Một số chuyên đề cssio sai phân

bn a - Vậy muốn tìm nghiệm tổng quát thay giá trị x0 ban đầu để tính C.

Phơng trình sai phân:

* Dạng a.xn+1 + b.xn = 0 ( n = 0;1;2 ) 1.1

- Nghiệm tổng quát: xn = C ( b)n

a

- Vậy muốn tìm nghiệm tổng quát thay giá trị x0 ban đầu để tính C

a

λ+ = ⇒ = −λ

n

x = C λ

* Dạng : a.xn+1 + b.xn = dn ( n= 0;1;2; ) (1.7)

( trong đó a ≠ 0, b là hằng số, dn là các số nào đó.)

Phơng trình còn đợc viết dới dạng: xn +1 = p.xn + dn ( n = 0;1;2;3 ) (1.8)

- Nghiệm tổng quát là: xn = + xn xn,,

- x// là nghiệm riêng của phơng trình sai phơng không thuần nhất (1.7)

+ Thí dụ : Tìm nghiệm của phơng trình: 5xn+1 + 3xn = 2n ( với x0 = 1, n = 0;1;2;3 )

5

λ = −

5

n

n

x = C  − 

 

- Ta tìm nghiệm riêng của phơng trình dới dạng x// = C1.2n

- Thay vào phơng trình đã cho ta đợc: 5 C1.2n+1+ 3 C1.2n - 2n

n n

5

n

n

x = C  − 

1 2 13

n

13

C =

n

n n

- Giả sử dn là đa thức bậc k của n

- Nếu a + b ≠ 0 thì nghiệm riên x// của phơng trình không thuần nhất( 1.7) dới dạng: x// = Q(k)n

- Nếu a + b = 0 thì nghiệm riên x// của phơng trình không thuần nhất( 1.7) dới dạng:

x// = nQ(k)n.đa thức bậc k + 1 của n

+ Thí dụ : Tìm số hạng tổng quát của dãy số :

X0 = 1; xn+1 – 2xn = n + 1 ( n = 0;1;2;3 )

Giải:

3

λ =

.( ) 3

n n

x = C

- Vì a + b = 1≠ 0 và dn = n + 1 là đa thức bậc nhất n nên nghiệm riêng của phơng trình có dạng: x// = C1.n + C2

- Thay vào phơng trình dã cho: 3   C n1( + + 1 ) C2  − 2 [ C n C1 + 2] đúng mọi n: từ đó ta suy ra C1 = 1; C2 = -2

- Thay vào nghiệm tổng quát : xn = + xn xn,,

2

2

n n

x = − +  ữ n C     vì x0 = 1 nên thay vào tính đợc C = 3

2 3

2

n n

= − +  ữ  

+ Thí dụ:Tìm nghiệm tổng quát của phơng trình: x0 = 1; xn+1 =xn + 2n2 ; n ≥0

Giải:

- Phơng trình đặc trng: λ - 1 = 0 có nghiệm λ = 1;

- Nghiệm tổng quát phơng trình thuần nhất: xn = C

- Vì a + b = 0 và d n = 2n2 nên đa thức bậc hai với n

- Nghiệm rieng của phơng trình là: x// = n(C1n2 +C2n +C3) Thay vào phơng trình đã

cho ta có:

n +  C n + + C n + + C  − n C n + C n C + = n

2

n

x = + C n − n + n

- Thay điều kiện ban đầu n = 0; x0 =1 tính đợc C = 1

n

*Chú ý: dn ≡ d ; dn = d , mọi n = 0;1;2;3 thì phơng trình (1.8) có dạng

Xn+1 =p.xn + d nếu p ≠ 1; a + b≠0 do dn = d ) là đa thức bậc 0 mọi n nên phơng

trình có nghiệm riêng x// = c

- Vậy nghiệm tổng quát của phơng trình: xn+1 = qxn + d có dạng

n

n

• Phơng trình sai phân bậc hai:

• Dạng thuần nhất:

- Dạng tổng quát: a.xn+2 +b.xn+1 + c.xn = 0 ( n = 0;1;2 ) (1.1)

