Cac de on thi DH Moi

2.112 trang 190-Trần văn kỷXác định p để đờng thẳng d cắt C tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau b Chứng tỏ rằng hệ có nghiệm với mọi k Câu III.. Trên đờng thẳng d vuông góc với mặt ph

Đề 1 Lớp 12A2Câu I 2.112 trang 190-Trần văn kỷ

Xác định p để đờng thẳng (d) cắt (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau

b) Chứng tỏ rằng hệ có nghiệm với mọi k

Câu III 6.71 trang 355- Nguyễn Cam

Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ sao cho: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0),

D(0; 1; 0) (P) là mặt phẳng chứa CD’,  là góc giữa (P) và (BB’, DD’) Tìm GTNNcủa 

4 n n

Cho tam giác đều ABC cạnh a Trên đờng thẳng (d) vuông góc với mặt phẳng

(ABC) tại A, lấy điểm M Gọi H là trực tâm tam giác ABC, O là trực tâm tam giác BCM

A’

Víi a = 0 ta cã: log2 6 x log 32  x 1 

suy ra: x = 5 hoÆc x = 2

Thay vµo ta thÊy chØ x = 5 lµ tho¶ m·n

Đề 2 Lớp 12A2Câu I 2.127 trang 191 - Trần văn Kỷ

Chứng tỏ rằng có hai giá trị của a thoả mãn điều kiện đề bài, và hai tiếp tuyến vuông góc với nhau

Câu II 1 Giải phơng trình sau: Đề 18

3cos x 4sin x 1

b) Với tam giác ABC, T = sin2A + sin2B + sin2C

CMR tam giác ABC nhọn khi và chỉ khi T > 2

Câu III 6.70 trang 354- Nguyễn Cam

Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua M(0; 0; 1), N(3; 0; 0) và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc

y x y x

y x y

x

2 Giải hệ phơng trình :

y 2

3 Giải phơng trình: cosx + cos2x + cos3x + cos4x + cos5x = - 1/2

Câu3: (2 điểm) Trên hệ trục toạ độ Oxy cho ba điểm A(0; 3), B(0; - 3), C(1; 0) và đờng tròn(C): (x - 1/2)2 + (y + 1/3)2 = 9

1 Lập phơng trình đờng tròn (C1) tiếp xúc với AC tại A và tiếp xúc với BC tạiB

2 Lập phơng trình đờng thẳng đi qua các giao điểm của hai đờng tròn (C) và (C1)

Câu4: (2 điểm) Tính các nguyên hàm sau:

x A

3 cos 2 cos cos 1

3 2 cos 1

x x

2 Cho ABC có:

4

9 cos cos

cos

2 A B C Chứng minh rằng: ABC cânCâu 5: (2 đ)

Cho elip (E): 22  22  1

b

y a

x (a > b > 0) có A

1(-a, 0); A2(a, 0); B1(0, -b); B2(0, b) Lấy

điểm M  (E) không trùng với A1, B1, A2, B2 Chứng minh rằng: Dây cung chung của 2 đờng tròn ngoại tiếp  MA1A2,  MB1B2 tiếp xúc với (E)

Đáp án đề 13

2 Sù biÕn thiªn:



3 1

0

1

3 2 1

4 1

,

2 ,

y

x

x x y x

x y

3 2

1 1

3

2 2

2

k x

x x

m x k x

0 7 4

3

0 7 3

7 2

3

0 3

7 3

7 0 3

2

2 ,

m m

m m

m m

m

m m

m m

; 0

u v y x y x v y x u

2

u v v u v u

4

y x y x

y x

Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh :

y 2

2 cosx + cos2x + cos3x + cos4x + cos5x = - 1/2

 Nếu x = k2  pt  5 = - 1/2 Vậy x = k2 không phải là họ

nghiệm của pt

 Nếu x  k2 nhân hai vế của pt với 2sinx/2 ta có pt 

11

2 0

2

11 sin

2 sin

2

9 sin 2

11 sin 2

7 sin 2

9 sin 2

5

sin

2

7 sin 2

3 sin 2

5 sin 2

sin 2

3

sin



k x x

x

x x

x x

x

x x

x x

0,250,250,250,25

 Gọi K là tâm của đờng tròn (C) K(1/2; -1/3)

Và bán kính là R1 = 3 

36

3253 3

1 9

x

x tg x tg dx x

6 2

0,5

 

x d x dx

dx x

x dx

x

x dx

4

1 1

ln 4

1

) 1 ( 1

1 4

1

1

1 1 4

1 1

4

1 1

4 4

4 4

4 4

4

4 4

4 4

4

4 4

7

0,50,250,25

1 TÝnh giíi h¹n :

x

x x

x A

3 cos 2 cos cos 1

0 2

2

0 2

0 2

0

2

3 3

3

0

4

3 3

4 4 sin

3 sin lim 6

1 4

1 4

1 2 4

1 2

4 4 sin 2

sin lim

2

4 sin

3 sin 3 sin

3 sin 1 1 lim 2

cos 2 sin 4

2 sin 1 1 lim 4

sin 2 sin 2 lim

4 sin

3 cos 1

lim 4

sin

2 cos 1

lim 4

sin

cos 1 lim

4 sin

3 cos 2

cos 1

3 cos cos

1 3 cos 2 cos 1

x x

x x x

x

x x

x x

x

x x

x

x

x x

x x

x

x

x x

x x

x x

x x

x x

x

x x

x

x

16

3 32

6 16

9 6

1 16

1 64

1



Câu 3: (2 đ)

1 Cho phơng trình : 2 |sin cos |

3

1 8

3 2 cos 1

x x

3

1 3

1 2 cos

1 2 mx  Vậy để đẳng thức xảy ra 

Z l k l x

k mx x x

2 4 0 cos sin

0 8

3 2

cos 2 sin

4

9 2

cos 2 cos 2 2 2 sin 4 4

9 cos cos

B A

C B C B A

C B

cos 2

8

1 2 sin 2 1 2





 4 2 sin A C B

 ABC là tam giác cân đỉnh A

2

C©u 5: (2 ®)

Cho (E): 2 1

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

0 0

2 2

0

0 2

0 2

0 2

2

b y c y

a y

x B

a C

a C

a A

a C aA

y x

C B y A

x

2 0

2 2 2

b

y c y x

2





 y c b

y c x a

x c

(3)

2 2 0

2 2 2 2 0

2

c b b

y c a a

x c

2 0 2

2 0

b

y a

1

M

N

đề số 4 lớp 12A2Câu 1: (2 đ)

y CHứng minh rằng: (C) luôn có 3 điểm uốn thẳng

hàng Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 3 điểm uốn

Đáp án đề 4Câu 1: (2 đ)

y Chứng minh rằng: (C) luôn có 3 điểm uốn thẳng

hàng Viết phơng trình đờng thẳng đi qua 3 điểm uốn

4 2

2 3

2

4 2

2 2

2 2 ,

2 2

2 2

2

2 ,

5

3 14 2

1 5 2 5

3 11 12

2 5 2

5

5 6

5 4

5 6 2

5

5 6 5

2 3 5

x x

x

x x

x x

x

x x x

x x

x y

x

x x x

x x

5 2

2

1 3

2 ,

 Dễ thấy x = 3 là nghiệm của pt  x = 3 là nghiệm duy nhất trên miền x > 2

 Còn miền x  [1; 2)  Minf = f(1) = 0 > Maxg = g(1) = -1/2

2 Giải phơng trình : 2log5 x3 x   5 2 3

5 3 2 log

x x y x x

 Nếu y  0  0 < 5y , 2y  1  pt vô nghiệm

 Nếu y > 0  5y > 2y  (5y - 2y)’ = 5y ln5 - 2yln2 > 0  Vế phải là mộthàm số đồng biến , mà ta có y = 1 là nghiệm  Đó là nghiệm duy nhất

