DE THAM KHAO HSG TOAN 9

a/ Tính số đường chéo của thất giác lồi.. b/ Hãy xây dựng công thức tính số đường chéo của n- giác lồi, với n là số tự nhiên lớn hơn 3.. Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH vuông góc với AC tạ

Phòng GD& ĐT Sa Đéc CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Trường THCS TTN Độc lập- Tự do- Hạnh phúc

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THỊ XÃ

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011- 2012

Ngày thi: 4/ 12/ 2011.

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1.(4 điểm)

a/ Phân tích đa thức A thành nhân tử với: 4 3

2 4

A x x  x ; b/ Cho biểu thức 5 5 1

3 1 1

B

  



   , tìm điều kiện của x để B có nghĩa

1

B

x

 

 c/ Cho hai số x và y thoả mãn: x x2  2011y y2  2011  2011 Tính tổng x y

Câu 2.(3 điểm) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh

bất đẳng thức sau: 9 a b c 1 1 1

a b c

      

Câu 3.(2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2

P x  y  xy x y

Câu 4.(3 điểm) a/ Tính số đường chéo của thất giác lồi.

b/ Hãy xây dựng công thức tính số đường chéo của n- giác lồi, với n là số tự nhiên lớn hơn 3

Câu 5.(3 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH vuông góc với AC tại H.

Gọi I là trung điểm của AH, J là trung điểm của CD Tính số đo góc BIJ

Câu 6.(3 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; BC  2; đường cao 2

2

AH 

Chứng minh: AB= AC

Câu 7 (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A Đường tròn nội tiếp tam

giác ABC tiếp xúc với BC tại D Chứng minh: S ABC BD DC.

(Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của tam giác gọi là đường tròn nội tiếp tam giác đó)

ĐỀ THAM KHẢO

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THAM KHẢO

1a A x 4 x3  2x 4 x2  2 x2  2x x 2  2

x2  2 x2  x 2

x2  2x 2 x 1

0,25 0,25

0,5

b Mẫu thức  x 12 3 x 1 , với x 1

 x 1 3  x 1

ĐKXĐ: 1 0 11, 10

1 3 0

x x x







Vậy B có nghĩa khi x 1,x 10

Tử thức  x 5 5 x 1 x 12  5 x 1 6

 x 1 2   x 1 3 

1 2 1 3

5 5 1

B

   

  

1 2 1 2

x

 

 

0.5

0.5 0,5

0,5

c Ta có x x2  2011y y2  2011  2011 (a)

2011 y y 2011 2011 x x 2011

2 2011 2 2011

(a)  y y2  2011 x x2  2011 y y2  2011 2011y y2  2011

2011 x x 2011 2011 y y 2011

2 2011 2 2011

Cộng từng vế (b), (c), ta được: x y  0

0.25

0.25 0,5

              

3 a b b c c a

       

Ta lại có: a b 2  0 a2b2  2ab

 

2 2

2, , 0

a b

a b ab



a b 2

b a

   , với a b , 0

Tương tự: b c 2; c a 2

c b  a c  , với a b c , , 0

Vậy: a b c 1 1 1 3 2 2 2 9

a b c

         

Hay: 9 a b c 1 1 1

a b c

      

1

1 0,5 0,5

3 Ta có P 5x2  2y2  4xy 2x 4y 2016

P4x2  4xy y 2  x2  2x 1  y2  4y 4 2011

P2x y 2x 12y 22 2011

Vì

2

2

2

x y x y











nên P 2011 Vậy P  nn 2011 khi x= 1; y= -2.

1 0,25

0,5 0,25

4 a/ Số đường chéo của thất giác lồi bằng 14

b/

Mỗi đỉnh n- giác lồi nối với (n- 1) đỉnh còn lại

Nên ta có, số đoạn thẳng nối hai đỉnh bất kì là: . 1

2

n n 

1

n n

1

1

+ Gọi M là trung điểm của BH, ta có: MB= MH và IA= IH,

nên IM là đường trung bình của tam giác ABH

Suy ra IM// AB, IM=AB: 2

Lại có JC// AB, JC= CD: 2 hay JC= AB: 2

Do đó, tứ giác IMCJ là hình bình hành

Suy ra JI// CM (1)

+ Ta có ABBC (gt), IM// AB (cmt)

Nên IMBC Do đó M là trực tâm của tam giác BIC và ta có:

CMIB

Từ (1) suy ra IJIB tại I hay góc BIJ bằng 900

1

1 0,5 0,5

AH BCAB AC 2

2

2 AB AC

    1 AB AC.

AH AB  AC

2

2

, 1 2

2 1

Do AC

AB

AB

 

 

 

 

1

0,5 0,5

1 1

Đặt BC= a, AC= b, AB= c Gọi (O) là đường tròn nội tiếp tam giác

ABC và (O) tiếp xúc với AC tại E, tiếp xúc với AB tại F Ta có:

BD= BE; CD= CF;

Khi đó, BD+ BF= (BC- CD)+ (AB- AF)

= (BC+ AB)- (CD+ AF)

= (BC+ AB)- (CE+ AE)=BC+ AB- AC

 2 BD= a+ c- b= a- (b- c)

Tương tự: 2 DC= a+ b- c= a+ (b- c)

Do đó: 4 BD DC= [a- (b- c)][ a+ (b- c)]= a 2 - (b- c) 2

= [a 2 - (b 2 + c 2 )]+ 2bc

= 2bc

Vậy BD DC= (b.c): 2= S ABC (Đpcm)

0,5

0,5 0,25

0,5 0,25 (HS sinh có cách trình bày khác, đúng đạt điểm tối đa)