- Phơng trình đặc trng: a.λ 2 +b λ + c = 0 (1.6) có nghiệm dặc trng λ 1, λ 2

- Nừu λ1 ≠ λ2 Khi đó (1.1) có nghiệm: xn = C1λ 1 n +C2λ2 n

- Nh vậy để giải phơng trình sai phơng thuần nhất cấp II ta chỉ cần giải phơng trình

đặc trng bậc hai : a.λ 2 +b λ + c = 0

- Để tìm C1; C2 ta chỉ cần thay x0 ; x1 đã cho vào xn = C1λ 1n +C2λ 2n rồi giải hệ

để tìm C1; C2

+ Thí dụ Tìm bghiệm của phơng trình sai phân:

Xn+2= 3xn+1 + 28xn cho x0 7 ; x1 = -6

- Giải phơng trình đặc trng: λ 2 -3λ - 28 = 0 có nghiệm λ 1 = -4; λ2 = 7

- Nghiệm tổng quát có dạng: xn = c1(-4)n +c27n

- Với n = 0 ta có : C1 +C2 = x0 = 7

- Với n = 1tacó : C1 + C2= x1 =-6 Giải HPT ta có : C1 = 5; C2 = 2

- Nghiệm tổng quát là: xn = 5(-4)n + 2.7n

+ Trờng hợp có nghiệm kép : Công thức có dạng:

xn = C1λ 1n +C2n.λ 2n = ( C1 + C2n) λ n Thay hai giá trị ban đầu của n để tìm C1; C2 + Thí dụ: Tìm nghiệm của phơng trình sai phân:

xn+2 = 10.xn+1 – 25.xn ( x0 = -1; x1 = 2)

- Phơng trình đặc trng: λ 2 - 10λ + 25 = 0 có nghiệm λ 1 = λ2 = 5

- Nghiệm tổng quát: xn = ( C1 + C2n) 5n

- Với n = 0; x0 = -1;

- Với n = 1; x1 = 2 vào nghiệm tổng quát tìm đợc C1 = -1; C2 = 7

5

- Vởy nghiệm tổng quát của xn+2 = 10.xn+1 – 25.xn ( x0 = -1; x1 = 2)

5

n n

x = − + n

 ữ

 

• Phơng trình tuyến tính sai phơng không thuần nhất:

- Dạng tổng quát: a.xn+2 +b.xn+1 + c.xn = dn ( n = 0;1;2 )

- Nghiệm tổng quát: vào xn = C1λ1 +C2λ 2 + x//

- Nh vậy bài toán chính là đi tìm nghiệm riêng x// Sau đó tìm C1; C2

- Trờng hợp dn ≡ d.p n nghiệm riêng

//

1 2 2

1

1 2 1 2

2

n n

n n

dq

aq bq c ndq

aqb

−

+ +

Thí dụ: Tìm nghiệm riêng của phơng trình: xn+2 – 8xn+1 +15xn = 2.5n+1

- - Giải phơng trình đặc trng: λ 2 - 8λ + 15 = 0 có nghiệm λ 1 = 3; λ 2 = 5

- Vì 2.5n+1 = 10.5n và q = 5 = λ 2 ≠ λ1

- áp dụng công thức:

.5

n n

aq b

+ −

- - Trờng hợp : dn ≡d phơng trình có dạng: a.xn+2 +b.xn+1 + c.xn = d ( n = 0;1;2 )

+ Khi a + b + c ≠ 0 ( q = 1 không là nghiệm của phơng trình đặc trng )

x

a b c

= + +

+ Khi a +b +c = 0 nghiệm riêng có dạng: // (2 0)

2

n

dn

a b

+

( 1) ; 2 0

2

n

d

x n n khi a b

a

+ Phơng trình sai phânkhông thuần nhất : xn+2 = 3xn+1 +28xn + 60

2

1 3 28

n

− −

- Nghiệm tổng quát của : xn+2 = 3xn+1 +28xn là xn = C1(-4)n +C2.7n

- Vậy phơng trình đã cho có nghiệm tổng quát: xn = C1(-4)n +C2.7n – 2

- Thay giá trị ban đầu giải HPT tìm C1; C2 KQ: xn = 3.(-4)n + 2.7n – 2