SACH ON TAP TOAN 9

Lý Thuyết: 2 điểm Học sinh chọn một trong hai đề sau Đề 1: Chứng minh định lý: “Với mọi số thực a thì a2 = a ” Đề 2: Phát biểu định nghĩa góc nội tiếp của một đường tròn và chứng minh s

Trang 1

-HUYØNH QUANG LAÂU

O' O

B A

LỜI NÓI ĐẦU

Theo chủ trương mới của Bộ Giáo Dục và Đào tạo, từ năm học 2005 – 2006 sẽ không tổ chức kì thi tốt nghiệp THCS, nhưng để được xét tuyển vào lớp 10 và biên chế lớp chọn của các trường phổ thông trung học, thì việc ôn tập và tổ chức một kỳ kiểm tra sát hạch đầu năm học là điều không thể thiếu Do vậy các em học sinh lớp 9 vẫn rất cần có tài liệu ôn tập theo chương trình mới của Bộï Giáo Dục

Nhằm giúp các em ôn tập có hệ thống , thông qua các đề thi tốt nghiệp và tuyển vào 10 của một số tỉnh thành trong cả nước , qua đó có thể so sánh tự rút kinh nghiệm cho chính mình , đặc biệt với yêu cầu của chương trình mới, các em cần tham khảo các đề thi có cấu trúc hai

phần: Trắc nghiệm và Tự luận để củng cố kiến thức trước khi bước vào phổ thông trung học

Bằng một chút kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy Tôi sưu tầm và biên soạn tài liệu này góp phần giúp học sinh ôn tập tương đối dễ dàng hơn

Tài liệu gồm 4 phần nhỏ:

Phần 1: Tuyển chọn các đề thi tốt nghiệp THCS Phần 2: Tuyển chọn các đề thi vào lớp 10

Phần 3: Các đề tham khảoPhần 4: Các đề thi theo chương trình mới thay sách Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vẫn không thể hoàn thiện, Tôi mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp xây dựng của các bạn để tài liệu càng chất lượng hơn

Xin được chân thành cảm ơn sự động viên góp ý của: Thầy giáo Lê Đức Định; Cô giáo Đỗ Thị Thu Thuỷ; Cô giáo Nguyễn Thị Huê để tôi hoàn thành tài liệu này

Soạn giả

Huỳnh Quang Lâu

Trang 3

-PHẦN 1: CÁC ĐỀ THI TỐT NGHIỆP

Đề 1: Đề thi tốt nghiệp THCS Tỉnh Bình Định năm học 1994 – 1995

A.

Lý Thuyết: (2 điểm) Học sinh chọn một trong hai đề sau

Đề 1: Chứng minh định lý: “Với mọi số thực a thì a2 = a ”

Đề 2: Phát biểu định nghĩa góc nội tiếp của một đường tròn và chứng minh sự liên hệ giữa góc nội

tiếp và góc ở tâm cùng chắn một cung (chỉ xét một trường hợp)

B.

Các bài toán bắt buộc: (8 điểm)

Bài 1: (2 điểm) a) Giải phương trình: x2 + 2( 3 + 1)x + 2 3 = 0

b) Giải hệ phương trình

3y2x

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC Vẽ dây BA Gọi I là điểm chính giữa của cung

BA, K là giao điểm của OI với BA

a) Chứng minh: OI // CA

b) Từ A vẽ đường thẳng song song CI cắt đường thẳng BI tại H Chứng minh IHAK nội tiếpc) Gọi P là giao điểm của đường thẳng HK với BC Chứng minh ∆BKP ∆BCA

Bài giải:

A Lý thuyết: SGK toán 9

B Các bài toán bắt buộc:

Bài 1: a) Giải phương trình: x2 + 2( 3 + 1)x + 2 3 = 0

Ta có:∆’ = ( 3 + 1)2 - 2 3 = 4 > 0

'

∆ = 2Phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1 = − 3−1+2=− 3+1; x2 = − 3−1−2=− 3−3

Hàm số y = x2 có TXĐ là R; đồng biến trong R+ nghịch biến trong R

-Bảng các giá trị tương ứng của x và y

Hàm số y = - x + 2 có TXĐ là R, nghịch biến trong R

Điểm cắt trục tung A(0; 2); Điểm cắt trục hoành B(2; 0)

f(x)=x*x f(x)=-x+2 Series 1

-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6 7 8

Đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại hai điểm M(-2; 4) và N(1; 1)

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (T) là: x2 = -x + 2

x2 + x – 2 = 0

Giải phương trình trên ta được x1 = -2 ⇒y1 = 4

x2 = 1 ⇒y2 = 1Vậy (P) và (T) cắt nhau tại hai điểm M(-2; 4) và N(1; 1)

·HIA = ·BCA (cùng bù với

·BIA ) ⇒ ·BKP = ·BCA ⇒ ∆BKP ∆BCA

Đề 2: Đề thi tốt nghiệp THCS Tỉnh Bình Định năm học 1996 – 1997

A.

