SKKN Phát hiện tính chất đặc trưng của hình học phẳng để áp dụng vào bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng lớp 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHÁT HIỆN TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA HÌNH HỌC PHẲNG ĐỂ ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT YÊN ĐỊNH 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

PHÁT HIỆN TÍNH CHẤT ĐẶC TRƯNG CỦA HÌNH HỌC PHẲNG ĐỂ ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG LỚP 10

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đich nghiên cứu 1

3 Đối tượng thời gian nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

2 NỘI DUNG 1 Cơ sở lý luận 2

2 Thực trạng vấn đề 17

3 Các giải pháp đã tổ chức thực hiện 18

4 Hiệu quả của đề tài 18

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 1 Kết luận 19

2 Kiến nghị 19

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài

Trong chương trình hình học lớp 10 có một phần rất quan trọng của hình học

phổ thông đó là phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Đây là phần tiếp nối củahình học phẳng ở cấp Trung học cơ sở nhưng được nhìn dưới quan điểm đại số

và giải tích Như vậy, mỗi bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng đều mangbản chất của một bài toán hình học phẳng nào đó Tuy nhiên, khi giải các bàitoán hình học toạ độ học sinh thường không chú trọng đến bản chất hình học củabài toán ấy, một phần vì học sinh ngại hình học phẳng vì cứ nghĩ hình học phẳng

là khó, một phần vì giáo viên khi dạy cũng không chú trọng khai thác hướng dẫncho học sinh Do đó, hiệu quả giải toán không cao mà sự phân loại dạng toán,phương pháp giải toán cũng không rõ ràng Thực tế yêu cầu trong việc giảng dạychỉ phải trang bị cho học sinh một hệ thống các phương pháp suy luận giải toánhình học toạ độ trong mặt phẳng Với ý định đó, trong sáng kiến kinh nghiệmnày tôi muốn nêu ra một cách định hướng tìm lời giải bài toán hình học toạ độ

trong mặt phẳng dựa trên bản chất hình học phẳng của bài toán đó Vì vậy, với

trách nhiệm của mình, tôi thấy cần phải xây dựng thành chuyên đề từ đó rènluyện kĩ năng nhận dạng, nâng cao năng lực giải toán cho học sinh để các emkhông còn e ngại hay lúng túng khi gặp các dạng toán này Qua quá trình tích lũy

tôi viết sáng kiến kinh nghiệm: “Phát hiện tính chất đặc trưng của hình học

phẳng để áp dụng vào bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng lớp 10”

1.2 Mục đich nghiên cứu

Nhằm hệ thống cho học sinh một số dạng toán của phương pháp tọa độtrong mặt phẳng và góp phần giúp các em giải quyết tốt các bài toán về hìnhhọc giải tích

Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính toán Từ đó cung cấpcho học sinh một dạng toán nhỏ để bổ sung vào hành trang kiến thức bước vàocác kì thi, đặc biệt là kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thanh Hoá

Kết hợp giữa định tính và định lượng nhằm giúp các em hệ thống tố hơnkiến thức đã học và giúp các em hứng thú hơn trong học toán

Giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Tính chất đặc trưng của hình học phẳng, bài toán hình học giải tích trongmặt phẳng lớp 10

Một số đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thanh Hoá từ 2012 đến nay

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 10 và lớp 12

- Đánh giá kết quả học tập, kết quả các kì thi đại học, cao đẳng và thi họcsinh giỏi cấp tỉnh môn Toán của học sinh lớp 12A1, 12A2 năm học 2015-2016.Lớp 12A6, 12A7 năm học 2016-2017 trường THPT Yên Định 3

phương pháp toạ độ trong mặt phẳng Đặc biệt là các bài toán, dạng toán liênquan đến hình học giải tích trong mặt phẳng trong các kì thi tuyển sinh Đại học,cao đẳng, các kì thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa trong các năm gần đây

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận

a Một số kết quả hình học phẳng thường dùng

Tính chất 1 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm I, tiếp tuyến Cx tại C.

