skkn PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY HS LỚP 6 THÔNG QUA TỔNG QUÁT HOÁ BÀI TOÁN TÍNH TỔNG

Qua đó học sinh được rèn luyện phương pháp, thói quen tìm lời giải cho một bài toán cụ thể xét bài toán trong trường hợp tổng quát từ đó rèn luyện cho học sinh phương pháp suy luận, tư d

PHẦN A: MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài:

Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng đổi mới không ngừng Các nhà trường càng chú trọng đến chất lượng toàn diện bên cạnh sự đầu tư thích đáng cho giáo dục Dạy như thế nào để học sinh không những nắm chắc kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà phải được nâng cao, phát triển để các em có hứng thú, say mê học tập là một câu hỏi mà mỗi thầy cô chúng ta luôn đặt ra cho mình

Thực tế trong quá trình dạy và học toán cụ thể như trong sáng kiến này

là số học 6 có rất nhiều bài toán mang tính điển hình, từ bài toán đó ta có thể phát triển thêm các bài toán khác mang các thuộc tính tổng quát hơn Những bài này thường chứa đựng nhiều nội dung, nhiều mối liên kết lôgíc có thể coi

là phần tử đại diện cho một lớp các bài toán có tính bản chất chung Vì vậy trong quá trình dạy theo tôi người dạy phải biết đâu là những bài toán mấu chốt, đâu là những bài toán đại diện và vấn đề cơ bản của các bài toán ấy là vấn

đề gì Từ đó học sinh có thể dễ dàng nắm bài toán một cách tổng quát Chính

vì vậy theo tôi “Tổng quát hoá các bài toán trong dạy học toán” là việc hết

sức cần thiết đối với việc phát triển năng lực tư duy cho học sinh khi dạy học đặc biệt là năng lực tư duy của học sinh lớp 6 đầu cấp học

II Mục đích nghiên cứu:

“Tổng quát hoá các bài toán trong dạy học toán” giúp học sinh hiểu được tổng quát hoá là chuyển từ trường hợp đặc biệt sang trường hợp tổng quát Nhờ tổng quát hoá mà ta có thể đi đến công thức tổng quát, có thể sáng tạo ra các bài toán mới, từ đó vận dụng để thực hiện những bài toán liên quan

Qua đó học sinh được rèn luyện phương pháp, thói quen tìm lời giải cho một bài toán cụ thể xét bài toán trong trường hợp tổng quát từ đó rèn luyện cho học sinh phương pháp suy luận, tư duy để chuyển từ việc khảo sát một tập hợp đối tượng đến tập hợp đối tượng lớn hơn chứa tập hợp ban đầu

III Đối tượng và phương pháp nghiên cứu:

- Đối tượng nghiên cứu: Trước khi viết sáng kiến này tôi đã kiểm tra và khảo sát việc giải các bài toán tính tổng, việc tổng quát hoá các bài toán tính tổng, khả năng vận dụng ở học sinh lớp 6 trường THCS Ái Thượng với phân môn số học

- Phương pháp nghiên cứu: Thông qua khảo sát việc giải các bài toán tính tổng, việc các em tư duy để tìm cách tổng quát hoá bài toán và với kinh nghiệm của bản thân trong quá trình dạy học, ôn thi học sinh giỏi, nghiên cứu sách giáo khoa, các loại sách nâng cao cùng với sự giúp đỡ của đồng nghiệp tôi đã viết thành sáng kiến kinh nghiệm này

PHẦN B: NỘI DUNG I: Cơ sở lý luận :

Tư duy là một thuộc tính tâm lý, tư duy hình thành và phát triến theo từng giai đoạn, trong quá trình trưởng thành của con người Tư duy đặc biệt phát triến mạnh ở giai đoạn thanh thiếu niên Việc thực hiện các phương pháp giảng dạy như thế nào để phát triển năng lực tư duy một cách tốt nhất cho học sinh là việc mà mọi giáo viên đều cần quan tâm Trong toán học, nhất là trong dạy học toán theo chương trình đổi mới thì việc dạy học theo phương pháp tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, học sinh được tiếp cận kiến thức một cách chủ động sáng tạo, từ những hình ảnh, mô hình, ví dụ để hình thành các khái niệm trừu tượng, tổng quát hơn từ đó năng lực tư duy của học sinh được phát triển hơn không chỉ ở môn toán mà trong các môn học khác