Lý Thuyết: (2 điểm) Học sinh chọn một trong hai đề sau

Đề 1: Phát biểu tính chất biến thiên của hàm số y = ax2 (a≠0) trên tập số thực R

Áp dụng: Cho hàm số y = f(x) =

4

3

x2 Sử dụng tính chất trên hãy so sánh các giá trị sau:f(1 + 3 ) và f( 2 + 3 )

Đề 2: Phát biểu định nghĩa tiếp tuyến của đường tròn

Áp dụng: Chứng minh rằng nếu một đường thẳng là một tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm

B.

Các bài toán bắt buộc: (8 điểm)

Bài 1: (4 điểm)

Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x2 – 2x – m2 – 4 = 0

a) Chứng tỏ phương trình đã cho luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của mb) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình đã cho Tìm m để x1 + x2 = 20

c) Giải phương trình khi m = -2

Bài 2: (3 điểm)

Cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng (B nằm giữa A và C) Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC;

AT là tiếp tuyến vẽ từ A Từ tiếp điểm T vẽ đường thẳng vuông góc với BC , đường thẳng này cắt

BC tại H và cắt đường tròn tại T’ Đặt OB = R

b) Chứng minh TB là phân giác của góc ATH

c) Từ B vẽ đường thẳng song song TC Gọi D, E lần lượt là giao điểm của đường thẳng vừa vẽ với TT’ và TA Chứng minh tam giác TED cân

0 < 1 + 3 < 2 + 3 ⇒ f(1 + 3 ) < f( 2 + 3 )

B Các bài toán :

Bài 1: Phương trình x2 – 2x – m2 – 4 = 0

a) Ta có: ∆’ = 1 + m2 + 4 = m2 + 5 > 0 ∀m Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Trang 7

-với mọi giá trị của m

b) Áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : S = x1 + x2 = 2; P = x1.x2 = – m2 – 4

a) Trong tam giác vuông ATO có: R2 = OT2 = OA OH (hệ thức lượng trong tam giác vuông) b) Ta có: ·ATB = ·BCT (cùng chắn cung TB)

·BCT = ·BTH (góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

⇒ ·ATB = ·BTH hay TB là tia phân giác của góc ATH

97

Trang 9

-Đề 3: -Đề thi tốt nghiệp THCS tỉnh Thái Bình năm học 2001 – 2002

A Lý thuyết: (2 điểm) Học sinh chọn một trong hai đề sau:

Đề 1: a) Nêu định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn? Cho ví dụ?

11

aa

a) Rút gọn K

b) Tính giá trị của K khi a = 3 + 2 2

c) Tìm các giá trị của a sao cho K < 0

1yx

ymx

a) Giải hệ phương trình khi m = 1

b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô nghiệm

Bài 3: (4 điểm)

Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB Vẽ hai tia tiếp tuyến Ax và By Qua 1 điểm M thuộc nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax và By tại E và F

a) Chứng minh tứ giác AEMO nội tiếp

b) AM cắt OE tại P; BM cắt OF tại Q Tứ giác MPOQ là hình gì?

c) Vẽ MH ⊥AB MH cắt EB tại K So sánh MK và KH

d) Cho AB = 2R Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF Chứng minh:

3

1 < Rr < 21

11

K =

12

1223+

1yx

ymx

a) Khi m = 1 ta có hệ phương trình:

3

1yx

yx

2002y

1yx

ymx

3

1yx

ymx

Hệ phương trình vô nghiệm khi m3 = 12 ≠

A

a) ·EMO = ·EAO = 1V

⇒AEMO nội tiếp trong đường tròn đường kính EO

Tương tự ·MQO = 1V

Và ·AMB = 1V (nội tiếp nửa đường tròn)

Tứ giác MPOQ có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật

c)

Trang 11

-Gọi I là giao điểm của BM và Ax ta có:

EA = EM suy ra ·EMA = ·EAM

⇒ ·EIM = ·EMI ⇒EI = EM = EA

MH // IA nên theo định lý Thales ta có:

EA

KHBE

d) Áp dụng công thức tính diện tích tam giác ta chứng minh được:

“Trong tam giác vuông cạnh huyền là a; cạnh góc vuông là b và c; đường cao là h, bán kính

đường tròn nội tiếp là r thì a.h = r.(a + b + c) = 2.S”

Trong tam giác vuông EOF có: EF OM = r.(OE + OF + EF)

EF R = r.(OE + OF + EF) ⇒ Rr = OE+OFEF +EF

mà OE + OF > EF ⇒

EFOFOE

EFR

r

++

mặt khác: OE + OF + EF < 3EF ⇒ Rr = OE+OFEF +EF >

3

13EF

Vậy 31 < Rr < 21

Đề 4: Đề thi tốt nghiệp THCS tỉnh Bắc Giang năm học 2002 – 2003

A Lý Thuyết: (2 điểm) Học sinh chọn một trong hai đề sau

Đề 1: Nêu quy tắc nhân các căn thức bậc hai

Áp dụng: Tính a) 6 50

3 b) 6. 10. 15

Đề 2: Chứng minh định lý: “Nếu hai tiếp tuyến của một đường tròn cắt nhau tại một điểm thì giao

điểm đó cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đường tròn là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.”

