các trục Oy Oz, tại các

điểm tương ứng B, C sao cho V OABC 3

Hàm số có cực trị  phương trình y x 0 có 2 nghiệm phân biệt 

phương trình x22 m có 2 nghiệm phân biệt khác 2 m0

Giả sử ta có tọa độ các điểm cực trị là: A x y 1; 1 , Bx y2; 2

x   m  y  m m ; x2  2 m  y2  2 m2 m

Đường thẳng AB qua A2 m; 2m2 m nhận AB2 m;4 m

làm vectơ chỉ phương nên có phương trình:

Đường thẳng AB đi qua gốc tọa độ nên ta có được:

2.0 0 m  2 0 m2 thỏa điều kiện m 0

Vậy m 2 là giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán

3 2



Vậy h x  là một hàm liên tục và có đường cong lõm trên khoảng 1; Do

đó muốn chứng minh hệ  ** có 2 nghiệm dương chúng ta chỉ cần chứng

minh tồn tại c 1 mà h c   0

Chọn c 2 ta có   2 2

2010 03

h c e    Vì thế phương trình h x   0 có đúng hai nghiệm x 1 1 , x2  Điều đó có ý nghĩa là hệ đã cho có đúng hai 1

Phương trình tiếp tuyến của  E tại T x y1 1; 1 là: 1 1

Gọi N x y ;  là điểm mà họ T T không đi qua 1 2

Khi đó: phương trình 2010sin2 2010cos2 1

Vậy T T tiếp xúc với elip 1 2  E1

Kết luận: các đường thẳng T T luôn tiếp xúc với 1 2  



Chứng tỏ  P tiếp xúc với mặt cầu tâm M bán kính MO

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng  P nên nhận vectơ pháp tuyến

2

Vì thế S 10

+ Nếu n không là bội của 10 thì

Đặt a log3x , b = log3y , c = log3z

Giả thiết xyz 3 trở thành a  b c 1

Cho hàm số 3   2    

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C0 hàm số khi m 0

2 Tìm m để C m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt lập thành một cấp số

1 Cho parabol yx2 Một góc vuông ở đỉnh O cắt Parabol tại A và 1 A Hình 2

chiếu của A1 , A2 lên Ox là B1, B2 Chứng minh rằng: OB OB1 2 const

4

2 Cho n là một số nguyên dương và

1xn a0 a x1 a x2 2  x x k k  a x n n Biết rằng tồn tại số nguyên

dương k 1k  n 1 sao cho 1 1

  Tính M 20102009!n10

Câu V

1 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn thỏa mãn hệ thức:

sin Asin B sinC Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông

2 Cho hàm số f : 0;    thỏa mãn điều kiện:

Suy ra : x x x  Vì 1 2 3 8 x x x lập thành một cấp số nhân nên 1, 2, 3 x22 x x1 3 Do

đó x23  8 x2 2 Thay x  vào phương trình 2 2

Câu II

1 Phương trình đã cho tương đương với:

2 Nếu x y,  là nghiệm của hệ phương trình thì phải có x 0 , y > 0 ( trường

hợp x y 0 sẽ làm cho hệ vô nghiệm )

Hệ phương trình đã cho tương đương

Thay  3 vào  2 ta được: 1 1 2

3x 21x

  Giải phương trình này hết sức

đơn giản tìm được 11 4 7 22 8 7

;1

Gọi   là mặt phẳng chứa 3 điểm A, B, C nhận n AB AC, 8; 8; 4 

làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình:

Ta có: 1

3

V  h S nên V ABCD lớn nhất h D lớn nhất

Gọi D D là đường kính của 1 2  S vuông góc với mặt phẳng  

Vì D là điểm bất kì thuộc  S nên d D ,maxd D 1, ,d D2, 

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi D trùng với một trong hai điểm D hoặc 1 D 2

3 Dựng hình bình BCDE Khi đó góc giữa AB và BE cũng bằng 

Do CD/ /ABE nên d d D ABE ,  

k n

1 Dễ thấy 5sinC sin2C (do 0sinC 1)

Do đó sinAsinBsin2Ca2 b2 c2

Hay 2 2 2 2 2 cos cos 0

giác ABC vuông tại C thì thỏa mãn hệ thức đã cho

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m 0

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và

các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đối xứng nhau qua đường thẳng

