Gọi M là trung điểm của AB và N là điểm trên cạnh AC sao cho NC = 2NA.. Gọi K là trung điểm của MN... Bài 8/ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm tam giác, D là điể
Trang 1Hỗ trợ học Toán Hình học 10
(học kỳ 1)
Vectơn Các công thức cơ bản cần nhớ 1/ Qui tắc 3 điểm
a/ Qui tắc cộng: AB+BC = AC (A, B, C bất kỳ) b/ Qui tắc trừ: OB−OA= AB (O, A, B bất kỳ)
2/ Qui tắc hình bình hành:ABCD là hình bình hành thì: AB+BD= AC
3/ Nếu a = k b thì a và b cùng phương Cụ thể:
k > 0 thì a và b cùng hướng ; k < 0 thì a và b ngược hướng và ka = k a ,
=
=
⇔
=
0 a
0 k 0 a k
4/ Công thức liên quan trung điểm: O là trung điểm đoạn AB thì:
a/ OA + OB=0; b/ MO= (MA+MB)
2
1
( M bất kỳ)
5/ Công thức liên quan trọng tâm tam giác G là trọng tâm tam giác ABC thì:
a/ GA+GB+GC =0 b/ MG= (MA+MB+MC)
3
1
( M bất kỳ)
Bài tập Bài 1/ Cho bốn điểm A , B , C , D Tính :
a/ u= AB+DC+BD+CA ; b/ v= AB+CD+BC+DA
Giải
a/ u= AB+DC+BD+CA = (AB+BD) (+ DC+CA)=AD+DA= AA=0
b/ v= AB+CD+BC+DA = (AB+BC) (+ CD+DA)= AC+CA=AA=0
Bài 2/ Cho 6 điểm A , B , C , D , E , F Chứng minh: AD+BE+CF= AE+BF+CD
Giải “ Để chứng minh T = P ta có thể chứng minh T – P = 0”
(AD+BE+CF) (− AE+BF+CD) = (AD−AE) (+ BE−BF) (+ CF−CD)
= ED+FE+DF = (ED+DF)+FE = ED + DE = 0 Suy ra điều phải chứng minh
Bài 3/ Cho tam giác ABC Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB
Chứng minh: AM+BN +CP=0
Giải “Sử dụng công thức trung điểm”
CP BN
2
1
= [ (AB+BA) (+ AC+CA) (+ BC+CB) ]
2
1
= 0
Sử dụng công thức trọng tâm
(GA GCB GC) 0 2
3 CP BN
Bài 4/ Cho tam giác ABC Gọi M là trung điểm của AB và N là điểm trên cạnh AC
sao cho NC = 2NA
Gọi K là trung điểm của MN
a/ Chứng minh: AK AB AC
6
1 4
1 +
=
Trang 2Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
K
N M
B A
b/ Gọi D là trung điểm của BC Chứng minh: KD AB AC
3
1 4
1 +
= Giải
a/ M là trung điểm AB nên: AM AB
2
1
= , NC = 2NA nên AN AC
3
1
=
K là trung điểm MN nên: AK = (AM +AN)
2
1
+
AK
3
1 2
1 2
1
6
1 4
1 +
b/ Gọi D là trung điểm của BC Chứng minh: KD AB AC
3
1 4
1 +
= Giải
D là trung điểm AC nên AD= (AB+AC)
2
1
mà KD= AD−AK
3
1 4
1 6
1 4
1 2
1 2
1
+
=
−
− +
=
Bài 5/ Cho tam giác ABC
a/ Tìm I sao cho : IA+ IB2 =0
b/ Tìm K sao cho : KA+ 2KB=CB ; c/ Tìm M sao cho : MA+MB+2MC=0
Giải a/ Tìm I sao cho : IA+ IB2 =0
0
+ IB
IA ⇔ IA=2BI hay AI =2IB “ AI và IB cùng hướng và AI = 2IB”
Vậy I thuộc đoạn AB và chia AB thành thành 3 đoạn bằng nhau thì có hai điểm chọn điểm I về phía
B b/ KA+ 2KB=CB ⇔ KA+ 2KB=KB−KC “ thay CB= KC−KB”
0
= + +KB KC
KA Vậy K ≡ G là trong tâm tam giác ABC c/ Tìm M sao cho : MA+MB+2MC=0
Giải “ lưu ý công thức trung điểm có số 2, bài toán về tâm tỷ cự đơn giản nhất”
Gọi D là trung điểm đoạn AB, ta có: MA+MB=2MD
0
+
MA ⇔ 2MD + MC2 =0 ⇔ MD + MC=0 Vậy M là trung điểm CD
Bài 6/ Cho hình bình hành ABCD và điểm M tùy ý Chứng minh : MA+MC=MB+MD
Giải Gọi O = AC ∩ BD ⇒ O là trung điểm của AC và BD
Ta có:
= +
= +
MO MD
MB
MO MC
MA
2
2
⇒ MA+MC=MB+MD
Bài 7/ Cho tam giác ABC và điểm M tùy ý
a/ Chứng minh rằng vectơ v=MA+2MB−3MC không phụ thuộc vị trí điểm M
b/ Dựng điểm D sao cho CD = CD cắt AB tại K Chứng minh:v KA+ KB2 =0 và
CK
CD=3
Giải a/ Chứng minh rằng vectơ v=MA+2MB−3MC không phụ thuộc vị trí điểm M
Trang 3“ Tìm điểm cố định liên quan ABC và biến đổi v “ mất M” là xong ”
v= − +2 − = CA+2CB điều phải chứng minh
b/ Dựng điểm D sao cho CD = CD cắt AB tại K Chứng minh:v KA+ KB2 =0 và CD=3CK
Từ v=(MA−MC) (+2MB−MC) = CA+2CB “ làm mất số 2 đi”
Dựng điểm E sao cho E là trung điểm CE ⇒ CE=2CB Khi đó:
CE CA
v= + Dựng hình bình hành CADE ⇒ CD = v
Gọi O = CD ∩ EA ⇒ O là trung điểm của CD và EA
K = CO ∩ AB ⇒ K là trọng tâm tam giác ACE ⇒ KA=−2KB
⇒ KA + KB2 =0
Bài 8/ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, H là trực tâm tam giác, D là điểm đối xứng với A qua O
a/ Chứng minh rằng HBDC là hình bình hành
b/ Chứng minh rằng HA+HB+HC=2HO , OA+OB+OC=OH
c/ Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh : OH =3OG “ Đường thẳng qua 3 điểm O,
H, G gọi là đường thẳng Ơ le”
Giải a/ Chứng minh rằng HBDC là hình bình hành
AD là đường kính nên DC ⊥ AC và BD ⊥ HC Vì: DC ⊥ AC và BH ⊥ AC nên DC // BH (1)
Vì : DB ⊥ AB và CH ⊥ AB nên DB // CH (2)
(1) và (2) ⇒ BHCD là hình bình hành b/ Chứng minh rằng HA+HB+HC =2HO , OA+OB+OC=OH
BHCD là hình bình hành nên: HB+HC= HD
HO HD
HA HC HB
HA+ + = + =2 ( Vì O là trung điểm AD) Có: OA=OH +HA, OB=OH+HB và OC =OH +HC
Nên: OA+OB+OC =3OH +HA+HB+HC
Bài 9/Cho tam giác ABC.Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC,CA và điểm M tùy ý
Chứng minh:
a/ MA+MB+MC=MD+ME+MF
b/ AE+BF+CD=0 c/ AD+BE+CF =0 Giải
a/ MA+MB+MC =MD+ME+MF
(MA+MB+MC) (− MD+ME+MF)
= (MA−MD) (+ MB−ME) (+ MC−MF)
= DA+EB+FC= DA+FD+AF= DA+AF+FD= DD
b/ AE+BF+CD=0 ( công thức trung điểm)
CD BF
AE+ + = (AB+AC+BA+BC+CB+CA)
2
1
= 0 c/ AD+BE+CF =0
D K
O E
A B
C
D
C
B A
F
E D
C B
A
Trang 4Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
N M
D
C B
A
G
B
A
2
1 2
1
= + +
= +
AD
Bài 10/ Cho tứ giác ABCD và M, N lần lượt là trung điểm của đoạn AB, CD Chứng minh:
MN BC
AC BD
Giải
) (
) ( AD+AC + BD+BC = 2AN +2BN = − 2(NA + NB) =
NM
2 2
−
Bài 11/ Cho tam giác ABC với G là trọng tâm, H là điểm đối xứng của B qua G, M là trung điểm
BC Chứng minh:
3
1 3
2
−
3
1 3
1
−
−
6
5 6
1
−
= Giải
3
1 3
2
−
= Gọi N là trung điểm AC, ta có: AGNC là hình bình hành
GK GC
AH
3
2
−
=
= ( K là trung điểm AB)
AH
3
1 3
1 2
1
3
2
−
= +
−
3
1 3
1
3
1 3
2
−
3
1 3
1
−
−
=
AM GA
CH
3
2
−
=
2
1 3
2
3
1 3
1
−
−
6
5 6
1
−
=
(HB HC)
MH =− +
2
1
= − (2GB + AG)
2
1
= − (AB + GB)
2
1
2
1 2
1 +
3
2 2
1 2
1 +
−
(BA BC)
AB
2
1 3
1 2
1
= − AB+ (BA+BA+AC)
6
1 2
1
3
1 2
1 6
1
−
−
AB AC
MH
6
5 6
1
−
=
Bài 12/ Cho tam giác ABC đều cạnh a, trọng tâm O Tính:
a/ AB + AC b/ AB − AC c/ OA + OB d/ AO + AC
Giải
Nhắc lại độ dài đường cao tam giác đều bằng: độ dàicạnh
2 3
a/ AB + AC = 2AM = 2AM = a 3 b/ AB − AC = CA = CA = a c/ OA + OB Gọi M là trung điểm BC
M
O
C B
A
Trang 5OM OM
OB
OA+ = 2 =2 = AM
3
1
3
3
a
d/ AO + AC Gọi K là trung điểm OC AO+AC = 2AK = 2AK Gọi H là hình chiếu của K lên AM, trong tam giác AHK có:
4 4
1 2
BC MC
2
1 3
2 +
= +
6
1 3
2
AM
6
5
=
2
3
6
5 a
12
3
5a
AH = nên : AK2
= AH2 + HK2 =
144
84 16 144
75a2 a2 a2
=
6
21
a
Vậy:
3
21
a AC
AO+ =
Bài 13/ Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O Tính:
a/ AB + AD b/ AB − AD c/ AB + AC d/ AO + AB
Giải
a/ AB + AD = 2AO = AC = AC = a 2 b/ AB − AD = DA = DA = a c/ AB + AC Gọi M là trung điểm BC
AM AC
2
5 4
2 2 2
a BM
d/ AO + AB Gọi H là trung điểm OB AO+AB = 2AH = 2AH
Trong tam giác AOH có: AH2 = AO2 + OH2 =
16
10 16
2 5 16
5 4
5 4
2 2
2 2
2
Hay
4
10
a
AH = Vậy:
2
10
a AB
AO+ =
Bài 14/Cho lục giác đều ABCDEF và điểm M tùy ý Chứng minh rằng:
MF MD MB ME
MC
MA+ + = + + Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp lục giác đã cho
Giải (MA+MC+ME) (− MB+MD+MF) = (MA−MB) (+ MC−MD) (+ ME−MF) =
FE
DC
BA+ +
= BA+OB+ AO= BA+ AO+OB=BB
O
H M
B A
Trang 6Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
Giá trị lượng giác của một góc ( từ 00 đến 1800)
• Trong hệ trục (Oxy) cho đường tròn tâm O qua các điểm A(1 ; 0 ), A/(–1 ; 0) và B(0
; 1) Vẽ cung AM có số đo là α ( tương ứng góc có hai tia OA, OM ) Tìm tọa độ điểm M Nếu: M( xM ; yM )
•
α
α α
cos
sin tan = (α ≠ 900)
α
α α
sin
cos cot = ( α ≠ 00 và α ≠ 1800 )
• Nếu a + b = 1800 thì: sina = sinb và cosa = –cosb ; tana = –tanb ; coaa = –cotb
• Các hệ thức lượng giác cần nhớ
1/ sin2x + cos2x = 1 2/ tanx =
x
x
cos
sin
3/ cotx =
x
x
sin cos
4/ tanx.cotx = 1 5/
x
2
cos
1 = 1 + tan2x 6/
x
2
sin
1
= 1 + cot2x
Bài tập
Bài 1/ Cho sinx =
13
5 ( 900 < x < 1800) Tính các giá trị lượng giác còn lại Giải
cos2x = 1 – sin2x =
169
144 169
25
13
12 cosx=− vì ( 900 < x < 1800) nên: cosx < 0
12
5 12
13 13
5 tanx= − =− ,
5
12 cotx=−
Bài 2/ Biết cot150
= 2 + 3 Tính các giá trị lượng giác còn lại của góc 150 Giải
3 2 3 2
1 15
+
15 cos
0
3 2 3 2 4
1 15
−
2
3 2 15
cos 0 = + ;
sin150 = tan150.cos150 = ( ) ( )( )( )
2
3 2 2
3 2 3 2 3 2 2
3 2 3
Bài 3/ Cho tanα = 3 Tính:
α α
α α
cos 11 sin 4
cos 3 sin 2 /
−
+
α α
α α
3
3 17cos sin
cos 2 sin 3
−
− Giải
Cách 1/
α α
α α
cos 11 sin 4
cos 3 sin 2 /
−
+
11 tan 4
3 tan 2
−
+
α
α
( chia 2 vế cho cosα ) = 11 Cách khác: tanα = 3 ⇒ sinα = 3cosα Thay vào biểu thức
Cách 2/ b/
α α
α α
3 3
cos 17 sin
cos 2 sin 3
−
−
=
α α
α
2 3
cos
1 17 tan
2 tan 3
−
−
α
17 tan
2 tan 3
+
−
−
= 7 Cách khác: tanα = 3 ⇒ sinα = 3cosα Thay vào biểu thức
Bài 4/ Cho tana + cota = m , hãy tính theo m
a/ tan2a + cot2a , b/ tan3a + cot3a , c/ | tana – cota|
Giải a/ tan2a + cot2a = (tana + cota)2 –2tana.cota = m2 –2 b/ tan3a + cot3a = (tana + cota)3 –3tana.cota(tana + cota) = m3 –3m c/ | tana – cota| = (tana+cota)2 −2tanacota = m2 −2
Trang 7Bài 5/ Cho sina + cosa = m , hãy tính theo m
a/ sina cosa b/ | sina – cosa| c/ sin3a + cos3a
d/ sin4a + cos4a e/ sin6a + cos6a Giải
a/ sina cosa = ( )
2
1 2
1 cos
=
−
a
b/ | sina – cosa| = ( )2
cos sina − a = (sina+cosa)2 −4sinacosa =
2
1 4
2
m
| sina – cosa| = 2−m2
c/ sin3a + cos3a = (sina + cosa)3 –3sinacosa)(sina + cosa) =
2
1 3
2
− m m m
sin3a + cos3a =
2
2
3m − m3
d/ sin4a + cos4a = (sin2a + cos2a)2 –2sin2acos2a = 1 – 2(sinacosa)2 =
2 2
2
1 2
sin4a + cos4a =
2
2
m
m −
+
Bài 6/ Chứng minh rằng:
a/
a a
a a
2 2
2 2
cos cot
sin tan
−
−
a
a
cos
cos sin
+ +
+
=
+
c/ sin2atan2a + 4sin2a –tan2a + 3cos2a = 3
Giải a/
a a
a a
2 2
2 2
cos cot
sin tan
−
−
= tan6a
a a
a a
2 2
2 2
cos cot
sin tan
−
−
a
a a
2 2
2 2
sin 1 cot
cos 1 tan
−
−
=
a a
a a
2 2
2 2
cos cot
sin tan
a
a
cos
cos sin
+ +
+
= +
a a
a a
a
a a
2 3
cos
1 cos
cos sin
cos
cos
=
+
= (tana+1) (1+tan2a)
c/ sin2atan2a + 4sin2a –tan2a + 3cos2a = 3
VT = sin2atan2a + sin2a –tan2a + 3sin2a + 3cos2a = sin2a(1 + tan2a) –tan2a + 3(sin2a + cos2a)
= 3
Bài 7/ Chứngminh các đẳng thức sau:
a/ cos4x – sin4x = 2cos2x –1 b/ cot2x – cos2x = cos2x.cot2x c/ tan2x –sin2x = tan2x.sin2x d/ (sinx + cosx)2 + (sinx –cosx)2 = 2 Giải
a/ cos4x – sin4x = 2cos2x –1 cos4x – sin4x = (cos2x – sin2x)(cos2x + sin2x) = cos2x – (1 – cos2x) = 2cos2x –1 b/ cot2x – cos2x = cos2x.cot2x
VP = (1 – sin2x)cot2x = cot2x – sin2xcot2x = cot2x – cos2x c/ tan2x –sin2x = tan2x.sin2x
VP = tan2x( 1 – cos2x) = tan2x – tan2x.cos2x = tan2x – sin2x
Bài 8/ Rút gọn các biểu thức sau:
Trang 8Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
D /
C /
D C
B A
B /
A /
B
A O
a/ 2(sin6x + cos6x) –3(sin4x + cos4x) b/ 2cos4x –sin4x + sin2xcos2x +3sin2x c/ (sin4x + cos4x –1)(tan2x + cot2x + 2)
Giải
sin4x + cos4x = (sin2x + cos2x)2 –2sin2xcos2x = 1 –2sin2xcos2x sin6x + cos6x = (sin2x + cos2x)3 –3sin2xcos2x(sin2x + cos2x) = 1 –3sin2xcos2x a/ 2(sin6x + cos6x) –3(sin4x + cos4x) = 2(1 –3sin2xcos2x) –3(1 –2sin2xcos2x) = –1 b/ B = 2cos4x –sin4x + sin2xcos2x +3sin2x = cos4x – sin4x + cos4x+ sin2xcos2x +3sin2x
= (cos2x –sin2x)(cos2x + sin2x) + cos2x(cos2x + sin2x) + 3sin2x = cos2x – sin2x + cos2x + 2sin2x = 2(cos2x + sin2x) = 2
c/ C = (sin4x + cos4x –1)(tan2x + cot2x + 2) = –2sin2xcos2x(tan2x + cot2x + 2) = –2sin4x –2cos4x –4sin2xcos2x = –2(sin2x + cos2x)2 = –2
d/ (sinx + cosx)2 + (sinx – cosx)2 = 2
D = sin2x + 2sinxcosx + cos2x + sin2x –2sinxcosx + cos2x = 2(sin2x + cos2x) = 2
TÍCH VÔ HƯỚNG
• Góc giữa hai vectơ: Cho hai vectơ a và b Từ điểm O tuỳ ý , dựng OA = a và
b
OB = Góc AOB gọi là góc giữa hai vectơ a và b ( )a;b = AOB
• Tích vô hướng của hai vectơ a và b Ký hiệu: b a và b a = a.b.cos( )a;b
• Tính chất
1/ b a = a b 2/ a(b+c) = a + b a c 3/ 2 ( )2
a
2a b b a
b
5/ Cho hai vectơ OA và OB B/
là hình chiếu ( vuông góc) của B lên đường thẳng qua hai điểm O, A Ta có: OA OB=OA OB' ( Hình trái: A/ là hình chiếu của A lên
OB, B/ là hình chiếu của B lên OA thì:
OB OA OB OA OB
OA = / = / Hình phải: C/, D/ lần lượt là hình chiếu của C,D lên AB thì :
/ /
6/ Cho đường tròn (O) tâm O bán kính R và một điểm M Qua M kẻ đường thẳng ∆ cắt
(O) tại hai điểm AB, ta luôn có: MA.MB=MO2 −R2
Chứng minh
Kẻ đường kính BC,ta có: CA ⊥ AB ⇒ A là hình chiếu của C lên AB ( hay ∆ )
(OC OM)(OB OM)
MB MC MB
MA = = − − = (OC−OM)(−OC−OM) = – ( OC2 – OM2) Hay : MA.MB=MO2 −R2
• MA.MB=MO2 −R2.Gọi là phương tích của điểm M đối với đường tròn (O) và Ký hiệu: PM/(O)
• Nếu M ngoài (O) và MT là tiếp tuyến của (O) ( T là tiếp tuyến ) , ta có:
2
.MB MT
• Hẳn nhiên Đường thẳng qua M cắt (O) tại A, B; Đường thẳng qua (O) cắt (O) tại C,D thì MA.MB=MC.MD
Bài tập Bài 1 Cho tam giác ABC có AC = 9, BC = 5 , ACB = 900
Tính AB.AC
Giải
Trang 9C B
A
H O
B A
O
B A
Cách 1/ B là hình chiếu của C lên AC,
nên:AB.AC = AC.AC = AC2.cos00 =81 Cách 2/
81
9
9 cos
2 2
2 2
= +
+
=
=
BC AC
BC AC
A AC AB AC AB
Cách 3/ AB.AC =(AC+CB).AC = AC2 +CB.AC= AC2 =81 ( vì CB.AC=0)
Bài 2 Cho tam giác đều ABC cạnh a, tâm O và M là trung điểm BC Tính:
Giải Lưu ý:“ Tính góc giữa hai vectơ ta đưa hai vectơ về hai vectơ chung gốc và góc của chúng là góc kẹp giữa hai mũi tên”
1/ OA.OM và OA.BC 2/ OA.OB và OA.AB
Giải
1/ OA.OM và OA.BC Góc giữa OA và OM là 1800 Nên OA.OM =OA.OM.(−1) = −2OM2
2
3
1 2
−
OM
2
2
3 3
1
6
2
a
−
OA ⊥ BC nên OA.BC=0
2/ OA.OB và OA.AB Góc giữa OA và OB là 1200 nên: OA.OB =
− 2
3
2
−
2
1 2
3 3
= 6
2
a
−
“Một phát hiện thú vị là M là hình chiếu của B lên OA nên OA.OB = OA.OM”
Góc giữa OA và AB là 1500 nên: OA.AB = OA.AB.cos1500 =
“tại sao không áp dụng điều phát hiện trên: M là hình chiếu của B lên OA nên OA.AB =
AB
OA ”
Bài 3 Cho hình vuông ABCD tâm O, cạnh a Tính:
1/ OA.AB và AB + AC 2/ AB.DC và OB.AD
Giải
1/ OA.AB O là hình chiếu của B lên AO nên:
Gọi OA.AB = OA AO= – OA2 =
2 2
2 2 a2 a
−
=
−
Gọi M là trung điểm BC, ta có: AB + AC = 2AM = 5
4 2
2 2
a
a
2/ AB.DC và OB.AD
AB và DC cùng hướng nên AB.DC= AB2 = a2
O là hình chiếu của A lên OB nên OB.AD = OB DO= – OB2 =
2
2
a
Bài 4 Cho tam giác ABC có AB = 5 , BC = 7, CA = 8.Tính AB.AC, suy ra giá trị của góc
A
Giải
AB AC
AB AC
BC = − hay BC2 = AC2 –2AB.AC + AB2
Trang 10Nguyễn Quốc Quận - Trường THPT chuyên Nguyễn Quang Diêu
H
B A
⇒
2
49 64 25 2
2 2
2
− +
=
− +
AC
2
1
AC AB
AC AB
Bài 5 Cho hai điểm A, B và O là trung điểm của AB M là điểm tuỳ ý Chứng minh :
2 2
Giải
(MO OA)(OB OM)
MB
MA = + − = (MO+OA)(MO−OA) = OM2 – OA2
Bài 6 Cho 4 điểm M, A, B, C Chứng minh:MA.BC+MB.CA+MC.AB=0
Giải
VT = MA(BA+AC)+MB.CA+MC.AB= MA.BA+MA.AC+MB.CA+MC.AB
= MA.BA+MC.AB+MA.AC+MB.CA = AB(AM+MC)+CA(AM+MB)
= ABAC+CA.AB = AB(AC+CA) = 0
Bài 7.Cho tam giác ABC với H là trực tâm và M là trung điểm BC
4
1
Giải “Sử dụng ít nhất 2 trong 3 ý sau: AH ⊥ BC, BH ⊥ AC và CH ⊥ AB”
MA
MH = HM AM = (HB+HC)(AB+ AC)
4
1
4 1
= [HB AB+(HB+BC)(AB+BC) ]
4
1
+ +
4
1
BC AB BC AC HB AB
4
1 BC HC AB 4
1
=
+
Bài 8 Cho tam giác ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho: AM.AB= AC.AB
Giải
AB AC AB
AM = ⇔ AB(AM − AC)=0 ⇔ AB.CM =0 Vậy M thuộc đường thẳng qua C
và
vuông góc AB
Bài 9 Cho tam giác ABC
a/ Tìm tập hợp các điểm M sao cho: (MA+MB)(MA+MC)=0
b/ Tìm tập hợp các điểm M sao cho: (MA+MB+MC)(MB+MC)=0
Giải
a/ Tìm tập hợp các điểm M sao cho: (MA+MB)(MA+MC)=0
Gọi H, K lần lượt là trung điểm của AB và AC
(MA+MB)(MA+MC)=0 ⇔ MH.MK =0 Vậy M thuộc đường tròn đường kính HK
b/ Tìm tập hợp các điểm M sao cho: (MA+MB+MC)(MB+MC)=0
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC và I là trung điểm BC
(MA+MB+MC)(MB+MC)=0 ⇔ 3MG.2MI=0 ⇔ MG.MI=0 Vậy M thuộc đường tròn
đường
kính GI
Bài 10 Cho hai điểm M, N nằm trên đường tròn đường kính AB = 2R I là giao điểm của
hai đường thẳng AM và BN
1/ Chứng minh: AM.AI = AB.AI và BN.BI =BA.BI