B Các bài toán bắt buộc: (8 điểm)

Bài 1: (2 điểm)

3

22

1 3y4x

Bài 3: (3 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB > AC), đường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa A vẽ nửa đường tròn đường kính BH cắt AB tại E và nửa đường tròn đường kính CH cắt AC tại F Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEHF là hình chữ nhật

b) EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn đường kính BH và CH

c) Tứ giác BCFE nội tiếp

Bài 4: (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: P =

1xx

x

2

2+

−+1

13y4x

=53y4x

66x

- y

1x

Bài 2: Gọi x(km/h) là vận tốc ô tô thứ nhất x > 10

x – 10 (km/h) là vận tốc ô tô thứ hai

Trang 13

-Thời gian ô tô thứ nhất đi đến B là: 120x giờ

Thời gian ô tô thứ hai đi đến B là: x120-10 giờ

Ta có phương trình: x120-10 – 120x =

52

Biến đổi phương trình ta được: x2 – 10x + 3000 = 0

Giải phương trình ta có hai nghiệm: x1 = 60; x2 = –55 (loại)

Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất là 60 (km/h)

Vận tốc của ô tô thứ hai là 50 (km/h)

Bài 3: a) Ta có:

·HEB = ·HFC = 1V (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ ·HEA = ·HFA = ·EAF = 1V

⇒Tứ giác AEHF là hình chữ nhật

b) Gọi O và O’lần lượt là trung điểm của HB và HC Ta có:

O là tâm đường tròn đường kính HB và O’ là tâm đường tròn đường kính HC ⇒ µˆ2 =µˆ2

2 1

I

H

E F

x

2

2+

−+1

c) Ta có: ·EBC = ·FAH

(góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc)

·FAH = ·AFE (∆AIF cân)

⇒ ·EBC = ·AFE mà

·AFE + ·EFC = 2V (kề bù)

Ta có: x2 – x + 1 = 0

4

32

1 -

2

2

2 2

+

−

++++

−

xx

xxx

x

2 2

x 12

3 3 x x 1

++

2

2

2 2

+

−

−

−+

−xx

xx

Giá trị lớn nhất của P là 2 khi x – 1 = 0 ⇒x = 1

Trang 15

-Đề 5: -Đề thi tốt nghiệp THCS TP Hồ Chí Minh năm học 2002 – 2003

A Lý Thuyết: (2 điểm) Học sinh chọn một trong hai đề sau

Đề 1: Phát biểu định nghĩa phương trình bậc nhất hai ẩn

Áp dụng: Viết công thức nghiệm tổng quát của các phương trình

a) 3x – y = 2 b) 2x + 0y = 6

Đề 2: Phát biểu và chứng minh định lí về sự liên hệ giữa số đo góc nội tiếp trong một đường tròn

với số đo của cung bị chắn (Chỉ chứng minh trường hợp tâm O nằm trên một cạnh của góc nội tiếp)

B Các bài toán bắt buộc: (8 điểm)

5− + − b) B = ( 10+ 2)(6−2 5) 3+ 5

Bài 4: (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O, R) và một điểm S ở ngoài đường tròn Vẽ hai tiếp tuyến SA, SB Vẽ đường thẳng a đi qua S và cắt đường tròn (O) tại M; N với M nằm giữa S và N (Đường thẳng a không đi qua tâm O)

Đề 1: Áp dụng: Công thức nghiệm tổng quát của các phương trình

a) (x ∈ R; y = 3x – 2) hoặc (x =

3

2+y

; y ∈ R)b) (x = 3; y ∈ R)

2169

yx

yx

15yx

f(x)=-1/4*x*x f(x)=2*x+3

-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

1 2 3 4 5 6

x y

32

0128

2

xy

xx

96

2 2

1 1

y

;x

y

;x

Vậy (P) và (D) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A(–2; –1) và B(–6; –9)

Bài 3:

Trang 17

523

a) ∆SAB cân tại S nên tia phân giác SO cũng là đường cao ⇒SO ⊥AB

b) ·SHE = ·SIE = 1V ⇒IHSE nội tiếp trong đường tròn đường kính SE

c) ∆SOI ∆EOH (gg) ⇒OI OE = OH OS = OB2 = R2 (hệ thức lượng trong tam giác vuông SOB)

d) Tính được OI = R2

O H

I M

2

15R

2

153

8

1533

Đề 6: Đề thi tốt nghiệp THCS TP Hà Nội năm học 2002 – 2003

A Lý Thuyết: (2 điểm) Học sinh chọn một trong hai đề sau

Đề 1: Phát biểu và viết dạng tổng quát của quy tắc khai phương một tích

Áp dụng: Tính

2

8

50−

Đề 2: Định nghĩa đường tròn Chứng minh rằng đường kính là dây cung lớn nhất của đường tròn

B Các bài toán bắt buộc: (8 điểm)

Bài 1: (2,5 điểm)

Cho biểu thức P =  + +  x-2−x − x

xx

4

-xx2

:84

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị của x để P = -1

c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có: m( x – 3)P > x + 1

Bài 2: (2 điểm)

Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản phẩm trong một thời gian nhất định Do áp dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18% và tổ II đã vượt mức 21% Vì vậy trong thời gian quy định họ đã hoàn thành vượt mức 120 sản phẩm Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế hoạch là bao nhiêu

Bài 3: (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O), một đường kính AB cố định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho AI =

32

AO Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B Nối AC cắt MN tại E

a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp

b) Chứng minh ∆AME ∆ACM và AM2 = AE AC

c) Chứng minh AE AC – AI IB = AI2

d) Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ nhất

4

-xx2

:84

ĐK: x > 0; x ≠ 4; x ≠ 1

−

2

22

12

2

82

4

xx

xx

:xx

xxx

42

12

2

48

+

xx

xx

:xx

xx

32

2

24

−

−

−+

+

xx

x:

xx

xx

32

xx

( x)( x)

xx

−

−

−32

24

4

−xx

4

−x

x = –1 ⇔4x = 3 – x

c) Tìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có: m( x –3)P > x + 1

4

−x

x > x + 1

⇔m.4x > x + 1

⇔x(4m – 1) > 1 Vì x > 9 > 0 nên ⇒4m – 1 > 0 ⇒m >

4

1 (1)

⇔x >

1-m4

1.Do đó

1-m4

1

≤9 ⇔m≥

18

5thoả mãn (1)Vậy với m≥185 thì với mọi giá trị x > 9 ta có: m( x –3)P > x + 1

Bài 2:

Gọi x là số sản phẩm tổ I hoàn thành theo kế hoạch (0 < x < 600)

Số sản phẩm tổ II hoàn thành theo kế hoạch là 600 - x

Số sản phẩm vượt mức của tổ I là 18x100

Số sản phẩm vượt mức của tổ II là ( )

100

21x

600−

Ta có phương trình: 10018x+ ( )

100

21x

600−

= 120Giải phương trình ta được x = 200

Vậy số sản phẩm theo kế hoạch của tổ I là 200 sản phẩm

số sản phẩm theo kế hoạch của tổ II là 400 sản phẩm

Bài 3:

a) ·ACB = ·EIB = 1V ⇒Tứ giác IECB nội tiếp trong đường tròn đường kính EB

b) Ta có: ·AEM = ·IEC (đối đỉnh)

·IEC = ·AMC (cùng bù với ·ABC) ⇒ ·AEM = ·AMC

⇒ ∆AME ∆ACM

⇒

AM

AEAC

d) Gọi O’ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME, ta có:

AM2 = AE AC ⇒ AM là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

Trang 21

-Đề 7: -Đề thi tốt nghiệp THCS Thừa Thiên - Huế năm học 2001 – 2002

A.

Lý Thuyết: (2 điểm) Học sinh chọn một trong hai đề sau

Đề 1: Nêu điều kiện để A có nghĩa

Áp dụng: Tìm mỗi giá trị của x để các căn bậc hai sau đây có nghĩa:

bab

aab

a

a) Chứng minh ABA’B’ là hình chữ nhật

b) Gọi H là trực tâm của tam giác ABC Chứng minh BH = CA’

c) Cho AO = R, tìm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC

bab

aab

a

ab

aa

2ba

Bài 2:

Gọi x; y (cm) là các kích thước của hình chữ nhật ta có:

Diện tích hình chữ nhật là xy = 40 (cm2) (1)

Tăng mỗi kích thước 3cm thì diện tích là (x + 3)(y + 3) (cm2)

Ta có : (x + 3)(y + 3) – xy = 48

3x + 3y + 9 = 48

Từ (1) và (2) suy ra x và y là hai nghiệm của phương trình X2 – 13X + 40 = 0

Giải phương trình trên ta được x = 8; y = 5

Vậy các kích thước của hình chữ nhật là 8(cm) và 5(cm)

Bài 3:

a) Ta có: ·BAB' = ·AB'A' = ·B'A'B = 1V (nội tiếp nửa đường tròn)

⇒ABA’B’ là hình chữ nhật

b) Ta có:

BH // CA’ (cùng vuông góc AC)

BA’ // CH (cùng vuông góc AB)

⇒BHCA’ là hình bình hành nên BH = CA’

c) ∆BHC = ∆BA’C nên đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC bằng đường tròn ngoại tiếp tam giác BA’C

O H

B'

A'

C B

A

Mà đường tròn ngoại tiếp tam giác BA’C chính là đường tròn (O)Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC bằng R

Trang 23

-A Lý thuyết: (2 điểm) Chọn một trong hai câu sau:

1 Phát biểu và chứng minh định lý Viét phần thuận

Áp dụng: Cho phương trình 7x2 + 31x – 24 = 0

a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt

b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình, không giải phương trình hãy tính

x1 + x2 + x1x2

2 Viết công thức tính độ dài của một đường tròn, một cung tròn (có ghi chú các kí hiệu trong các công thức)

Áp dụng: Tính độ dài một cung 900 của một đường tròn đường kính bằng 6dm

B Bài tập bắt buộc: (8 điểm)

Bài 1: (1 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình

=+

825

734

yx

yx

Bài 2: (1,5 điểm) Vẽ parabol (P): y =

22

23223

228

−+

+

−

−+

Bài 5: (3,5 điểm) Trên đường tròn (O, R) đường kính AB lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B

(hai điểm M, E khác hai điểm A, B) AM cắt BE tại C; AE cắt MB tại D

a) Chứng minh MCED là một tứ giác nội tiếp và CD vuông góc với AB

b) Gọi H là giao điểm của CD và AB Chứng minh BE BC = BH BA

c) Chứng minh các tiếp tuyến tại M và E của đường tròn (O) cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng CD

d) Cho biết ·BAM = 450 và ·BAE = 300 Tính diện tích tam giác ABC theo R

Bài giải:

A Lý thuyết: SGK

B Các bài toán:

Bài 1:

a) 9x4 + 2x2 – 32 = 0 Đặt y = x2 ≥0 ta có phương trình: 9y2 + 2y – 32 = 0

Giải phương trình ta được y1 = 2; y2 = -8 (loại)

=+

825

734

yx

yx

=+

32820

351520

yx

yx

Bài 2:

f(x)=-1/2*x*x f(x)=3x f(x)=-18 Series 1 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-18 -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

x y

00

3

06

2 2

1 1

2

y

;x

y

;xx

y

xxVậy (D) và (P) cắt nhau tại hai điểm O(0; 0) và M(-6; -18)

Bài 3: Gọi x(m ) là chiều rộng khu vườn (x > 0)

Chiều dài khu vườn là 47x(m)

Ta có phương trình: x 47x = 1792 ⇒x = 32

Chiều rộng khu vườn là 32(m); chiều dài khu vườn là 56(m)

Chu vi khu vườn là 176(m)

Bài 4:

23223

228

−+

3222

323

23228

−

−

+

−+

−

++

( 2 1)( 2 1)

1223

27

4262824

A

Vậy tiếp tuyến tại M và E của (O) cắt nhau tại trung điểm I của CD

D E M

RBE

Vậy diện tích tam giác ABC là S = 21AE BC = 21 R 3 2R( 3 – 1) = R2 3 ( 3 – 1) (đvdt)

a) ·AMB = ·AEB = 1V (chắn nửa đường tròn)

d) Khi ·BAE = 300 ⇒BE = R và AE = R 3

·BAM = 450 thì ·BDH = 450 và ·BEH = 450

⇒EH là phân giác của ·BEA ⇒ HAHB = EAEB

⇒

2

1

32R

R3

RHBHA

EB

EAHB

EBHA

R213

+

=+

Đề 9: Đề thi tốt nghiệp THCS TP Hà Nội năm học 2003 – 2004

A Lý thuyết: (2 điểm) Thí sinh chọn một trong hai đề sau

Đề 1: Định nghĩa phương trình bậc nhất hai ẩn số và nghiệm của nó.

Hãy tìm nghiệm chung của hai phương trình: x + 4y = 3 và x – 3y = -4

Đề 2: Phát biểu định lý góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn.

Chứng minh định lý trong trường hợp hai cạnh của góc cắt đường tròn

B Bài tập bắt buộc: (8 điểm)

Bài 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức:

P =  + 

−+

xx

x:x

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị của P biết x = 2 2 3

+

c) Tìm giá trị của x thoả mãn: P x = 6 x – 3 – x 4−

Bài 2: (2 điểm) Để hoàn thành một công việc, hai tổ phải làm chung trong 6 giờ Sau 2 giờ làm

chung thì tổ hai được điều đi làm việc khác, tổ một đã hoàn thành công việc còn lại trong 10 giờ Hỏi nếu mỗi tổ làm riêng thì sau bao lâu sẽ làm xong công việc đó?

Bài 3: (3,5 điểm)

Cho đường tròn (O; R) đường thẳng d không đi qua O và cắt đường tròn tại hai điểm A và

B từ một điểm C trên d (C nằm ngoài đường tròn) kẻ hai tiếp tuyến CM; CN với đường tròn (M; N thuộc (O)) Gọi H là trung điểm của AB, đường thẳng OH cắt tia CN tại K

a) Chứng minh bốn điểm C, O, H, N cùng nằm trên một đường tròn

b) Chứng minh KN KC = KH KO

c) Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) tại I Chứng minh I cách đều CM; CN; MN

d) Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lượt tại E và F

Xác định vị trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF là nhỏ nhất

xx

x:x

xx

xx

x:x

x

111

+

−+

xx

:x

x

( 1)