 x = 2 là nghiệm duy nhất

2 /

2

2 cos 5 ln 1 sin





dx x x

x x

I

Xét hàm số g x  lnx 1 x2 TXĐ: D = R là tập đối xứng

x x

x x

ln

 g(x) là hàm số lẻ trên R  hàm số f x  sin 2 x cos 5x lnx 1 x2 cũng là hàm số

lẻ trên R  I = 0

Ta cần chứng minh f(x) là hàm số lẻ trên [- a; a]  I =     0



dx x f

a a

Thật vậy

0 0

 Trong 5 đt // AB có C2 cặp đt song song

 Trong 6 đt // BC có C2 cặp đt song song

 Trong 7 đt // AC có C2 cặp đt song song

a) Ta thấy cứ một cặp đt song song này kết hợp với một cặp đt song song của họ đt song song khác  cho ta một hình bình hành

7

2 6

2 7

2 5

2 6

11

2 7

2 12

2 6

2 13

2

5 C C .C C .C

C   hình thang đợc tạo thành (Vì hình bình hành cũng là hình thang)

1 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu cùng dấu

2 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về 2 phía y = - x

đáp án đề số 5Câu 1: (2 đ)

1 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu cùng dấu

Để hàm số có cực đại và cực tiểu cùng dấu  yCĐ.yCT > 0

Gọi x1, x2 là các hoành độ của các cực trị  x1, x2 là nghiệm của Pt : f(x) = 0

Vậy Để hàm số có cực đại và cực tiểu cùng dấu  m  3 / 2

2 Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về 2 phía y = - x

Với m  3 / 2  (Cm) có 2 cực trị Khi đó

Gọi d: F(x;y) = x + y = 0, M & N là các điểm cực đại và cực tiểu của (Cm)

Để hàm số có cực đại và cực tiểu nằm về 2 phía y = - x  F(M).F(N) < 0

Tìm m để nghiệm bé của phơng trình nhận giá trị nhỏ nhất

Ta có  = m2  2m 17  0 m  Pt luôn có 2 nghiệm phân biệt m  - 4

Đề số 6Câu 1 : (2,5 đ)

1 Tìm nghiệm thuộc khoảng (0 ; 2) của phơng trình :

2 Tính diện tích giới hạn bởi hình phẳng giới hạn bởi các đờng :

y = |x2 – 4x + 3| và y = x + 3

Câu 4 : (2 đ)

1 Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S, có độ dài các cạnh đáy bằng a Gọi M và N lần lợt là trung điểm các cạnh SB, SC Tính theo a diện tích

AMN, biết rằng mf(AMN) vuông góc với mf(SBC)

2.Trong không gian với hệ trục toạ độ Đêcác vuông góc Oxyz cho 2 đờng thẳng

a) Viết phơnh trình mf(P) chứa đờng thẳng (1) và song song với (2)

b) Cho điểm M(2; 1; 4) Tìm toạ độ điểm H thuộc (2) sao cho đoạn thẳng MH

có độ dài nhỏ nhất

Câu 5 : (2 đ)

Trong không gian với hệ trục toạ độ Đêcác vuông góc Oxy, xét ABC vuông tại A,phơng trình đờng thẳng BC là 3x y 3  0, các đỉnh A và B thuộc trục hoành và bán kính đờng tròn nội tiếp bằng 2 Tìm toạ độ trọng tâm G của ABC

sin 2 1

3 sin 3 cos sin

x

 f(x) = f(k)  Nghiệm của pt đã cho là

giao điểm của đt y = f(k) với đồ thị y = f(x)

Dựa vào đồ thi ta có để pt có 3 nghiệm phân

2 3

2

k k k k k k k k k k k k

6 3

0 9 6 3

2 2

k k k k

k x g

k k

2 Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị

-+ 4∞ 1

0 -∞ 1

y 4

2

- 1 O 1 2 3 x

 pt  t2 + t – 6 = 0  t = 2  log 2 1







x

2 Tìm m để phơng trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 1 ; 3 3

Đặt t = log 2 1

3 x  t  1 Khi đó pt  g(t) = t2 + t -2m – 2 = 0

Với x  1 ; 3 3  t  [1; 2]

 Cách 1 : Ta có g,(t) = 2t + 1 > 0 với t  [1; 2]  y = g(t) đồng biến trên [1; 2] Vậy pt có ít nhất một nghiệm trên [1; 2] 

g(1)  0  g(2)  - 2m  0  4 – 2m  0  m  2

 Cách 2 : Giả sử t1, t2 là nghiệm của pt g(t) = 0 Xét 2 trờng hợp sau:

+ Trờng hợp 1 : 1< t1 < t2 < 2

2

1 2

2

2 1









t t

+Tr.hợp 2 :    1 2 2 4 2  0 0 2

2 1

2 1

2 1

2 1



































m m

m g

g t t

t t

 Chú ý : Đây là một cách giải của một tài liệu Nhng ở trờng hợp 2 có vẻ

không ổn (mặc dầu đúng đáp số)

ở đây cần xét riêng trờng hợp t = 1 và t = 2.

Câu III : (2 đ)

1 D = R\





















12

7

; 12





x

VT =

x

x x

x

x x

x

x

x x

x x

x x

x x

x

x

x x

x x x

x

x x

x x

cos 5 2

sin 2 1

2 sin 2 1 cos 5 2

sin 2 1

cos 2

sin cos

2

.

5

2 sin 2 1

3 sin cos sin

5 2

sin 2 1

3 sin 3 cos 3

cos cos

sin

.

5

2 sin 2 1

3 sin 3 cos 2

sin sin 2 sin 5 2

sin 2 1

3 sin 3 cos 2

sin 2 1 sin

.

5





















































Vậy pt 

5.cosx = cos2x + 3  2cos2x – 5cosx + 2 = 0 

3 2

1 cos cos

2 cos

2

k x

x x

x























 D

Vì x  (0; 2)  nghiệm cần tìm là :

3

5

; 3







x

2 Toạ độ giao điểm của 2 đờng

đã cho là nghiệm của hệ :

y = |x2 – 4x + 3|

y = x + 3 

                     3 0 3 x 3 4x x 0 3 x 3 4x x 3 x y 3 4x x | y 2 2 2 x  y(0) = 3 ; y(3) = 8 Theo hình bên ta có :    x xdx x x dx  x xdx dvdt dx x x x S 6 109

5 6 5 5 3 4 3 5 3 2 1 0 3 1 2 2 5 0 2                      Câu IV : (2 đ) 1 Gọi K là trung điểm của BC, I  MN SK , MN = a/2.∩ SK , MN = a/2 MN // BC  I là trung điểm của S

N

I

N

y 8

B 3

O 1 3 5

x

4

10 2

1

 CBA là nửa tam giác đều

Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp ABC

; 3

3 4 7

; 3

3 4 1

30 2 1

! 1 5

! 3

2 1

5

2 1

3

n

n n n

n n n n

n n C

= 7  2 2 20 7 2 2 4 4

3 3 4 2 1 3

y C

I A

1 O B A x

C

1

Đề 7 Lớp 12A2Câu I Cho hàm số: y = x3 – 3(m+1)x2 + 2(m2+4m+1)x - 4m(m+1)

1 CMR khi m thay đổi đồ thị của hàm số luôn đi qua điểm cố định

Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn 1

2 Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số ứng với m = 0 (C)

Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho qua đó chỉ vẽ đợc duy nhất một tiếp tuyếnvới đồ thị (C)

