Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng DC tại E... D1 = C1 chứng minh trên DC là cạnh chung.. Gọi BH là đường cao của hình thang.. Xét tam giác BDE vuông tại B.
Trang 1ĐỀØ THI HỌC SINH GIỎI THAM KHẢO
NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI : TOÁN 9 Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (2 đ)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
2
b x x
Câu 2: (3 đ)
Chứng tỏ rằng biểu thức 2 2
:
x Q
không phụ thuộc vào biến x (với mọi x3)
Câu 3: (3 đ)
Tìm ba số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết rằng tích của hai số sau lớn hơn tích của hai số đầu là 144
Câu 4: (4 đ)
Giải các phương trình sau:
2 )
b
Câu 5: (4 đ)
Cho hình thang ABCD (AB//CD) có AC = BD Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt đường thẳng DC tại E Chứng minh rằng:
a) Tam giác BDE là tam giác cân
b) ACDBDC
(BT 18, SGK Đại số 8, tập 1 trang 75)
Câu 6: (4 đ) Tính diện tích hình thang ABCD có đường cao bằng 12cm, hai đường chéo
AC và BD vuông góc với nhau, BD = 15cm (VD 1 Sách nâng cao trang 84)
HẾT
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM THI HỌC SINH GIỎI
MÔN TOÁN 9
1
2 2
3
x xy y z
x y z
x y z x y z
2
2
2
4 4
4 4
b x x
( 1) 4( 1)
( 1)( 4)
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25 0,25
0,25 0,25
2
Ta có:
2 2
2
:
5( 3) 30 ( 3)( 3)
:
:
x Q
5 6
không phụ thuộc vào biến x
1,0
1,0
1,0
3
Gọi k là số tự nhiên chẵn thì số tự nhiên chẵn liền trước k là k – 2
và số tự nhiên liền sau k là k + 2 Theo đề bài ta có:
k(k + 2) – k(k – 2) = 144
4 144 36
k k
Vậy ba số tự nhiên liên tiếp phải tìm là 34, 36, 38
1,0 1,0 0,5 0,5
Trang 32
2
2
( 2) 2( 2) 0
( 2)( 2) 0
2 0
2 0 2 2
x
x
x
x
Vậy pương trình có nghiệm là x=2, x 2,x 2
2
b
x x x x
ĐKXĐ: x1,x3
(1)
2( 1)( 3) 2( 1)( 3)
( 1) ( 3) 4
suy ra x x x x x
2
2 ( 3) 0
x x
ĐK) loại
Vậy phương trình có nghiệm là x = 0
0,5
0,5 0,5 0,5
0,25 0,5
0,5 0,5 0,25
5
a) Vì AB // DC (gt) AB // DE
và AC // BE (gt)
Do hai đường thẳng song song (AB // DE) chắn bởi hai đường thẳng
song song (AC // BE) AC = BE
Mà AC = BD (gt)
Suy ra BD = BE
Xét tam giác BDE có BD = BE
Vậy tam giác BDE cân tại B (đpcm)
b) Vì tam giác BDE cân tại B nên ta có : D1 = E (1)
Vì AC // BE (gt) và E và C1 là hai góc đồng vị
Nên C1 = E (2)
Từ (1) và (2) suy ra D1 = C1
Xét hai tam giác ACD và BDC có:
AC = BD (gt)
0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5
1 1
E
B A
Trang 4D1 = C1 (chứng minh trên)
DC là cạnh chung
Vậy ACDBDC c g c( )
0,5 0,5
6
E H
B A
Qua B kẻ đường thẳng song song với AC, cắt DC ở E Gọi BH là đường cao của hình thang Ta có BE // AC, AC BD nên BE
BD
Áp dụng định lí Py-ta-go cho tam giác BDH, ta có :
HD 15 12 225 144 81
HD 9 (cm)
Xét tam giác BDE vuông tại B.
2
2
BD DE.DH
15 DE.9
DE 225 : 9 25 (cm)
Ta có AB = CE nên AB + CD = CE + CD = DE = 25 (cm)
Do đó SABCD = 25.12 : 2 = 150 (cm2).
0,5 0,5
0,5 0,5
0,5 0,5 0,5 0,5
