SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MÔN TOÁN 10 tìm hướng giải cho bài toán hình học tọa độ phẳng dựa trên bản chất của hình học phẳng

LỜI MỞ ĐẦU: Trong chương trình hình học phổ thông thì hình học 10 có một phần rất quan trọng đó là phương pháp tọa độ phẳng trong mặt phẳng, đây là phần nối tiếp của hình học ở THCS nhưn

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO VÀ BÌNH ĐỊNH

TRƯỜNG THPT BÌNH DƯƠNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MÔN TOÁN

học tọa độ phẳng dựa trên bản chất của hình học phẳng”

Người thực hiện: Trần Thanh Phong

 : 2014 2015

Năm học

A PHẦN MỞ ĐẦU: 3

I LỜI MỞ ĐẦU: 3

II ĐẶT VẤN ĐỀ: 4

1 Thực trạng: 4

2 Ý nghĩa và tác dụng: 4

B NỘI DUNG: 5

I MỤC TIÊU: 5

II CÁC BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN: 5

1 Nội dung được triển khai thông qua ba buổi học (khoảng 15 tiết học): 5

2.Các buổi học cụ thể: 5

-Buổi học thứ nhất: 5

MỤC LỤC

A PHẦN MỞ ĐẦU

I LỜI MỞ ĐẦU:

Trong chương trình hình học phổ thông thì hình học 10 có một phần rất quan trọng đó là phương pháp tọa độ phẳng trong mặt phẳng, đây là phần nối tiếp của hình học ở THCS nhưng khi đó nó được nhìn dưới quan điểm đại số và giải tích, lên phổ thông nhiều bài toán tọa độ phẳng phức tạp nếu ta dùng phương pháp đại số và giải tích để giải là một vấn đề khó khăn vì vậy phải dùng đến công cụ hình học phẳng ta giải sẽ dễ dàng hơn Như vậy mỗi bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng còn mang bản chất của một bài toán hình học phẳng nào đó

Tuy nhiên khi giải quyết bài toán hình học tọa độ phẳng học sinh thường không chú trọng đến bản chất hình học của bài toán ấy, một phần vì học sinh có cảm giác

lo ngại hình học phẳng, vì ở cấp THCS các em chỉ dùng công cụ đại số và giải tích để giải mà còn khó khăn giờ lại dùng tới hình học, một phần giáo viên khi dạy cũng không chú trọng khai thác hướng dẫn cụ thể cho học sinh Do đó hiệu quả giải toán cũng không cao mà sự phân loại dạng toán, phương pháp giải toán cũng không rõ ràng

Trong các kì thi các c p nh thi h c kì, thi đại học, thi h c sinh gi i c pấp như thi học kì, thi đại học, thi học sinh giỏi cấp ư thi học kì, thi đại học, thi học sinh giỏi cấp ọc kì, thi đại học, thi học sinh giỏi cấp ọc kì, thi đại học, thi học sinh giỏi cấp ỏi cấp ấp như thi học kì, thi đại học, thi học sinh giỏi cấp

tr ng, c p t nh, c p qu c gia, Olympic khu v c, Chúng ta thường thấy sự có ư thi học kì, thi đại học, thi học sinh giỏi cấp% ấp như thi học kì, thi đại học, thi học sinh giỏi cấp & ấp như thi học kì, thi đại học, thi học sinh giỏi cấp ốc gia, Olympic khu vực, Chúng ta thường thấy sự có ực, Chúng ta thường thấy sự có mặt của bài toán hình học tọa độ phẳng nhằm phát hiện những học sinh có năng khiếu toán học

Hiện nay các chuyên đề về hình học tọa độ phẳng đã có nhiều thầy cô tìm hiểu và viết về vấn đề này, mỗi người có một phương pháp hay riêng.Tuy nhiên đặc điểm học sinh mỗi trường khác nhauvà mỗi người dạy có một phương pháp khác nhau nên đem phương pháp của người này áp dụng vào trường khác chưa được đạt hiệu quả như mong muốn

Vì vậy, để học sinh nói chung và học sinh trường THPT Bình Dương nói riêng có một nền tảng kiến thức vững mạnh, một hệ thống các phương pháp suy luận để giải một bài toán hình học tọa độ phẳng tương đối dễ dàng Với ý định đó, trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi xin nêu ra một phương pháp “tìm hướng giải cho bài toán hình học tọa độ phẳng dựa trên bản chất của hình học phẳng” của bài toán đó