Là người giáo viên, chúng ta cần biết gây hứng thú học tập của các em thông qua các lời giải bởi đằng sau mỗi lời giải của các bài toán luôn ẩn chứa nhiều bất ngờ dành cho các em say sưa tìm tòi

II Thực trạng của vấn đề :

- Học sinh: Trong quá trình dạy học tôi nhận thấy đa phần học sinh chỉ

chú trọng việc giải thế nào để đi đến kết quả, bài toán có lời giải ngắn gọn Thực tế, đó cũng là việc làm rất cần thiết đối với học sinh, tuy nhiên chỉ dừng lại ở đó thì học sinh không thể phát huy được tính sáng tạo qua các bài toán, không mở rộng được bài toán, từ bài toán đó ta có thể phát triển thêm từ các bài toán dễ đến các bài toán khác khó hơn, mang các thuộc tính tổng quát

- Giáo viên: Vì thời gian trên lớp hạn chế và một số yếu tố khác nên giáo viên thường là giải mẫu sẵn các bài toán từ dễ đến khó cho học sinh đa phần chưa tổng quát hoá lên, chưa phát triển bài toán, chưa chỉ ra cho học sinh sự liên quan ở các bài toán từ đó chưa sâu chuỗi kiến thức từ đó chưa phát huy hết khả năng tư duy toán học của các em

Để góp phần giải quyết thực trạng trên tôi đã mạnh dạn viết thành sáng kiến kinh nghiệm “Phát triển tư duy học sinh lớp 6 thông qua tổng quát hoá các bài toán tính tổng trong số học”

III Một số giải pháp tiến hành hướng dẫn học sinh tư duy trong dạy học các bài toán tính tổng ở phần số học lớp 6

1.Hướng dẫn học sinh phân loại các bài toán:

Phân loại để định hướng lập kế hoạch giải bài toán là khâu hết sức quan trọng Do đó trong quá trình giảng dạy môn số học lớp 6 tôi đã hướng dẫn học sinh phân loại các bài toán tính tổng các số tự nhiên và các bài toán liên quan thành các dạng như sau:

1.1 Dạng toán liên quan đến tính tổng các số tự nhiên

1.2 Dạng toán liên quan đến tính tổng các luỹ thừa với các cơ số và số

mũ là những số tự nhiên:

1.3 Dạng toán liên quan đến tính tổng các phân số với tử số và mấu số là các số tự nhiên

2 Hướng dẫn học sinh tóm tắt kiến thức cần vận dụng

Trong quá trình hướng dẫn học sinh, tôi đã cho học sinh nhắc lại và yêu cầu học sinh ghi nhớ các tính chất sau:

2.1 Tinh chất của phép cộng và phép nhân số tự nhiên (a;b;c N)

a + b = b + a

a + (b + c) = (a + b) + c

a(b + c) = ab + ac

2.2 Tính chất cơ bản của phép cộng phân số (a;c N; b;d;q N * )

b

a d

c d

c

b

a







































q

p d

c b

a q

p d

c

b

a

2.3 Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng

q

p b

a d

c b

a q

p d

c

b

a



















2.4 Quan hệ chia hết

a  m; b m  (a b) m ;

a  m; b  m (a b)  m

2.5 Một số tính chất khác Với (n N * )

1

1 1 ) 1

(

1







n

Để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1 số đơn vị , ta có thể dùng công thức:

Số số hạng = ( số cuối – số đầu) : ( khoảng cách ) + 1

3

Hướng dẫn học sinh giải các dạng toán :

3.1.Dạng 1: Dạng toán liên quan đến tính tổng các số tư nhiên

Ở số học lớp 6 thì việc làm các bài toán thực hiện phép tính tổng rất thân quen với các em, tuy nhiên thông thường thì các em chỉ dừng lại ở việc

tính toán mà ít tư duy để khái quát các bài toán đó, đưa bài toán về dạng tổng

quát, vận dụng kết quả bài toán Chính vì vậy khi dạy giáo viên cần hướng

các em đi từ những ví dụ nhỏ, quen thuộc để từ đó hình thành cách tính tổng

quát, vận dụng nó một cách hiệu quả trong các dạng toán liên quan

20 + 21 + 22 +…+ 29 + 30

Tuy đây là bài toán quen thuộc nhưng học sinh vẫn hay bị vướng mắc trong cách giải như: Nhóm các cặp số không logic, nhầm lẫn số lượng hạng

tử, lạm dụng máy tính bỏ túi một cách máy móc không khoa học vì vậy khi thực hiện ví dụ này giáo viên có thể định hướng cho học sinh cách giải như sau:

Đặt S = 20 + 21 + 22 +…+ 29 + 30 (1)

S = 30 + 29 + + 21 + 20 (2)

Từ (1) và (2) 2S= (30+20)+(29 + 21)+ + (21 + 29)+ (20 +30)

2S = 50 + 50 + + 50; Có (30 – 20):1 + 1 = 11 số 50

 2S = 50.11 = 550 S = 275

Thay số hạng đầu tiên của dãy bằng một số tự nhiên bất kỳ giáo viên cho học sinh phát triển thành bài toán tính tổng các số tự nhiên liên tiếp Từ

đó hướng dẫn học sinh hình thành bài toán tổng quát

Bài toán tổng quát 1: Tính tổng

S = m + (m +1) + (m + 2) + + (m + k) (m;k  N)

Với cách thực hiện tương tự ví dụ trên giáo viên hướng dẫn học sinh hình thành cách giải bài toán

2S = (2m + k) + (2m + k) + + (2m + k)

Có: (m + k - m):1 +1 = k +1 cặp hạng tử (2m + k)

 2S = (2m + k)(k + 1)

 S = (2mk2)(k 1)

* Hướng phát triển tư duy cho học sinh.

Từ cách giải, kết quả trên ta có thể cho học sinh vận dụng thực hiện những bài toán liên quan chẳng hạn:

Bài 1: Tính tổng S = 15 +16 + + 99 +100

Trước hết giáo viên hướng dẫn học sinh phát hiện tìm ra được số hạng

đầu tiên m = 15, khoảng cách giữa số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng k=85 từ đó hướng dẫn học sinh sử dụng kết quả của bài toán tổng quát 1 ta tính được tổng S = (2.15852)(851) = 105.43 = 4945

Từ việc tính tổng này giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh tự tư duy để khai thác bài toán bằng những câu hỏi liên quan khác

Ví dụ: Chứng minh S  43, sử dụng máy tính bỏ túi tính 55



S

S

, tìm 3 ước lớn hơn 40 của S, hoặc so sánh S và 5000;

Ngoài việc vận dụng tính tổng trực tiếp giáo viên có thể hướng dẫn học sinh sử dụng kết quả của bài toán tổng quát 1 thực hiện các bài toán liên quan khác đến dãy số một cách dễ dàng, chẳng hạn:

Bài 2: Tìm x biết 15 +16 + + 99 + x = 5000

Để thực hiện bài toán này trước hết giáo viên hưóng dẫn cho học sinh tính tổng 15+16+ +98+99 = (2.15842)(841) = 4845

Lúc này việc tìm x là công việc đơn giản với học sinh:

4845 + x = 5000  x = 5000 - 4845 = 155

Bài 3 Tìm số tự nhiên x biết x +(x +1) +(x + 2) + + (x + 48) +(x+49) = 1275

Theo như bài toán tổng quát 1 giáo viên cho học sinh tìm ra được m =x; k=49 từ đó hướng dẫn học sinh sử dụng kết quả bài toán tổng quát 1 tính

được (2x249).50 =1275  x = 1

Tiếp tục khai thác kết quả của bài toán tổng quát 1 giáo viên cho học sinh thực hiện những dạng toán chứng minh mà nếu không sử dụng kết quả của bài toán tổng quát này có thể là bài toán khó đối với các em chẳng hạn:

Bài 4 Cho S= 1+2+3+ + 99+100 Chứng minh rằng 2S là tích của 2 số tự

nhiên tiên tiếp

Giáo viên hướng dẫn học sinh tính tổng S bằng việc áp dụng trực tiếp kết quả

bài toán tổng quát 1 học sinh tính được S = 1002.101 Lúc này học sinh nhận

ra ngay được 2S = 100.101 và kết luận bài toán

Qua bài toán trên học sinh tính được tổng của 100 số tự nhiên đầu tiên

liên tiếp (Bài toán gau-xơ trang 19 SGK toán 6 tập 1) Vấn đề nảy sinh lúc

này chính là cách tính tổng n số tự nhiên đầu tiên liên tiếp, từ đây giáo viên hướng dẫn học sinh hình thành trường hợp đặc biệt của bài toán tổng quát 1

