Sai phân và bài toán tính tổng

SAI PHÂN VÀ BÀI TOÁN TÍNH TỔNGI.. Biến đổi đa thức dưới dạng chuỗi lũy thừa.. Áp dụng sai phân vào tính tổng • Kí hiệu ∆ được hiểu như lấy đạo hàm cấp 1.

SAI PHÂN VÀ BÀI TOÁN TÍNH TỔNG

I Kí hiệu

+ ∆ được gọi là sai phân

+ Ux là hàm biến x

+ ∆Ux = Ux+1− Ux

+ Ux = U0 + x(1)∆1U0 + x

(2)

2! ∆

2U0 + + x

(n)

n! ∆

nU0 (**)

II Biến đổi đa thức dưới dạng chuỗi lũy thừa

Ví dụ: Ux = 2x3 − 3x2 + 3x − 10

x0 = 0 U0 = −10 2 6 12

x1 = 1 U1 = −8 8 18

x2 = 2 U2 = 0 26

x3 = 3 U3 = 26

• Giải thích:

+ ∆U0 = U0+1− U0 = U1 − U0 = 2 sai phân cấp 1

+ ∆2U0 = ∆(∆U0) = U0+1+1− U0+1− (U0+1− U0) = U2 − 2U1 + U0 = sai phân cấp 2

∆U1 − ∆U0 = 6

+ Tương tự ∆3(U0) = ∆2U1 − ∆2U0 = 12 sai phân cấp 3

Thay các giá trị ∆U0, ∆2U0, ∆3U0 vào phương trình (**) ta được:

Ux = 2x(3) + 3x(2)+ 2x(1) − 10

Chú ý: Đối với đa thức bậc n thì ứng với n + 1 mốc nội suy Ví dụ như bậc 3 thì

có 4 mốc nội suy x0, x1, x2, x3

III Áp dụng sai phân vào tính tổng

• Kí hiệu ∆ được hiểu như lấy đạo hàm cấp 1 Ví dụ:

∆(x

(4)

4 + C) = x

(3)

• Kí hiệu ∆−1 được hiểu như việc lấy nguyên hàm Ví dụ:

• Một số ví dụ:

1/ 2 + 4 + 6 + + 2n = A

A =

n

P

x=1

2x = ∆(−1)(2x)|n+11 = 2∆−1(x(1))|n+11 = 2.x

(2)

2 |n+11 = (n + 1)(2) − (1)(2) = (n + 1)n

2/

n

P

x=1

x2 = ∆−1x2|n+11 = ∆−1(x(2)+ x(1))|n+11 = (n + 1)n(2n + 1)

6

• Chú ý: 1(2) = 0, (1)(1) = 1

• Cấp số cộng: Đặt Sn = U1 + U2 + U3 + + Un =

n

P

x=1

U1 + (x − 1)d (d là công sai)

Ta có

n

P

x=1

U1 + (x − 1)d = ∆−1(xd + U1 − d)|n+11 = ∆−1(dx(1)+ U1 − d)|n+11

= (dx

(2)

2 + (U1− d)x(1))|n+11 = d(n + 1)n

2 + (U1− d)(n + 1) −d(1)

(2)

2 − (U1− d)(1)(1)

= nU1 + n(n − 1)

n(U1 + Un) 2

• Một số tính chất của tích phân bất định ∆−1

+ ∆−1(Ux± Vx) = ∆−1(Ux) ± ∆−1(Vx)

+ ∆−1(kUx) = k∆−1(Ux)

• Ví dụ:

+ ∆−1(0) = C

1 ∆−1(ax) = a

x

a − 1 Chứng minh:

∆(ax) = (a − 1)ax ⇒ ax = ∆−1((a − 1)ax) = (a − 1)∆−1ax

⇒ ∆−1(ax) = a

x

a − 1

2 ∆x(n) = x

(n+1)

n + 1 + C Chứng minh:

∆x(n) = nx(n−1) ⇒ ∆−1(x(n−1)) = x

(n)

n ⇒ ∆−1(x(n)) = x

(n+1)

n + 1

3 ∆−1(a + bx)(n) = (a + bx)

(n+1)

b(n + 1) + C

4 Công thức tích phân từng phần:

∆−1(Ux∆Vx) = UxVx− ∆−1(Vx+1∆Ux) + C

Ví dụ: Tính ∆−1(x.2x)

Giải:

Đặt

(

Ux = x

∆Vx = 2x ⇒







∆Ux = x + 1 − x = 1

Vx = 2

x

2 − 1 = 2

x

∆−1(x.2x) = x.2x− ∆−1(2x+1.1)

= x.2x− 2.∆−1(2x)

= x.2x− 2.2x

= 2x(x − 2) Ghi nhớ:

+ Đối với đa thức thì chuyển sang dạng giai thừa mới tính ∆−1

+ Đối với hàm lũy thừa thì không cần chuyển mà tính ngay ∆−1 bằng công thức

• Cấp số nhân:

Cho cấp số nhân (Un) với công bội q 6= 1 Đặt

S =

n

P

x=1

U1.qx−1 = U1 + U2 + U3 + + Un = ∆−1(U1qx−1)|n+11 = U1∆−1qx−1|n+11

U1qx−1

q − 1 |n+1

1 = U1q

n+1−1

q − 1 − U1q

1−1

q − 1 =

U1(qn − 1)

U1(1 − qn)

1 − q