Câu II

1 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có các góc thoả mãn điều kiện sau thì

nó là tam giác đều:

C B

A C

B

A

sin sin

sin 2

3 2

cos 2

cos 2

cos 2

sin 2



 và cosx + msin2x = 0Câu 3:

3 4 2

x x



y x

2 Lập phơng trình mặt phẳng (P) qua giao tuyến của hai mặt phẳng

(Q): 1 2 x 2y2z 40(R) : x + y + z + 1 = 0

dx x

x n I

2 Tìm hệ số có giá trị lớn nhất khi khai triển

10

3

2 2

4) Xác định m để (Cm) tiếp xúc với trục hoành.

Câu II Cho phơng trình:

(2sinx-1)(2cos2x + 2sinx + m) = 3 – 4cos2 x (1)

1) Giải phơng trình (1) với m = 1

2) Tìm m để (1) có đúng hai nghiệm thoả mãn 0 x

Câu III Giải hệ phơng trình

Câu V Trong mặt phẳng Oxy

1) Viết phơng trình đờng tròn tâm I(-; 2) bán kính R 13

2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng tròn (I) với đờng thẳng: x – 5y – 2 =0, gọi các giao điểm đó là A, B Tìm toạ độ điểm C sao cho ABC là tam giác vuông và nội tiếp đợc đờng tròn (I)

Hớng dẫn giải đề 8Câu I.

(2sinx-1)(2cos2x+2sinx+1) = 3 – 4cos2x

VP = 3 – 4(1-sin2x) = (2sinx-1)( 2sinx+1)

Từ đó suy ra: (2sinx-1)2.cos2x =0

2) Với cách biến đổi tơng tự ta đa phơng trình về dạng

(2sinx-1)(cos2x - 1 m

2

) = 0

2) Toạ độ giao điểm của đờng tròn với đờng thẳng là nghiệm của hệ

Nh vậy ta có hai giao điểm là: A(2; 0) và B(-3; -1)

Dễ kiểm tra thấy AB không phải là đờng kính

 Nếu BC là đờng kính ta có Tâm I(-1; 2 ) là trung điểm BC thì: C(1; 5)

 Nếu AC là đờng kính ta có Tâm I(-1; 2 ) là trung điểm AC thì: C(-4; -4)

2dxI

điểm các cạnh : AB, B’C’, C’D’ và DD’

1) Viết phơng trình tham số của MP, NQ

2) CMR hai đờng thẳng đó cắt nhau

3) Tính diện tích tứ giác MNPQ

Câu II 1) Sin2x – 3sinxcosx = -1

hay: sin2x – 3sinxcosx = -sin2x – cos2x

Chia hai vế cho 2

cos x0 ta đợc phơng trình bậc 2 với ẩn tgx, đến đây học sinh tự

2

sin B sin CSinA

Đề 10Câu I Cho hàm số: y =

đờng thẳng y 11

2

Câu II 1) Giải bất phơng trình :     2

ln x

x

2) Cho 6 chữ số0, 1, 2, 3, 4, 5 Lập đợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau

Câu IV Trong hệ toạ độ Oxy cho A(1; 0), B(2; 1) và đờng thẳng d có phơng trình

2x – y + 3 = 0 a) Tìm phơng trình đờng tròn có tâm tại A tiếp xúc với đờng thẳng d Xét vị trí tơng

đối của đờng tròn và điểm B

b) Tìm trên d điểm M sao cho MA + MB là nhỏ nhất

Câu II (2điểm) Giải các phơng trình sau:

2 Lập phơng trình mặt cầu S ngoại tiếp ABCD

3 Viết phơng trình tiếp diện (P) với mặt cầu S tại A

4 Lập phơng trình mặt cầu (R) có tâm O và tiếp xúc với (P) Tìm toạ độ tiếp điểm

Câu V (2điểm) 1 Cho a, b, c 1;3

2 CMR phơng trình: x5 – 5x – 5 = 0 có nghiệm duy nhất

3 Có bao nhiêu số chẵn lớn hơn 500, mỗi số gồm 3 chữ số đôi một khác nhau.Hớng dẫn giải đề 19

Câu I 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số:

2xy

Đề 11 Toán học tuổi trẻ tháng 3 năm 2007

Câu I (2điểm) Cho hàm số : y = x3 – ( m+1)x2 + ( m-1)x + 1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m = 1

2 Chứng tỏ rằng với mọi giá trị khác 0 của m, đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3

điểm phân biệt A, B, C trong đó B, C có hoành độ phụ thuộc tham số m Tìm các giá trị m để các tiếp tuyến tại B, C song song với nhau

Câu II (2điểm) 1 Giải phơng trình: 3 – 4sin22x = 2cos2x(1+ 2sinx)

2 Tìm GTLN, GTNN của hàm số: f(x) = 2x3 – 3x2 – 12x + 10 trên  3;3

Câu III ( 2điểm)

Tam giác ABC có các góc thoả mãn :

 Mặt phẳng (P) qua A vuông góc SC cắt SB, SC, SD lần lợt tại B’, C’, D’

1 Tính diện tích thiết diện tạo thành và tìm tỷ số thể tích của hai phần hình chóp bị cắt bởi (P)

2 Tính sin của góc giữa đờng thẳng AC’ và mặt phẳng (SAB)

2) Xác định các giá trị của m sao cho hàm số (CM) luôn nghịch biến trên khoảng xác định của nó.

Câu II 1) Giải hệ phơng trình:

2 log x 12

x log log 2 3

21

13

2) Xác định dạng của tam giác ABC biết:

y = 2 + sinx và y = cos2x + 1 với x0;

Câu V Trong mặt phẳng toạ độ với hệ trực chuẩn Oxy cho họ đờng cong:

Chứng minh rằng tam giác ABC vuông

Câu III Cho hình lập phơng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a Hai điểm M, N chuyển động trên hai đoạn BD và B’A tơng ứng sao cho BM = B’N = t Gọi   , lần lợt là các góc tạo bởi đờng thẳng MN với các đờng thẳng BD và B’A

1) Tính độ dài MN theo a và t Tìm t để độ dài MN đạt giá trị nhỏ nhất

2) Tính   , khi MN đạt giá trị nhỏ nhất

3) Trong trờng hợp tổng quát hãy chứng minh hệ thức: 2 2 1

Đề 14 Câu I Cho hàm số:

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số (1) đồng biến trên [1;  )

Câu II 1) Tìm các nghiệm của phơng trình:

sin x cos xI

Câu II 1) Giải phơng trình lợng giác sau:

sin2x – cos2x = 3sinx + cosx -22) Giải phơng trình:







Câu IV Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol : y2 = 8x

1) Tìm toạ độ tiêu điểm và phơng trình đờng chuẩn của parabol

2) Qua tiêu điểm kẻ đờng thẳng bất kỳ cắt parabol tại hai điểm A, B CMR các tiếp tuyến với (P) tại A và B vuông góc với nhau

3) Tìm quỹ tích các điểm M để từ đó kẻ đợc hai tiếp tuyến vuông góc đến Parabol

3) Tìm trên mỗi nhánh của đồ thị (C) một điểm sao cho khoảng cách giữa chúng là ngắn nhất.

Câu II 1) Giải hệ phơng trình:

m 1 log x 2  m 5 log x 2 m 1 0

có hai nghiệm thoả mãn điều kiện: 2x1 x2 4

Câu III Nhận đạng tam giác :  

(d): x cos y sin z sin 6sin 5 cosxsin y cos z cos 2 cos 5sin

2) Gọi (d’) là hình chiếu của (d) lên mf(Oxy), CMR khi thay đổi, (d’) luôn tiếp xúc với một đờng tròn cố định