Tính tổng: S = 1 + 2 +3 + + (n-1) + n (n N)

Với cách giải như ví dụ 1 học sinh có thể dễ dàng thực hiện được Tuy nhiên ngoài cách giải trên giáo viên có thể hướng dẫn học sinh giải bằng những cách khác chẳng hạn:

S = 1 + 2 +3 + + (n-1) + n

 2S = 1.2 + 2.2 +3.2 + + n.2

 2S = 1.2 + 2.(3 – 1) +3.(4 – 2) + + n.[(n+1) – (n – 1)]

 2S = 1.2 – 1.2 + 2.3 – 2.3 + 3.4 - … - (n – 1)n + n (n + 1)

 2S = n ( n + 1)  S = n( n2 1)

Nếu khoảng cách giữa 2 số liên tiếp của dãy là số m bất kỳ (m  N) thì

cách thực hiện bài toán như thế nào Từ vấn đề đó giáo viên hướng dẫn học sinh tìm ra bài toán mới và tổng quát bài toán lên

Bài toán tổng quát 2: Tính tổng

S = m+(m+k)+(m + 2k)+ +{m +(n-1)k}+(m + nk) (m;n;k N)

Với cách thực hiện tương tự cách giải của ví dụ 1 giáo viên hướng dẫn cho học sinh tính được

2S = (m + nk + m) + {(m + k) + m + (n-1)k} + + (nk + m + m)

 2S = (2m + nk) + (2m + nk) + + (2m + nk)

Có: {(m + nk - m) : k} + 1 = n + 1 cặp hạng tử (2m + nk)

 S = (2mnk2)(n1)

* Hướng phát triển tư duy cho học sinh:

Ngoài việc cho học sinh vận dụng thực hiện những bài toán liên quan như định hướng ở bài tổng quát 1 Giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh vận dụng thực hiện các dạng liên quan khác chẳng hạn:

Cho dãy số S = 5+9+13+ 17+

Tìm số hạng thứ 15 của dãy rồi thực hiện tính tổng S

Học sinh có thể lúng túng trong cách tìm lời giải, thay cho việc mò mẫn

có thể là liệt kê từng hạng tử của học sinh, giáo viên hướng dẫn học sinh vận dụng bài toán tổng quát 2 bằng việc tìm ra số hạng đầu m = 5, khoảng cách

k = 4, n = (15-1) khi đó số hạng thứ 15 xẽ là m+(15-1)k = 5+(15-1).4 = 61

Lúc này việc tính tổng dãy số xẽ trở nên đơn giản đối với học sinh Bằng việc áp dụng kết quả bài toán tổng quát 2 học sinh tính được:

S = (2.514.24)(141) = 495

Với cách thực hiện như bài trên những bài toán liên quan đến tính tổng dãy số tự nhiên với khoảng cách giữa 2 số liên tiếp của dãy là số m bất kỳ, tìm số hạng thứ k của một dãy số trở nên đơn giản đối với các em

Giáo viên tiếp tục hướng dẫn học sinh tư duy theo hướng thay đổi hạng

tử trong dãy thành tích của 2 số tự nhiên liên tiếp để học sinh tìm ra bài toán mới từ đó hình thành bài tổng quát

Ví dụ 2: Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + .+ 98.99

Vấn đề đặt ra cho học sinh lúc này là hướng giải quyết bài toán Với

cách giải ở trường hợp đặc biệt của bài toán tổng quát ta nhân 2 vế với 2 (số

số hạng +1) Với ví dụ này số số hạng trong mỗi tổng là 2 từ đó giáo viên

hướng dẫn học sinh nhân 2 vế với 3(số số hạng +1) và thực hiện tương tự ta

có được

3A = 1.2.3 + 2.3.3 + + 98.99.3

 3A = 1.2.3 + 2.3.(4 – 1) + +98.99.(100 – 97)

 3A = 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 + - 97.98.99 + 98.99.100

 3A = 98.99.100  A = 323400

3

100 99 98



; (mN nN

Từ ví dụ trên học sinh dễ dàng tổng quát được bài toán

Bài toán tổng quát 3: Tính tổng

S = 1.2 + 2.3 +3.4 + + n.(n+1) (n N)