II ĐẶT VẤN ĐỀ:

1 Thực trạng:

Hình học tọa độ phẳng là một bài toán quen thuộc đối với học sinh THPT, tuy nhiên công cụ để giải bài toán hình học tọa độ phẳng rất ít,rất khó áp dụng để giải quyết Vì vậy khi đứng trước một bài toán hình học tọa độ phẳng học sinh thường lúng túng không định hướng được cách giải, một số em có thói quen chưa đọc kỹ đề đã bắt tay vào giải đôi khi làm như vậy vẫn dẫn đến kết quả, tuy nhiên xác suất rất là thấp Với tình hình ấy giáo viên cần tạo cho học sinh một kỹ năng nhìn nhận một bài toán dưới nhiều góc độ khác nhau, khai thác các dữ kiện của bài toán để tìm phương pháp giải

Một câu hỏi đặt ra: khi đứng trước một bài toán hình học tọa độ phẳng học sinh có chịu tập trung suy nghĩ, đào sâu thêm để tìm hướng giải cho bài toán hay

không? Đa số học sinh không chịu chú ý đến bản chất hình học phẳng nên có những dạng toán mặc dù làm đi làm lại rất nhiều lần nhưng khi dạng toán đó xuất trong các đề thi học sinh lại bỡ ngỡ giống như mới gặp lần đầu, bởi không nhận biết được dạng toán này đã từng làm

2 Ý nghĩa và tác dụng:

Vì hình học tọa độ phẳng là một bài toán quen thuộc đối với học sinh phổ thông nhưng học sinh chỉ làm quen những bài toán có cấu trúc đơn giản Còn khi gặp một bài toán khác cấu trúc đã gặp một chút học sinh thường lúng túng không định hướng được cách giải Dẫn đến học sinh đầu tư nhiều thời gian cho bài toán đó mà ảnh hưởng đến các bài toán khác mà chưa chắc đã giải quyết được

Trước thực trạng đó để học sinh giải nhanh một bài toán hình học tọa độ phẳng, tôi có ý tưởng là cần chỉ cho học sinh thấy rõ bản chất hình học phẳng của bài toán đó Để làm thực hiện ý tưởng đó, trong quá trìnhï giải toán cho học sinh nói chung và giải về hình học tọa độ phẳng nói riêng song song với các lời giải, tôi luôn yêu cầu cho học sinh chỉ rõ bản chất của bài toán hình học tọa độ phẳng tương ứng Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi sẽ chỉ ra một trong nhiều nội dung được ứng dụng có hiệu quả Việc đưa nội dung này nhằm khai thác tính chất hình học phẳng để định hướng tìm lời giải bài toán hình học tọa độ phẳng và xem việc chỉ ra bản chất hình học phẳng sẽ bổ trợ cho giải toán chứ không phải là chúng ta giải một bài toán hình học phẳng

B NỘI DUNG

I MỤC TIÊU:

Rèn luyện kỹ năng định hướng giải toán của học sinh, yêu cầu học sinh phân tích được bản chất của hình học phẳng cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài toán Trong đó yêu cầu học sinh lựa chọn lời giải ngắn gọn chính xác là quan trọng

Góp phần làm cho người dạy toán, học toán có một hành trang kiến thức phong phú hơn để giải một bài toán hình học tọa độ phẳng

II CÁC BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN:

1 Nội dung được triển khai thông qua bốn buổi học (khoảng 15 tiết học):

-Buổi đầu tiên( khoảng 4 tiết học ): Hình thành cho học sinh kỹ năng giải toán -Buổi thứ 2+3 (khoảng 8 tiết học ): Tổ chức cho học sinh kỹ năng giải toán -Buổi cuối cùng(khoảng 3 tiết học): tổ chức kiểm tra để lấy kết quả nội dung

triển khai và kỹ năng mà học sinh đạt được.