Tính chất 2 Cho hình vuông ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và

CD Khi đó AM BN [4]

Tính chất 3 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm I Có trực tâm H,

Tính chất 4 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm I Gọi H, K lần

lượt là chân đường cao kẻ từ B, C xuống các cạnh AC, BC Khi đó IAHK [5]

Tính chất 5 Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi D là giao điểm thứ hai của

BC Khi đó M là trung điểm của HD [5]

Tính chất 6 Cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp J Gọi D là giao

điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với đường thẳng AJ và I

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi đó D là tâm đường tròn ngoạitiếp tam giác JBC và IDBC [5]

Tính chất 7 Cho có trực tâm H; E, D lần lượt là hình chiếu vuông góccủa C, B lên các cạnh AB và AC Gọi P là trung điểm của AH, M là trung điểm

Tính chất 8 Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi D, E, F lần lượt là chân

đường cao kẻ từ A, B, C xuống các cạnh BC, CA, AB Khi đó H là tâm đường

Chú ý: 1 Cần đặc biệt chú ý quan hệ vuông góc, sự bằng nhau, quan hệ về góc

của hình vuông, hình thoi và các tam giác đặc biệt

2 Các công thức diện tích, khoảng cách, công thức tính góc, các định lýsin, cosin trong tam giác…

b Các ví dụ điển hình

Các ví dụ một bài toán hình học toạ độ có thể được giải theo một trong ba hướngchính sau:

Hướng 1: Giải hoàn toàn theo quan điểm hình học giải tích

Hướng 2: Giải hoàn toàn theo quan điểm hình học phẳng sau đó áp dụng vào toạ độ Hướng 3: Khai thác các yếu tố hình học phẳng để giải toán hình giải tích

Mỗi hướng giải toán đều có những ưu thế riêng cho từng bài toán nhưng nóichung hướng 3 thường hiệu quả hơn cả

Dạng 1 Sử dụng quan hệ vuông góc trong giải toán

Bài toán cơ bản 1 Cho hình vuông ABCD, gọi M, N lần lượt là trung điểm của

Bài toán cơ bản 2 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm I Gọi H,

K lần lượt là chân đường cao kẻ từ B, C xuống các cạnh AC, BC Chứng minhrằng IAHK

ABC tại A KAx  1 d

2

ACB s AB

Do BHCBKC 900 nên tứ giác BKHC nội tiếp

suy ra AKH ACB  (2) (cùng bù với góc BKH )

Từ (1) và (2) KAx AKH HK / /Ax mà

Bài toán cơ bản 3 Cho tam giác ABC có tâm đường tròn nội tiếp J Gọi D là

giao điểm thứ hai của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với đường thẳng AJ

và I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh rằng D là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác JBC và IDBC

Chứng minh.

2 2

A B DJB   (góc ngoài tam giác) (1)

Từ (1) và (2) suy ra DJB DBJ hay tam giác

DJB cân tại D hay DJ=DB (3)

mà

(2 góc nội tiếp bằng nhau chắn 2 cung bằng nhau) (4)

Từ (3) và (4) suy ra DB=DJ=DC hay D là tâm đường tròn

ngoại tiếp JBC (đpcm)

Bây giờ ta xét một số ví dụ điển hình

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng oxy cho hình vuông ABCD có đỉnh B(0;4) Gọi M và

BN Xác định toạ độ các đỉnh của hình vuông ABCD biết đỉnh A thuộc đườngthẳng (d) : x +2y +4 =0

Hướng dẫn giải

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật ABCD có BC=2BA Gọi

BD và AF Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD, biết B nằm trên đường thẳng (d): x+2y-6=0

Hướng dẫn giải.

+ Viết PT đường thẳng AF qua H và F

+ Viết PT đường thẳng BD qua H và vuông góc với AF

+ Điểm B là giao điểm của (d) với BD Ta có

+ Viết PT đường thẳng AB qua B và vuông góc với BF

+ Điểm A là giao điểm của AF với AB;

Ví dụ 3 Cho hình vuông ABCD có hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của

Hướng dẫn giải

Ta chứng minh tam giác AIP vuông tại I

Tứ giác AMID nội tiếp đường tròn tâm E( với E là trung điểm của AH) suy ra

bình hành, do đó P là trung điểm DC tứ giác AMPD là hình chữ nhật

vuông tại I

B

I

P H

Do nên A(2; 4) suy ra pt(AP):

suy ra pt(DN): x – 2y = 0

Ví dụ 4.Trong mặt phẳng Oxy cho ABC ngoại tiếp đường tròn tâm J(2;1) Biếtđường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác có phương trình : 2x y 10 0  vàD(2 ;-4) là giao điểm của đường thẳng AJ với đường tròn ngoại tiếp ABC Tìmtọa độ các đỉnh của ABC biết B có hoành độ âm và B thuộc đường thẳng cóphương trình x+y+7=0 (d)

Hướng dẫn giải

Ta có

Theo kết quả bài toán gốc thì D là tâm đường tròn ngoại tiếp

tam giác JBC (C’) Do đó PT đường tròn (C’) :

nghiệm của hệ

Thế (1) vào (2) ta được

Điểm B có hoành độ âm nên B(-3 ;-4)

Đường thẳng AJ qua J và D có PT : x-2=0 Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ

+ Đường thẳng BC qua B và vuông góc với AH :

+ Gọi M là trung điểm của BC

Ví dụ 5 ( trích đề thi HSG Tỉnh Thanh Hoá năm 2014)

Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho hình vuông ABCD với M, N lần

lượt là trung điểm của đoạn AB và BC Gọi H là chân đường cao kẻ từ B xuống

Hướng dẫn giải

Trong tam vuông BCH ta có : HN=NC (1)

Mặt khác: BH và DN song song với

(Vì cùng vuông góc với MC)

Từ đó: H và C đối xứng qua DN

DH vuông góc với HNGọi D(m ; m-4) Sử dụng điều kiện

Nhận xét H và C đối xứng qua DN tìm được

Ví dụ 6 (Trích đề thi HSG Tỉnh Thanh Hoá năm 2016)

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ cho hình thang ABCD có

và A, C thuộc trục hoành Gọi E là trung điểm của đoạn

AD, đường thẳng EC đi qua điểm Tìm toạ độ các đỉnh A, C, D biết EC vuông góc với BD và điểm E có tọa độ nguyên.

Hướng dẫn giải

y=0

I

J H

C

E B(2;4)

D

A

F(-4;1)

Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BE, cắt BE và BD lần lượt tại I và H; gọi J

là giao điểm của BD với CE Khi đó ta có:

H

Đường thẳng BE qua B(2;4) vuông góc với Ox nên có phương trình x =2.

Gọi

Thay (2) vào (1) ta được

(do b nguyên)

Dạng 2 Bài toán liên quan đến tính chất trung điểm của đoạn thẳng

Bài toán cơ bản Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi D là giao điểm thứ hai

với BC Chứng minh rằng K là trung điểm của HD

Từ bài toán trên ta xây dựng các ví dụ sau.

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng Oxy cho nhọn có trực tâm H(5;5), phương trình

Hướng dẫn giải.

Gọi H’ là giao điểm của AH và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC theo KQ bài toán gốc thì H’ đối xứng với H qua BC

+Đường thẳng (HH’) vuông góc với BC và qua H có PT x-y=0

+ Gọi A’ là chân đường cao hạ từ A

+ Đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC đi qua 3 điểm

H’(3 ;3),M(7 ;3),N(4 ;2) có PT :

+ Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ

+ Tọa độ điểm B,C là nghiệm của hệ

hoặc B(3 ;5),C(6 ;2).

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng Oxy cho nhọn Đường trung tuyến kẻ từ A và

thẳng qua A và vuông góc với BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tai điểm thứ hai là D(4;-2) Viết phương trình các cạnh AB, AC biết

Hướng dẫn giải

+Theo KQ bài toán gốc thì D đối xứng với H qua BC

Do

Ví dụ 3 ( Trích đề thi HSG cấp tỉnh môn toán tỉnh Thanh Hoá năm 2013)

chứa đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương

Viết phương trình các đường thẳng AB, AC; biết rằng hoành độ của điểm B

không lớn hơn 3

Hướng dẫn giải

M K H

D

C B

A

Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm của

BC và AD, E là giao điểm của BH và AC Ta kí hiệu lần lượt là vtpt, vtcp

của đường thẳng d

Do M là giao điểm của AM và BC nên tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:

AD vuông góc với BC nên , mà AD đi qua điểm D suy ra phương

AM nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình

Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ phương trình:

Do H là trực tâm của tam giác ABC nên

Do Ta có

Suy ra

Dạng 3 Bài toán liên quan đến trực tâm của tam giác

Bài toán cơ bản Cho tam giác ABC cân tại A Gọi I là tâm đường tròn ngoại

tiếp tam giác ABC, D là trung điểm của cạnh AB, E và G lần lượt là trọng tâmcác tam giác ACD và ABC Chứng minh rằng I là trực tâm tam giác DEG

Chứng minh

Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC và AD Khi đó theo tính chất trọng tâm

là đường trung bình của

do đó

Từ (1) và (2) suy ra I là trực tâm tam giác DGE

Ta xây dựng các bài toán sau đây.

Ví dụ 1 Trong mặt phẳng Oxy cho cân tại A; M là trung điểm đoạn AB

trọng tâm tam giác ACM Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Hướng dẫn giải

G(0;1) K

A

N

I

Giả sử M(x;y) và

Ta có

Lại có

Mặt khác K là trọng tâm tam giác ACM

suy ra A(4;5) và M là trung điểm của AB suy ra B(-5;2)

Ví dụ 2 Trong mặt phẳng Oxy cho cân tại A; M là trung điểm đoạn AB

ACM Các đường thẳng AB, CM lần lượt đi qua các điểm E(-2;3), F(0;1) Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết hoành độ điểm M âm

+ Goi P là trung điểm của AC thì theo

tính chất trọng tâm tam giác ta có :

+ Ta có

Chọn một tam giác nào đó giả sử A(7;5), B(-1;1), C(3;-3) Khi đó ta tìm được

Dạng 4 Bài toán liên quan đến khoảng cách

Ví dụ 1 Cho hình chữ nhật ABCD có D(4; 5), M là trung điểm đoạn AD, đường

thẳng CM có phương trình Điểm B nằm trên đường thẳng

Tìm toạ độ A, B, C

Hướng dẫn giải

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của B, D lên CM

B(b; -1-2b)

A

I

C D

B

M

K

H G

Vì B, D nằm khác phía đối với CM nên b = 2

(c < 2)

Do c < 2 nên C(-2; 1), A(8; -1)

Vậy

Ví dụ 2 Cho hình bình hành ABCD có N là trung điểm của CD, đường thẳng

cho AC = 4 AM Gọi H là điểm đối xứng với N qua C, H thuộc đường thẳng

Biết 3AC = 2AB, tìm toạ độ A, B, C, D

Dạng 5 Bài toán liên quan đến phân giác của góc

Ví dụ 1 Cho hình thang cân ABCD có hai đáy là AD và BC, biết AB = BC,

đường thẳng AD Viết phương trình CD biết B(1; 1)

Hướng dẫn giải

Tứ giác ABCD là hình thang cân nên ABCD nội tiếp đường tròn

Gọi E là điểm đối xứng của B qua AC suy ra E thuộc AD

Ta có pt(BE):

F

D A

M

Ta có D thuộc AD nên AD = 7 suy ra hoặc Do B,

hình thang cân, mâu thuẫn với giả thiết Vậy bài toán vô nghiệm

và giải toán Cần nhấn mạnh một điều rằng, đa số các học sinh sau khi tìm đượcmột lời giải cho bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng thường không suynghĩ, đào sâu thêm Học sinh không chú ý đến bản chất hình học phẳng của bàitoán nên mặc dù làm rất nhiều bài toán hình học toạ độ nhưng vẫn không phânloại được dạng toán cơ bản cũng như bản chất của bài toán