Với cách giải hoàn toàn tương tự học sinh tính được:

3S = n.(n+1)(n + 2)  S = n.(n13)(n2)

Với cách giải tương tự như trên giáo viên có thể tiếp tục phát triển bài toán bằng cách tăng các thừa số trong mỗi tổng là tích của 3; 4; …m số tự nhiên liên tiếp ta xẽ có bài toán tính tổng với tính tổng quát mạnh hơn

Tính tổng: S = 1.2 m+2.3.4…(m+1)+ + n.(n+1).(n+2)…(n+m – 1);

Với cách thực hiện như trên nhân cả 2 vế với (m+1) và thực hiện cách

tách tương tự ta cũng xẽ có được

1

) ) (

2 )(

1 (











m

m n n

n n

S

* Hướng phát triển tư duy cho học sinh:

Ngoài việc cho học sinh sử dụng kết quả trên để thực hiện những bài toán liên quan tương tự như phần vận dụng cho bài toán tổng quát 1 giáo viên

có thể định hướng thêm cho học sinh vận dụng kết quả bài toán tổng quát 3 để thực hiện một số bài toán liên quan khác chẳng hạn:

Bài 1 Cho S = 1.2 + 2.3 +3.4 + + n.(n+1) (n N)

Chứng minh rằng 3S là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp

Để thực hiện bài toán này giáo viên hướng dẫn cho học sinh áp dụng trực tiếp kết quả của bài toán tổng quát 3 có ngay được:

S =

3

) 2 )(

1 (n n

n

từ đó học sinh nhận ra ngay 3S = n(n+1)(n+2)

Từ kết quả trên giáo viên có thể hướng dẫn cho học sinh khai thác tìm

ra những câu hỏi liên quan từ đó tìm ra hướng vận dụng cho những bài toán

cụ thể khác

Ví dụ: Với n < 3 So sánh S và (n+1)(n+2); chứng minh S < (n+1)(n+2)

Bài 2 Cho A =5.6+6.7+7.8+ +19.20+20.21; C= A+21.22; Tính giá trị C.

Giáo viên hướng dẫn học sinh nhận ra được

C = 5.6+6.7+7.8+ +19.20+20.21+21.22

Vấn đề đặt ra ở đây là dãy số không bắt đầu từ 1.2 mà là từ 5.6 vì vậy giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh thực hiện từng bước theo như cách giải

ở ví dụ 2

3C = 5.6.3+6.7.3+ +20.21.3+21.22.3

Tách và biến đổi tương tự ví dụ 2 học sinh tính ra được

3C = 5.6.7-4.5.6+6.7.8-5.6.7+ +20.21.22-19.20.21+21.22.23-20.21.22  C = 21.22.233 4.5.6 = 3502

Từ bài toán này giáo viên tiếp tục tổng quát lên cho học sinh:

Tính tổng: S = m(m+1)+(m+1)(m+2)+ +(m+k-1)(m+k) (m;k N)

Thực hiện tự có được S =

3

) 1 ( ) 1 ( ) 1 )(

)(

1 (mk mk mk  m m m

Thay đổi các thừa số trong mỗi tổng theo một quy luật khác giáo viên hướng dẫn cho học sinh hình thành bài toán mới tự đó tổng quát bài toán lên

Ví dụ 3 : Tính tổng S = 1.99 + 2.98 + 3.97 + + 98.2 + 99.1

Dựa vào cách tách như trường hợp đặc biệt của bài toán tổng quát 1 giáo viên hướng dẫn học sinh thực hiện tách một cách hợp lý

S = 1.99 + 2(99 - 1) + 3(99 - 2) + + 98(99 - 97) + 99(99 - 98)

 S =(1.99 + 2.99+ +98.99 + 99.99)–(1.2 + 2.3 + + 97.98 + 98.99)

 S = 99(1 + 2 + + 97 + 98 + 99) - (1.2 + 2.3 + + 97.98 + 98.99) Lúc này bài toán trở nên khá quen thuộc đối với học sinh Giáo viên hướng dẫn học sinh sử dụng kết quả bài toán tổng quát 1 và kết quả ví dụ 2

dễ dàng thực hiện được

6

101 100 99 3

100 99 98 2

100 99



Từ đây cho học sinh tự tư duy để tổng quát hoá bài toán

Bài toán tổng quát 4: Tính tổng: