Đề thi HSG Casio Hong Linh

Tính tổng các hệ số của đa thức chính xác đến đơn vị... Chú ý trong khi chấm HS có thể có nhiều quy trình nên nếu quy trình khác đáp án thì giám khảo phải lập quy trình và thử lại mới ch

UBND THỊ XÃ HỒNG LĨNH

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

-ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI GIẢI TOÁN TRÊN MÁY TÍNH CASIO

NĂM HỌC 2011– 2012

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể giao đề)

Mã đề 01

ĐÁP ÁN MÃ ĐỀ 01

II TỜ ĐỀ THI

Câu 1 a) Tính giá trị của biểu thức lấy kết quả với 2 chữ số ở phần thập phân sau dấu phẩy:

A= 321930+ 291945+ 2171976+ 3042011

b) Tính kết quả đúng (không sai số) của tích sau: B = 3333355555 x 3333377777

c) Tính giá trị của biểu thức M với α = 25030', β = 57o30’

C= 1+tgα 1+cotg β + 1-sin α 1-cos β 1-sin( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2α) (1-cos β2 )

a) Tính trực tiếp trên máy ta được: A ≈ 567,8659014 ≈567,87 1,0 b) Đặt 33333 = a; 55555 = b ; 77777 = c 0,25

Ta có B = (a.105 + b) (a.105 + c) = a2.1010 +a.105(b+c) + bc 0,25 Dùng máy tính và kết hợp trên giấy ta được: B =11 111 333 329 876 501 235 0,50

C= 1+tgα 1+cotg β +cos α.sin β cosα.sin β 

c) Có thể lưu biến rồi tính hoặc rút gọn ( Sin 25 300 ' ) x2 SHIFT STO A

Lưu biến:

( Cos 25 300 ' ) x2 SHIFT STO B

( Sin 57 300 ' ) x2 SHIFT STO C

( Cos 57 300 ' ) x2 SHIFT STO D

1+A 1+D + 1-A 1-D 1-A 1-D

  Viết vào màn hình biểu thức: =

Kết quả: 1,754774243

0,5

Kết quả: a) A ≈ 567,87 b) B = 11 111 333 329 876 501 235

c) C ≈ 1,754774243

Câu 2 a) Tính giá trị biểu thức

1 1

A

=

L

L với x = 2,3456

b) Tính giá trị biểu thức B =

L L

32

32

2

1

1

1

x

A

x

x

−

−

−

L L

a) Rút gọn

0,5

Thay x = 2,3456 ta được: A ≈ 0,153802631 0,5

4.1 1 4.3 1 4.5 1 4.2011 1

20122012 4.2 1 4.4 1 4.6 1 4.2012 1

×

L L

b) B = [2(a−1)a+1 2 (][ a a+ +1) 1] Ta có 4a4 +1 = 0,25

2.0.1 1 2.1.2 1 2.2.3 1 2.3.4 1 2.2010.2011 1 2.2011.2012 1

20122012 2.1.2 1 2.2.3 1 2.3.4 1 2.4.5 1 2.2011.2012 1 2.2012.2013 1

L L Nên B =

0,5

20122012 2, 484103328 2.2012.2013 1 × = 810032 ≈

20122012

2, 484103328

810032 ≈

Kết quả: a) A ≈

0,153802631

b)B=

Câu 3 a) Cho đa thức Q(x) = ( 3x2 + 2x – 7 )38 Tính tổng các hệ số của đa thức chính xác đến đơn vị b) Cho x2011 + y2011 = 6,916; x4022 + y4022 = 33,76244 Tính D = x6033 + y6033

a) Ta có tổng các hệ số của đa thức Q(x) bằng giá trị của đa thức tại x =1 0,5 Vậy tổng các hệ số của Q(x) bằng Q(1) =(-2)38 = 238 =274 877 906 944 0,5

a b m

+ =



 b) Đặt a = x2011 ; b = y2011, khi đó ta có

Với m =6,916; n = 33,76244

0,25

2

2

2

 =, Thay số ta được D= 184,8517609 0,5

Kết quả: a) 274 877 906 944 b) D ≈ 184,8517609

Câu 4 a) Cho số E = 1.2.3.4.5.6.7…29.30 (F là tích của 30 số tự nhiên liên tiếp từ đến 30)

Phân tích E ra thừa số nguyên tố rồi tìm ước số lớn nhất của E là lập phương của một số tự nhiên

b) Cho số G = 8 709 120 Phân tích G ra thừa số nguyên tố rồi tính

Tổng các ước dương của G, tổng các ước dương lẻ của G

2 3 5 7 11 13 17.19.23.29 a) Ta có E = 0,5

Do đó ta có ước số lớn nhất của E là lập phương của một số tự nhiên là:

2 3 5 7 = 2 3 5 7

= 47 784 725 839 872 000 000 ( Nếu học sinh không tính không

0,5

tính đúng kết quả mà chỉ viết dưới dạng lũy thừa cũng cho điểm tối đa theo thang điểm)

10 5

- Tổng các dương của G bằng:

2

= 35 765 184

- Tổng các dương lẻ của G bằng:

3 3 3 3 5 5 7 7 6.8 17 472

2

2 3 5 7 11 13 17.19.23.29 Đáp số: a) E = ;

2 3 5 7 = 2 3 5 7

hoặc 47 784 725 839 872 000 000

b) Tổng các ước dương của G: = 35 765 184

Tính tổng các ước dương lẻ của G: = 17 472

Câu 5: a Lập quy tính giá trị biểu thức sau: I =2020 19 18 17 16 15 3 219 18 17 16 15 3

b Lập quy tính giá trị biểu thức sau:

= + ÷ + + ÷ + + + ÷  + + + + ÷

K

1 SHIFT STO A 1 SHIFT STO B Trên máy 570 MS:

x

ALPHA A ALPHA B

= Ấn liên tiếp khi màn hình xuất hiện A = 20 sau đó ấn dấu ta được kết quả:1,171147065

≈ 1,1711 Chú ý trong khi chấm HS có thể có nhiều quy trình nên nếu quy trình khác đáp án

thì giám khảo phải lập quy trình và thử lại mới cho điểm

Đáp

Ghi chú: Quy trình trên thực chất là: Lưu 1 vào biến A, Lưu 1 vào biến B số

Và dùng máy tính có chức năng viết ra màn hình máy tính biếu thức: đúng

dấu = ta được kết quả:1,171147065( Tất cả 40 dấu ) 0,5 b) Xóa bộ nhớ máy tính: Tương tự như câu a, ta viết tóm tắt quy trình như sau:

Lưu 1 vào biến C

= = = Và viết ra màn: Biểu thức: A =A + 1:B = B+ 1/A : C=CB 0,5

= ( Tất cả 3 x 12 = 36 dấu kết quả: C = 17 537, 81061) 0,5

Kết quả: I ≈ 1,171147065 K≈17 537, 81061

Câu 6 Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho khi lập phương số đó ta được số tự nhiên có 3 chữ số cuối

là chữ số 7: n3 = 777 Nêu sơ lược cách giải.

+ Vì n3 có tận cùng là chữ số 7 nên n có chữ số tận cùng bằng 3 0,25 Thử trên máy tính các số: 133, 233, 333, 433, 533, 633, 733, 833, 933 ta được số 533 có 2 chữ số

+Thử trên máy tính các số: 133, 233, 333, 433, 533, 633, 733, 833, 933 ta được số 533 có 2 chữ

+ Thử trên máy tính các số: 1533, 2533, 3533, 4533, 5533, 6533, 7533, 8533, 9533 ta được số

7533 =426 957 777 có 4 chữ số tận cùng là chữ số 7 thỏa mãn điều kiện của bài toán Vậy số

Đáp số n = 753

Ghi chú: Nếu học sinh không giải mà tìm ra đúng kết quả cho 1,25 điểm

Câu 7 Tính giá trị biểu thức:

2

Ta có

0,5

k k k

k k

+ −

2011− 2 43,422996108≈ Cho k = 2, 3, 4, …,2010 rồi thu gọn ta được: Q = 0,5

2011− 2Đáp số: Q =

k k

k k

+ + + k+ −1 k Ghi chú: Nếu học sinh Tìm ra được công thức: = vẫn cho điểm tối đa)

Câu 8 a) Cho đa thức f(n) với n là số nguyên dương thỏa mãn:f(1) = 1 và f(m+n) =f(m) + f(n) + mn với

mọi số nguyên dương m, n Tính f(2); f(10); f(2011)

b) Phân tích số 2011 thành tổng của k số nguyên dương liên tiếp

a) Theo bài ra ta có: f(1) = 1

f(2) = f( 1+ 1) = f(1) + f(1) +1.1 = f(1) + 2 Tính f(3) = f( 2+ 1) = f(2) + f(1) +1.2 = f(2) + 3 đúng

L f(2) f(n) = f( n-1+ 1) = f(n-1) + f(1) +1.(n-1) = f(n-1) + n 0,25đ L

( 1)

2

n n+

Cộng n đẳng thức trên rồi thu gọn ta được: f(n) = 1+2+3+4+5++n = f(10) Đáp sô: f(2) = 2; f(10) = 55; f(2011) = 2 023 066 0,25đ Lưu ý: Nếu học sinh không phát hiện ra công thức tổng quát mà vẫn tính đúng f(2); f(10) f(2011) thì giám khảo cũng cho điểm tối đa theo thang điểm 0,5 đ

L b) Giả sử 2011 = (m+1) +(m+2) +(m+3) ++(m+k) với m, k là các số nguyên dương

2

k m k

+ + +

.Do đó k thuộc ước của tích 2.2011 0,5

Vì 2011 là số nguyên tố nên k = 1, 2, 2011, 2.2011= 4022 0,5

Đáp số: a) f(2) = 2; f(10) = 55; f(2011) = 2 023 066; b) k =1; k = 2

Câu 9.

a) Cho tam giác ABC có AB = 13,2cm, AC = 583,0884 cm,

trung tuyến AM = 10,11cm Tính diện tích tam giác ABC

b) Cho tam giác ABC (Hình vẽ) Tính diện tích tam giác ABC

theo S1 , S2 và S3 Biết diện tích các tam giác KPI = S1,

diện tích tam giác MIE = S2 ; diện tích tam giác NHI = S3;

MN//AB; PE//BC; KH//AC (Hình 2)

Khi S1 = 6, 78cm S2; 2 = 6,32cm S2; 3 = 13,34cm2

Tính diện tích tam giác ABC

(Kết quả làm tròn 2 chữ số thập phân sau dấu phẩy)

a) Trêm tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA suy ra AN = 2AM =20,22

( )

∆ = ∆ 583,0884Dể có nên BN = AC = cm và diện tích tam giác ABC

Trong tam giác BAN có:AB2 +AN2 =13,22 + 20,222 =583,0884=AC2

2

1 13,2 20,22

Do đó tam giác BAN vuông tại A 1,0 b) Áp dụng: Tính chất nếu hai tam giác đồng dạng thì tỷ số đồng dạng bằng căn bậc hai của

Từ bài ra dễ các các tam giác ABC, KPI, INH, MIE đồng dạng với nhau và các tứ giác

AKIM, PBNI ta suy ra:

3

1

S

1 6,78 ; 2 6,32 ; 3 13,34

2

6,78 6,32 13,34 76,91642216 76,92

Thay vào công thức trên ta được:

0,5

2

1 13,2 20,22

Đáp số: a)

2

6,78 6,32 13,34 76,92

b) ;

Chú ý +Mọi cách giải khác đúng đều cho điểm tối đa theo thang điểm

+Các câu lập quy trình không đúng, nhưng đáp số đúng thì không cho điểm câu đó

+ Quy trình đúng mà đáp số sai thì cho ¾ số điểm của bài đó.

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HỒNG LĨNH./.