Kết quả, hiệu quả của thực trạng trên với thực trạng đã chỉ ra, thôngthường học sinh sẽ dễ dàng cho lời giải đối với các bài toán có cấu trúc đơngiản Còn khi đưa ra bài toán khác một chút cấu trúc cơ bản học sinh thường tỏ

ra rất lúng túng và không biết định hướng tìm lời giải bài toán Từ đó, hiệu quảgiải toán của học sinh bị hạn chế rất nhiều Trước thực trạng đó của học sinh, tôithấy cần thiết phải hình thành cho học sinh thói quen xem xét bài toán hình họctoạ độ trong mặt phẳng theo bản chất hình học phẳng Vì vậy, song song với cáclời giải cho bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng, tôi luôn yêu cầu học sinhchỉ ra bản chất và bài toán hình phẳng tương ứng, từ đó phân tích ngược lại chobài toán vừa giải Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi sẽ chỉ ra một trongnhiều nội dung được áp dụng có hiệu quả Việc đưa nội dung này nhằm khaithác các tính chất hình học phẳng để định hướng tìm lời giải bài toán hình họctoạ độ và xem việc chỉ ra bản chất hình học phẳng sẽ bổ trợ cho giải toán chứkhông phải là chúng ta đi giải một bài hình học phẳng Qua đó giúp học sinhnhận thức được rằng: “Mỗi bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng luôn chứađựng một bài toán hình phẳng tương ứng” Vì vậy phân tích bản chất của bàitoán hình học phẳng để bổ trợ cho việc giải bài toán hình học toạ độ trong mặtphẳng là một suy nghĩ có chủ đích, giúp học sinh chủ động hơn trong việc tìm

kiếm lời giải cũng như phân loại một cách tương đối các bài toán hình học toạ

độ trong mặt phẳng

2.3 Các giải pháp đã tổ chức thực hiện để giải quyết vấn đề

1 Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (haynhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên

2 Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh Trong

đó yêu cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân tích bài toánhình học phẳng tương ứng

3 Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thứccủa học sinh

4 Trong mỗi bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng đều yêu cầu họcsinh thực hiện phân tích bản chất hình học phẳng cũng như đưa ra các hướngkhai thác mở rộng cho bài toán

5 Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện

Để tăng cường tính chủ động cho học sinh trong buổi học thứ nhất, tôi đãcung cấp cho học sinh một hệ thống các bài tập đề thi về bài toán hình học toạ

độ trong mặt phẳng cho bài học Yêu cầu học sinh về nhà chuẩn bị lời giải, phânloại các bài toán thành các nhóm tương tự nhau cũng như trả lời câu hỏi: bảnchất bài toán ấy là gì? Có tổng quát, mở rộng, phân loại dạng toán được không?Bài toán hình học toạ độ trong mặt phẳng xuất hiện thường xuyên trong các đềthi học sinh giỏi với mức độ tương đối khó Vì vậy, để giải được dạng toán nàychúng ta cần tìm hiểu bản chất cũng như xây dựng phương pháp tư duy giải toánđặc trưng cho loại toán Trong các buổi học này chúng ta sẽ cùng nghiên cứu vềmột phương pháp tư duy giải toán: "phân tích tính chất hình học phẳng trong bàitoán hình học toạ độ tương ứng" Trước hết, ta cần chú ý chuyển bài toán toạ độ

về bài toán hình phẳng trên cơ sở các dữ kiện bài toán đã cho Sau đó, ta sẽ phântích tính chất hình học trên hình phẳng để định hướng tìm lời giải bài toán

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

- Từ những giải pháp nêu trên, bản thân tôi thấy các kết quả khả quan.+ Việc tiếp cận các bài toán hình học giải tích trong mặt phẳng của các

em học sinh đã nhanh nhạy hơn, các em đã tự tin khi tiếp cận dạng toán này

+ Không khí lớp học sôi nổi, các em thấy hứng thú với việc tiếp cận vấn