2 Giải hệ phương trình:

2 3

2 3

trình các đường thẳng chứa các cạnh hình vuông đó

2 Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng

lim

x

x L

1 Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3

và n điểm phân biệt khác A, B, C, D Tìm n số tam giác có 3 đỉnh lấy từ n 6

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương u  2;1

Gọi M là trung điểm AB nên

dễ dàng suy ra tọa độ điểm M1;m 2

Do A, B đối xứng nhau qua d nên

02

39

D D

+ Với A  , chọn B

2 2

39

D D

đường thẳng như trên

Vậy phương trình bốn cạnh hình vuông là:

2 3

1 Nếu n 2 thì n  6 8 và số tam giác có 3 đỉnh được tạo thành từ n 6

điểm đó không vượt quá C 83 56439 Vậy n 3

Mỗi tam giác được tạo thành ứng với một tổ hợp chập 3 từ n 6 phần tử

Nhưng trên cạnh CD có 3 điểm, trên cạnh DA có n điểm nên số tam giác được

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thi hàm số khi m 1

2 Tìm m để C m cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt lập thành một cấp số

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho ABC có trọng tâm G  2;0  Biết

phương trình các cạnh AB,AC theo thứ tự là 4x y140, 2x5y 2 0

Tìm tọa độ các đỉnh A,B,C

ĐỀ 10

2 Trong không gian Oxy cho các điểm A  3;5; 5 , B 5; 3;7     và mặt phẳng

 P :x y z 0

a) Tìm giao điểm I của đường thẳng AB với mặt phẳng  P

b) Tìm điểm M P sao cho  2 2

z z 

Câu V

1 Cho tam giác ABC nhọn Chứng minh rằng nếu

6

2 Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z ta có:

2 Đường thẳng AB qua A  3;5; 5  nhận 1 2; 2;3

4

u AB  

làm vectơ chỉ phương nên có phương trình:

b) Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB Theo công thức độ dài trung tuyến

MH của tam giác MAB ta có:

 1 cot BcotC  1 cot CcotA 1 cot AcotB

Đặt acotAcot , b = cotBcotC , c = cotCcotAB thì a  b c 1

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a b c

Điều này có ý nghĩa là: tam giác ABC đều

1 Cho 1

2

m 

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số (1)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thi (C) , biết rằng tiếp tuyến đó song

song với đường thẳng d: y4x5

C x  y  x y Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d mà qua

đó kẻ được hai đường thẳng tiếp xúc với đường tròn  C tại A và B sao cho

A   Tìm điểm M thuộc đường thẳng  để diện tích tam

giác AMB đạt giá trị nhỏ nhất

Câu IV

1 Tính tích phân:

2 0

13

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái của (*) thì ta được VT * 25

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a  b c d  e x1

Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

vào  * thấy thỏa

mãn nên đây là nghiệm duy nhất của hệ phương trình đã cho

Câu III

1 Viết lại  C dưới dạng x12 y22 5

Vậy  C có tâm bán kính R  5 Theo giả

f t  t  t Hàm số này có đò thị là parabol quay bề

lõm lên phía trên Do đó f t  nhỏ nhất 5 1; 2; 3

Vậy diện tích tam giác AMB nhỏ nhất khi 1; 2; 3

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C của hàm số: yx4 6x2 5

2 Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt: 3x46x2  m

M x y bất kỳ trên  H Gọi  là tiếp tuyến của  H tại M và 0 M, N là

giao điểm của M với các tiệm cận của 0  H

a) Chứng minh rằng M là trung điểm MN 0

b) Chứng minh rằng diện tích tam giác OMN không phụ thuộc vào vị trí M 0

ĐỀ 12

2 Trong không gian Oxyz, lập phương trình mặt phẳng   chứa đường

sin6

2

4.22

n x x

tại 4 điểm phân biệt

Dựa vào đồ thị ta thu được:

Thu gọn vế phải ta được phương trình sau: xlg2xlgx33  x

Lấy lôgarit thập phân 2 vế ta thu được:

x x

thỏa điều kiện x 0

Vậy tập hợp nghiệm của phương trình đã cho là: 0; 1 ; 1

Câu III

1 a) Phương trình tiếp tuyến  của  H tại M0x y0; 0 có dạng:

Lại vì M, N và M là 3 điểm thẳng hàng nên 0 M là trung điểm MN 0

b) Dễ dàng chứng minh được tam giác OMN vuông tại O nên ta có:

Khi đó   tiếp xúc với  S khi và chỉ khi d I ,  R

4 z x  z x Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi z x.

Ta chứng minh a) Việc chứng minh b) và c) là hoàn toàn tương tự như việc

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m 0

2 Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng 0; 2