11

xxxx

= ( x +1)2

Trang 27

(2 3)(2 3)

3223

2

2

−+

02x

Bài 2:

Gọi x(h) là thời gian tổ một hoàn thành công việc (x > 6)

Trong 1 giờ tổ một làm được

x

1công việcTrong 1 giờ cả hai tổ làm được: 61 công việc

Trong 1 giờ tổ hai làm được: 61 –

x

1 = x 66x− công việcThời gian tổ hai hoàn thành công việc là x 66x− giờ

Trong 2 giờ cả hai tổ làm được: 31công việc

Phần việc còn lại tổ một làm là: 1 – 31 = 32 công việc

Ta có phương trình: 10

x

1 = 32Giải phương trình ta được x = 15

Vậy tổ một hoàn thành công việc trong 15 giờ

Tổ hai hoàn thành công việc trong 156.15−6= 10 giờ

Bài 3:

a) Ta có: OH ⊥AB (đường kính đi qua trung điểm dây cung)

ON ⊥CN (bán kính vuông góc tiếp tuyến)

⇒ ·OHC = ·ONC = 1V

⇒Bốn điểm C,O, H, N cùng nằm trên một đường tròn đường kính OC

M

B

C A

b) Ta có: ·KON = ·KCH (cùng bù với ·HON )

KH

KNKC

KO KH = KN KCc) CI là phân giác của ·MCN và CI ⊥MN nên »MI = ºNI

⇒ MI và NI lần lượt là các phân giác của CMN; CNM

Vậy I là giao điểm các đường phân giác của tam giác CMN nên I cách đều các cạnh CM; CN; MN

d) Ta có: SCEF = 2.SCOE = CE OM = (CM + ME).R

Diện tích tam giác CEF nhỏ nhất khi CM + ME nhỏ nhất

Mà CM ME = OM2 = R2 không đổi nên CM + ME nhỏ nhất khi và chỉ khi

CM = ME = R

⇒ ∆COE vuông cân tại O và ∆COM vuông cân tại M ⇒MO = MC = R

⇒OC = R 2 Vậy C là giao điểm của đường tròn (O; R 2 ) với đường thẳng d

Trang 29

-Đề 10: -Đề thi tốt nghiệp THCS Tỉnh Bình Định năm học 2004 – 2005

A Lý thuyết: (2 điểm) Học sinh chọn một trong hai đề sau:

Đề 1: Chứng minh rằng: Nếu A ≥0, B ≥0 thì AB = A⋅ B

Áp dụng: Tính 9.25

Đề 2: Chứng minh định lý: “Nếu một đường thẳng là một tiếp tuyến của một đường tròn thì nó

vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.”

B Các bài toán bắt buộc: (8 điểm)

Bài 3: (3 điểm)

Cho đường tròn tâm O bán kính R có AB là đường kính cố định còn CD là đường kính di động Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn kẻ từ B; d cắt các đường thẳng AC; AD lần lượt tại P và Q

a) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp

b) Xác định vị trí của CD để diện tích tứ giác CPQD bằng ba lần diện tích tam giác ACD

Bài 4: (1 điểm)

Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn:

12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y)

Bài giải:

A Lý thuyết: SGK Toán 9

B Các bài toán bắt buộc:

Bài 1: Giải phương trình x2 + 5x – 14 = 0 ta được x1 = 2; x2 = - 7

Bài 2: Gọi x là số dãy ghế trong phòng họp (x nguyên ; x > 2)

Số người ngồi trên một dãy là

x

80Nếu bớt đi 2 dãy thì số dãy ghế còn lại là x – 2

Số người ngồi trên mỗi dãy sẽ là 802

−x

Ta có phương trình: x-280 –

x

80 = 2 ⇔

Vậy số dãy ghế lúc đầu là 10 dãy và mỗi dãy xếp 8 người ngồi

Bài 4: 12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y)

3y2 + 2(3x – 14)y + 12x2 – 28x = 0 (1)Xem (1) là phương trình bậc hai ẩn y thì (1) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi ∆’ là số chính phương

Trang 31

-PHẦN 2: CÁC ĐỀ THI TUYỂN VÀO 10

Đề 1: Đề thi tuyển sinh lớp 10 TP Hải Dương năm học 2003 – 2004

+4x

14-x

a) Chứng minh IA vuông góc CD

b) Chứng minh tứ giác IEBF nội tiếp

c) Chứng minh đường thẳng AB đi qua trung điểm của EF

2 = 13b) Với x = 1 thì f(1) = 23 ⇒ Điểm A(1;

2

3) thuộc đồ thị của hàm số y = f(x) =

a)

3

1

=+

+4x

14-x

⇔2x2 + 8x – x – 4 = x2 – 4x + x – 4

⇔x2 + 10x = 0

⇔x(x + 10) = 0 ⇔x1 = 0: x2 = –10

Bài 3: Xét phương trình 2x2 – 5x + 1 = 0 (1)

