xét tính hữu tỉ và tính vô tỉ để giải các bài toán có liên quan

XÉT TÍNH HỮU TỈ VÀ TÍNH VÔ TỈ CỦA MỘT SỐ ĐỂGIẢI CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN Khi học tập hơp số hữu tỉ ta có nhận xét rằng: 1/ Tổng ,hiệu,tích ,các số hữu tỉ là số hữu tỉ Khi học đến tập hợ

XÉT TÍNH HỮU TỈ VÀ TÍNH VÔ TỈ CỦA MỘT SỐ ĐỂ

GIẢI CÁC BÀI TOÁN CÓ LIÊN QUAN

Khi học tập hơp số hữu tỉ ta có nhận xét rằng:

1/ Tổng ,hiệu,tích ,các số hữu tỉ là số hữu tỉ

Khi học đến tập hợp R ta thấy đươc tập hợp số thực R gồm hai tập hợp số Tập hợp số hữu

tỉ và tập hợp số vô tỉ và ta đã biết được rằng :Nếu x là số hữu tỉ thì x không phải là số vô tỉ

và ngược lại, nếu x là số vô tỉ thì x không phải là số hữu tỉ.Từ đây ta cũng có các nhận xét

sau

2.tổng của số hữu tỉ và số vô tỉ là số vô tỉ

3.tích của số hữu tỉ và số vô tỉ là số vô tỉ.

Thật vậy, nếu x∈Q và y∈R\Q mà x+y∈Q thì x+y+(-x) =y∈Q Vô lí

Cũng vậy, nếu x∈Q và y∈R\Q mà xy∈Q thì xy(x -1) =y ∈Q Vô lí Áp dụng các nhận xét trên ta sẽ giải được một số bài toán có liên quan, sau đây là các ví dụ minh họa

Bài 1: Lập phương trình bậc hai có hệ số hữu tỉ sao cho một nghiệm của nó bằng

5 3

5 3

+

−

Giải

Gỉả sử x2+px+q (p,q là các số hữu tỉ )là phương trình phải tìm

Do số

5 3

5 3

+

2 2

2

) 5 ( ) 3 (

) 5 3 (

−

−

= -4+ 15 là nghiệm của phương trình nên

(-4+ 15 ) 2+p(-4+ 15) +q = 0, tức là (31-4p+q)+(p-8) 15=0 Ta thấy:vì p,q là số hữu

tỉ và 15 là số vô tỉ nên với nhận xét trên phương trình cuối chỉ tồn tại khi và chỉ khi đồng thời có

31-4p+q=0 và p-8=0 Suy ra p=8,q=1.Vậy phương trình bậc hai phải tìm là: x2 +8x -1 = 0

Bài 2: tìm nghiệm hữu tỉ của phương trỉnh: y 3 - z 3 = 2 3 − 3.

Giải

Giả sử y và z là hai nghiệm hữu tỉ của phương trình trên.Sau khi bình phương hai vế ta được: y 3 +z 3 -2 3yz =2 3 -3 hay (y+z-2) 3 =2 3yz -3 (1)

Từ (1) ta thấy (x+z-2)2.3 = 9+12yz -12 3yz nên số 3yz là số hữu tỉ Do đó cũng từ (1)

ta phải có y+z-2=0 và 2 3yz -3 =0 Vì vậy các số y,z phải thỏa mãn các đẳng thưc: y+z=2 và yz=

4

3

hay chúng là nghịêm của phương trình x2 -2x +

4

3

=0 Do y>z nên phương trình trên chỉ có một nghiệm là 









2

1 : 2

3

z

y Đó là nghiệm hữu tỉ của nó

Bài 3 Tìm tất cả các số nguyên dương x,y,z thỏa mãn phương trình: x+ 2 3

= y + z

Gỉải Giả sử x,y,z là nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho:

3

2

+

x = y + z Bình phương hai vế ta được

x+2 3= y+z+2 yz ⇔ x-(y+z) +2 3 = 2 yz tiếp tục bình phương hai vế ta được [x-(y+z) ]2 + 4 3[x-(y+z)] +12=4yz (1)

từ (1) suy ra x=y+z vì nếu x ≠ y+z thì 3 = [ ( ) ]

[x y z]

yz z

y x

+

−

+

− +

−

−

4

4 12 2

là số hữu tỉ,vô lí

Vậy x=y+z thì⇒ yz=3 ⇒y=3,z=1 hoặc y=1 ,z=3

*Với y = 3, z = 1 ta được x = 4

*Với y=1, z = 3 ta được x=4

Thử lại ta được (4,3,1) và (4,1,3) là nghiệm

Bài 4 Chứng minh rằng nếu u,v∈ Q mà s = u3 3 + v3 9 ∈Q thì u = v = 0

Giải

Nếu v = 0 ta suy ra ngay u =s =0 (vì 3 3 là số vô tỉ)

Nếu v ≠ 0 ta có 3 9= p + q3 3 (1) ( p,q là các số hữu tỉ) Nhân hai vế của (1) cho3 3

ta được: 3 = p3 3 + q3 9 (2) thay 3 9 ở (1) vào (2) ta đươc

3 = p3 3 + q(p + q3 3) = p3 3 + pq + q2 3 3 = pq +( p+q2) 3 3

Từ đây suy ra :3= pq +( p+q2) 3 3 Để đẳng thức này sảy ra ta phải có

Pq = 3 và P+q2 =0 do đó p = -q2 nên 3 = -q3 ⇔ q3 = -3 hay

q = -3 3 Điều này không xảy ra (vì 3 3 là số vô tỉ mà q là số hữu tỉ) tức giả xử

v ≠ 0 không xảy ra đươc Vậy v = u = 0.

Bài 5: Tìm đa thức f(x) với hệ số hữu tỉ có bậc nhỏ nhất mà

f(3 3 + 3 9) = 3 + 3 3

giải Xét f(x) = ax +b với a,b là các số hữu tỉ.Ta có f(3 3 + 3 9) = 3 + 3 3 ⇔a(3 3 + 3 9) +b =3 + 3 3 ⇔(a-1) 3 3+a3 9 = 3-b∈Q.

Theo bài 4 ta có : a-1=0 vô nghiệm Vậy không có đa thức bậc nhất nào thỏa a=0 mãn

Xét f(x) = ax2+bx +c ta có f(3 3 + 3 9) = 3+3 3

⇔a(3 3 + 3 9)2+b(3 3 + 3 9)+c=3+3 3

⇔(a+b) 3 9+ (3a+b-1)3 3= 3-6a-c Đến đây áp dụng kết quả bài 4 ta có:

a+b=0 a=

2 1

3a+b-1=0 b=

-2

1

Vậy f(x)=

2

1

x 2 -

2

1

x là đa thức phải tìm

3-6a-c=0 c=0

Bài 6 Chứng minh rằng mọi đa thức f(x) có hệ số hữu tỉ nhận 3 làm nghiệm đều chia hết cho x 2 -3

Giải

Giả sử f(x) = (x2-3).h(x) + r(x) Vì x2 -3 bậc hai nên r(x) = ax + b Ta phải chứng minh

r(x)=0

Thật vậy ,ta có f( 3) = ( )3 2− 3 .h( 3) + a 3 + b ⇒ 0 = a 3 + b (a,b ∈Q)

Do 3 là số vô tỉ vậy từ a 3 + b = 0 ta có a=b=0 ⇒ r(x) =0 v ây f(x) chia hết cho x 2 -3

Bài 7 Hãy biểu thị 3 2 + 5 dưới dạng a+b 5 với a,b là số hữu tỉ

Giải

Giả sử 3 2 + 5 = a+b 5 với a,b ∈ Q ,b≠0

Lập phương hai vế ta được:

2+ 5=a 3 + 3a 2 b 5 +15ab 2 +5b 3 5 ⇔(1-3a 2 b-5b 3 ) 5 = a 3 +15ab 2 -2

Biểu thức c=(1-3a 2 b-5b 3 ) là số hữu tỉ, nếu c≠0 thì c 5 là số vô tỉ, mâu thuẫn với vế phải là số hữu tỉ

Vậy : 3a 2 b+5b 3 =1

a 3 +15ab 2 =2

Suy ra 6a 2 b+10b 3 = a 3 + 15ab 2 ⇔ a 3 - 6a 2 b + 15ab 2 -10b 3 =0

Do b≠ 0 nên chia hai vế cho b 3 ta được:

3













b

a

- 6

2













b

a

+ 15 











b

a

-10 =0

⇔

b

a

=1 ⇔a=b Thay vào hệ trên ta được a = b =

2 1

Vậy 3 2 + 5 =

2

5

1 +

Trên đây là một số bài toán mà lời giải có liên quan đến các nhận xét đã nêu ở phần đầu.Các bạn thử áp dụng các nhận xét trên để giải một số bài tập sau

1.Cho a,b,c là các số hữu tỉ sao cho a + b 2+ c 3= 0

Chứng minh a = b = c = 0

2 Cho a,b,c là các số hữu tỉ sao cho a + b3 2 + c3 4= 0

chứng minh a = b = c = 0.

3 Chứng minh rằng nếu a,b,c và a+ b+ c là những số hữu tỉ thì

c

b

a, , cũng là những số hữu tỉ

4 Cho a,b là hai số hữu tỉ Xác định đa thức f(x) = x3 + ax2 + bx + 1 Biết rằng đa thức này có nghiệm là 2 + 3

5.Lập phương trình bậc hai có hệ số hữu tỉ sao cho một nghiệm của nó bằng

3

2

3

2

+

6 Chứng minh rằng mọi đa thức f(x) có hệ số hữu tỉ nhận 5 làm nghiệm đều chia hết cho x 2 -5

7 Chứng minh rằng không thể biểu diễn 3 2 được ở dạng p+q rtrong đó

p , q ,r ∈ Q, r >0

8.Cho a và b là các số hữu tỉ, c và d là các số hữu tỉ dương,không phải là bình phương của các số hữu tỉ nào khác.chứng minh rằng nếu :

a + c = b + d thì a=b và c=d

TRẦN THANH HƯNG

Trường THCS Nguyễn Du ,xuân Quang 3, Đồng Xuân ,Phú Yên