2.Các buổi học cụ thể:

-Buổi học thứ nhất: giáo viên hình thành cho học sinh kỹ năng phân tích bản chất của một bài toán hình học tọa độ phẳng, cách vận dụng để giải từng dạng toán cụ thể Để làm được điều đó giáo viên cho học sinh làm các bài tập mẫu gồm nhiều dạng khác nhau và chỉ cho học sinh mỗi bài toán khác nhau có một cách giải khác nhau, do đó để chọn một phương pháp giải một bài toán nói chung và bài toán hình học tọa độ phẳng nói riêng là có chọn lọc, ta chọn cách giải như thế nào tối ưu nhất chứ không phải lựa chọn một cách ngẫu nhiên Cũng chính vì điều đó mà việc phân tích một bài toán hình học tọa độ phẳng một mặt giúp học sinh hiểu được bản chất của bài toán để khi đứng trước bài toán đó học sinh giải quyết một cách dễ dàng, mặt khác giúp học sinh cảm thấy yêu thích học môn toán

Để học sinh hiểu được bản chất của bài toán hình học tọa độ phẳng, tôi đã thực hiện ngay trong quá trình học gần xong hình học tọa độ phẳng ở lớp 10 Để tăng cường tính chủ động cho học sinh tôi đã cung cấp cho học sinh một hệ thống các bài tập mang tính chất nâng cao hơn so với các bài tập trong sách giáo khoa Yêu cầu học sinh về nhà tự phân loại dạng toán và định hướng cách giải

*Sau đây là sơ lược cho học sinh nội dung học cho buổi học thứ nhất:

Bài toán hình học tọa độ phẳng là bài toán thường xuyên xuất hiện trong các đề thi đại học, thi học sinh giỏi và mức độ tương đối khó Vì vậy Để giải được dạng toán này chúng ta phải thực hiện từng bước Bước đầu tiên chúng ta tìm hiểu bản chất cũng như xây dựng phương pháp tư duy giải toán đặc trưng cho dạng toán này

Trong 4 tiết đầu tiên chúng ta sẽ cùng nghiên cứu về một phương pháp giải toán

đó là: “phân tích bản chất hình học phẳng trong bài toán tọa độ phẳng tương ứng”

Các ví dụ:Một bài toán hình học tọa độ phẳng có rất nhiều cách giải và mỗi

cách giải có một ưu thế thế riêng nhưng theo tôi để giải bài toán này hiệu quả chúng

ta cần khai thác các yếu tố hình học phẳng để giải toán hình giải tích

Để giải một bài toán hình học tọa độ phẳng có thể mô phỏng theo ba bước sau:

Bước 1: vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán Trên cơ sở dữ kiện và yêu cầu của

bài toán ta phân tích các yếu tố hình học phẳng cần thiết để giải toán

Bước 2: lập sơ đồ các bước giải.

Bước 3: trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2.

Ví dụ 1:Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho ABC có trung điểm cạnh AB là M(-1;2), tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là I(2;-1) Đường cao của tam giác kẻ từ A có phương trình 2x+y-1=0 Tìm tọa độ đỉnh C

Bước 1: vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán Trên cơ sở dữ kiện và yêu cầu của bài toán ta phân tích các yếu tố hình học phẳng cần thiết để giải toán.

M B

A

C

I (2;-1)

H

Bước 2: lập sơ đồ các bước giải.

+ Tìm tọa độ đỉnh A

+ Lập phương trình cạnh BC rồi tìm C

Bước 3: trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2.

Phương trình đường thẳng AB qua M và nhận MI(-3;3) làm VTPT: (AB): x-y+3=0

Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình:

3 0

2 1 0

x y

x y

   



  



4 3 5 3

x y







 

 



4 5 ( ; )

3 3

A

 

M(-1;2) là trung điểm của AB nên

2 7;

3 3

B 

 

Đường thẳng BC qua B và nhận n(2;1) làm CTCP nên có phương trình:

2 2 3 7 3

x t

y t



 





  



Giả sử

2 2 ;7

3 3

C  t tBC

 

2

8 8 10

2 10

3 3 3

t t

     

        

      

0 4 5

t loại vì C B t









Vậy

14 47;

15 15

C 

 

Ví dụ 2: trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC với A(1;-2),

đường thẳng CH: x-y+1=0, phân giác trong BN: 2x+y+5=0 Tìm tọa độ các đỉnh BC và tính diện tích tam giác ABC

Bước 1: Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán Trên cơ sở dữ kiện và yêu cầu của bài toán ta phân tích các yếu tố hình học phẳng cần thiết để giải toán.

A'

N

B

A

C H

I

Bước 2: lập sơ đồ các bước giải.

+ Lập phương trình AB, suy ra tọa độ điểm B

+ Lấy A’ đối xứng với A qua BN, rồi lập phương trình AA’

+ Gọi I là giao điểm của AA’ và BN tìm tọa độ điểm I suy ra tọa độ A’

+ Lập phương trình cạnh BC rồi tìm tọa độ điểm C

+ Tính BC và khoảng cách từ A đến BC, rồi tính diện tích ABC

Bước 3: trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2.

Do AB CH nên phương trình đường thẳng AB: x+y+1=0

+) B BN AC   tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình:

2 5 0

1 0

x y

x y

   



  



4 ( 4;3)

3

x B

y

 

   





+) Lấy A’ đối xứng với A qua BN thì A’ BC Phương trình của đường thẳng AA’ là:

2 5 0

x y 

Gọi I A BN ' Giải hệ:

2 5 0

2 5 0

x y

x y

   



  

 Suy ra I(-1;3)  A’(-3;-4)

+) Phương trình BC: 7x+y+25=0 Giải hệ:

: 7 25 0 : 1 0

BC x y

CH x y

   



  



13 9 ( ; )

4 4

C

 

+)

13 9 450

4 3

4 4 4

BC       

    ;   2 2

7.1 1.( 2) 25

; 3 2

7 1

d A BC     



1 ; . 1.3 2. 450 45(đvdt)

2 2 4 4

ABC

S  d A BC BC 

Phân tích bản chất của bài toán: Trong bài toán trên A’ là điểm đối xứng với A qua

BN là mấu chốt để giải bài toán Như vậy, hiểu được bản chất của hình học tọa độ phẳng rất quan trọng Cụ thể bài toán trên để tìm được điểm B là điều dễ dàng hầu như học sinh nào cũng làm được, tuy nhiên để tìm tọa độ điểm C và tính được diện tích

ABC

 nếu không hiểu được dụng ý của đề bài cho đường phân giác trong thì không thể tìm được tọa độ điểm C và tính diện tích tam giác ABC.

Ví dụ 3: trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):

2 2 2 4 3 0.

x y  x y  Viết phương trình đường tròn có tâm K(1;3) cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 4, với I là tâm đường tròn (C)

Bước 1: vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán Trên cơ sở dữ kiện và yêu cầu của bài toán ta phân tích các yếu tố hình học phẳng cần thiết để giải toán.

H B

A

B

A

K

I H

(trường hợp 1) (trường hợp 2)

Ở bước này đa số học sinh chỉ vẽ hình cho trường hợp 1 mà bỏ sót mất trường hợp 2 khi giải toán

Bước 2: lập sơ đồ các bước giải.

+) Từ giả thuyết diện tích tam giác IAB bằng 4, tính AH

+) Tính KA và lập (K)

Bước 3: trình bày lời giải bài toán theo sơ đồ bước 2.

Đường tròn (C) có tâm I(1;-2) bán kính R 2 2 Gọi H là trung điểm của AB

Khi đó:S ABI IH AH.  4 R2 AH AH2.  16 (8   AH AH2). 2  AH2  4 AH 2

Ta có:

Trường hợp 1: I, K nằm khác phía so với đường thẳng AB

Ta có:AK HA2KH2  HA2KI IH 2  2 32 2  13

Do đó đường tròn cần tìm có phương trình:   

x  y 

Trường hợp 2: I, K nằm cùng phía so với đường thẳng AB

Ta có:AK HA2KH2  HA2KI IH 2  2272  53

Do đó đường tròn cần tìm có phương trình:   

x  y 

Nhận xét rút kinh nghiệm: sau khi học sinh đã tiếp cận với các bước giải đã được

định hướng ta sẽ trình bày lời giải để rút gọn thời gian.

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):

x a  2 y b 2 R2 và điểm M(x0;y0) Tìm tọa độ điểm N nằm trên (C) sao cho MN có độ dài lớn nhất hoặc nhỏ nhất

Ví dụ 4 trên là một bài toán hoàn toàn có thể giải bằng hình học tọa độ và nó tỏ ra ưu thế hơn khi giải nó theo quan điểm hình học phẳng Từ bài toán này chỉ ra cho học

có mỗi phương pháp giải tương thích và trở nên tối ưu khi ta lựa chọn phương pháp giải thích hợp.”

Cách 1: giải theo quan điểm hình học phẳng

E

I

N

I

N M

TH 1: M nằm trên (C)

Khi đó:

+) MN có độ dài nhỏ nhất bằng 0 khi N trùng với M

+) MN có độ dài lớn nhất là 2R khi N là đầu mút còn lại của đường kính MN

C KẾT LUẬN