Ta có: ∆ = 25 – 8 = 17 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

Áp dụng định lý Viét : S = x1 + x2 = 25 > 0; P = x1 x2 = 21> 0 ⇒hai nghiệm của phương trình đều là nghiệm dương

2

122

5

1

2 2

5

2

xx

A =x x1 2 +x x2 1 = x1x2( x1 + x2)

=

2

22

52

Tứ giác EFNM là hình chữ nhật nên EF = MN = MA + NA = CA+2AD=CD2

⇒ EF là đường trung bình của tam giác ICD ⇒IE = EC và IF = FD

⇒ EM là đường trung bình của tam giác IAC nên EM // IA

⇒ IA ⊥CD

b) Ta có:

·IEB + ·BEC = 2V (kề bù)

·BAC + ·BEC = 2V (tứ giác ABEC nội tiếp)

⇒ ·IEB = ·BAC Chứng minh tương tự ·ØIFB = ·BAD

⇒ ·IEB + ·ØIFB = ·BAC + ·BAD = 2V ⇒ Tứ giác IEBF nội tiếp

c) Gọi K là giao điểm của AB và EF

Trong đường tròn (O1) ta có: KE2 = KA KB

Trong đường tròn (O2) ta có: KF2 = KA KB

2 1

I

D

C

O O

1122

9112

2

mk

mk

23

m k

1122

91122mk

mk

23k

9112

2

1122

mk

mk

23k

91122

1122mk

mk

22k

7122

1312

2

mk

mk

1k

m Hoặc

7122

13122mk

mk

2k

1312

2

712

2

mk

mk

2k

13122

7122mk

mk

1m

Vậy để m2 +m+23là số hữu tỉ thì m ∈{−23;−2; 1; 22;}

Đề 2: Đề thi tuyển sinh lớp 10 Tỉnh Bắc Ninh năm học 2002 – 2003

1

2

x

xx

xx

2x

b) Tìm các giá trị của x để B > 0

c) Tìm các giá trị của x để B = –2

Bài 2: (2,5 điểm)

Cho phương trình x2 – (m + 5)x – m + 6 = 0

a) Giải phương trình với m = 1

b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = –2

c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có nghiệm x1; x2 thoả mãn A = x12 + x22 = 13

Bài 3: (2 điểm)

Một phòng họp có 360 chỗ ngồi và được chia thành các dãy có số chỗ ngồi bằng nhau Nếu thêm cho mỗi dãy 4 chỗ ngồi và bớt đi 3 dãy thì số chỗ ngồi trong phòng họp không thay đổi Hỏi ban đầu số chỗ ngồi trong phòng họp được chia thành bao nhiêu dãy

Bài 4: (3 điểm)

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Đường kính AC của đường tròn (O) cắt đường tròn (O’) tại điểm thứ hai E Đường kính AD của đường tròn (O’) cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai F

a) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp

b) Chứng minh C, B, D thẳng hàng và tứ giác OO’EF nội tiếp

c) Với điều kiện và vị trí nào của hai đường tròn (O) và (O’) thì EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (O) và (O’)

1

2

x

xx

xx

2

x

xx

xx

1 2

x

xx

x

= x

x

−1

b) B =

x

x

−1 > 0 ⇔1 – x > 0 (vì x > 0) ⇔ x < 1 Vậy B > 0 khi 0 < x < 1

a) Khi m = 1 ta có phương trình: x2 – 6x + 5 = 0

Giải phương trình ta được x1 = 1; x2 = 5

b) Phương trình (1) có một nghiệm x = –2 nên: (–2)2 – (m + 5)( –2) – m + 6 = 0

⇔m ≤ –7 – 48 hoặc m ≥ –7 + 48Với điều kiện trên, áp dụng định lý Viet ta có:

S = x1 + x2 = m + 5; P = x1.x2 = –m + 6

A = x12 + x22 = 13

= (x1 + x2)2 – 2x1x2 = (m + 5)2 – 2(-m + 6) = 13

m2 + 10m + 25 + 2m – 12 = 13m(m + 12) = 0

m = 0 ; m = –12 Giá trị m= –12 không thoả mãn điều kiện

Vậy với m = 0 thì x12 + x22 = 13

Bài 3:

Gọi x là số dãy ghế trong phòng lúc đầu (x nguyên , dương)

x – 3 là số dãy ghế lúc sau

Số chỗ ngồi trên mỗi dãy lúc đầu:

x360Số chỗ ngồi trên mỗi dãy lúc sau: 3603

−x

Ta có phương trình: 360−3

x

360 = 4Giải phương trình ta được x1 = 18; x2 = –15 (loại)

Vậy trong phòng có 18 dãy ghế

Bài 4:

a) Ta có: ·CFA = ·DEA = 1V (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Hai điểm E và F cùng nhìn CD dưới một góc vuông nên tứ giác CDEF nội tiếp trong đường tròn đường kính CD

b) Trong đường tròn (O) ta có: ·CBA = 1V

Trong đường tròn (O’) ta có: ·DBA = 1V

⇒ ·CBA + ·DBA = 2V ⇒C, B, D thẳng hàng

E

D C

B

A

O' O

* Trong đường tròn đường kính CD ta có:

·EFD = ·ECD (cùng chắn cung ED)

mà ·ECD = ·EOO' (đồng vị)

⇒ ·EFD = ·EOO'

Hai điểm F và O cùng nhìn EO’ dưới một góc không đổi nên OO’EF nội tiếpc) Khi EF là tiếp tiếp chung của hai đường tròn (O) và (O’) thì:

OF⊥EF; O’E ⊥EF ⇒ ·OFE = ·O'EF = 1V

Mà tứ giác OO’EF nội tiếp nên ·FOO' = ·EO'O = 1V

⇒ Tứ giác OO’EF là hình chữ nhật

⇒OF = O’E = R (1)

Từ (1) và (2) suy ra hai đường tròn (O) và (O’) bằng nhau và có đoạn nối tâm OO’ = R 3

Bài 4: (3 điểm)

Cho đường tròn (O; R) hai điểm C và D thuộc đường tròn, B là trung điểm của cung nhỏ CD Kẻ đường kính BA Trên tia đối của tia AB lấy điểm S Nối SC cắt (O) tại M; MD cắt AB tại K;

MB cắt AC tại H Chứng minh:

a) ·BMD = ·BAC Từ đó suy ra tứ giác AMHK nội tiếp

1a

3yx

Bài 2: a)

:x-1

1

11

−

−

++

−

xx

x:

xx

xxxx

x

xxx

A = 2 2( 1)

1

−

+x

x =

1

21

−

+

−x

x

−xVới x là số nguyên dương thì A là số nguyên khi x - 1 là ước của 2

x – 1 = 1 ⇒x = 4

x – 1 = –1 ⇒x = 0 không thoả mãn điều kiện

x – 1 = 2 ⇒x = 9

x –1 = –2 ⇒không có giá trị của x

Vậy với x = 4; x= 9 thì A có giá trị nguyên

Bài 3:

Gọi x(km/h) là vận tốc thực của ca nô (x > 4)

Vận tốc xuôi dòng của ca nô là x + 4(km/h)

Vận tốc ngược dòng của ca nô là x – 4 (km/h)

Thời gian ca nô đi đến lúc gặp bè nứa: 8 : 4 = 2 giờ

Thời gian xuôi dòng của ca nô là 24+4

Giải phương trình ta được x1 = 20; x2 = 0 (loại)

Vậy vận tốc thực của ca nô là 20km/h

Bài 4:

O K H

S

D

B C

Từ (1) và (2) suy ra HK // CDc) ·DOB = ·COB ⇒ ·DOK = ·COS (3)

·DKO = ·KMB + ·MBK (góc ngoài ∆BMK)

·SCO = ·SCA + ·ACO mà ·MBK = ·SCA (cùng chắn cung MA)

·KMB = ·KAH = ·ACO

⇒ ·DKO = ·SCO (4)Từ (3) và (4) ⇒ ∆SCO ∆DKO

Trang 39

-Bài 5:

Xét phương trình (x2 + ax + b) = 0 (1) có ∆1 = a2 – 4b

Xét phương trình (x2 + bx + a) = 0 (2) có ∆2 = b2 – 4a

b

1a

2(a + b) = ab

⇒ ∆1+ ∆2 = a2 + b2 – 4(a + b) = a2 + b2 – 2ab = (a – b)2 ≥0

⇒Có ít nhất một trong hai phương trình có nghiệm.

Do đó phương trình (x2 + ax + b)(x2 + bx + a) = 0 luôn luôn có nghiệm

Đề 4: Trích Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trường năng khiếu Hàn Thuyên tỉnh Bắc Ninh năm học 2002 – 2003

Bài 1: (2 điểm)

Xét biểu thức y =

x

xxx

a) Rút gọn y Tìm x để y = 2

b) Giả sử x > 1 Chứng minh rằng: y – y = 0

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của y

=+

28

12yyxx

xyyx

Bài 3: (2 điểm)

Cho hai đường tròn đồng tâm và 1 điểm M cố định trên đường tròn nhỏ Qua M kẻ hai đường thẳng vuông góc với nhau, một đường cắt đường tròn nhỏ ở A khác M, đường kia cắt đường tròn lớn ở B và C Khi cho hai đường thẳng này quay quanh M và vẫn vuông góc với nhau, chứng minh rằng:

a) Tổng MA2 + MB2 + MC2 không đổi

b) Trọng tâm tam giác ABC là điểm cố định

Bài 4: (2 điểm)

a) Chứng minh rằng tích của 4 số nguyên dương liên tiếp không thể là số chính phươngb) Cho tam giác ABC và một điểm E nằm trên cạnh AC Hãy dựng một đường thẳng qua E và chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích bằng nhau

Bài giải:

Bài 1: y =

x

xxx

x

xxx

=+

(2) 28

(1) 12yyx

x

xyy

=+

(4) 28x

x

(3) 363

3

yy

xyyx